Введение к работе
Актуальность темы. Диссертационная работа посвящена изучению краевых задач, возникающих при математическом моделировании процесса формования волокна из расплава полимера. В настоящее время возросла потребность в оптоволокнах, гипоаллергенных тканях и тканях с определенными свойствами (водоотталкивание, влаговпитывание и др.). Для повышения эффективности производства необходимо развивать методы математического моделирования технологических процессов. Моделирование взаимодействия волокна и воздушных потоков является достаточно сложной задачей. На свойства волокна влияют скорость потока воздуха в процессе охлаждения, поверхностное натяжение волокна в жидком состоянии, молекулярная структура полимера и другие факторы.
Одним из способов исследования поведения полимера при различной вязкости и оценки его свойств является метод использования краевых задач. Проблему математического моделирования с указанием алгоритмов расчетов рассматривали Глауэрт и Лайтхилл, Сакиадис, Себан и Бонд, Ришелье, Тассе и Рейтмюллер, Шишкин Г.И. и др. Соответствующие модели строились и исследовались в работах Шона, Брюна, Гота и др.
Согласно экспериментам, пограничный слой, в котором строилось решения, являлся логарифмическим профилем скоростей. Но обоснования выбора такого профиля нигде не давалось, так как асимптотики решений обычно строились формально.
Физико-технические модели, связанные с формованием волокна, сводятся к исследованию систем нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных. В литературе, посвященной теории и приложениям моделирования формования волокна, известен ряд математических моделей, описываемых дифференциальными уравнениями в частных производных (краевые задачи Прандтля, Блазиуса и др.), но нет обзоров и систематизации соответствующих моделей формования волокна.
Таким образом, в широком спектре краевых задач, связанных с процессом формования волокна из расплава, остался ряд нерешенных проблем, как с точки зрения теоретического обоснования используемых аналитических методов, так и с точки зрения вычислительных методов. При моделировании производства синтетических волокон нередко использовались эвристические методы. Сходимость рядов не доказывалась, основную роль играли экспериментальные данные. Например, в статье Глауэрта и Лайтхилла1 предполагалось, что скорость потока вблизи поверхности цилиндра пропорциональна логарифму его расстояния от оси цилиндра. Так как физико-технические модели, связанные с формованием волокна, сводятся к нелинейным моделям, описываемым уравнениями в частных производных типа Навье - Стокса, то актуальными являются следующие проблемы: моделирование пограничного слоя в случае аксиальной симметрии волокна, редукция краевой задачи с использованием преобразования Блазиуса, решение сингулярной краевой задачи на полуоси, исследование краевой задачи в моделировании теплообмена в подвижном цилиндрическом волокне с осесимметричным пограничным слоем, доказательство существования решений краевых задач, возникающих при моделировании формования волокна.
Исследование указанных проблем и составляет содержание данной диссертационной работы.
Цели работы. Исследование математических моделей, описывающих процесс производства полимеров, построение аналитических методов, разработка вычислительных алгоритмов и комплекса программ, предназначенных для изучения поведения полимера с различной вязкостью.
Основные задачи работы:
— исследование математических моделей, описываемых уравнениями в частных производных типа Навье - Стокса, сводимых к обыкновенным дифференциальным уравнениям;
постановка и решение краевых задач с целью вычисления важных характеристик модели с учетом вязкости;
исследование вопросов существования решений, построения точных и приближенных решений;
разработка алгоритмов и программного обеспечения для осуществления экспериментов с построенными моделями на ЭВМ;
проведение вычислительных экспериментов с использованием адаптивных сеток.
Методы исследования.
В работе используются методы математического моделирования, гидродинамики, вычислительной математики, элементы теории дифференциальных уравнений.
Основные результаты диссертации, выносимые на защиту:
систематизированы и исследованы основные краевые задачи для нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных, описывающих технологию формования волокна;
доказаны теоремы существования решения краевых задач погранслоя, предложен асимптотический метод построения решений краевых задач в математических моделях формования волокна, доказана сходимость соответствующего ряда;
проведена редукция краевых задач в моделях с частными производными к обыкновенным дифференциальным уравнениям, построены точные решения в ряде моделей, отвечающих различным профилям скорости потока.
разработан и апробирован программный комплекс численного решения нелинейной краевой задачи Блазиуса для математического моделирования формования волокна, получено свидетельство № 2012616439.
Научная новизна:
впервые доказаны теоремы существования решений краевых задач теории пограничного слоя, возникающих в математических моделях формования волокна;
разработан аналитический метод построения решений в одномерных стационарных моделях с краевыми условиями, установлена и впервые доказана сходимость рядов в асимптотическом методе Глауэрта - Лайтхилла;
построено разрешающее уравнение относительно функции тока и точные решения для двухмерных нелинейных систем Блазиуса;
для краевой задачи Блазиуса предложены и исследованы численные методы, разработан и зарегистрирован комплекс программ.
Соответствие специальности. В диссертации разработаны аналитические методы решения краевых задач пограничного слоя, возникающие в математических моделях процесса формования синтетических волокон. Проведены исследования разрешимости соответствующих систем уравнений, доказаны теоремы о существовании решений краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений. Используя сеточные методы Шишкина, построены устойчивые методы решения краевых задач с большими диапазонами изменения числа Рейнольдса, разработан комплекс программ и проведены вычислительные эксперименты.
Теоретическая и практическая значимость диссертации лежит в области систематизации гидродинамических меделей формования волокна, развития аналитических методов и алгоритмов, построения и реализации комплекса программ для решения краевых задач, возникающих в технологиях производства полимеров. В работе описан алгоритм получения пограничного слоя разной геометрии и вычислено сопротивление трения на единицу длины цилиндра для различных значений вязкости. Кроме того, вычислена толщина пограничного слоя для различных значений вязкости с высокой точностью. Разработанный устойчивый численный метод и его теоретическое обоснование могут использоваться на практике для исследований структуры и поведения вязких жидкостей в состоянии покоя и в движении при конкретных параметрах.
Исследования проводились в рамках следующих программ: тема НИР задания Федерального агентства по образованию (проект 091-08-102/1.2.08); Федеральная целевая программа "Научные и научно-педагогические кадры инновационной России"на 2009-2013 годы (госконтракты № П696 и № 14.B37.21.0365). Работа выполнена при частичной поддержке Дублинского технологического института (Ирландия) и компании Kliiber Lubrication.
Апробация работы. Результаты диссертационной работы обсуждались на следующих конференциях и семинарах:
III Международная школа-семинар "Нелинейный анализ и экстремальные задачи", 2012 г., Иркутск;
6th International Congress on Industrial and Applied Mathematics, ICIAM 2007, (минисимпозиум NR . IC/MP/015/S/111) Ziirich, Switzerland;
Международная конференция по вычислительной математике МКВМ- 2004, 2004 г., Новосибирск;
Лаврентьевские чтения по математике, механике и физике, 2005 г., Новосибирск;
Международная конференция "Тихонов и современная математика", 2006 г., Москва;
Международная конференция "Дифференциальные уравнения, теория функций и приложения", посвященная 100-летию со дня рождения академика И.Н. Векуа, 2007 г., Новосибирск;
International Congress "Nonlinear Dynamical Analysis - 2007" dedicated to the 150th anniversary of Academician A.M. Lyapunov, 2007, SPb, Russia;
—IX Международная четаевская конференция "Analytical Mechanics, Stability and Control of Motion", 2007 г., Иркутск.
V Международная конференция "Inverse Problems: Identification, Design and Control", 2007 г., Москва;
XIII и XIV Байкальские международные школы-семинары "Методы оптимизации и их приложения", 2005 г. и 2008 г., Северобайкальск - Иркутск;
VI Международная конференция "Лаврентьевские чтения по математике, механике и физике", 2005 г., Новосибирск;
GAMM (Gesellschaft fiir Angewandte Mathematik und Mechanik) Annual Scientific Conference, 2003, Padua, Italy;
Международная конференция по вычислительной математике CMAM-1, 2003 г., Минск;
The Second Annual Workshop on Numerical Methods for Problems with Layer Phenomena, 2003, Limerick, Ireland;
The Third Stokes Summer School, 2002, Skreen, County Sligo, Ireland. Автор благодарит профессоров Д. Гильберт, Г.И. Шишкина, Н.А. Сидорова и член-корреспондента РАН В.В. Пухначева за внимание и полезные советы.
Публикации и личный вклад автора. По теме диссертации опубликовано 15 работ в которых отражено её основное содержание. В число указанных работ входят 5 статей [1]-[5] в журналах из перечня рецензируемых научных журналов ВАК РФ, 1 монография [6], 2 статьи в научном журнале [12], [15], 6 полных текстов докладов [8-11], [13], [14] в материалах всероссийских и международных конференций, 1 свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ [7].
В совместных публикациях [2], [3], [8-11], [13] автору принадлежат численные и некоторые аналитические расчеты. В диссертационную работу включены результаты, полученные автором самостоятельно и не затрагивающие интересы других соавторов.
Структура и объем работы. Диссертация состоит из списка обозначений, введения, трех глав, заключения и списка литературы содержащего 81 наименование. Общий объём диссертации составляет 141 стр., включая 18 рисунков и 12 таблиц.
