Введение к работе
Актуальность темы. Функционирование биологической системы является результатом взаимодействия во времени и пространстве ее элементов. Структурированность биологических популяций обуславливается их пространственной неоднородностью, спецификой локальных взаимодействий популяций между собой и с окружающей средой. Чтобы описать динамику таких систем, применяются математические модели на основе дифференциальных уравнений в частных производных.
Стимулом к исследованию моделей пространственно-временной динамики популяций являются потребности практики в тех областях экологии, где важен учет пространственной неоднородности моделируемых сообществ и существенны эффекты нестационарности.
В диссертации рассмотрены нелинейные математические модели динамики неантагонистических пространственно-неоднородных популяций. Особенностью рассматриваемых задач является сильная неединственность решений, проявляющаяся в ответвлении непрерывных семейств стационарных состояний. Такие семейства возникают в системах дифференциальных уравнений в силу имеющейся симметрии или косимметрии. Изучение задач при возмущениях, приводящих к потере косимметрии, позволяет дать новые трактовки динамическим явлениям долгого установления к равновесиям и возникновению автоколебательных движений больших периодов.
Цель работы.
Математическое моделирование динамики пространственно-распределенных популяций, исследование режимов и переходов на основе численного анализа систем нелинейных уравнений параболического типа с косимметрией,
Построение конечно-разностных схем, сохраняющих свойство косимметрии в математических моделях динамики популяций.
Численное исследование развития непрерывных семейств равновесий для систем нелинейных параболических уравнений.
Анализ динамики популяций под действием возмущений, разрушающих4 семейства стационарных режимов.
Разработка программного комплекса для исследования динамики попу-
ляционных моделей с косимметрией.
Методы исследования.
Для изучения поставленной задачи применялись методы математической физики и вычислительной математики, теория динамических систем с косимметрией, развитая В.И. Юдовичем. При численном анализе использовался конечно-разностный метод на основе специальных формул, сохраняющих свойство косимметрии исходных моделей. Вычисления нестационарных и устойчивых стационарных режимов проводилось для систем больших размерностей при помощи численных методов методов Рунге-Кутта и Ньютона. Расчет континуальных семейств стационарных состояний осуществлялся при помощи подхода, основанного на косимметричной версии теоремы о неявной функции. Компьютерный эксперимент проводился в среде пакета MATLAB с использованием средств матричного и спектрального анализа, систем визуализации.
Научная новизна.
Построены конечно-разностные схемы второго порядка точности, сохраняющие свойство косимметрии для математических моделей динамики популяций, описываемых системами нелинейных параболических уравнений.
Параметрически исследованы сценарии возникновения семейств равновесий и нестационарных режимов в модели динамики трех сосуществующих в ареале популяций.
Изучено пространственно-временное распределение двух популяций на основе модели с нелинейностью логистического типа.
Численно проанализирован распад семейства равновесий при нарушении свойства косимметрии.
Разработаны программы для проведения вычислительного эксперимента и расчета косимметричных семейств стационарных режимов.
Достоверность. Достоверность полученных результатов обусловлена корректной постановкой задач, применением математически обоснованных ме-
тодов, совпадением с известными результатами других авторов. Исследования, представленные в диссертационной работе, поддержаны грантами «Математическая теория конвекции жидкости (динамическая неустойчивость, асимптотические эффекты, переходы при разрушении косимметрии в фильтрационной конвекции)» (РФФИ, 05-01-00567, рук. Юдович В.И., Куракин Л.Г., Цибулин В.Г.), гранта поддержки ведущей научной школы (проект НШ-5747.200G.1, рук. Юдович В.И., Жуков М.Ю., Куракин Л.Г.), внутреннего гранта ЮФУ (К-07-Т-112, рук. Жуков М.Ю.) и Целевой программы Министерства образования и науки «Развитие научного потенциала высшей шко-лы»(р.н. 2.1.1/6095, рук. Жуков М.Ю.).
Публикации По теме диссертации опубликовано 11 печатных работ. Из них 4 составляют статьи в реферируемых изданиях [1-4], 7 статей опубликовано в трудах конференций [5-11]. В этих работах автор участвовал в выборе теоретической модели, метода решения и обсуждении результатов, проводил вычисления и аналитические выкладки.
Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на семинарах кафедры вычислительной математики и математической физики, кафедры математического моделирования факультета математики, механики и компьютерных наук Южного Федерального Университета, семинаре "Молодежь XXI века — будущее российской науки", г. Ростов-на-Дону (2007 г.), Всероссийской школе-семинаре «Математическое моделирование и биомеханика в современном университете», пос. Дивноморск (2007-2008 гг.), Всероссийской конференции "Актуальные проблемы прикладной математики и механики", п. Абрау-Дюрсо (2006-2007 гг.), VI Международном конгрессе по индустриальной и прикладной математике (1С1АМ'07), г. Цюрих, Швейцария (2007 г.), X Международном семинаре «Компьютерная алгебра в научных вычислениях» (CASC07), г. Бонн, Германия (2007 г.), IV Всероссийской научной конференции "Проектирование инженерных и научных приложений в среде MATLAB", г. Астрахань (2009 г.).
Практическая значимость работы. Проведенное исследование посвящено математическому моделированию динамики популяционных моделей, обладающих свойством косимметрии. Полученные результаты могут быть использованы для изучения процессов, имеющих место при моделировании популяций, взаимодействующих по типу «протокооперация», «хищник-жертва» и «нейтралитет», а также при анализе поведения человеческих сообществ, по-
разному реагирующих на массовые скопления людей. Применяемые в диссертации подходы могут быть использованы для исследования систем уравнений в частных производных, в которых имеются однопараметрические семейства решений.
Структура и объем работы.
Текст диссертации состоит из введения, трех глав, заключения и списка использованной литературы. Общий объем диссертации 144 страниц, включая 33 рисунка. Список литературы содержит 111 наименований.
