Введение к работе
Актуальность темы. Последние 30-40 лет характеризуются широким проникновением методов качественной теории динамических систем и теории управления в экономическую динамику Этот процесс связан не только с развитием математического моделирования социально-экономических систем одним из основных побудительных мотивов является устоявшееся в последнее время осознание того факта, что даже укрупненные нелинейные динамические модели могут обладать весьма сложным поведением решений (предельные циклы, бифуркации, скачки состояния, катастрофы, хаотическая динамика и тд,). Кроме того, экономические модели почти неизменно содержат переменные регулирования, так что их естественно рассматривать как управляемые системы Эти обстоятельства стимулировали своеобразную "ревизию" даже почти классических и хорошо известных моделей макро- и микроэкномики на предмет более полного исследования их свойств и возможностей для экономического регулирования, в том числе оптимального Достаточно цельное представление об этом направлении в экономической динамике можно получить по недавним монографиям А А Петрова, И Г Поспелова, А А Шананина, А А. Самарского, А П Михайлова, В В Лебедева, В -Б Занга, Г Лоренца (Н -W Lorenz), П Флэсчела, Р Франке, У Землера (PFlaschel, R.Franke, W.Semmler),
В диссертации основное внимание уделено аналитическому исследованию макромоделей экономического регулирования, содержащих финансовые или денежные потоки (инвестиции или предложение денег) Достижение желательной цели регулирования может осуществляться двояко либо, по аналогии с принципом соответствия Самуэльсона, управление априори задается в позиционной форме (с обратной связью), возможно разрывной по состоянию (например, из-за экстремального поведения инвесторов или неопределенности в их действиях), либо определяется из соответствующей задачи оптимального управления При первом подходе возникает динамическая система с разрывной правой частью - объект, которому в экономической динамике почти не уделялось внимание на математическом уровне строгости, а во втором часто приходится рассматривать нерегулярную (вырожденную) задачу оптимального управления с неограниченным понтрягинским множеством возможных значений управления, допускающую импульсно-траекторное расширение (переход к импульсным управлениям и разрывным траекториям) Как след-
ствие, качественный анализ возникающих моделей существенно осложняется возможным наличием скользящих (импульсно-скользящих) режимов и разрывных магистралей и требует специальных методов, нетрадиционных для экономической динамики (метод эквивалентного управления В И Уткина1, регуляризирующего преобразования В.И. Гурмана2 и других результатов из теории импульсного управления) Кроме того, интерес представляют задачи устойчивости в макромоделях экономического роста с денежным рынком, в которых наиболее адекватным представляется непрерывно-дискретное математическое описание динамики
Указанные особенности (типичные для моделей с денежными потоками), требующие расширение арсенала методов, использующихся в экономической динамике, определяют актуальность исследования
Цель работы. Расширение и уточнение представлений о динамических свойствах некоторых известных макромоделей экономических циклов и роста, а также их реакции на различные способы управления, исследование для этих моделей задач существования периодических и других особых режимов, устойчивости, оптимального управления, развитие методов их решения
Методы исследования базируются на качественной теории дифференциальных уравнений (методы точечных отображений, эквивалентного управления, дифференциальные неравенства и др), на теории оптимального управления (принцип максимума Понтрягина, достаточные условия оптимальности, методы расширения и редукции к производной задаче), методе сравнения с вектор-функциями Ляпунова
Научная новизна. Результаты диссертации являются новыми Их новизна определяется
выводом точных условий существования, единственности и устойчивости предельных циклов, полным описанием скользящих движений в разрывной модели Гудвина3'4,
общим аналитическим решением нелинейной системы дифференциальных уравнений принципа максимума для производной задачи, соответствующей оптимизации инвестиций в модели Гудвина;
ІУткин В И Скользящие режимы и их применения в системах с переменной структурой - М Наука, 1974 - 272 с
2Гурман В И Принцип расширения в задачах оптимального управления - М Наука, 1985 — 288 с
3Goodwm R М The non-linear accelerator and the persistence of business cycles // Econometnca -1951-V 19, Issue 1 -pp 1-17
4Эрроусмит Д , Плейс К Обыкновенные дифференциальные уравнения Качественная теория с приложениями - Волгоград, Платон, 1997 - 243 с
новой для теории экономического роста постановкой задачи оптимального управления в нелинейной модели Тобина5 и полным решением ее на основе явного построения линии переключения управления (во времени) ,
применением нового типа и способа построения систем сравнения для анализа устойчивости нелинейных непрерывно-дискретных систем, позволяющих повысить точность исследования, особенно при большой длительности интервалов временного квантования управлений и измерений, что существенно для экономических моделей
Основные результаты, выносимые на защиту.
-
Полный качественный анализ особых движений (циклов, формальных и реализуемых скользящих режимов, равновесий), их устойчивости, асимптотического поведения и других свойств при всевозможных значениях параметров в модели макроэкономики Гудвина с релейным законом капиталовложений по желаемому уровню фондоотдачи, дополненной учетом амортизации капитала и неопределенности (гистерезисного типа) в действиях инвесторов
-
Алгоритм аналитического построения обобщенных оптимальных траекторий и оптимального по среднему отклонению от желаемой фондоотдачи импульсного (непрерывного в случае безинерционного производства) управления капиталовложениями для модели Гудвина при любых допустимых начальных состояниях и параметрах
-
Постановка задачи оптимизации функционала благосостояния и алгоритм явного построения квазиоптимального импульсного управления денежным предложением при произвольных начальных условиях (в том числе в форме обратной связи) для нелинейной модели экономического роста Тобина с различными производственными функциями
-
Основанные на использовании сублинейных вектор-функций Ляпунова условия и конструктивная методика анализа экспоненциальной устойчивости нелинейных непрерывно-дискретных (по времени) управляемых систем, включающая вычисление гарантированных количественных оценок всех необходимых показателей динамики (степень затухания, область притяжения и др ),
б Численное исследование устойчивости экономического роста с желаемым уровнем занятости в модели Филлипса-Вергстрома при дискретном регулировании денежного предложения с длительными промежут-
Б3анг В -В Синергетическая экономика Время и перемены в нелинейной экономической теории -М Мир, 1999 -335 с
ками
Теоретическая и практическая значимость. Полученные в диссертации результаты показывают, что методы описания и исследования скользящих и импульсных режимов могут играть существенную роль при использовании разрывных позиционных управлений и оптимизации траекторий развития экономических систем. Этот вывод имеет важное практическое значение для прикладной экономической динамики Предложенная методика анализа устойчивости нелинейных непрерывно-дискретных систем является основой и математическим обоснованием алгоритмов, которые могут быть полностью реализованы программно и служить практическим инструментом в конкретных прикладных исследованиях динамики подобных моделей (не только экономических)
Результаты по оптимальному управлению в моделях Гудвина и Тебина используются в учебном процессе Института математики, экономики и информатики (ИМЭИ) ИГУ (при изучении обязательного курса "Модели динамических процессов в экономике"), Байкальского государственного университета экономики и права (ВГУЭП) на специальности "Математические методы в экономике" (в рамках курса "Динамические модели в экономике"), а также при выполнении курсовых и дипломных работ в указанных вузах
Проблематика работы являлась составной частью исследований, выполнявшихся в ВГУЭП, Интитуте динамики систем и теории управления СО РАН по грантам РФФИ № 04-01-00526, № 06-01-00247.
Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на
- IX Международной Четаевской конференции "Аналитическая меха
ника, устойчивость и управление движением" (Иркутск, 2007 г.),
- Международном симпозиуме "Обобщенные решения в задачах
управления" (Иркутск, 2006 г.),
XII, XIII международных Байкальских конференциях "Методы оптимизации и их приложения" (Иркутск, 2001 г , 2005 г),
III, IV Всероссийских конференциях "Математика, информатика, управление" (Иркутск, 2004 г, 2005 г),
Всероссийской конференции "Проблемы оптимизации и экономические приложения" (Омск, 2003 г);
- Международной конференции "Dynamical system modelling and
stability investigation" (Киев, Украина, 2003 г),
- IFAC Workshop "Modelling and Analysis of Logic Controlled Dynamic
Systems" (Иркутск, 2003 г),
63 - 66 ежегодных научно-практических конференциях БГУЭП, проводимых в рамках недели науки (Иркутск, 2004-2007 гг),
на семинарах кафедры методов оптимизации ИМЭИ ИГУ и кафедры математики ВГУЭП (Иркутск, 2001-2007 гг)
Публикации. По теме диссертации опубликовано 13 научных работ Основные результаты представлены в [1-11] В число указанных работ входят 1 статья [1] из перечня "Ведущих рецензируемых журналов и изданий ВАК РФ 2001-2006 гг,", 2 статьи в научных сборниках [2, 3], 8 текстов докладов [4-11] в материалах международных и российских конференций
Личный вклад автора. Из совместных публикаций [4,7] в диссертационную работу включены результаты, полученные автором самостоятельно и не затрагивающие интересы других соавторов Работа [3] выполнена в нераздельном соавторстве с научным руководителем - д-ром физ -мат наук, профессором Дыхтой В А
Структура и объём работы. Диссертационная работа состоит из введения, трех глав и списка литературы, включающего 129 наименований. Общий объем диссертации составляет 145 страниц, включая 38 рисунков.
