Содержание к диссертации
Введение
1 Виртуальные многогранники и ежи. Седловые поверхности и гипотеза А.Д. Александрова . 27
1.1 Виртуальные многогранники: основные определения 27
1.2 Седловые поверхности 38
1.3 Гиперболические виртуальные многогранники 52
1.4 Ежи (хериссоны, herissons): основные понятия 61
1.5 Гипотеза А.Д. Александрова и контрпримеры к ней 63
1.6 Компьютерные средства трехмерного моделирования 68
2 "Утягивание рога на бесконечность". 75
2.1 Основная теорема 76
3 Гиперболические виртуальные многогранники с 6 и 8 рогами . 89
3.1 Гиперболический многогранник с 8 рогами 90
3.2 Гиперболический виртуальный многогранник с 6 рогами 94
3.3 Практическое построение гиперболических виртуальных многогранников
с 6 и 8 рогами 99
4 Новый гиперболический виртуальный многогранник с 4 рогами . 103
4.1 Способы построения нового объекта: их достоинства и недостатки 103
4.2 Гиперболический многогранник iV2 110
4.3 Перестройка и сглаживание многогранника Л^ 115
4.4 Неизотопность ежа N и ежа И Мартинез-Мора 118
Заключение 120
Приложение. 124
Координаты вершин гиперболических многогранников 124
Исходные файлы Maple 126
Литература 131
- Гиперболические виртуальные многогранники
- Гипотеза А.Д. Александрова и контрпримеры к ней
- Гиперболический виртуальный многогранник с 6 рогами
- Гиперболический многогранник iV2
Введение к работе
Основным объектом исследования диссертационной работы являются гиперболические виртуальные многогранники и их веера. В диссертации решены две актуальные теоретические фундаментальные проблемы теории гиперболических виртуальных многогранников и ряд взаимосвязанных задач математического моделирования и компьютерной визуализации гиперболических объектов.
Гиперболические виртуальные многогранники
Гиперболические многогранники и конфигурации больших полукругов. Гиперболические многогранники можно классифицировать по количеству рогов. Однако, есть более тонкая классификация, основанная на конфигурациях больших полукругов на сфере.
Пусть К - гиперболический многогранник, у которого каждое ребро ве- ера не больше 7г, и Т к ег0 веер. Пусть Pi,..., Рп - рога гиперболического многогранника К, a 7i, ...,сгп - клетки веера, соответствующие рогам многогранника. По теореме 1.3.9 клетки аг содержат большие полукруги.
Для каждого рога Pj гиперболического многогранника К в соответствующей клетке ог веера E/v выберем большой полукруг 7г лежащий в этой клетке. В результате получаем некоторую конфигурацию больших непересекающихся полукругов 7i, ) In на сфере (см. например, рис. 1.26 для случая п = 4).
Эти конфигурации позволяют выявить различия между гиперболическими многогранниками с одинаковым числом рогов. Например, гиперболический многогранник с 4 рогами, построенный в главе 4, и гиперболический многогранник И. Мартинез-Мора (см. [31]) имеют неизотопные конфигурации больших полукругов на сфере (см. главу 4).
Продемонстрируем еще одно приложение гиперболических многогранников, не относящееся непосредственно к теме диссертацонной работы, но подчеркивающее актуальность темы.
Гиперболические многогранники позволили уточнить следующую теорему А.Д. Александрова.
Теорема 1.3.10 (А.Д. Александров) [5]
Пусть К, М Є Ж3 — выпуклые трехмерные многогранники. Предположим, что для каждой пары параллельных граней К М с внешними нормалями таких, что dimK — 2 или dimM = 2, не существует параллельного переноса, помещающего одну из граней строго внутрь другой. Тогда К и М равны с точностью до параллельного переноса. Эта теорема допускает интерпретацию в терминах гиперболических многогранников, что позволило Паниной Г.Ю. получить следующие ее уточнения.
Теорема 1.3.11 Уточнение "сверху" [46]
Существуют различные трехмерные многогранники К, М Є М3 такие, что для каждой пары параллельных граней К , М удовлетворяющих условию dimK = 2 или dimM — 2, существует не более одного параллельного переноса, помещающего одну из граней строго внутрь другой.
Теорема 1.3.12 Уточнение "снизу" [46]
Пусть К, М Е I3 — выпуклые трехмерные многогранники. Предположим, что для усаждой пары параллельных граней К , М таких, что dimK = 2 или dimM = 2, справедливы два утверждения: 1. Существует не более одного параллельного переноса, помещающего грань К строго внутрь М . 2. Не существует параллельного переноса, помещающего грань М строго внутрь Тогда К и М равны с точностью до параллельного переноса. D Ежи (хериссоны, herissons): основные понятия. Вычитание по Минковскому гладких выпуклых тел определил и исследовал А.Д. Александров (см. [4], [5]). Позднее разности гладких выпуклых тел (так называемые хериссоны, herissons,или елей) подробно изучили математики французской школы Р. Лангевин, Г. Левит, X. Розенберг [29] а также И. Мартинез-Мор, получивший наиболее интересные результаты (см. [30], [32]).
Введем основные понятия, касающиеся ежей, следуя изложению французской школы. Определение 1.4.1 [43] Пусть h : S2 — Ж. — гладкая функция. Ежом (хериссоном, herisson) Н с опорной функцией h, называется огибаюищя семейства гиперплоскостей {e#()}"eS2 г е гиперплоскость ея() задана уравнением Таким образом, ёж есть некоторая поверхность в пространстве. Определение 1.4.2 [43] Еж Н называется гладким, если его опорная функция гладкая.
Гипотеза А.Д. Александрова и контрпримеры к ней
Цель данной диссертационной работы состоит в изучении гиперболических объектов с помощью математического моделирования и трехмерной компьютерной визуализации.
Гиперболические многогранники действительно требуют построения ком пьютерных визуальных моделей, так как являются сложными объектами в следующем смысле: небольшие шевеления вершин гиперболического многогранника могут привести к потере гиперболичности (недаром существование этих объектов долгое время было под вопросом).
Гиперболические многогранники - это трехмерные объекты, состоящие из большого числа граней; они могут иметь самопересечения и самоналожения. Веер гиперболического многогранника - тоже достаточно сложен. Это вложенный граф на сфере с большим количеством вершин и ребер (отрезков больших кругов), допускающий правильную раскраску.
Теоретическое описание и построение гиперболических многограников не дает полной информации об их внешнегеометрических свойствах (линии самопересечения, ассимптотические линии и т. д.). Поэтому необходимо построение конкретных численных примеров гиперболических виртуальных многогранников, их изучение и трехмерная компьютерная визуализация. Это позволит подтвердить теоретические рассуждения и, возможно, поможет обнаружить некоторые новые свойства этих объектов. Эта задача особенно важна и актуальна в связи с уже существующими ошибочными публикациями (см. [21], [24]).
При построении трехмерных моделей многогранных поверхностей (гиперболических многогранников) и вложенных графов на сфере (их вееров) следует учесть приведенные ниже особенности моделируемых объектов (они диктуют требования к используемым программам).
Требования к выбору прикладных программ: В связи с описанной выше сложностью и деликатностью гиперболических многогранников и их вееров, в их компьютерном моделирова ний потребуется достаточная точность. Например, недопустимо ставить точки с помощью компьютерной мыши, так как точка при этом получает некоторые случайные, приблизительные координаты, что может нарушить гиперболичность объекта. Необходимо ставить точку строго по координатам. Для построения веера необходимо строить графы на сфере. Необходимо, чтобы средство моделирования позволяло строить трехмерные невыпуклые и самопересекающиеся объекты. Необходимо иметь возможность экспериментировать: деликатность моделируемых объектов требует аккуратного подбора некоторых величин, в зависимости от которых итоговый результат должен пересчиты-ваться автоматически. Необходимо иметь возможность отображать несколько объектов одновременно (на одном графике). Требуется наглядность в отображении построенных трехмерных моделей: самопересекающихся поверхностей с большим количеством граней и графов на сфере с большим количеством вершин. Необходимо иметь возможность "крутить" построенную модель гиперболического многогранника или веера, чтобы детально рассмотреть их строение. Нужно иметь возможность разместить построенные трехмерные модели на интернет-странице. Логично выбрать одну программу, имеющую все необходимые функции, для построения в ней и самопересекающихся невыпуклых поверх ностей (гиперболических многогранников), и графов на сфере (их вееров). Потребуем также для быстроты работы, чтобы программа не содержала большого количества функций, не относящихся к математическому моделированию трехмерных моделей. Также необходимо производить вычисления координат вершин много гранной поверхности и вершин веера.
Активное развитие информатики в последнее время привело к появлению большого количества прикладных программ различных направлений, в том числе в области математики и трехмерной компьютерной графики.
Существует достаточно много математических пакетов и программ трехмерной компьютерной графики. Математические пакеты дают возможность проводить численные расчеты и эксперименты, а также строить сложные графики и поверхности. Графические программы ориентированы на создание трехмерных объектов в виртуальном пространстве (которые отображаются на плоском экране компьютера). Однако, цели создания этих прикладных программ разные, поэтому набор их инструментов и возможности отличаются.
Рассмотрим наиболее известные на сегодняшний день математические программы и программы трехмерной компьютерной графики.
Гиперболический виртуальный многогранник с 6 рогами
Построенная кусочно-линейная поверхность имеет двойственный граф на сфере: каждая треугольная грань поверхности задает точку на сфере, а комбинаторика графа восстанавливается РІЗ комбинаторики поверхности. Как и для виртуальных многогранников с б и 8 рогами, этот граф для "приблизительной" поверхности почти наверняка имеет пересечения ребер. Нужно изменить поверхность так, чтобы соответствующий ей граф на сфере не имел пересечений, а так же был по возможности наглядным.
После построения "примерного" варианта поверхности, изменяем ее так, чтобы добиться отсутствия пересечений ребер у соответствующего графа на сфере.
Как и в главе 3, комбинаторика поверхности остается неизменной. Цен-тральный тетраэдр тоже не подвергается изменениям.
Ищем подходящий вариант поверхности, меняя координаты точек-рогов. Изменение координат конкретного рога (например, рога ./) отвечает за длину I дважды покрытого треугольника, его высоту h и смещение s от вертикальной плоскости (см. рис. 4.4).
Остальные дважды покрытые треугольники изменяются согласно симметрии. Таким образом, имеем трехпараметрическое семейство поверхностей N(, /г, s).
Необходимо выбрать из этого семейства поверхностей такую, чтобы соответствующий граф на сфере не имел пересечений ребер.
Однако, была поставлена задача не просто построить новый гиперболический многогранник с 4 рогами, а получить наглядный объект, доступный для визуального изучения. Поэтому координаты рогов подбирались таким образом, чтобы существовал ассоциированный веер и отсутствие пересече 108
Веер гиперболического многогранника с 4 рогами. ний его ребер было очевидным при визуальном исследовании (см. рис. 4.5). Полученный в результате этих исследований объект, описан в данной главе. Таким образом, теоретическому построению нового гиперболического многогранника с 4 рогами, неизотопного примеру И. Мартинез-Мора, предшествовала кропотливая экспериментальная работа.
Исторически позже появился еще один способ построения нужного гиперболического многогранника. В статье [44] Г.Ю. Панина строит вложенный граф на сфере, который порождает невыпуклое разбиение сферы (так называемую псевдотриангуляцию сферы). Из соображений теории комбинаторной жесткости (теорема Ламана), существует кусочно-линейная функция h, порождающая это разбиение (так называемый 3D-lift). Поэтому существует соответствующий виртуальный многогранник с опорной функцией h. Он является гиперболическим в силу невыпуклости веера.
Однако, этот способ приводит к построению поверхности с большим количеством вершин. Поэтому он сложен для практической реализации.
Построим кусочно-линейную поверхность и ассоциированный с ней веер. Эти объекты будем строить параллельно, добиваясь нужных свойств. За основу возьмем гиперболический тетраэдр JVi (см. пример 1.3.8 и рис. 4.6), заданный поверхностью Сі и веером Еі. Занумеруем грани (и их нормальные вектора) так, как показано на рис. 4.7.
К ребрам АВ и CD поверхности С\ приклеим по четыре длинные узкие треугольные грани (см. рис. 4.7) так, чтобы все вершины полученной поверхности С 2 (кроме вершин J?i, i?25 - и -) были седловыми. Вершины і?і,і?2,іїз и - рога будущего гиперболического многогранника, их точное положение определим позже.
Каждый новый треугольник — дважды покрытый, то есть образован двумя одинаковыми, но противоположно ориентированными гранями. Ориентации граней выбираем согласно рис. 4.7. Опишем структуру новой кусочно-линейной поверхности Сч, указав, какие грани являются соседними.
Гиперболический многогранник iV2
В [43] описана техника сглаживания, которая позволяет перейти от гиперболического многогранника к его гладкому аналогу — гиперболическому ежу. Точнее, в результате применения этой техники получается ёж с гладкой опорной функцией. Однако эта техника применима лишь к виртуальным многогранникам, удовлетворяющим следующим условиям: 1. многогранник должен быть симплициальным (то есть каждая вершина веера должна быть трехвалентна); 2. все ребра веера должны иметь длину, меньшую 7г. Для гиперболического многогранника N2 условие (1) выполнено, а условие (2) — нет: ребра двуугольников имеют длину, равную 7Г.
Применение iJ-операций (см. рис. 4.11, пункт 2.1, [43]) приводит к сглаживаемому гиперболическому многограннику ІУз Заметим, что Я-операции не меняют число рогов и тип порожденной конфигурации больших полукругов (см. [43]). Далее нам потребуется веер 5 с правильной раскраской (см. рис. 4.12). Для удобства разобьем веер Ег на две части и изобразим одну из них на плоскости схематически (см. рис. 4.13 и пункт 1.1). Так как каждая из этих областей не может быть помещена в полусферу, некоторые ребра веера изображены кривыми дугами.
На рис. 4.13 изображено последовательное применение к этой части Н-операций, укорачивающих ребра. Другая часть веера преобразуется аналогично.
После перестроек получаем веер S3. Известно (см. [43]), что ему соответствует некоторый симплициальный гиперболический многогранник N$. Заметим, что он удовлетворяет обоим условиям техники сглаживания (1) и (2).
Применение техники сглаживания к гиперболическому многограннику N$ дает новый гиперболический ёж N с четырьмя рогами.
Ранее было описано построение конфигурации больших полукругов на сфере для гиперболического многогранника (см. пункт 1.3). Было выяснено, что построенному гиперболическому многограннику ЛГз с точностью до изотопии соответствует конфигурация II (см. рис. 4.1) больших полукругов на сфере.
Известно, что гиперболическому многограннику И. Мартинез-Мора соответствует конфигурация I больших полукругов на сфере.
В [45] показано, что конфигурации I и II неизотопны. Поэтому гиперболический многогранник N3 и многогранник И. Мартинез-Мора различны с точки зрения классификации гиперболических многогранников по конфигурациям больших полукругов на сфере. Теперь сравним построенный гиперболический ёж N и ёж И. Мартинез-Мора. Определение 4.4.1 [13] Два гладких гиперболических ежа N и М с четырьмя рогами называются изотопными, если существует непрерывное семейство гладких гиперболических ежей с четырьмя рогами, связывающие N и М.
Следствие 4.4.2 [13] Существуют 2 неизотопных гиперболических ежа с 4 рогами каждый. Доказательство. Покажем, что построенный гиперболический ёж N и ёж И. Мартинез-Мора неизотопны. В [45] показано, что каждый гиперболический ёж порождает некоторую конфигурацию непересекающихся больших полукругов на сфере. При этом каждый рог ежа дает полукруг конфигурации.
Конфигурации I соответствует ёж, построенный И. Мартинез-Мором. Конфигурации II соответствует ёж N, построенный здесь. Изотопия гиперболических ежей влечет изотопию конфигураций больших полукругов. Поэтому гиперболический ёж N неизотопен ежу И. Мартинез-Мора.
