Содержание к диссертации
Введение
Глава 1 Современное состояние теории газового разряда 10
1.1 Основные положения теории газового разряда 10
1.1.1 Газовый разряд 10
1.1.2 Типичные разряды в постоянном электрическом поле . 11
1.2 Моделирование. Численный эксперимент 16
1.3 Математическое описание газового разряда 19
1.3.1 Системы без корреляций (бесстолкновительные). Уравнение Власова 20
1.3.2 Система со столкновениями. Уравнение Больцмана 21
1.4 Численное моделирование 24
1.4.1 Численное решение гидродинамических уравнений . 25
1.4.2 Прямое решение уравнения Больцмана 27
1.4.3 Метод частиц. Метод Монте-Карло 29
1.5 Выводы и постановка задачи 31
Глава 2 Гидродинамическая модель. Численная реализация . 33
2.1 Система гидродинамических уравнений 33
2.2 Граничные условия для гидродинамических уравнений 35
2.3 Численное решение гидродинамических уравнений 37
2.3.1 Схема пространственной сетки 38
2.3.2 Совместное решение транспортных уравнений и уравнения Пуассона 40
2.4 Численная реализация гидродинамической модели 46
2.5 Выводы 59
Глава 3 Метод макрочастиц для моделирования разряда. Численная реализация . 61
3.1 Обоснование метода макрочастиц , 61
3.2 Схема интегрирования по времени уравнения движения 63
3.3 Метод Монте-Карло для описания столкновений частиц 70
3.4 Дискретные модели плазмы 76
3.5 Схема распределения заряда CIC в цилиндрических коорди натах 85
3.6 Решение уравнение Пуассона с внешней цепью 88
3.6.1 Решение уравнения'Пуассона с внешней электрической цепью 89
3.7 Алгоритм и численная реализация метода частиц 93
3.8 Выводы 104
Глава 4 Результаты. Обсуждение. 106
4.1 Верификация метода Монте-Карло и сечений столкновений для метода частиц 106
4.2 Нелокальные эффекты катодного слоя. Функция распределения 112
4.3 Результаты расчетов газового разряда 117
4.3.1 Результаты расчетов газового разряда в гидродинамической модели 119
4.3.2 Результаты расчетов газового разряда методом частиц. 127
4.3.3 Сравнение результатов расчета методом частиц и в гидродинамической модели 133
4.3.4 Сравнение результатов расчетов с экспериментальными данными 139
4.4 Использование метода частиц для моделирования пылевой плазмы 144
4.5 Выводы 149
Заключение.
- Типичные разряды в постоянном электрическом поле
- Граничные условия для гидродинамических уравнений
- Схема распределения заряда CIC в цилиндрических коорди натах
- Нелокальные эффекты катодного слоя. Функция распределения
Введение к работе
Актуальность исследования физических процессов, протекающих в низкотемпературной плазме газовых разрядов, обусловлена их широким использованием в современных электрофизических приборах и установках. В настоящее время все более широкое распространение получают экологически чистые и энергетически эффективные вакуумные ионно-электронно-плазменные технологии обработки материалов и изделий. Речь идет, о нанесении на изделия различных функциональных покрытий: защитных, тфочняющих, теплосберегающих, декоративных. С помощью новых технологий удается получать принципиально новые материалы, которые не могут быть получены традиционными методами обработки.
Основными направлениями исследований в этой области являются теоретическое и экспериментальное изучение процессов в прикатоднои зоне газового разряда: эмиссия электронов, ионизация атомов газа, формирование пространственного распределения электрического поля и потока ионов на катод, распыление материала катода в разряде и т.п. Другим актуальным направлением исследований является изучение химических и физических процессов в многокомпонентной плазме газового разряда: явления стимулированной конденсации продуктов плазмохимического синтеза, образование дисперсной фазы в плазме, испарение микрокапельной фракции продуктов эрозии катода в вакуумном разряде. Основной целью прикладных исследований являются разработка новых эффективных способов организации разряда, обеспечивающих получение низкотемпературной плазмы с заданными параметрами, такими, как концентрация и средняя энергия заряженных частиц, ионный и химический состав плазмы.
Цель работы.
Целью диссертационной работы являлось изучение физических процессов в газоразрядной плазме методами компьютерного моделирования. Решение этой задачи предполагало разработку программных пакетов для
компьютерного моделирования физических процессов, протекающих в газоразрядной плазме, на основе гидродинамического приближения и метода частиц. В соответствии с целью исследования были поставлены следующие научные задачи:
получение расчетных формул из базовых математических уравнений, описывающих процессы в плазме;
численная реализация программного комплекса для самосогласованного моделирования газового разряда с использованием гидродинамического подхода;
численная реализация программного комплекса для самосогласованного моделирования газового разряда методом частиц с использованием метода Монте-Карло для учета процессов столкновений;
выявление области применимости этих подходов при моделировании
| газового разряда;
получение самосогласованного решения для газоразрядной трубки с внешней электрической цепью;
выявление важнейших факторов и параметров, влияющих на развитие и протекание газового разряда.
Научная новизна.
Разработана схема решения связанной системы дифференциальных уравнений, состоящей из уравнений неразрывности и уравнения Пуассона.
Записаны граничные условия для уравнения Пуассона, позволяющие выполнять самосогласованные расчеты газоразрядных устройств с внешней электрической цепью.
Разработана модификация метода Частица-Сетка для учета взаимодействия на расстояниях меньше шага сетки, которая позволяет использовать данный метод для моделирования пылевой плазмы.
Разработан программный комплекс для моделирования газового разряда в гидродинамическом приближении на многопроцессорных вычислительных системах. Оценена эффективность параллельного алгоритма на различных компьютерных архитектурах.
Разработан программный комплекс для моделирования газового разряда методом частиц на многопроцессорных вычислительных системах. Оценена эффективность параллельного алгоритма на различных компьютерных архитектурах.
Проведено сравнение результатов расчета этими двумя методами между собой и с экспериментальными данными.
Основные положения и результаты, выносимые на защиту.
Программный комплекс для моделирования газового разряда в гидродинамическом приближении на многопроцессорных вычислительных системах.
Программный комплекс для моделирования газового разряда методом частиц на многопроцессорных вычислительных системах.
Алгоритм формирования граничных условий для уравнения Пуассона, позволяющий выполнять самосогласованные расчеты газоразрядных устройств с внешней электрической цепью.
Результаты компьютерного моделирования газового разряда методом частиц и в гидродинамическом приближении. Сравнение полученных результатов между собой и с экспериментальными данными.
Методы исследования
Проведенные в работе исследования базируются на использовании аппарата математической физики, теории математического моделирования, численных методов, а также методов модульного и объектно-ориентированного программирования.
Практическая ценность работы.
Разработанные программные комплексы могут быть использованы при моделировании различных устройств, в которых используется газовый разряд. В настоящее время результаты используются в ИОФ им. A.M. Прохорова РАН, в центре "Физики и технологии электрически активных сред" НИИ Физики РГУ, ФГУП "РНИИРС" при создании технологических установок.
Степень обоснованности научных положений, рекомендаций и выводов.
Достоверность и обоснованность полученных результатов базируется на корректной постановке задачи, использовании различных тестовых задач для верификации полученных в компьютерном моделировании результатов, сравнении их с известными экспериментальными данными, сравнительном анализе результатов, полученных разными методами.
Апробация работы.
Основные положения и результаты работы докладывались и обсуждались:
VIII Всероссийской школе-семинаре "Современные проблемы математического моделирования" 6-12 сентября 1999 г., пос. Дюрсо;
Седьмой Всероссийской Научной Конференции Студентов-Физиков и молодых ученых, 5-10 апреля 2001 г.;
Симпозиуме "Лазеры на парах металлов", Лазаревское, ОК "Зарница" 25-29 сентября 2000 года;
Всероссийской молодежной научной школе-конференции "Численные методы решения линейных и нелинейных краевых задач" г. Казань 19-23 ноября 2001 г.;
Всероссийской научно-технической конференции "Параллельные вычисления в задачах математической физики" Ростов-на-Дону 21-25 июня 2004 г.;
Международная школа-семинар."Симметрия и косиметрия в динамических системах физики и механики". SCDS 2000. 18-23 августа Ростов-на-Дону 2000г.;
IX Всероссийской школе семинаре "Современные проблемы математического моделирования" пос. Абрау-Дюрсо 17-21 сентября 2001 г.;
X Всероссийской шклоле семинаре "Современные проблемы математического моделирования" пос. Абрау-Дюрсо 15-20 сентября 2003 г.;
Научно-методическая конференция "Современные информационные технологии в образовании: Южный Федеральный Округ" 13-14 мая Ростов-на-Дону 2004;
Публикации.
По материалам диссертации опубликовано 11 работ, в том числе 1 статья в реферируемом журнале, 1 статья в сборниках статей, 9 статей в сборниках трудов конференций.
Объем работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, выводов. Содержание диссертации изложено на 167 страницах, включая 50 рисунков, 3 таблицы и списка цитируемой литературы из 146 наименований.
Содержание работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, выводов.
Во введении обосновывается актуальность работы и сформулированы цели исследования. Приводятся основные положения, выносимые на защиту. В первой главе на основе обзора литературы сформулированы основные цели исследования.
Во второй главе приведены основные математические уравнения, на основе которых построена математическая модель газового разряда в гидродинамическом приближении. Показан переход от математических уравнений к их алгебраическим аппроксимациям, и получены расчетные формулы для создания программного комплекса. Приведены алгоритмы и их численные реализации, использованные при создании программного комплекса для моделирования газового разряда в гидродинамическом приближении. В третьей главе записаны математические уравнения для моделирования газового разряда методом частиц. Показан переход от математических уравнений к их алгебраическим аппроксимациям, на основе которых численно реализован программный комплекс для моделирования газового раз-
ряда.
В четвертой главе представлены основные результаты компьютерного моделирования газового разряда в гидродинамическом приближении и методом частиц. Проведены сравнение полученных результатов гидродинамическим приближением и методом частиц между собой и с экспериментальными данными.
Типичные разряды в постоянном электрическом поле
Достоверность и обоснованность полученных результатов базируется на корректной постановке задачи, использовании различных тестовых задач для верификации полученных в компьютерном моделировании результатов, сравнении их с известными экспериментальными данными, сравнительном анализе результатов, полученных разными методами.
Апробация работы.
Основные положения и результаты работы докладывались и обсуждались: VIII Всероссийской школе-семинаре "Современные проблемы математического моделирования" 6-12 сентября 1999 г., пос. Дюрсо; Седьмой Всероссийской Научной Конференции Студентов-Физиков и молодых ученых, 5-10 апреля 2001 г.; Симпозиуме "Лазеры на парах металлов", Лазаревское, ОК "Зарница" 25-29 сентября 2000 года; Всероссийской молодежной научной школе-конференции "Численные методы решения линейных и нелинейных краевых задач" г. Казань 19-23 ноября 2001 г.; Всероссийской научно-технической конференции "Параллельные вычисления в задачах математической физики" Ростов-на-Дону 21-25 июня 2004 г.; Международная школа-семинар."Симметрия и косиметрия в динамических системах физики и механики". SCDS 2000. 18-23 августа Ростов-на-Дону 2000г.; IX Всероссийской школе семинаре "Современные проблемы математического моделирования" пос. Абрау-Дюрсо 17-21 сентября 2001 г.; X Всероссийской шклоле семинаре "Современные проблемы математического моделирования" пос. Абрау-Дюрсо 15-20 сентября 2003 г.; Научно-методическая конференция "Современные информационные технологии в образовании: Южный Федеральный Округ" 13-14 мая Ростов-на-Дону 2004;
Публикации.
По материалам диссертации опубликовано 11 работ, в том числе 1 статья в реферируемом журнале, 1 статья в сборниках статей, 9 статей в сборниках трудов конференций.
Объем работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, выводов. Содержание диссертации изложено на 167 страницах, включая 50 рисунков, 3 таблицы и списка цитируемой литературы из 146 наименований.
Содержание работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, выводов.
Во введении обосновывается актуальность работы и сформулированы цели исследования. Приводятся основные положения, выносимые на защиту. В первой главе на основе обзора литературы сформулированы основные цели исследования.
Во второй главе приведены основные математические уравнения, на основе которых построена математическая модель газового разряда в гидродинамическом приближении. Показан переход от математических уравнений к их алгебраическим аппроксимациям, и получены расчетные формулы для создания программного комплекса. Приведены алгоритмы и их численные реализации, использованные при создании программного комплекса для моделирования газового разряда в гидродинамическом приближении. В третьей главе записаны математические уравнения для моделирования газового разряда методом частиц. Показан переход от математических уравнений к их алгебраическим аппроксимациям, на основе которых численно реализован программный комплекс для моделирования газового раз 9 ряда.
В четвертой главе представлены основные результаты компьютерного моделирования газового разряда в гидродинамическом приближении и методом частиц. Проведены сравнение полученных результатов гидродинамическим приближением и методом частиц между собой и с экспериментальными данными.
Граничные условия для гидродинамических уравнений
При решении транспортных уравнений (2.1) и (2.2) важнейшую роль играют граничные условия. Простые граничные условия, типа п = О или Vnn = 0 - где п вектор нормали, не пригодны при решении самосогласованной задачи для всей цепи, и применимы лишь в некоторых частных случаях [59,62,65,68]. В частности, этими условиями не описывается явление вторичной электронной эмиссии с поверхности катода, которая является определяющей для многих типов разряда. Поэтому, большинство авторов, используют более общий подход, записывая граничные условия для потоков частиц, которые для электронов включают, в том числе, и вторичную эмиссию. Например, в работах [61,64,66] для вычисления потоков у поверхности используются следующие приближения: Гп = asign(q)iJ,Enn, (2.7) где п вектор нормали к стенке, коэффициент а - определяется направлением скорости дрейфа частиц в соответствии с отношением 1 sign(q)fiEn О О sign(q)/iEn 0. Для потока электронов в выражение (2.7) добавляется слагаемое, которое описывает процесс вторичной эмиссии: Геп = asign(qe)fieEnne - jpTp, (2.9) р где индекс е - означает, что уравнение записано для электронов, а суммирование в последнем слагаемом проводится по типам ионов, ударяющихся в стенку катода, j - коэффициент вторичной эмиссии.
Граничными условиями для уравнения Пуассона являются потенциалы приложенные к электродам. Диэлектрические материалы, окружающие разряд, также влияют на граничные условия, которые необходимо учесть при решении уравнения Пуассона. Это влияние связано с накоплением заряда на поверхности диэлектриков и может быть описано с помощью следующего соотношения: — SwallEwalin - SQEQU = 7, (2-Ю) — —# где Еюац и EQ - электрическое поле внутри и снаружи диэлектрика. Поверхностная плотность заряда и является результатом осаждения зарядов на стенку. Предполагается, что заряды не распространяются по поверхности, а прилипают в том месте, куда они были осаждены o = J]ndt, (2.11) — где j - плотность тока ЬЕЛ (2.12) р Ток через электроды определяется из уравнения Максвелла: I = j(jn- eo Ef j dS, (2.13) где S - площадь электрода. Второй член этого уравнения - ток смещения, описывающий ток за счет изменения заряда на поверхности электрода.
В итоге, граничные условия для уравнения Пуассона в цилиндрической системе координат запишутся следующим образом: а) вдоль оси цилиндра (р(х = 0) = 0 ip(x = L) = U, (2.14) б) вдоль радиуса цилиндра Мг = 0) = 0 д(р(г = R) = а_ дг дг г0 где U - напряжение на трубке, которое находится из решения уравнения для полной цепи с омическим сопротивлением і?ом U = иЭДС - IR0M. (2.16) Строгое решение исходной системы уравнений (2.1),(2.2),(2.5) представляет собой трудную задачу. Это обусловлено следующими обстоятельствами: уравнения связаны между собой; уравнение неразрывности (2.1) является нелинейным; коэффициенты уравнений зависят от неизвестных переменных.
Для решения исходной системы уравнений численными методами применяются различные подходы. Запишем дискретизованное по времени уравнение неразрывности в следующем виде: Р At Р + VI (nP ElE &DlpD) = Sp{nn П П (2,17)
Здесь верхние индексы относятся к некоторому моменту времени. Уравнение позволяет вычислить плотности частиц в момент времени tk+l = tk + At, если они известны в момент времени tk. Все переменные, входящие в это уравнение, могут браться либо в момент времени tk , либо в момент tk+1. В первом случае мы получаем "явную" схему интегрирования по времени, которая привлекательна с вычислительной точки зрения, но мало пригодна для решения реальных задач из-за неустойчивости решения. Во втором случае требуется решение связанной системы нелинейных уравнений, к тому же с зависящими от неизвестных коэффициентов. На практике, чаще всего используется некоторая смешанная схема. Известно, что коэффициенты Цр{Е) и DP(E) являются достаточно плавными функциями электрического поля, и поэтому они чаще всего берутся в момент времени tk. Тоже самое относится к функциям источников. В этом случае мы получаем уравнения с постоянными коэффициентами. С другой стороны, для получения стабильных схем интегрирования, плотности частиц в уравнении неразрывности берутся в момент времени 1п = к + 1.
При выборе вычислительной схемы наиболее важным является вопрос о моменте времени для электрического поля в уравнении неразрывности. Если IE = к, то система распадается на независимые уравнения, которые могут решаться последовательно. Сначала решается уравнение Пуассона, а затем найденное значение электрического поля подставляется в уравнение неразрывности для нахождения нового распределения плотностей частиц. Эта схема оказывается стабильной, если величина шага по времени At удовлетворяет условию (1.27). Это ограничение на величину шага по времени особенно сильно начинает сказываться при плотностях заряженных частиц, превышающих 108см 3.
Схема распределения заряда CIC в цилиндрических коорди натах
В декартовой системе координат объем ячейки, использующийся для расчета плотности в узлах сетки, не зависит от координат узла и является постоянным. При переходе к цилиндрической системе координат объем ячейки становится зависящим от радиальной координаты. Это приводит к систематической ошибке при использовании линейной схемы распределения заряда для вычисления плотностей на оси цилиндра и его внешней границе, т.к. в этих областях нарушается линейная зависимость объема ячейки от радиуса. На неоднородных сетках такая ошибка возникает при вычислении плотности во всех узлах сетки. Величина ошибки не зависит от величины шага сетки. В работах [91,92] была предпринята попытка компенсировать ошибку с помощью корректирующего множителя. Наиболее полно данная проблема была рассмотрена в работе [93].
Для произвольного распределения частиц /(г) в цилиндрической системе координат плотность вычисляется по формуле:
Для равномерного распределения /(г) = 2ят получим, что n(r) = 1. Для того, что бы показать природу ошибки, возникающей в линейной схеме интерполяции заряда в узлы сетки, запишем выражение для плотности частиц имеющих произвольное распределение /(г): Щ = riw Г - -, (3.88) J 2nrdr Г3-0.5 где rj радиус узла сетки с номером j, а г +о.б = (rj+i + rj)/2- Плотность частиц для Го = 0 примет вид: по = ГІГ- 0 , (3.89) / lirrdr го а на внешней границе: пн = ЇЇ (3.90) S 2irrdr rN-0.5 Для удобства рассмотрим распределение заряда с плотностью /(г) = 2лт. Дискретная плотность в узлах сетки будет равна: Uj Зг,-_1 + 2г,- + г,+1 42го + п 8 п = Q Q—Т— = о (3 92) 3 Зг0 + ri 9 и 4 2гту + Гіу-і 3 Л г - dr П" = ЗЗг + гя-! = 4/3 4Wr-rfr (3 93)
Для однородных сеток видно, что выражение (3.91) дает точное значение, а выражения (3.92),(3.93) приводят к ошибкам. Следовательно, на однородных сетках линейная схема интерполяции заряда приводит к точному значению плотности во внутренних узлах сетки и к ошибкам в узлах на оси цилиндра и его внешних границах. Систематическая ошибка составляет 1/3 на оси цилиндра и не зависит от шага сетки Аг по радиусу. Ошибка на внешней границе цилиндра быстро уменьшается при увеличении числа разбиений и для N — 10 она составляет 0.85%.
Для исправления данной ошибки используется корректировка вычисления объема при вычислении плотностей в узлах сетки. Элемент объема интерполируется в узел сетки с помощью той же функции, что и заряд. Таким образом, в общем случае, вместо уравнения 3.87 для вычисления плотности используется следующее уравнение: где Wj(r) - функция интерполяции заряда с координатой г в узел сетки с номером j, dV - элемент объема. Для цилиндрических координат dV — 2-Krdr.
Для вычисления плотностей во внутренних узлах при использовании линейной схемы интерполяции заряда, получим выражение: п, = Щ & -2_, (3.95) / 2ivr f -dr+ f 2-Kv rdv Tj-i Tj ГІ-1 Tj rj+l rj а для плотностей в граничных точках: ?f(r)fr%dr щ = % 2- _ (3.96) S r -dr Ты nN = - . (3.97) J 2тгггг-г"-г dr если подставить в эти формулы функцию для плотности /(г) = 27гг, то получим точное решение rij = 1 во всех узлах 0 j N. Для общего вида функции /(г), уравнения (3.95)-(3.97) приводят к ошибке, которая зависит от выбора функции для интерполяции заряда. Для линейной формулы интерполяции заряда эта ошибка пропорциональна Аг2.
Нелокальные эффекты катодного слоя. Функция распределения
Это исследование подтверждает, что метод частиц и метод столкновений Монте-Карло хорошо описывают физику процессов происходящих в газовом разряде на микроуровне. Поэтому эти методы, в последние годы, широко используются для расчетов функций распределения различных частиц, в тех случаях, когда проведение экспериментальных исследований затруднительно [123,124]. Кроме того, подобные расчеты используются для верификации различных теоретических моделей, которые базируются на прямом решении уравнения Больцмана.
Задача нахождения функции распределения частиц сама по себе является актуальной. Результаты таких расчетов используются при проектировании лазеров для вычисления уровней населенности. В физике газового разряда знание полной функции распределения частиц позволяет найти любой параметр газового разряда. Например, средняя скорость или скорость дрейфа определяется из функции распределения по скоростям следующим образом: Щ = {v) = JJJvfn(v)dvxdvyvz, а первый ионизационный коэффициент а: fi а = — ,где Vd fi = (v 7io) = JJJV(Ti0fn(v)dvxdvyvz.
Ha рисунках 4.7,4.8 представлен вид нормированной fn функции распределения электронов и ионов по компоненте скорости vx. Эта функция распределения по vx представляет особый интерес, так как она совпадает с направлением напряженности электрического поля. Функции распределения по другим координатам являются симметричными относительно оси абсцисс, так что средняя скорость по осям у, z равна нулю. Нормированная функция fn означает, что: / f(e,P){V)dv —оо где знаменатель равен общему числу частиц: оо / f(e,p)iV)dv = N —оо Следовательно, для нормированной функции распределения выполняется следующее равенство: оо J fn(e,p)(V)dv= L —оо
В литературе чаще всего используется нормированная функция распределения т.к. реальную функцию распределения легко получить из нее умножив на число частиц. Это предоставляет возможность использовать найденную нормированную функцию распределения в разных расчетах при разных условиях.
Из рисунков 4.7,4.8 видно, что функции распределения электронов и ионов по vx несимметричны. Функция распределения электронов смещена относительно нуля в положительном направлении, а функция распределения ионов в отрицательном. Это связано с тем, что на хаотическое движение электронов и ионов за счет процессов рассеивания на нейтральных атомах, накладывается процесс дрейфа по направлению приложенного поля. При этом электроны дрейфуют в положительном направлении, а ионы в отрицательном. Обращает на себя внимание разница скоростей ионов и электронов, которая связана с разной массой ионов и электронов.
Приведенные результаты показывают, что метод частиц и метод столкновений Монте-Карло позволяют найти любую функцию распределения частиц и проследить ее изменение в динамике, а также вычислить любые средние параметры. Например, в работе [125] расчитывалась частота возбуждения на определенный уровень атома, которая затем использовалась для расчета интенсивности излучения в ячейке плазменного телевизора.
При моделировании газового разряда метод частиц позволяет получать большой объем самой различной информации, однако такая информативность требует больших вычислительных затрат. Поэтому, когда речь идет о самосогласованном моделировании газового разряда с внешней цепью, то для экономии вычислительных затрат обычно вычисляются (2 -f- 3) средних параметра. В тех случаях, когда возникает необходимость вычисления большего числа параметров, то обычно запоминают рассчитанное электрическое поле внутри моделируемой системы в определенные временные точки, а затем, используя эти данные, отдельно рассчитывают функции распределения и необходимые средние параметры.
