Содержание к диссертации
Введение
1 Квантовые вычисления 11
1.1 Квантовые биты и квантовые регистры 12
1.2 Квантовые гейты и квантовые схемы 15
1.3 Квантовые алгоритмы 26
1.3.1 Квантовый алгоритм Дойча-Джозса 28
1.3.2 Квантовый алгоритм Гровера 31
2 Схемы реализации квантовых гейтов и алгоритмов на состояниях ядерного спина / = 3/2 в представлении вирту ального спина 37
2.1 Кодирование кубитов на состояниях ядерного спина 3/2 . 37
2.2 Схемы реализации квантовых гейтов 40
2.3 Приготовление начального состояния и считывание результатов вычислений 53
2.4 Схемы реализации двухкубитного квантового алгоритма Дойча-Джозса 54
2.4.1 Псевдочистое начальное состояние 57
2.4.2 Пара псевдочистых состояний 58
2.4.3 Термодинамически равновесное начальное состояние 58
2.5 Схемы реализации двухкубитного квантового алгоритма Гровера 61
2.5.1 Псевдочистое начальное состояние 63
2.5.2 Пара псевдочистых состояний 63
2.5.3 Термодинамически равновесное начальное состояние 65
3 Схемы реализации квантовых гейтов и алгоритмов на со стояниях ядерного спина 1 — 7/2 в представлении вирту ального спина 69
3.1 Кодирование кубитов на состояниях ядерного спина 7/2 . 69
3.2 Схемы реализации квантовых гейтов 72
3.3 Схемы реализации трехкубитного квантового алгоритма Дойча-Джозса 83
3.3.1 Псевдочистое начальное состояние 85
3.3.2 Пара псевдочистых состояний 86
3.3.3 Термодинамически равновесное начальное состояние 86
3.4 Схемы реализации трехкубитного квантового алгоритма Гровера 89
3.4.1 Псевдочистое начальное состояние 91
3.4.2 Пара псевдочистых состояний 92
3.4.3 Термодинамически равновесное начальное состояние 94
3.5 Представление виртуального спина для случая произвольной многоуровневой системы 96
4 Квантовые вычисления на состояниях модели равных спин-спиновых взаимодействий 103
4.1 Многочастичная проблема спин-спиновых взаимодействий 103
4.2 Собственные значения и собственные состояния гамильтониана модели равных спин-спиновых взаимодействий 106
4.3 Вероятности резонансных переходов между состояниями модели равных спин-спиновых взаимодействий 109
4.4 Кодирование кубитов на состояниях модели равных спин- спиновых взаимодействий в представлении виртуального спина 112
Заключение 118
Выводы 120
Литература 121
- Квантовые гейты и квантовые схемы
- Приготовление начального состояния и считывание результатов вычислений
- Схемы реализации трехкубитного квантового алгоритма Дойча-Джозса
- Собственные значения и собственные состояния гамильтониана модели равных спин-спиновых взаимодействий
Введение к работе
Актуальность исследования. Квантовая информатика в настоящее время является одной из самых бурно развивающихся областей науки. Такой интерес объясняется тем. что квантовые компьютеры, в которых для кодирования информации вместо битов используются квантовые биты (куби-ты) - двухуровневые квантовые системы, предоставляют новые возможности для кодирования, обработки и передачи информации [1.2]
В качестве основы для построения квантовых компьютеров было предложено большое количество различных двухуровневых физических систем включая ядерные спины 1/2. Кодирование кубитов в этом случае осуществляется по принципу «одна двухуровневая физическая система - один ку-бит» В рамках такого кодирования кубитов экспериментально реализован ряд квантовых гейтов (квантовых вентилей) и квантовых алгоритмов. В частности, на семикубитном ЯМР квантовом компьютере, работающем на ядерных спинах 1/2, был реализован квантовый алгоритм Шора, осуществляющий факторизацию числа 15.
Кодирование кубитов по принципу «один ядерный спин 1 /2 - один кубит» имеет ряд недостатков. Для срабатывания двухкубитных квантовых гейтов требуется «включать» в определенный момент на заданную длительность взаимодействие между спинами и подавлять его на все оставшееся время. Для этого необходимо воздействовать на систему сложными импульсными последовательностями. Существует тенденция к убыванию интервалов между отдельными резонансными частотами по мере увеличения числа взаимодействующих спинов в системе, что затрудняет селективное возбуждение отдельных переходов в больших коллективах спинов.
Эти недостатки могут быть устранены посредством перехода к твердотельным спиновым системам, содержащим квадрупольные ядра со спинами / > 1/2 или к другим многоуровневым квантовым системам с дискретным неэквидистантным спектром и применению нового подхода «многоуровне-вость вместо многочастичности» [3]. Суть этого подхода состоит в том, что кубиты вводятся не на состояниях отдельных двухуровневых частиц, а на состояниях многоуровневых систем, например, на состояниях ядерных спинов / > 1/2 или на коллективных состояниях взаимодействующих спинов, то есть собственных состояниях гамильтониана с учетом взаимодействия между спинами.
Цель и задачи исследования. Целью работы является развитие, в рамках парадигмы «многоуровневость вместо многочастичности». нового подхода к кодированию кубитов на многоуровневых квантовых системах -представления виртуального спина В связи с этим были поставлены следу-
РОС. НАЦИОНАЛЬНАЯ і
3 БИБЛИОТЕКА I
—г- HIT **5*
іощир задачи разработка схем реализации квантовых гейтов и квантовых алгоритмов на состояниях ядерных спинов 3/2, 7/2 и на состояниях модели равных спин-спиновых взаимодействий в представлении виртуальною спина, обобщение понятия виртуального спина на случай квантовой системы с произвольным числом уровней.
Научная новизна. Применительно к многоуровневым системам впервые разработаны точные схемы реализации квантовых гейтов и алгоритмов в представлении виртуального спина Понятие виртуального спина обобщено на случай произвольной многоуровневой квантовой системы и предложены схемы реализации квантовых гейтов составляющих универсальный набор Исследована математическая модель равных спин-спиновых взаимодействий На состояниях модели равных спин-спиновых взаимодействий осуществлено кодирование кубитов в представлении виртуального спина
Достоверность результатов обеспечивается корректностью постановки задачи и применения математического аппарата, согласованностью результатов численных расчетов и выражений полученных аналитически
Практическая значимость. Разработанный подход к кодированию кубитов - представление виртуального спина, позволяет существенно расширить круг систем, которые могут быть использованы в качестве основы для
построения квантовых компьютеров, включив в их число многоуровневые квантовые системы, в частности, ядерные спины / > 1/2.
Основные положения, выносимые на защиту.
1 В представлении виртуального спина впервые разработаны точные схемы реализации квантовых гейтов и квантовых алгоритмов Дойча-Джозса и Гровера с различными начальными состояниями на состояниях ядерных спинов / > 1/2.
2. Обобщено понятие виртуального спина на случай произвольной многоуровневой квантовой системы
3 Квантовые вычисления на многоуровневой квантовой системе с использованием представления виртуального спина осуществлены для модели равных спин-спиновых взаимодействий.
Апробация работы. Результаты работы были представлены на следующих конференциях: V International Congress on Mathematical Modelling (Дубна, 2002). Workshop «Modern Development of Magnetic Resonance» (Казань, 2002). Конференция молодых ученых КФТИ КазНЦ РАН (Казань, 2003), V Всероссийская научно-техническая конференция «Нейроинформатика-2003» (Москва, 2003), Международная конференция «New Geometry of Nature» (Казань, 2003), IX Международные Чтения по
квантовой оптике (Санкт-Петербург, 2003), VII Российская молодежная научная школа «Актуальные проблемы магнитного резонанса и его приложений» (Казань, 2003), VII Всероссийская молодежная научная школа «Когерентная оптика и оптическая спектроскопия» (Казань, 2003) Итоговая научная конференция КазНЦ РАН (Казань. 2003. 2004) VIII Международная молодежная научная школа «Actual Problems of Magnetic Resonance and Its Application» (Казань, 2004).
Полученные результаты были включены в отчеты по грантам РФФИ (грант 03-01-00789) и НИОКР РТ (грант 06-6.1-158)
По теме диссертации опубликовано 11 статей и тезисов в международных и российских журналах, сборниках статей и тезисов докладов.
Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, четырех глав, заключения, выводов и списка цитируемой литературы. Общий объем работы составляет 134 страницы, включая 32 рисунка и 5 таблиц. Список литературы содержит 112 наименований.
Квантовые гейты и квантовые схемы
В классических вычислениях используются три основные булевы логические операции: унарная операция NOT (NOT х — 1 — х) и две бинарные операции AND {х AND у = х у) и OR (х OR у — х + у — жу) [22, 32] (Таблица 1.1). Пара логических операций {NOT, AND} (также как и пара {NOT, OR}) является универсальным набором логических операций, так как с се помощью может быть записана произвольная булева функция. Универсальные наборы {NOT, AND} И {NOT, OR} могут быть заменены универсальными бинарными логическими операциями NAND и NOR, соответственно (Таблица 1.1). С помощью NAND могут быть реализованы операции NOT и AND а универсальная операция NOR позволяет реализовать операции NOT и OR Бинарные универсальные логические операции AND, OR, NAND, NOR не являются обратимыми. Для реализации обратимых вычислений были предложены трехбитные универсальные логические операции: гейт Тоффоли [33] и гейт Фредкина [34] (Таблица 1.2). Гейт Тоффоли позволяет реализовать универсальную операцию NAND С помощью гейта Фредкина реализуются операции AND и NOT универсального набора Преобразования кубитов и квантовых регистров осуществляются квантовыми гейтами (также используется термин «квантовые вентили») [22,29] - унитарными операторами, действующими на состояния некоторого набора кубитов. В случае п кубитов квантовый гейт описывается унитарной матрицей 2п х 2П. Простейшими квантовыми гейтами являются однокубитные квантовые гейты, преобразующие кубит из одного состояния в другое. К од-нокубитным квантовым гейтам, в частности, относится квантовый гейт Схематические изображения однокубитных квантовых гейтов, принятые в квантовых схемах, приведены на Рис. 1.2. Многокубитные квантовые гейты действуют в пространстве состояний определенного набора кубитов и не могут быть представлены в виде прямого произведения независимых однокубитных квантовых гейтов. Приведем несколько наиболее часто используемых двух- (Рис. 1.3) и трехкубитных (Рис. 1.4) квантовых гейтов. Двухкубитный квантовый гейт CNOT (controlled — NOT) Квантовые гейты, которые являются аналогами классических квантовых гейтов (например, NOT, CNOT, CCNOT, CSWAP), также не могут быть универсальными [36], так как они позволяют лишь имитировать классические вычисления на квантовом компьютере, переводя квантовый регистр из одного состояния вычислительного базиса в другое состояние вычислительного базиса, а не в суперпозицию состояний. Однако, однокубитная операция вращения вместе с двухкубитным квантовым гейтом CNOT составляют универсальный набор квантовых гейтов [35]. Например, однокубитные квантовые гейты NOT и псевдооператор Адамара являются вращениями на угол 7г вокруг оси і и на угол 7г/2 вокруг оси у, соответственно. Двухкубитный квантовый гейт SWAP может быть представлен как последовательность трех квантовых гейтов CNOT (Рис. 1.5), а трехкубитный квантовый гейт CCNOT - как последовательность четырех однокубитных и трех двухкубитных квантовых гейтов [37] (Рис. 1.6).
Приготовление начального состояния и считывание результатов вычислений
Обычно для реализации квантовых алгоритмов в ансамблевых квантовых компьютерах используются псевдочистые начальные состояния, которые на языке квантовой механики характеризуются матрицами плотности где а и /3 - постоянные, зависящие от параметров системы. Между тем перед началом вычислений физическая система обычно находится в термодинамически равновесном состоянии рт, которое с точки зрения квантовой механики является смешанным. Было найдено несколько способов преобразования рх в р в случае, когда кубиты кодированы на реальных спинах 1/2, включая методы логической метки [75,89], пространственного усреднения [43] и временного усреднения [77]. Последовательность радиочастотных импульсов для преобразования рх в р методом временного усреднения в случае кодирования двух кубитов в представлении виртуального спина на состояниях ядерного спина 3/2 была описана в работе [79]. В работах [88,90] преобразование рт в f было осуществлено экспериментально на квадрупольных ядрах со спином 3/2 и 7/2 методом перераспределения населенностеи уровней, а также предложен метод считывания результатов вычислений. В работе [91] был предложен еще один тип начальных состояний - пары певдочистых состояний, которые описываются матрицей плотности где а и /3 - постоянные, зависящие от параметров системы. Реализация пар псевдочистых состояний достигается более простыми методами, но требует дополнительной обработки данных.
Задача Дойча-Джозса для двухкубитной системы состоит в следующем. Дана функция (для записи аргументов и значений функции используется по одному кубиту). Существуют четыре типа функций, отвечающих условию (2.75)
Функции, относящиеся к типам /оо и /xi (/(0) = /(1)) являются постоянными, к типам /01 и /ю (/(0) Ф /(1)) - сбалансированными. Для того, чтобы определить является функция постоянной или сбалансированной на классическом компьютере необходимо вычислить значения
функции и при х = 0, и при х = 1. Квантовый алгоритм Дойча-Джозса позволяет решить задачу, вычислив функцию всего один раз. Двухку-битная задача Дойча Джозса аналогична задаче о монете [54,92]: необходимо выяснить, является монета настоящей - с орлом на одной стороне и решкой на другой, или фальшивой - с орлом на двух сторонах. В классическом случае нужно посмотреть на монету дважды - сначала на одну сторону, затем на другую, чтобы определить настоящая это монета или фальшивая. Квантовые вычисления используют квантовый параллелизм, чтобы определить, является ли «квантовая монета» настоящей или фальшивой, посмотрев на нее только один раз.
Обозначим fmn{x) функцию, относящуюся к типу fmn. Наиболее простым является случай, когда функции /mn(x) заданы в табличной форме (Таблица 2.1). В этом случае им соответствуют следующие преобразования (Omn : \х}\у) -+ \х)\у Ф fmn(x)))
Для воплощения функций, заданных аналитически, необходимо использовать дополнительные кубиты и более сложные последовательности квантовых гейтов, что, однако, не оказывает влияния на реализацию самого алгоритма Дойча-Джозса, поэтому в дальнейшем мы будем рассматривать только преобразования (2.76).
На РИС. 2.3 представлена квантовая схема двухкубитного алгоритма Дойча-Джозса. Можно проследить, что после действия квантовых гейтов NOTs, Hr, Hs и Omn на начальное состояние JO, 0), оно переводится в состояние а последующее приложение квантовых гейтов Нг, Hs, NOT5 превращает Ф ) в состояние
Для постоянных функций выражение fmn(0) /mn(l) равно 0, а для сбалансированных 1. Следовательно, если первый кубит в Фои ) находится в состоянии 0), то функция fmn(x) является постоянной, если в состоянии 1), то сбалансированной.
Пару операторов Адамара НГї действующих на кубит г, удобно заменить на пару - псевдооператор Адамара hr и обратный псевдооператор Адамара h"1, которые реализуются более короткими последовательностями импульсов. Последовательности квантовых гейтов NOTsHs и HsNOTs также могут быть заменены на операторы hj1 и hs, соответственно. (В работе [93] вместо операторов Адамара предлагается использовать неселективный радиочастотный 7г/2 импульс. Однако, созданная в результате суперпозиция состояний отличается от полученной при помощи операторов Адамара (не является равновероятной), что необходимо учитывать в реализации алгоритма.) Таким образом, квантовый алгоритм Дойча-Джозса может быть реализован как следующая последовательность квантовых гейтов
Схемы реализации трехкубитного квантового алгоритма Дойча-Джозса
В работе [94] предложены схемы реализации операторов (3.43)-(3.48) и (3.52)-(3.54) посредством последовательностей, состоящих из пропагаторов импульсов (2.32).
С ростом числа состояний физической системы, участвующих в кодировании кубитов в представлении виртуального спина, адресация к отдельному кубиту требует, вообще говоря, более сложных импульсных последовательностей. Это правило нарушается в схемах реализации квантовых гейтов, затрагивающих несколько кубитов. Например, гейт CCNOT может быть реализован в представлении виртуального спина на состояниях отдельного ядра со спином 7/2 с помощью одного много частотного импульса, гейт CNOT требует более сложных импульсных последовательностей, а гейт NOT - еще более сложных. Качественно та же ситуация имеет место при кодировании кубитов на реальных взаимодействующих спинах 1/2. Там взаимодействие между спинами, которого необходимо для реализации многокубитных квантовых гейтов, должно быть подавлено во все время функционирования вычислительного устройства, за исключением заданных интервалов времени срабатывания многокубитных квантовых гейтов. Таким образом, усложнение импульсных последовательностей в квантовых вычислениях на виртуальных спинах, реализующих квантовые гейты, является платой за отсутствие необходимости подавлять взаимодействие каждой пары связанных спинов 1/2.
Трехкубитный квантовый алгоритм Дойча-Джозса служит для решения следующей задачи. Дана функция f(x) : {О, I}2 -4- {0,1}, то есть для записи аргументов функции используется два кубита, с помощью которых можно закодировать, например, четыре числа от 0 до 4 (0,0) — 0, 0,1) — 1, 1,0) — 2, 1,1) — 3), а для записи значений функции один кубит. Предполагается, что функция может быть либо постоянной, либо сбалансированной. Существуют два типа постоянных функций и шесть типов сбалансированных функций
Для решения задачи на классическом компьютере необходимо вычислить значения функции для трех значений аргументов из четырех возможных. Квантовый алгоритм Дойча-Джозса позволяет решить задачу за один шаг.
Будем рассматривать случай, когда функции заданы в табличной форме (Таблица 3.1), им соответствуют преобразования (Оыш : \х)\у) - \х)\у Є fkimn{x))) ма Дойча-Джозса. Пару операторов Адамара удобно заменить на псевдооператоры Адамара, имеющие более простые схемы реализации. Тогда последовательность квантовых гейтов, составляющих квантовый алгоритм Дойча-Джозса, можно записать следующим образом
В случае, когда функция является постоянной, в результате действия операторов алгоритма Дойча-Джозса на начальное состояние переводится в состояние /?QP, которое соответствует чистому состоянию 0,0,0} Если функция является сбалансированной, то конечным состоянием будет одно из состояний /тїр Р 3) $$ На Рис. 3.3 показаны амплитуды и знаки линий ЯМР, которые могут быть получены при считывании результатов квантовых вычислений после действия на состояние р р операторов (3.68).
Собственные значения и собственные состояния гамильтониана модели равных спин-спиновых взаимодействий
Операторы, составляющие оператор Ті , коммутируют друг с другом и с оператором z-компоненты 5 отдельного спина. Поэтому соб-ственные значения оператора Л выражаются через собственные значения —1/2 и 1/2 операторов SJ где є (п,р), є"(п,р), є "(п,р) - собственные значения операторов S , ]Г]І І SfS, ]T S2, соответственно, и n - полное число спинов ир- число спинов, ориентированных против направления магнитного поля. Собственные функции оператора Ті тоже строятся как произведения из п собственных функций \rrii) операторов Sf. Состояние (4.5) вырождено z(n,p) = Cft раз при конкретных пир. Весь набор собственных функций ха(п)Р))5 принадлежащих данному {п,р), получается из функции Ха=і(гг,р)) перестановкой значений ее аргументов, пробегающей все сочетания из п по р, то есть а — 1,2,.. ,,z(n,p). z-компонента S полного спина принимает значение М, когда \М\ 5, то есть полный спин системы равен где 0 к р, 0 р [п/2], [п/2] - целая часть п/2. Учитывая, что собственными значениями оператора S2 являются S{S + 1), можно записать для них следующие выражения Очевидно, что так как 0 & р, число различных собственных значений Sk{n,p) будет Обозначим g(S) кратность вырождения собственного значения S оператора S, тогда кратность вырождения G(M) собственного значения М оператора S2 есть Отсюда следует, что Рассмотрим две подсистемы, состоящие из (п 1) и одного спина. Состояния подсистем связаны посредством коэффициентов Клебша-Гордана [111]. Можно записать рекуррентные соотношения для собственных состояний гамильтониана модели РССВ Собственные функции гамильтониана модели РССВ имеют вид где коэффициенты Са/з(п,р) являются произведениями коэффициентов a(n,p,k). Так как все функции Xa(n:jP)) принадлежат одному собственному значению (4.5), то и любая их комбинация, в частности (4.19), тоже принадлежит этому собственному значению. Благодаря этому собственные значения гамильтониана модели РССВ являются и каждой тройке индексов (п,р, к) соответствует набор из дк{щр) собственных функций (4.19). В Таблице 4.1 приведены собственные значения, кратность их вырождения и собственные функции оператора гамильтониана модели РССВ для случая п = 5 спинов. Выражения (4.11), (4.12), (4.15) и (4.19) были нами также получены в результате прямой диагонализации оператора (4.2) и анализа результатов численных расчетов [109]. Определим вероятность перехода между двумя состояниями І л/с) и Y&Np) модели РССВ под влиянием ориентированного вдоль оси лабо раторной системы координат монохроматического резонансного магнитного поля, частота которого близка к частоте Лармора, W{EMa -J- Ещ) х (РМа - PN0)№Mo\Sa№N0)\2F(EMa - ENff), (4.21) где М = (п,р,к) и N = {п,р , к ) - совокупные индексы уровней энергии, индексы а = 1,2,... ,дк(п,р) и /3 = 1,2,... ,дк {п,р ) нумеруют различные вырожденные состояния уровней Ем = Ek{n,p) и Ем = Ек (п,р ), соответственно, Рма и Рщ - заселенности уровней Ема и E 0Z F(EM0 —У EN0) - функция формы резонансной линии на переходе Ема —У Ещ. (Предполагается, что переменное магнитное поле ориентированно вдоль оси х.) Обычно при оценках такого рода считается, что функции формы всех переходов одинаковы и что в разностях заселенностей можно не учитывать сдвигов уровней, обязанных спин-спиновому взаимодействию, которое много меньше зеемановой энергии. Поэтому разности заселенностей соседних зеемановских подуровней {к = к ± 1) тоже одинаковы и могут быть опущены в выражении (4.21). Таким образом вероятность перехода с уровня Ема на вырожденный уровень Ец равна При термодинамическом равновесии все вырожденные состояния уровня Ем заселены одинаково, поэтому для получения вероятности перехода W(EM - EN) С уровня Ем на уровень Ец следует осуществить усреднение по вырожденным состояниям Ема уровня энергии Ем Анализ результатов проведенного нами расчета вероятностей перехода между состояниями модели РССВ позволил сделать вывод, что отличные от нуля вероятности перехода равны
