Квазипериодические режимы в математических моделях с малым отклонением Чихачева Ольга Александровна

Содержание к диссертации

Введение

Глава 1. Квазипериодические режимы в математических моделях с малым отклонением 20

1. Постановка задачи 20

2. Сведение исходной задачи к исследованию разрешимости недифференциальной системы уравнений с алгебраической главной частью 26

3. Квазипериодические режимы в математических моделях с малым линейным отклонением 38

Глава 2. Ненулевые решения нелинейной системы уравнений 42

1. Определение условий, при которых нелинейная систе ма уравнений в частном случае имеет ненулевое реше ние 42

2. Определение условий, при которых нелинейная систе ма уравнений порядка d имеет ненулевое решение 50

Глава 3. Квазипериодические режимы в математических моде лях, описываемых неоднородной системой дифферен циальных уравнений с малым отклонением 58

1. Влияние членов, не содержащих фазовых переменных, на условия, при которых математические модели, описы ваемые системой (1.1) имеют квазипериодический режим 58

2. Ненулевые решения недифференциальной системы уравнений, нелинейная часть которой - конечная сумма вектор-форм порядка не менее двух 76

Приложение 86

Заключение 95

4 Литература

• Сведение исходной задачи к исследованию разрешимости недифференциальной системы уравнений с алгебраической главной частью
• Квазипериодические режимы в математических моделях с малым линейным отклонением
• Определение условий, при которых нелинейная систе ма уравнений порядка d имеет ненулевое решение
• Ненулевые решения недифференциальной системы уравнений, нелинейная часть которой - конечная сумма вектор-форм порядка не менее двух

Введение к работе

Актуальность темы. Последние десятилетия характерны интенсивными исследованиями математических моделей с малым отклонением, стимулируемые многочисленными приложениями дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом в математической экономике [27,88,61]. Дифференциальные уравнения с запаздывающим аргументом, описывающие процессы с последействием, находят много приложений в теории автоматического управления, в теории автоколебательных систем, радиолокации, при изучение проблем, связанных с горением в ракетном двигателе [3,22,28,59,102]. Указанная теория является одной из составных частей теоретической биофизики и служит основой как химической кинетики, так и теории регулирования [52-53,65].

Область приложения дифференциальных уравнений включает и биологические науки (распространение эпидемий с латентным временем, регенерация живых клеток под действием лучей) [39-40,64,96-97,104-105].

Одно из актуальных современных применений теории математического моделирования связано с экологией. В частности, не решена проблема выбора математического аппарата, который необходимо использовать при описании динамики численности изолированной популяции в различных ситуациях. В ряде этих моделей скорость изменения численности популяции представляется в виде суммы трех слагаемых, первое из которых определяется рождаемостью, второе - смертностью, третье - миграцией. Изменение численности популяции не мгновенно сказывается на скорости. Математически это означает, что в дифференциальных уравнениях, описывающих это явление, появляются члены с запаздыванием.

В рамках современных требований необходимы математические
(. модели экосистем и математические методы анализа их стабильности.

Поэтому математический метод - один из самых мощных методов современного естествознания [67,101].

Настоящая работа посвящена исследованию математических моделей,
описываемых однородной и неоднородной системами дифференциальных
уравнений с малым отклонением. Изучены математические модели,
представленные системой дифференциальных уравнений с коэффициентами,
зависящими от параметра и вектор - функцией, содержащей параметр и
представленной в виде тригонометрического многочлена. Задачей
исследования является разработка методов, при которых рассматриваемые
^, математические модели имеют ненулевые квазипериодические режимы.

Обилие приложений способствовало увеличению интереса к теории дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом. В настоящее время диапазон задач, в которых приходится учитывать запаздывание, стал весьма широким. Поскольку область приложения обширна, то естественны сложность и многообразие получаемых математических моделей. В силу этих причин общего решения поставленной проблемы пока не найдено. В частности, имеются пробелы в изучении квазипериодических решений, когда отклонение постоянно и находится в окрестности нуля. Следовательно, задача поиска условий существования ненулевых квазипериодических решений как линейных, так и нелинейных систем дифференциальных уравнений является актуальной.

Цель работы. В работе рассматриваются математические модели, описываемые следующими системами:

1) линейной системой дифференциальных уравнений с малым

отклонением вида

ЩО + Ax(t - /(*)) + Bx(t) + Cx{t - f{e)) = 0, (0.1)

где x(t)eR", Т,В-(пхп)-матрицы, A,C-(nxq)~ матрицы, /(e)-многочлен степени d по є, є- малый вектор-параметр, *('-/(s)) = (*i('-/ii(*))v..,*i('-^^

2) частным случаем системы (0.1), когда отклонение линейно

ЩО + Ax{t - {ф,є)) + Bx{t) + Cx(t - {ф,є)) = 0, (0.2)

^,^-(^)) = (^(/-(^,4...,^(/-(^,4...,^(/-(^^)) X„(/-(^,f))),

феЯ*.

3) неоднородной системой дифференциальных уравнений

ЩО + A(A)x(t - f{s)) + Bx{t) + C{X)x{t - Дє)) + 0, (0.3)

где *(0, x(t - /(є)), f(s),T,B -те же, (pit, ju) -квазипериодическая no t вектор-функция, є М{\),Л,/л - малые параметры, є є R^qi, Л є R^qi,

ju є R^qz, M(W) -спектр рассматриваемых тригонометрических многочленов.

Ставится задача - получить качественные методы исследования математических моделей на предварительном этапе математического моделирования, а также найти условия, при которых математические модели, описываемые системами (0.1) - (0.3) имеют квазипериодические режимы (решения).

Методика исследования. Проблема поиска условий, при которых математические модели с малым отклонением (0.1) - (0.3) имеют квазипериодические режимы, сводится к проблеме разрешимости системы недифференциальных уравнений с алгебраической главной частью. С этой целью, с помощью собственных элементов вспомогательного оператора, соответствующих его нулевому собственному значению, и некоторых базисных векторов, конечномерное векторное пространство разбивается на сумму трех подпространств. В частном случае системы (0.1) (для системы (0.2)) строится оператор и доказывается существование неподвижной точки этого оператора. Для нелинейных систем, полученных при рассмотрении

систем (0.1) и (0.3), с помощью метода неподвижной точки строится алгоритм нахождения ненулевого решения.

Основные результаты, имеющиеся по данной проблеме. В

настоящей работе математические модели с малым отклонением описываются соответствующими дифференциальными уравнениями. Дифференциальные уравнения с отклоняющимся аргументом появились в литературе еще в 18 веке в связи с решением задачи Эйлера о разыскании общего вида линии, подобной своей эволюте. Однако еще до совсем недавнего времени не были сформулированы основные теоремы общей теории дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом, в литературе не было даже четкой постановки начальной задачи. Впервые это было сделано А.Д. Мышкисом в диссертации «Дифференциальные уравнения с запаздывающим аргументом» (1949 - 1950).

Проблема поиска почти периодических и периодических решений является одной из центральных при изучении любого класса уравнений, в частности, особое внимание этой проблеме уделяется в дифференциальных уравнениях с запаздывающим аргументом.

Вопросу существования квазипериодических решений посвящен огромный пласт трудов Пронькина В.С.[50-51], Блинова И.Н.[8], Левитана Б.М.[36], Демидовича Б.Щ23] и многих других авторов.

Пронькин B.C. в работе [51] рассматривает нелинейное дифференциальное уравнение

і+і**(0**+Аїо(0 = 0, (0.4)

к=\

где a_k(t)- квазипериодические функции, А-малый комплексный параметр,

т -фиксированное натуральное число. Используя итерационный процесс Ньютона, ему удалось показать, что уравнение (0.4) имеет квазипериодические решения при всех достаточно малых Л, исключая, быть может, конечное число «исключительных лучей» (то есть для каждого значения arg/l, кроме конечного числа, найдется такое є, что если \Л\ < є, то

уравнение (0.4) имеет квазипериодическое решение). В статье [50]
'* рассмотрено дифференциальное уравнение с нечетными

квазипериодическими коэффициентами и доказано, что (0.4) имеет ограниченное решение при достаточно малой норме свободного члена. Для системы

х = А(Л)х + Дх,Л) + №,х,Л), (0.5)

в которой хе E_n,f и f\-n-мерные вектор-функции, А(Л)-пхп-матрица, Л- скалярный параметр, 7є(-оо;оо), Терехиным М.Т. в статье [69] рассмотрен случай, когда существует такое число Sy є (0, S_Q), что при любом ЛєА(5{) матрица А{Л) имеет действительное собственное значение а{Л) и неособенным преобразованием система (0.5) может быть сведена к системе

Т'

вида

z-ВДг+ /^) + ^(/,^),

v = а(Л)х> + %{у,Л) + 4₂{t,y₉X), (0.6)

где z-(n — 1) -мерный вектор, у = (z,v). В этом случае показано, что имеет место бифуркация почти - периодического решения системы (0.6).

Теорема о существовании почти периодического решения доказана в работе [21] Гребенщиковым Б.Г. и Рожковым В.И. для квазилинейной

системы с постоянным запаздыванием вида x(t) = e\A{t)x{t)+B{t)x{t — є) +

*' + f(t) + vF(t,x(t),x(t-є))). Наличие экспоненциального множителя е¹ в

правой части системы существенно влияет на поведение решения.

Результаты, относящиеся к периодическим решениям нелинейных
систем Е.В. Воскресенским в работе [17] получены методом, близким методу
сравнения, развитым автором в многочисленных работах, основные идеи
которых содержатся в статьях [18]-[19]. Суть принципа сравнения
заключается в сведении решения сложной задачи к решению известной или
простой задачи. Уравнением сравнения в монографии [17] является
⁽' дифференциальное уравнение, не имеющее Т - периодических решений, за

исключением состояния равновесия, которым является начало координат.
'ц Близость правых частей сравниваемых уравнений порождает существование

однотипных решений. В данной работе рассматриваются уравнения

^- = F(t,x) + f(t,x), (0.7.1)

^ = F₀(t,y), (0.7.2)

где f_tFeC(RxR",R"); F(t + T,x) = F(t,x), F₀(t + T_iy) = F₀(t,y)_> f(t + T,x) = f(t,x), F₀GC^ip>^m)(RxRⁿ,R"), p>0, m>0, F_o(t,0) = 0 при всех

V.

- oo < t < +00 и x є R", T > 0. Ставится задача найти условия, при которых
уравнение (0.7.1) в шаре S_r = \х е R" : ||х|| < rj имеет Т - периодическое
решение если \\F(t, х) - F₀ (t,x)l < S(t) < S при всех - со < t < +оо и л: є KS_r,

KS_r =\. Задача решается в предположении, что

|^(/,^)-^,^₂)||₀Ь-^₂||

И)С*і) - F₀{t,x₂)\ <^Ь-^| при всех - оо < t < +00, х_ьх₂ є KS_r, К₀,К_х > 0.

Общую теорему об устойчивости «грубого» периодического решения
«і\ неавтономной системы дифференциальных уравнений с запаздывающим

аргументом относительно изменения правой части доказал А. Халанай [82].

Клейменов А.Ф. и Шиманов С.Н. в работе [26] рассматривали систему, описываемую дифференциальными уравнениями с запаздыванием

— = -Ау + Х(х,у,х_ь...,х„) + ]иР^,х,у,...,х_п,х^ - T),y(t - r),...,x_n(t - т\ц\
at

-у = Лх + Y(x,y,x_l,...,x_n) + /jF₂(t,x,y,...,x_n,x(t - т),УІ* ~ r),...,x_n(t - г),//), (0.8) at

W dx "

'= H^ask^xk + X_s(x,y,x_w..,x_n) + pF_s+1(t,x,y,...,x_n,x(t -r),y{t - r),...,x_n(t - т),/л),

k=\

где s = l,...,n, A,a_sk- постоянные, X,Y_tX_s — аналитические функции

переменных х,у,х₁,...,х_п в окрестности точки х = у = х₁=... = х_п=0₃

разложения которых по степеням этих переменных начинаются членами не ниже второго порядка; функции F_s аналитичны по отношению к

переменным t,x,y,...,x_n,x(t-r),y(t-r),...,x_n(t-T) в некоторой окрестности начала координат, а также по отношению к малому параметру ju в окрестности точки ц = 0; кроме того, F_s непрерывны и периодичны по / с

периодом 2л; т - постоянное запаздывание. Предполагается, что порождающая система является системой Ляпунова. Здесь исследуются вопросы существования и построения периодических решений системы (0.8), обращающихся при // = 0 в порождающее решение. В качестве аппарата исследования используется метод вспомогательных систем Шиманова С.Н. [92].

Значительный вклад в развитие теории дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом внесли Азбелев Н.В. [1-2], Мышкис А.Д. [43-44], Эльсгольц Л.Э. [44,94-95], Норкин СБ. [45-47,95], Шиманов С.Н. [89-93]. Этому направлению качественной теории дифференциальных уравнений посвящен целый ряд монографий Митропольского Ю.А. [41-42], Рубаника В.П. [57-60], Фодчука В.И. [60,76-79], Бекларяна Л.А. [5-6] и многих других.

Работа Азбелева Н.В. и Максимова В.П. [1] представляет собой обзор основных идей и результатов теории функционально - дифференциальных уравнений с вольтерровыми операторами. Особое внимание уделяется краевым задачам.

Подход, предложенный Бекларяном Л.А. [5], основан на использовании групповых особенностей дифференциальных уравнений с отклоняющимся

аргументом. Он полагает, что gj,j = \,s- гомеоморфизмы, задающие функции отклонения аргумента, Q=- группа, порожденная этими гомеоморфизмами. Суть подхода состоит в следующем. Если

f\

оценку фундаментального решения линейной системы с малым параметром при производной и с малым запаздыванием.

Наиболее полное исследование вопросов, связанных с уравнением x(t) = а^)х^ -r^t)) + ... + a_m{t)x(t -r_m(t)),r_k(t)>0,k = 1,2,...,m, содержится в монографии Норкина СБ. [47], где рассмотрены также некоторые уравнения с запаздыванием вида т = r(t,x(t)).

Существенно продвинулось вперед изучение линейных уравнений (и систем) с периодическими коэффициентами

ад=/Кг,0*('-г>/_г(г,0, (0.10)

(где r(t,t + Г) = г(г,/),Г>0), а также соответствующих неоднородных уравнений с периодической неоднородностью. Наиболее естественный путь состоит в рассмотрении «оператора сдвига» U, ставящего в соответствие каждой начальной функции (-Nфункцию x(t + kT) (-Nгде x(t) -решение, отвечающее начальной функции <з(0, а натуральное число

к подобрано так, чтобы kT>N. Оператор U вполне непрерывен и поэтому

имеет спектр с единственной возможной предельной точкой в начале

координат. Каждой точке спектра отвечает для уравнения (0.10) решение

типа Флоке, причем для точек, достаточно близких к нулю, решения сколь

угодно быстро затухают (по шкале экспонент). Рассматривая свойства

оператора U, в частности, выделяя его инвариантные подпространства,

можно установить для уравнения (0.10) аналог теоремы Флоке. Перенесение

теории Флоке на дифференциальные уравнения с запаздывающим

аргументом содержится в работах Шиманова С.Н. [90],А. Халаная [84], а для

более частных случаев в работах Зверкина A.M. [25], Валеева К.Г. [13].

Долгий Ю.Ф. и Колупаева О.С. в статье [24] рассматривают уравнение

dx(t) -, , _чч с запаздыванием —— = //)) в предположении, что при отсутствии

запаздывания (// = 0) уравнение не имеет периодических решений в малой

окрестности нуля. Здесь /і- запаздывание (неотрицательный малый параметр), Ф- голоморфная функция в некоторой окрестности точки

^Ф(О)

;с = 0,Ф(0) = 0, матрица А = имеет собственные числа

Х_х = Л2 =/v₀,v₀ >0, остальные собственные числа матрицы А отличны от чисел вида iv₀N,N- целое число. Решается задача Хопфа о бифуркации

положения равновесия (х = 0), доказывается существование периодического решения, непрерывно зависящего от //и вырождающегося при // = 0 в положение равновесия х = 0. Методика исследования данной статьи опирается на метод вспомогательных систем Шиманова С.Н. [92].

Линейные системы с импульсами в матрице системы и с запаздыванием в работе [66] исследовали Сесекин А.Н. и Фетисова Ю.В. В частности, была рассмотрена система дифференциальных уравнений

*(/) = A(t)x(t) + B(t)x(t - г) + ДО. (0.11)

т

Предполагается, что A(t) = A(t) + ХА(0^/> A{t),B(t)-nxn- матрицы с

непрерывными элементами, f(t)~ вектор - функция с суммируемыми элементами, D_t{t) (/ = 1,/я)~ непрерывные пхп- матрицы - функции, ^v(0 ⁼ (^vi(0j---5^(0)^- функции ограниченной вариации, г>0- постоянное запаздывание. С помощью метода шагов показано, что если матрицы Д(0

(/ = 1,т) для каждого feffo*⁰⁰] взаимно коммутативны, то существует аппроксимируемое решение. Получена формула Коши для аппроксимируемых решений уравнения (0.11). В работе под аппроксимирующим решением этой системы в классе функций ограниченной вариации понимается поточечный предел последовательности абсолютно непрерывных решений x_k(t) системы (0.11), порожденной

последовательностью абсолютно непрерывных функций v*(/), поточечно

сходящейся к вектор - функции ограниченной вариации v(/), если этот

предел не зависит от выбора последовательности.

Исследованы многочисленные конкретные квазилинейные дифференциальные уравнения с отклоняющимся аргументом и во многих случаях обнаружено существенное, иногда даже качественное влияние запаздывания на течение описываемых этими уравнениями процессов. Отметим, в частности, показанное Рубаником В.П. и его сотрудниками на ряде примеров [58-59] существенное влияние запаздывания сил связи между взаимодействующими колебательными системами, а также возникновение параметрического резонанса при периодическом запаздывании.

Теорема о бифуркации Хопфа стационарного решения для класса дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом доказана Обросовой Н.К. [48]. Доказательство проводится по следующей схеме. Исходная бесконечномерная задача сводится к двухмерной при помощи теоремы об интегральном многообразии. Затем к полученному двухмерному отображению применяется теорема Хопфа, из которой следует, что при потере устойчивости в системе рождается или гибнет одномерное инвариантное многообразие. На заключительном этапе, с использованием понятия числа вращения доказывается, что найденному одномерному многообразию соответствует периодическая траектория исходного уравнения с запаздыванием.

Большой цикл работ [22,62-63,75-85,32] посвящен применению асимптотических методов и метода усреднения для исследования уравнений с запаздывающим аргументом.

При помощи этих методов Ю.А. Митропольским в работе [42] строятся асимптотические решения как для автономных дифференциальных уравнений с запаздыванием, так и для неавтономных, причем для последних рассматриваются резонансный и нерезонансный случаи. Здесь излагается метод исследования одночастотных колебаний в нелинейных системах с

запаздыванием со многими степенями свободы, а также метод усреднения, позволяющий исследовать периодические решения таких систем.

Рябовым Ю.А. [62-63] при изучении систем с запаздыванием применяется метод малого параметра. В качестве параметра выступает запаздывание. Решения ищутся с помощью последовательных приближений, причем за нулевое приближение принимается решение, полученное при отсутствии запаздывания.

Значительное продвижение в изучении дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом содержится в работах Н.Н. Красовского, подытоженных в [32]. Н.Н. Красовский предложил рассматривать решение x(t) дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом как

траекторию в пространстве непрерывных функций, для чего надо каждому t>t₀ поставить в соответствие функцию x(t-s),s>0, как элемент

указанного пространства. На этом пути им получен ряд окончательных (содержащих необходимые и достаточные условия) теорем об асимптотической устойчивости указанных уравнений.

К циклу вопросов о выводе и обосновании асимптотического разложения решений можно отнести работы Фодчука В.И. [78-79], по построению интегральных многообразий для систем дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом.

Вопросом о существовании периодических решений систем дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом занимается М.Т. Терехин и его ученики. В работе [71] показаны существование, непрерывная зависимость решения от правой части и начальной функции, а также существование периодического решения системы уравнений x(t) = f(t,x(t),x(t-A(t,x(t),x(t))),x(t-G(t))) в случае, когда вектор-функции

/ и А удовлетворяют условию Каратеодори, а вектор-функция G измерима. Изучены системы дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом, зависящие от функционального параметра. В основе доказательств лежит метод неподвижной точки нелинейных операторов.

Богатова СВ. в работе [10] исследует систему дифференциальных уравнений x(t) = Nx(t)+Mx(t-r) + f(t,x(t),x(t-T),A) в предположении, что

C{x(t),x{t-T)^) + D(x(t),x(t-T)A) = f{t,x(t\x{t-r\X), С(х,у,А)-

однородная форма порядка s по ху и Л, D(x, у, Л) - сумма конечного числа
форм по ху и Л порядка выше, чем s, и независимо от Л
С(0,0,Л) = 0,>(0,0,Л) = 0. Здесь xeR^k, JV-(x)-матрица,

М -{к х тк) - матрица, г - малый параметр, teR"¹, |г||<, AeR^J, \\Л\\<д₀.

Содержание работы. В диссертации исследуются модели (0.1) - (0.3), содержащие малое отклонение, с целью определения в них квазипериодических режимов. В отличие от работ [43,48,82,93,100] и многих других, где >0, в диссертации отклонение - векторная величина, компоненты которой произвольны по знаку в малой окрестности нуля. Причем в качестве отклонения взято не є [9-10], а многочлен некоторой степени по є. Под квазипериодическим режимом (решением) в диссертации понимается тригонометрический многочлен со специальным спектром, что немаловажно при интерпретации квазипериодических режимов в математических моделях [61,88,65 и другие]. Рассматриваемое конечномерное векторное пространство представляется в виде прямой суммы трех подпространств, в отличие от работы [9]. Что позволяет решать более широкий спектр задач. При изучении системы дифференциальных уравнений, которые описывают исследуемые модели, не используется понятия характеристического уравнения - это дает возможность не накладывать дополнительных условий на корни характеристического уравнения, как в работе [46], не использовать собственные числа матрицы -производной вектор - функции в нуле [24].

Во введении содержатся обоснование актуальности темы, цель работы, методика исследования, сжатый обзор результатов других авторов, краткое содержание работы.

Диссертация состоит из трех глав, разбитых на параграфы.

В первой главе рассматриваются математические модели с
^ отклонением (0.1) - (0.2). Квазипериодические режимы (решения) в моделях

отыскиваются в виде тригонометрического многочлена

*

x(t) = а₀ + X Z [^apj ^C0S(KPj>y)⁺b_pjsm(t(pj,a)))\, в котором а₀ ,при любом

j=\pjeDj

Pj a_pj, b_pj - n - мерные векторы.

В 1 главы 1 отклонение есть многочлен некоторой степени по Є. Здесь строится спектр рассматриваемых тригонометрических многочленов

т т

W = {0,Xkjщ,Yjk/ = J,jєЩ. Вводится вспомогательный оператор Н,
/=1 /=1

определенный линейной частью системы дифференциальных уравнений,

^ описывающей математические модели.

В 2 первой главы с помощью собственных элементов оператора Н,

соответствующих нулевому собственному значению, и некоторых базисных

векторов конечномерное векторное пространство разбивается на прямую

сумму трех подпространств, одно из которых (Е₀) инвариантно

относительно оператора Н. Теорема 1.1 доказывает, что если оператор Н

не имеет собственного элемента, то найдется такое є , что уравнение (0.1)
имеет только нулевое решение в достаточно малой окрестности нуля.
Доказана теорема 1.2 о наличии обратного оператора для Н на множестве
^ E_Q, который оказывается ограниченным и линейным.

С помощью представления элемента у в виде

s t

y = Py^Jr^^i{y)h_l + Y_Ju{y)g_u, разрешимость системы (0.1) сводится к

/=1 м=1

разрешимости систем

P(R(y,e)) = 0, (0.12)

^(R(y,e)) = 0,

(0.13) &(Д(Г,*)) = 0.

(0.14) cr_t{R{y,8)) = 0.

На основании теорем 1.4 - 1.7 показано, что проблема поиска квазипериодических режимов в математических моделях (0.1) равносильна проблеме разрешимости системы недифференциальных уравнений, получающихся из систем (0.12)-(0.14).

Частному случаю системы (0.1), когда отклонение линейно, посвящен 3 главы 1. В данном случае исследование системы (0.2) сведено к исследованию нелинейной системы, содержащей вектор - функцию не выше второго порядка.

Сведение исходной задачи к исследованию разрешимости недифференциальной системы уравнений с алгебраической главной частью

Поэтому, имеем Я (/, ) АГ Т](є) \у\. Пусть є є (0,"0) таково, что при любом є є \р, \ г/(є) —. Тогда при К любом yeU(l0) R(y,e /0. To есть оператор R{y,s) отображает множество U(l0) в себя. Покажем, что R(y,s) является сжимающим по у. Пусть \у\ /0, \у\ 10,тогда \\ЇЇ(у,є) Я(ї,є)\\ \\н -lj\G(e)\\y-f\ K-ij()-\y-f\.

Следовательно, є є(0,-0] можно выбрать так, что при любом є є (p, J о q 1, где q = К rj{s). Таким образом, при любом є(о, ] оператор R(y,s), является сжимающим по у. В силу полноты пространства Е1щ при любом фиксированном БЄ(0, J оператор R(y,s) во множестве U(l0) имеет единственную неподвижную точку у . Так как у = 0 является решением уравнения (1.9), то у =0. Итак, для всех є(0, j на множестве U(l0) уравнение (1.9) имеет только нулевое решение. Теорема доказана.

Поэтому далее предполагаем, что оператор Н имеет ненулевые собственные элементы, соответствующие нулевому собственному значению. Положим rang Н = г 2nq.

Пусть hx,...,hs собственные элементы оператора Н, соответствующие нулевому собственному значению. Обозначим линейную оболочку векторов x,y,...,z символом L(x,y,...,z). Всё 2nq -мерное пространство Е1щ представляется в виде прямой суммы трех подпространств Einq =Е0Ф LQix,... А ) Ф L(gx ,...,,), где Е0 - инвариантное і . подпространство относительно оператора Я, для любого ненулевого элемента ye.L{gu...,gt) выполняется условие у Е0 01(/ AJ.

Путем неособенных преобразований матрицу Н можно свести к жордановой форме. В дальнейшем будем считать, что матрица Н имеет вид жордановой нормальной формы. Следовательно, векторы /?1,...,/2J,g1,...,g/ попарно ортогональны.

Введём линейные функционалы Л l{x) = {x,hl\(Tu{x) = {x,gu),l = \,...,s ,u = \,...yt, (1.11) где (у)- скалярное произведение. Нормируем базисные векторы hb...,hs,gw..,gt следующим образом т Tf- - - L Далее будем предполагать, что базисные векторы hl,...,hs,gl,...,gt нормированы. Тогда линейные функционалы 7(х), Ут{х) будут удовлетворять условиям 1. /( /) = 1, где / = 1,..., -, 2- /( ) = 0, где/ у, /,7 = 1,..-, , 3- /(ям) = 0,где/ = 1,...,5,м = 1,...,/, 4- 7Н(„) = 1,ГДЄИ = 1,...,/, 5. crM(g;.) = 0, где « /, u,i = l,...,s, 6. ru(hi) = 0, где / = 1,...,5,1/ = 1,...,/.

Теорема 1.2. Оператор Я в инвариантном подпространстве Е0 с ії имеет обратный оператор Я , который является ограниченным и линейным.

Доказательство. Так как матрица Я имеет вид жордановой нормальной формы, то Я= _п „ , где Nn -{рхр) -матрица, rang Nu= p,p r, N2\- ((2nq - p) x (2nq - p)) - матрица, rang N2i = r - p. Заметим, что матрица Nn и определяет инвариантное подпространство Е0. Матрица Nu имеет обратную ATf/. Тогда оператор Я в инвариантном I о tf2J л:. подпространстве Е0 с Е1щ имеет обратный оператор Я " =

Очевидно, что оператор Я имеет норму. Пусть Я"1 Покажем линейность оператора Я""1, то есть справедливость равенства Я-ЧоГі + Рїг) = аН 1п + РН 1у2. (1.14) Согласно формуле (1.13) Н \аП +J3y2) = WM1,0) + (flNrfrlO). Пусть H XY\ - (Niiyl,0),H ly2 = (Nfi/lfi) Используя формулу (1.13), получим аН-хух+рн-ху2 -а уІ0) + Р{М уІ0) = {оМ уІ0) + (РЩІуІ0) = = Н-\аух + Ру2).

Таким образом, равенство (1.14) выполняется. Теорема доказана. Любой элемент yeE2nq, можно представить в виде y = Py + yZti(y)hi + ycru(y)gu,rnG ,..., ,0 ,...,07-линейные /=1 и=1 функционалы, заданные по формуле (1.11) и удовлетворяющие условиям 1-6, Р -оператор ортогонального проектирования на инвариантное подпространство Е0. Можно убедиться, что равенство НРу = РНу выполняется для любого элемента уеЕ0.

Квазипериодические режимы в математических моделях с малым линейным отклонением

Запишем систему (1.25) в виде нелинейной системы, содержащей s +1 уравнений Fd(C)+o{c\d)=0, (2.14) где Fc{) - вектор-форма порядка d по , = (y,e),v = (a,P), aeRs, /3zR\seR"\c\jm0? p=0. Пусть p = s + t + m. Теорема 2.4. Если найдется вектор е0,е0 = 1, такой, что Fd(e0) 0, то любая окрестность точки - О содержит множество, в котором нет решений системы (2.14).

Доказательство. Заменой переменных = ре, р 0 систему (2.14) преобразуем в систему Fd(pe) + o(\pe\d) = 0. (2.15) Учитывая, что Fd ()- вектор-форма порядка d по переменной ,систему (2.15) можно записать так Fd(e) + O(pe) = 0, (2.16) о(\ре\ ) 0(ре) = ——j—, \ітО(рг) = 0 равномерно относительно е на множестве Р / - о {е:е П,П 1}. Из того, что Fd(e0) 0 следует наличие положительного числа а такого, что для любой точки eeU(e0,cr), Fd(e)&0, где U (е0, сг) - замыкание сг-окрестности точки е0, U(e0, j) z{e:\e\ Q,Q. \}. А так как множество U(e0,cr)- замкнутое и ограниченное, то по теореме Вейерштрасса функция \Fd (е)\ достигает своего наименьшего значения в некоторой точке є є U(e0,сг), то есть найдется число d О такое, что для любого eeU(e0,cr) \Fd(e)\ \Fd(e )\=d o.

Из того, что lim О(ре) = 0 равномерно относительно е(\е\ 1), следует, что найдется число 8 0 такое, что для любого р д и любого eeU(e0,cr) 1 выполнено неравенство О(ре) —d. Тогда для любого eeU(e0, j) и любого р 8 \Fd(e) + 0(ре)\ \Fd(e)\ - \0(ре)\ X-d 0.

Следовательно, в сг-окрестности точки е0 при любом pe(0,S) система (2.16) не имеет решений. А это значит, что на множестве %: = pe,pe(0,S),eeU(e0,cr)} система (2.14) не имеет решений. Теорема доказана.

Аналогично доказывается, что если Fd(g) Ф 0 при любом , = 1, то найдется окрестность точки = 0, в которой нет ненулевых решений системы (2.14).

Таким образом, необходимым условием, при котором система (2.14) имеет ненулевое решение в достаточно малой окрестности точки " = () является наличие вектора , =1, удовлетворяющего равенству Y Пусть найдена точка е0 такая, что е0 \= 1, Fd (е0) = 0. Тогда, полагая = ре, р 0, v = e-e0 и применяя формулу Тейлора, систему (2.14) запишем так DFd(e0)v+J:Pi(e0,v) + O(pe) = 0, (2.17) /=2 где DFd(e0) - значение матрицы Якоби вектор - формы Fd(e)B точке е=е0 , /(ео»у) ФРмапоРяДка относительно v, Цп\О(ре) = 0 равномерно /7-М) относительно е (е Q, Q 1).

Для матрицы DFd(e0) возможны случаи: 1) rangDFd(e0)=s + t; 2) DFd(eo)=0; 3) 0 rangDFd (e0) s + t. Теорема 2.5. Если rangDFd(e0)=s +1, то система (2.14) имеет хотя бы одно ненулевое решение. Доказательство. Так как rangDFd(e0)=s + t , то матрицу DFd{e0) можно представить равенством DFd(е0) =[Qi,Q2], где Qi - ((s + t)x(s + t))) -матрица, Q2 -((s + t)x(p-(s + t)))- матрица, eRp,p = s + t + р, rangQi =s + t. Система (2.16) запишется так -і d vi = Q\ (Q2V2 +P(e0,vl)+ZPl(e0tvl,v2) + O(p)),me v = (V!,v2), V! =(v\...y+t), v2=(vs+ + ,...,vp), V2lim0 T.Pi(eo vi,V2) = равномерно /=2 относительно v1? У!І 5 , 8 -некотороечисло, V1lim0- у l = 0. І vl І Рассмотрим оператор V, определяемый равенством Vv\= Q\ (?2v2+ (eo»vi)+ (eo»vi ) + 0(/0)- Убедимся, что найдется /=2 число г 0 такое, что на множестве I(r ) = : 1 г } оператор V будет иметь неподвижную точку V,.

Определение условий, при которых нелинейная систе ма уравнений порядка d имеет ненулевое решение

В этой главе продолжается изучение проблемы нахождения квазипериодических режимов в математических моделях с малым отклонением. В 1 исследуется влияние членов, не содержащих фазовых переменных, на наличие квазипериодических режимов в математических моделях (1.1). В 2 рассмотрен случай, когда нелинейная часть недифференциальной системы есть конечная сумма вектор-форм порядка не менее двух.

Рассмотрим математические модели, описываемые системой дифференциальных уравнений ЩО + А{Л)х(1 - f(e)) + Bx(t) + C{X)x{t - f{e)) + (р( и) = 0, (3.1) где x(t)eR", Т,В-{пхп)-матрицы, А(Л),С(Л)-(пхд)- матрицы, f(e)-многочлен степени d по є, є - малый вектор-параметр, ( -/( )) = (X\{t-fn(s)),... (t-flnn {s)),...,Xn(t-fnX{s)\...,Xn{t-fmin (Б))), (pit,//)-квазипериодическая no t вектор-функция, (pit,/л) єМ(W),Л,// малые параметры, є є Rqi ,Л є Rqi,// є Rq3. Пусть функция (pit, //) є М (W) имеет вид (р{иц) = Ый)+Ъ І apJ(/2y:os(t(pJfiD)) + bpj(M)SimPj ))A ) j=\pjeDj где Щір) при любом pj apjifi),bpj(//)-п -мерные векторы такие, что lim Щ(//) = 0, при любом Pj lim (/0 = 0, lim (/0 = 0. -»0 - 0 //-»0 Положим ДЯ) = Л(Л)) + 4(Л)ЛітЛ(Л) = 0,С(Я) = С0(Л0) + С1(Д1), ИтОД О, Яі = я — AQ . Представим Я(л:(0,,Я,//) в виде Rix(t),s,A,M) = Txit) + Bxit) + A0i )x it) + C0 )x\t) + + (4 (Л ) + 4ШЖ - Я )) + (0,(4)) + QCW - Де)) -Л(Л)) (0-с0(Л) )/(0, (3.3) где x\t) = ( (0,-,- (0,-, (0,-,- (0) „ „ " 1 »»И Тогда многочлен (1.2) тогда и только тогда является решением системы (3.1), когда (5 + С0(Л)Ж =- (//), (3.4) {B + C ))apj +(4W + T)(Pj,a ))bpJ + [ ( ) + 1)) 5(/( ,, )) + + ( (Ло) + АІ(\)){рро)8т{т{р а ))-СІ(Ль) \ipj + + l(4( ) + A;(Al))(pJ,(v)Cos(f(s)(pJ,cD)) -{Ckb) + Cto))Sm(f WPj,a))-4( oXPj,e ) l y =-«/,(,") (3.5) (B + C 0(Ao))bpj-{A ( ) + T){pj,(D)apj +[ (С0 (Ло) + С, й))5/и(/(е)( ,)) + + (4) (4 ) + 4 (Л ))(Py. a)Cos(f(8){pj ,0))) + (AQ )(pj, (о)щ \ipj + + [ (Л+(Л)) + 4ЧЛ))(Ру ХЛ )(Ру )) -(ClM + ClWKosimipj -Cli ) ]bpJ=-bpJ(M), где C0{AQ),CX (Я1),А0(ЯІ)),А1(Л1) получаются аналогично матрицам А и С . Запишем систему (3.5) в виде, удобном для исследования, Hpj Г pi + GPj ( »л) Ypj = rpJ (/0, (3.6) где при любом pj є Dj, . = (apJibpj),fpj(/j) = (-a pj(ji\-b pj(ji)), HpJ = ( В + СІШ (AZW + TXpj, -(4Ш + Т)(Р],а ) B + Cfa) j Gpi(s,X) = (С0 (Л)) + C M))Cos(J{e)ipjt o)) + (4 (Л)) + 4( ))(/ )(/00(/ )) ( (До) + A\{W(pj,ai)Sm J{e){pjt0)) - (C0 ( ) + C\{\))Sin{f{SXPj,(o)) -С0 (Ло) -Л (Л)ХРу,о) (c;( )+c;( )№(/(ff)(py,o)) (( )+ ( )) 5(/ )( . ))+ - (4(4)) + (Я,))(ру ,)Cas(/(e)(py, )) (4 (Ло) + 4( ))(py ,fl»)5/ii(/(e)(Py.»)) ( +4(4))(/ ) -Со(Л)) Далее будем полагать = 0. При этом Хх = Л, 0)(/ ) = С0, / (/) = AQ . Следовательно, G - (є, Л) = Если оператор Н не имеет собственного значения, то найдется такой вектор / = (є,Л,/S), что уравнение (3.9) имеет только нулевое решение на множестве U(l0).

Доказательство теоремы 3.1 аналогично доказательству теоремы 1.1. Пусть hb...,hs собственные элементы оператора Н, соответствующие нулевому собственному значению. Всё Iriq -мерное пространство Е2щ представляется в виде прямой суммы трех подпространств E2„q EfiL(hw..JiI)L{gw..tgj)t где Е0- инвариантное подпространство оператора Я, для любого элемента J eL(glv..,gj) выполняется условие у . Е0 L(hl3...,hs). Неособенным преобразованием матрицу Н сведем к жордановой форме. В дальнейшем будем считать, что матрица Н имеет вид жордановой нормальной формы. Следовательно, векторы /7 ...,/ ,1 ,..., - попарно ортогональны. Введём линейные функционалы сти(х) = (x,gu),,(x) = (x,hj),l = \,...,s,и = 1,...,1, (3.10) удовлетворяющие условиям 1-6 (глава 1, 2). Далее полагаем, что собственные векторы оператора Н и базисные векторы нормированы.

Теорема 3.2. Оператор Н в инвариантном подпространстве Е0 с Е1пц имеет обратный оператор Н 1, который является ограниченным и линейным. Доказательство теоремы 3.2 аналогично доказательству теоремы 1.2. Любой элемент уеЕ2„д, можно представить в виде 1=1 и=\ где ,..., ,0 ,...,0 -линейные функционалы, заданные по формуле (3.10) и удовлетворяющие условиям 1-6 (глава 1, 2), Р- оператор ортогонального проектирования на инвариантное подпространство Е0. Оператор Р обладает следующими свойствами: 1) равенство НРу-РНу выполняется для любого элемента у є Е0; 2) Р=1. Следовательно, Щу,хм)=ртг лм))+ Жг е мт+ и(Щу,Лмти /=і «=і Теорема 3.3. Разрешимость системы (3.6) равносильна разрешимости следующей системы Р(К(у,є,А,м)) = 0, (ЗЛІ) (Я0м?А//)) = 0, (3.12) b(R(y,s,A,M)) = 0 al(R(y,e,Z,/i)) = 0, (3.13) jf(R(y,e,A,ju)) = 0. Доказательство очевидно. s _— I _ _ Будем искать решение системы (3.9) в виде у = Ру+ Y.&ihi + HfiuSu /=i i/=i «і,...,«,/?!,...,/?/ є Я. Тогда уравнение (3.11) запишем следующим образом ЙРу + / (G (е,Л)(?г + І«Й + ІД,І и) + Я/0) = 0. /=1 и=1 Введем множество I(rQ)= \у:\у\ г0,уєЕ0,г0 о), г0-некоторое число. Пусть у = Ру. Рассмотрим оператор S(aJ,s,A,M)y = -H-lP(G(eMPy + tcc,hi + 1 ) + (/ )), где /=1 и=\ a =(alt...,as), fl =(/3 ...,0,) n\a\ = \al\ + ... + \a \ r0,\j3\ = \/3l\ + ... + \/3r\ r0, \є\ 8, \Л\ 8,\ju\ S, r0,S - некоторые числа. Теорема 3.4. Найдутся числа г0 О, 8 О такие, что при любых фиксированных a \pc\ r0, /? /? г0, є \є\ 8, Я Я ,// w оператор S(a,j3,e,Z,{j) множество 1(г0) переводит во множествоI(rQ). Доказательство. По теореме 3.2 \\Н \\ К . Так как базисные векторы были нормированы, то Л, -= 1 = 1 1 = ... = ,-1 = 1. Матрица G(s,A) определяется формулой (3.8), поэтому для любых у є /(/) выполняется неравенство Выберем число 8 О так, чтобы при любых є \є\ 8, Л \Л\ 8,// \ц\ 8 rj{e,X) -= у(м) 7= -Тогдапри \а\ г0, Щ г0,\є\ 8, \Л\ 8, ол 2л. // 8 из неравенства (3.15) следует, что S(а,0,є,Л,ц)у\ г0 для любого элемента у из множества I(r0). Теорема доказана. Лемма 3.1. Вектор-функция G( ,A)( +Z«/ / + ХА/&М) + /С") /=1 м=1 удовлетворяет условию Липшица по переменной у с постоянной Липшица, равной rj(є,Л). Доказательство очевидно. Теорема 3.5. На множестве 1(г0) оператор S (а, /?,, Л,/л) удовлетворяет условию Липшица по переменной у с постоянной Липшица q = К -г](є,Л).

Доказательство. Убедимся, что \р{а,рує,Л,ц)У\ - 8{а,р,є,Л,ц)Уг\ Ч\У\ Уг\ (ЗЛ6) Принимая во внимание теорему 3.1, равенство (3.8) и то, что Р = 1 имеем S (а, Д, є, Я, ju)yY - S(a, Д, є, Я, ju)y2 -Н 1Р s _ /=1 и=1 + + H lP (_ s _ _ t _ _ G{,X)(y2 + 5 Л + EA,g„) + r(M) К /=1 и=1 J Кт](єіЛ)\у1-у2 Обозначая q = Кг/(є,Л), получим справедливость неравенства (3.16). Теорема доказана. Теорема 3.6. Найдутся числа г0 0,8 0 такие, что при любых фиксированных a r0, /? b я » Я , \м\ д оператор S («,/?,, Я,//) на множестве 1(г0) имеет единственную неподвижную точку.

Ненулевые решения недифференциальной системы уравнений, нелинейная часть которой - конечная сумма вектор-форм порядка не менее двух

Подобная модель исследовалась Рудашевским В.Д. и Фурщиком М.А. в работе [61]. Несмотря на существенную упрощенность, модель, рассмотренная ниже, позволяет найти важные ориентиры для совместного развития системы: собственное предприятие - генеральная компания.

В дальнейшем под совместным предприятием будем подразумевать сеть собственных предприятий во главе с генеральной компанией.

Предположим, что рынок может быть разделен между собственными и совместными предприятиями в любой пропорции. Пусть Pc(t) 0 и Рф 0-доля рынка, охваченная собственными и совместными предприятиями, причем выполняется условие Pc(t) + Рф(0 1.

Поток инвестиций генеральной компании в развитие сети и ч dPc{t) dP t) I {со) = z— - - + є—-— + aA(t - є), где z и є определяются вне модели, а в dt dt коэффициенте е учитывается оптимальный вступительный взнос, рассчитанный для одного совместного предприятия, со- параметр, а коэффициент ликвидности. Прибыль, полученная от деятельности собственных и совместных предприятий системы, и новые кредиты, идущие на инвестиции и изменение объема ликвидных средств, удовлетворяют системе —— = ксРс (0 + п л Рф (0 - 1{со) + D(T) , где D(T) - разность между dt получаемыми кредитами и возвратом долга, т - параметр. Задолженность L{t) изменяется по закону —— = rL(t) + D(t), где г dt процент по кредиту. Из вида матрицы Gpj ясно, что 0 rang

Поэтому исследование полученной системы будет аналогично исследованию, проведенному для систем (3.37) и (3.38).

В результате будет найден квазипериодический режим в математической модели (3.40) или алгоритм будет бесконечным. Полученный квазипериодический режим характеризует сбалансированный рост, то есть ту стадию развития системы, когда генеральная компания расширяет сеть предприятий, поддерживая максимально возможную долю совместных предприятий в системе. В работе рассматривались математические модели, описываемые следующими системами: 1) линейной системой дифференциальных уравнений с малым отклонением вида ЩО + Ax{t - /( )) + Bx(t) + Cx(t - /(є)) = 0, (0.1) где x(t)eR", T,В {nxri)-матрицы, A,C-(nxq)- матрицы, /(e)-многочлен степени d по є, є- малый вектор-параметр, -/(s)) = ta( -/ii( )). 2) частным случаем системы (0.1), когда отклонение линейно ЩО + Ax(t - (фє)) + Bx(t) + Cx(t - (фє)) = 0, (0.2) те,х(і-(ф,є) = (х1Ц-(ф1ьє)),...М НФіщ,є)),--- феКд. 3) нелинейной системой дифференциальных уравнений ЩО + A{X)x{t - f{js)) + Bx(t) + C{X)x{t - f(e)) + p(t,M) = 0, (0.3) где x(t), x(t - /(є)) ,/(є),Т,В-те же, (pit, ju) - квазипериодическая no t вектор-функция, (p{t,fS) є M(W),A,,ju - малые параметры, є є Rqi,Л є Rqi, jueRK. Квазипериодический режим в моделях отыскивался в виде тригонометрического многочлена.

Исследование проблемы нахождения квазипериодических режимов в математических моделях (0.1), (0.2), (0.3) сведено к поиску условий, при которых нелинейная недифференциальная система имеет ненулевые решения, в частности, к исследованию проблемы нахождения ненулевых решений систем Fd {) + о\\ )= 0, Fj {) + 0(ju) + о Ы 1 = 0, в которых

Fd(),Fdi) - вектор-формы порядка d и dno и , соответственно, ф(/у) - вектор-функция по /л. Были изучены частные случаи этих систем. Рассмотрены примеры и прикладные задачи.

Похожие диссертации на Квазипериодические режимы в математических моделях с малым отклонением

Периодические режимы в нелинейных математических моделях с постоянным отклонениемЦипоркова Ксения Андреевна

Качественное исследование предельных циклов и оптимальных импульсных режимов в моделях макроэкономической динамикиКозлова Ольга Равилевна

Математические модели упругого режима фильтрации жидкости в криволинейных пластах переменной толщиныБаско Дмитрий Валерьевич

Динамика критических режимов сингулярно возмущенных моделей с затягиванием потери устойчивостиГолодова Елена Сергеевна

Численное исследование критических режимов в нелинейных полевых моделях физикиБояджиев Тодор Любенов

Вероятностные модели и методы анализа режимов функционирования трубопроводных системВантеева, Ольга Викторовна

Вероятностные модели процессов переработки контейнерных грузов в динамических режимахБарышникова, Наталья Юрьевна

Моделирование регулярных и хаотических режимов в небесно-механических задачах :На примере модели Хилла Батхина Наталья Владимировна

Разработка математической модели и программных средств для расчета и оптимизации режимов плавления шихты в руднотермической печи Маркова Алла Валентиновна

Устойчивые и хаотические режимы в дискретных динамических системах (Аттрактор Лоренца и модель нейронной сети Кропотова-Пахомова) Черных Герман Анатольевич