Содержание к диссертации
Введение
1 Задача Шоуолтера-Сидорова 30
1.1 Предварительные сведения 30
1.2 Фазовые пространства 34
1.3 Однозначная разрешимость, эволюционный случай . 39
1.4 Однозначная разрешимость, динамический случай . 45
2 Оптимальное управление 48
2.1 Функциональные пространства и дифференциальные операторы 48
2.2 Достаточные условия разрешимости 53
2.3 Обобщенное фильтрационное уравнение Буссинеска . 57
2.4 Уравнение Хоффа 64
2.5 Уравнение Осколкова нелинейной фильтрации . 70
2.6 Уравнение нелинейной диффузии 76
3 Приложения 84
3.1 Уравнение Хоффа 84
3.2 Уравнение Осколкова 88
Список литературы 94
- Фазовые пространства
- Однозначная разрешимость, динамический случай
- Достаточные условия разрешимости
- Уравнение Осколкова нелинейной фильтрации
Введение к работе
Актуальность темы. Уравнения, неразрешенные относительно старшей производной, впервые появились, видимо, в работах А. Пуанкаре. Первым, кто начал систематическое изучение начально-краевых задач для уравнений вида
L х +Мх = и, (11)
где L и М (возможно, матричные) дифференциальные операторы в частных произодных по "пространственным" переменным, был С. Л. Соболев в 40-х годах прошлого столетия. С тех пор возникла традиция уравнения вида (9), (11) и конкретные их интерпретации вида (3) - (5), (7) называть уравнениями Соболевского типа. В настоящее время теория уравнений Соболевского типа переживает пору бурного расцвета, - за последние семь лет вышло шесть монографий, целиком или частично посвященных уравнениям (9), (II)4.
4Showalter, R. Е. Hilbert space methods for partial differential equations / R. E. Showalter.- Pitman, London, San Francisco, Melbourne, 1977.
Демиденко, Г. В. Уравнения и системы, не разрешенные относительно старшей производной / Г. В. Демиденко, С. В. Успенский.- Новосибирск: Научная книга, 1998.
Sidorov, N. Lyapunov-Shmidt methods in nonlinear analysis and applications / N. Sidorov, B. Loginov, A. Sinithyn, M. Falaleev.- Dordrecht, Boston, London: Klu-wer Academic Publishers, 2002.
Бояринцев, Ю. E. Алгебро-дифференциальные системы: методы решения и исследования / Ю. Е. Бояринцев, В. Ф. Чистяков.- Новосибирск: Наука, 1998.
Melnikova, I. V. Abstract Cauchy problems: three approaches. Chapman and Hall I I. V. Melnikova, A. Filinkov- CRC, Boca Raton, FL, 2001.
Егоров, И. E. Неклассические дифференциально-операторные уравнения / И. Е. Егоров, С. Г. Пятков, С. В. Попов- Новосибирск: Наука, 2000.
Гаевский, X. Нелинейные операторные уравнения и операторные дифферен-
' Данная диссертация лежит в русле научного направления, развиваемого Г. А. Свиридюком и его учениками. Главным здесь является нахождение и изучение фазовых пространств уравнений Соболевского типа. В частности, простота фазовых пространств уравнений (3) - (5), (7) была доказана В. О. Казаком и Н. А. Манаковой.
Физические процессы, имеющие место в технике, как правило, управляемы. Теорию оптимального управления обыкновенными дифференциальными уравнениями создавали Л. С. Понтрягин, Н. Н. Красовский, В. И. Зубов, В. М. Матросов и многие другие. Задачи оптимального управления для уравнений в частных производных изучали Ж.-Л. Лионе, А. В. Фурсиков, Н. Папагеоргио, А. В. Аргучинцев и многие другие. Задачи оптимального управления для уравнений Соболевского типа изучали Г. А. Свиридюк, А. А. Ефремов, В. Е. Федоров, М. В. Плеханова, В. Ф. Чистяков, С. В. Гайдомак и многие другие.
Методы исследования. Основным методом исследования полулинейных уравнений Соболевского типа в данной диссертации служит метод фазового пространства, предложенный Г. А. Свиридюком и Т. Г. Сукачевой. Вкратце суть этого метода заключается в редукции уравнений (9), (11) к стандартным уравнениям
х = Sx + F(x), і = Sx,
определенным однако не на всем пространстве, а на некотором его подпространстве, понимаемом как фазовое пространство уравнений (9), (11)- Для изучения вопроса существования решения уравнения (9) с самосопряженным, неотрицательно определенным, фредголь-мовым оператором L и s-монотонным и р-коэрцитивным оператором
циальные уравнения / X. Гаевский, К. Грегер, К. Захариас- М.: Мир, 1978.
Sviridyuk, G. A. Linear Sobolev type equations and degenerate semigroups of operators I G. A. Sviridyuk, V. E. Fedorov.- Utrecfit : VSP, 2003.
М мы используем метод монотонности. Мы строим приближенные решения посредством метода Галеркина-Петрова-Фаэдо; существование приближенных решений доказывается с помощью теоремы существования решения для системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Далее нас интересует вопрос существования оптимального управления задачи (10) решениями задачи (8), (9), здесь управление и берется из некоторого замкнутого и выпуклого множества в пространстве управлений. Поскольку решение получается непрерывным, то функционал стоимости (10) можно записать в виде J(x, и) = J(u) и, пользуясь теоремой Мазура, получить существование оптимального управления.
Новизна полученных результатов. Основным результатом диссертации является теорема существования оптимального управления для полулинейных уравнений Соболевского типа. Полученные абстрактные результаты реализованы в конкретных начально-краевых задачах для уравнений (3) - (5), (7). Получены необходимые условия, которым удовлетворяет любое оптимальное управление уравнениями (3) - (5), (7).
Теоретическая и практическая значимость. Результаты диссертации имеют как теоретический, так и практический характер. К результатам теоретической значимости следует отнести теоремы существования решения и оптимального управления абстрактными полулинейными уравнениями соболевского типа. Полученные абстрактные результаты затем используются при исследовании задач оптимального управления для уравнений (3) - (5), (7). Эти результаты необходимы при построении численных алгоритмов решения задач. Построенные алгоритмы реализованы в вычислительной среде Maple 9.0 и найдены галеркинские приближения решения и оптимальное управление для уравнений (4), (7).
Апробация работы. Результаты, изложенные в диссертации,
докладывались на VI Сибирском конгрессе по прикладной и индустриальной математике, посвященном памяти М. А. Лаврентьева, в 2000 году (г. Новосибирск), Всероссийской научной конференции "Алгоритмический анализ неустойчивых задач" в 2001 и 2004 году (г. Екатеринбург), Международной школе-семинаре по геометрии и анализу в 2000 году (г. Ростов-на-Дону), Международной конференции, посвященной 105-летию со дня рождения акад. М. А. Лаврентьева, в 2005 году (г. Новосибирск). Также результаты докладывались на семинаре профессора Г. А. Свиридюка в Челябинском государственном университете (г. Челябинск).
Данное исследование поддержано стипендией Президента РФ (2004 г.), грантом Правительства Челябинской области (2003 г.) и стипендией Законодательного собрания г. Челябинска (2002 г.).
Публикации. Все результаты диссертации своевременно опубликованы [1] - [10]. Необходимо отметить, что во всех работах, выполненных в соавторстве с научным руководителем, последнему принадлежит только постановка задачи и идеи доказательств.
Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав и списка литературы. Объем диссертации составляет 111 страниц. Библиография содержит 114 наименований работ российских и зарубежных авторов.
Фазовые пространства
Однозначная разрешимость задачи (0.1) - (0.3) была получена Г. А. Свиридюком (анонсированный результат [50], доказательства [53]), Г. А. Свиридюком и И. Н. Семеновой [65] (с неоднородными краевыми условиями), Г. А. Свиридюком и М. В. Климентьевьш [63] (полученные выше решения продолжены на полуось R+). Во всех случаях показано, что фазовым пространством задачи является простое гладкое банахово многообразие. (Напомним, что простым называется такое многообразие, любой атлас которого эквивалентен атласу, содержащему единственную карту).
Уравнение (0.4) моделирует процесс фильтрации вязкоупругой несжимаемой жидкости (например, нефти). Искомая функциям = x(s, t) соответствует давлению фильтрующейся жидкости; параметры а, А 3R+ характеризуют вязкие и упругие свойства жидкости соответственно; свободный член и = u(s,), как и выше, отвечает внешней нагрузке. Задача (0.1), (0.2), (0.4) в разных аспектах была исследована А. П. Осколковым [43], [44] и его учениками [45] в случае положительности параметра А. Однако экспериментально [2] было показано, что параметр А может принимать отрицательные значения. Задача (0.1), (0.2), (0.4) при любых значениях параметра А R была изучена Г. А. Свиридюком и Н. А. Манаковой [113]. Показано, что фазовым пространством этой задачи служит простое банахово С-многообразие.
Уравнение (0.5) моделирует процесс нелинейной диффузии. Свободный член и = u(s,t), как и выше, отвечает внешней нагрузке. Однозначная разрешимость задачи (0.1), (0.2), (0.5) была установлена Г. А. Свиридюком [53]. Другими методами при А Є М+ данная задача была изучена Лиу Чангчунгом и было показано существование слабого решения [88] и его асимптотические свойства [89].
Уравнение (0.7) получено Н. Дж. Хоффом [93] в случае п — 1. Искомая функция х — x(s, t) показывает отклонение балки от вертикали под действием постоянной нагрузки А Є К+. Параметры а, р Ш характеризуют свойства материала балки; свободный член и — u(s, t) соответствует внешней (боковой, в случае п=1) нагрузке. Однозначная разрешимость задачи (0.2), (0.6), (0.7) была установлена Г. А. Свиридюком [55], [56]. Здесь было показано, что фазовое пространство локально является банаховым С-многообразием. Простота фазового пространства была доказана Г. А. Свиридюком и В. О. Казаком [62] в случае ар > 0, что охватывает физически осмысленную ситуацию.
Уравнения, неразрешенные относительно старшей производной, впервые появились, видимо, в работах А. Пуанкаре (см. обстоятельный обзор в монографии Г. В. Демиденко и С. В. Успенского [15]). Затем они возникали в работах С. В. Озеена, Ф. К. Ж. Одквиста, У. Буссинеска, С. Г. Россби и многих других, что было связано с исследованием некоторых проблем гидродинамики. Первым, кто начал систематическое изучение начально-краевых задач для уравнений вида где L и М (возможно, матричные) дифференциальные операторы в частных произодных по "пространственным" переменным, был С. Л. Соболев в 40-х годах прошлого столетия. В 1954 году в работе [63] им было получено уравнение, моделирующее колебания гравити-рующей жидкости, и изучена задача Коши для него. Эта работа легла в основу нового направления, которое первоначально развивалось учениками С. Л. Соболева - Р. А. Александряном [67], С. А. Галь-перном [13], А. Г. Костюченко и Г. И. Эскиным [27], Т. И. Зеленяком [22] и многими другими. Их результаты инициировали работы В. Н. Врагова [11], А. И. Кожанова [26], [94] и С. Г. Пяткова [18] но неклассическим уравнениям математической физики.
Первым абстрактные уравнения вида (0.11) в их связи с уравнениями в частных производных начал изучать Р. Е. Шоуолтер [100], [101]. Независимо от него М. И. Вишик [10] рассмотрел задачу Коши для уравнения (0.11) и разработал численные методы ее решения. Р. Е. Шоуолтер [101] и независимо от него Н. А. Сидоров со своими учениками [69], [70] первыми начали изучать полулинейные уравнения вида (0.9) с различными вырождениями оператора L и получать приложения абстрактных результатов к конкретным начально-краевым задачам для уравнений в частных производных.
Однозначная разрешимость, динамический случай
Первыми, кто начал изучать разрешимость задачи Коши для абстрактного линейного операторного уравнения (0.11), были С. Г. Крейн [30] и его ученики. В их работах был детально изучен случай (, (т)-ограниченного оператора М. Показано, что фазовым пространством уравнения (0.11) служит некоторое подпространство в Я коразмерности, равной размерности М-корневого пространства фредгольмова оператора Ь. Все работы имеют сугубо теоретический характер и не содержат никаких приложений, как и тесно примыкающие к ним результаты И. В. Мельниковой и ее учеников [40], [98].
Отдавая дань С. Л. Соболеву, уравнения вида (0.11) и конкретные их интерпретации (вида (0.3) - (0.5), (0.7)) часто называют уравнениями соболевского типа [27], [44], [66], [67], [97], [100], [103]. Далее всюду мы считаем этот термин синонимом терминов "вырожденные дифференциальные уравнения" [91], [98] и "дифференциальные уравнения, неразрешенные относительно старшей производной" [15], "неклассические дифференциально-операторные уравнения" [18], "псевдопараболические" и "псевдогиперболические" уравнения [15], [94] и "уравнения не типа Коши - Ковалевской" [37]. Уравнения соболевского типа являются самостоятельной частью обширной области неклассических уравнений математической физики. Заметим еще, что важность и необходимость создания общей теории уравнений вида (0.9), (0.11) отмечали И. Г. Петровский [46] и Ж.-Л. Лионе [35].
В настоящее время уравнения соболевского типа переживают пору бурного расцвета, - за последние семь лет вышло шесть монографий, целиком или частично посвященных уравнениям (0.9), (0.11). Открывает этот список монография Р. Е. Шоуолтера [101], в которой расматриваются уравнения (0.9), (0.11) с самосопряженным оператором L, определенные в полугильбертовом пространстве, т. е. пространстве, имеющем нехаусдорфову топологию. Очень своеобразный подход позволил автору получить результаты о разрешимости задачи (0.8) для уравнения (0.9), где в качестве прообраза оператора L выступает эллиптический оператор, вырождающийся на множестве ненулевой меры.
В монографии Н. А. Сидорова, Б. В. Логинова, А. В. Синици-на и М. А. Фалалеева [102] разработаны приложения метода Ляпунова - Шмидта к полулинейным уравнениям и их обобщениям. Доказано существование и единственность решения в классе непрерывных функций задачи Коши для неоднородного уравнения (0.9) с сильно измеримой и интегрируемой по Бохнеру неоднородностью и дополнительными условиями на оператор N (типа ограничений). Показано существование w- периодического решения задачи Коши для неоднородного уравнения (0.11) с замкнутыми плотно определенными операторами и ш-периодической неоднородностью.
В монографии Ю. Е. Бояринцева, В. Ф. Чистякова [4] предметом изучения является алгебро-дифференциальные неоднородные системы вида (0.11) с прямоугольной или вырожденной при всехі Є [0, Т] матрицей L(t). Доказаны теоремы существования и единственности задачи Коши для алгебро-дифференциальных систем вида (0.11) с регулярной и сингулярной парой постоянных (m х п)-матриц L и М. Рассматривается задача об оптимальном управлении с квадратичным функционалом общего вида и с условием, представляющим собой сингулярную систему.
Для случая постоянных матриц имеются два подхода к сведению задачи оптимизации к решению регулярной системы. В работах Г. А. Свиридюка и С. В. Брычева [58], Г. А. Свиридюка и И. В. Бурлачко [59] на основе метода фазового пространства построен новый численный алгоритм для решения вырожденных систем обыкновенных дифференциальных уравнений. Этот алгоритм доведен до конечного программного продукта. Данный алгоритм отличается от ставшими классическими аналогов Ю. Е. Бояринцева и В. Ф. Чистякова [4].
В монографии И. В. Мельниковой и А. И. Филенкова [98] получены необходимые и достаточные условия равномерной корректности в терминах условий типа Хилле - Иосиды и расщепления исходных пространств в прямые суммы ядра и образа оператора при производной по времени.
В монографии И. Е. Егорова, С. Г. Пяткова и С. В. Попова [18] исследована разрешимость краевой нелокальной задачи для неоднородного уравнения (0.11), где опеарторы L,M - самосопряженные (или диссипативные) операторы, определенные в гильбертовом пространстве. Получен результат о существовании сильного решения данной задачи и показано, что при выполнении некоторых условий разрешимости (ортогональности) решение краевой задачи является гладким.
В монографии X. Гаевского, К. Грегера, К. Захариаса [12] исследуется задача Коши для псевдопараболического уравнения (0.9) с равномерно липшиц-непрерывньш и сильно монотонным оператором L и липшиц-непрерывным оператором Вольтерры М. Доказываются теоремы существования и единственности решений данной задачи, а также сходимость метода Галеркина.
Достаточные условия разрешимости
Физические процессы, имеющие место в технике, как правило управляемы. В связи с этим возникает вопрос о нахождении наилучшего в том или другом смысле или, как говорят, оптимального управления процессом. В настоящее время в математической литературе существует несколько основных подходов к решению задач оптимального управления. Один из них относится к изучению задач оптимального управления для обыкновенных дифференциальных уравнений. Л. С. Понтрягин [49] рассматривал такие управляемые процессы, каждый из которых может быть описан системой обыкновенных дифференциальных уравнений Л. С. Понтрягину, его ученикам и соратникам принадлежит решение значительного числа таких вариационных задач. Решение это в существенных чертах объединяется одним общим приемом, - прин-ципумом максимума. Для задачи быстродействия принцип максимума был в качестве гипотезы впервые высказан Л. С. Понтряги-ным. Первое доказательство принципа максимума было дано Р. В. Гамкрелидзе для линейных управляемых систем. В общем нелинейном случае принцип максимума доказал В. Г. Болтянский, который вслед за тем построил основы нелинейной теории оптимального управления.
Для теории управляемых систем и для ее приложений важна задача о построении управляющего воздействия и, которое приводит объект в заданное состояние. Такие задачи для систем (0.12) были изучены Н. Н. Красовским [29] и его учениками. Н. Н. Красовским была проведена аналогия между теорией линейных управляемых систем и теорией игр. В частности, была выяснена тесная связь между правилами минимакса, определяющими решение задач об управлении и наблюдении, с условием седловой точки для тех игр, которые можно сопоставить этим задачам.
В. И. Зубовым [23] была решена проблема стабилизации программных движений, включая их построение, а также методы синтеза управлений, в том числе построения оптимальных управлений. На основе второго метода Ляпунова В. И. Зубовым построен подход к нахождению необходимых и достаточных условий оптимальности в различных вариационных задачах.
Для исследования широкого класса нелинейных задач управления В. М. Матросовым [39] и его учениками был применен метод вектор-функций Ляпунова. Этот метод был применен для анализа устойчивости и других динамических свойств для нелинейных систем с распределенными параметрами вида (0.12), и были получены теоремы сравнения и теоремы экспоненциальной устойчивости.
В работах Г. А. Куриной [32], [33] изучаются матрично сингулярно возмущенные задачи оптимального управления. Исследуется вопрос о поведении решений этих задач при стремлении к нулю малого параметра. Изучена взаимосвязь между множествами сингулярно возмущенной системы и вырожденной системы. Доказаны теоремы о структуре множества достижимости, равномерной сходимости по е.
Другой подход представлен в работах Ж.-Л. Лионса [35], [36], А. В. Фурсикова [82] и многих других, он основан на изучении уравнений в частных производных. Теория оптимизации для систем с распределенными параметрами, описываемыми уравнениями с частными производными, стала разрабатываться уже после того, как были получены основные результаты в теории оптимизации для обыкновенных дифференциальных уравнений. Работа Ж.-Л. Лионса [35] была первой монографией, в которой систематически изучаются оптимальные задачи для уравнений с частными производными. Наибольшее внимание в ней уделено линейным эллиптическим, параболическим, гиперболическим системам с квадратичной функцией стоимости и изучаются соответствующие односторонние граничные задачи. Кроме того, рассмотрены вопросы аппроксимации оптимальных решений.
Еще одну свою монографию [36] Ж.-Л. Лионе посвятил проблемам управления сингулярными распределенными системами. В таких системах заданному управлению может не соответствовать единственное устойчивое состояние. Поэтому Ж.-Л. Лионсом рассматривается вопрос существования обобщенных оптимальных пар, изучаются их свойства и предлагаются численные методы для их определения. На широком наборе примеров из различных прикладных областей иллюстрируются необходимые условия оптимальности, которые в случае обычных рапределенных систем переходят в известные (принцип максимума).
Продолжением и развитием последних результатов стала монография А. В. Фурсикова [82]. А. В. Фурсиков исследовал абстрактные оптимальные задачи с линейной и нелинейной упавляемыми системами (0.9), (0.11), где операторы L и М непрерывны. Показано, что линейная экстремальная задача разрешима при условии нетривиальности и коэрцитивности. Для разрешимости нелинейной экстремальной1 задачи к указанным выше условиям добавляется условие компактности, накладывающее достаточно жесткие условия на оператор М. Все абстрактные результаты были применены к различным классам задач оптимального управления.
Уравнение Осколкова нелинейной фильтрации
Для изучения вопроса существования решения уравнения (0.9) с самосопряженным, неотрицательно определенным, фредгольмовым оператором L и s-монотонным и р-коэрцитивным оператором М мы используем метод монотонности. Мы строим приближенные решения посредством метода Галеркина-Петрова-Фаэдо; существование приближенных решений доказывается с помощью теоремы существования решения для системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Для метода монотоности требуется построение априорных оценок. Наиболее простые априорные оценки проистекают из физических соображений и свойств операторов L и М. Далее, пользуясь теоремой Банаха-Алаоглуі мы переходим к слабому пределу и доказываем, что он и есть искомое решение. Доказательство единственности решения существенным образом опирается на свойство s-монотонности оператора М. Как правило, оно устанавливается посредством умножения уравнения, которое мы решаем, на линейные комбинации неизвестных функций и подходящего интегрирования по частям. Далее нас интересует вопрос существования оптимального управления задачи (0.10) решениями задачи (0.8), (0.9), здесь управление и берется из некоторого замкнутого и выпуклого множества в пространстве управлений. Поскольку решение получается непрерывным, то функционал стоимости (0.10) можно записать в виде J(x, и) = J(u) и, пользуясь теоремой Мазура, получить существование оптимального управления.
Для расмотрения вопроса разрешимости уравнений (0.3) - (0.5), (0.7) существенную роль играет выбор функциональных пространств, в которых решается задача. Важность этого факта отмечали О. А. Ладыженская и Ж.-Л. Лионе [35]. Эта трудность связана с вопросом о гладкости: если удается доказать, что рассматриваемая (нелинейная) задача является корректной в некотором функциональном классе, то, как правило, неверно, что решение будет очень гладким, коль скоро этим свойством обладают данные задачи. Опираясь на построенную абстрактную теорию для уравнения (0.9), мы решаем задачу оптимального управления. Необходимое условие минимума функционала ищется в терминах сопряженной задачи. На этом пути получаются граничные задачи, которые являются линейными и также могут решаться методом монотонности.
Результаты диссертации имеют как теоретический, так и практический характер. К результатам теоретической значимости следует отнести теоремы существования решения и оптимального управления абстрактных полулинейных уравнений соболевского типа. Полученные абстрактные результаты затем используются при исследовании задач оптимального управления для обобщенного фильтрационного уравнения Буссинеска, уравнения Хоффа выпучивания двутавровой балки, уравнения Осколкова нелинейной фильтрации, уравнения нелинейной диффузии. Эти результаты необходимы при построении численных алгоритмов решения задач.
Результаты, изложенные в диссертации, докладывались на VI Сибирском конгрессе по прикладной и индустриальной математике, посвященном памяти М. А. Лаврентьева, в 2000 году (г. Новосибирск), Всероссийской научной конференции "Алгоритмический анализ неустойчивых задач" в 2001 и 2004 году (г. Екатеринбург) [112], [107], Международной школе-семинаре по геометрии и анализу в 2000 году (г. Ростов-на-Дону) [ill], студенческих конференциях Челябинского государственного университета в 2001 и 2002 году (г. Челябинск) [ПО], Международной конференции, посвященной 105-летию со дня рождения акад. М. А. Лаврентьева, в 2005 году (г. Новосибирск) [108]. Также результаты докладывались на семинаре профессора Г. А. Свиридюка в Челябинском государственном университете (г. Челябинск).
Данное исследование поддержано стипендией Президента РФ (2004 г.), грантом Правительства Челябинской области (2003 г.) и стипендией Законодательного собрания г. Челябинска (2002 г.).
Диссертация, кроме введения и списка литературы, содержит три главы. Список литературы включает 114 наименований работ отечественных и зарубежных авторов, составляющих информационную базу диссертации.
Первая глава состоит из четырех параграфов, в которых рассмотрен вопрос существования и единственности задачи (0.8), (0.9). П. 1 содержит сведения из теории банаховых пространств, операторов в банаховых пространствах [12], [41] и алгебро-дифферен-циальных систем [53]. Этот параграф носит вспомогательный характер. В п. 2 изучена структура фазового пространства уравнения (0.9). Впервые схема доказательства простоты фазового пространства была предложена Г. А. Свиридюком в его работе [53] для эволюционного случая, мы ее продолжили на динамический случай. В п. 3 рассмотрен вопрос однозначной разрешимости задачи Коши (0.8) для эволюционного операторно-дифференциального уравнения (0.9). Впервые эта задача была решена Г. А. Свиридюком в его работе [53], мы адаптировали данные результы к пашей ситуации и востановили пропущенные этапы доказательств. В п. 4 рассмотрена задача Коши (0.8) для динамического операторно-дифференциального уравнения (0.9).
Осколкова нелинейной фильтрации (0.4). Подобраны функциональные пространства, при которых уравнение (0.4) можно редуцировать к абстрактному эволюционному уравнению (0.9). Методами, предложенными в главе 1, изучается вопрос существования и единственности решения задачи (0.1), (0.2), (0.4). Установлено существование оптимального управления задачи (0.10) и найдены необходимые условия существования минимума функционала. В п. 6 рас-смотрено уравнение нелинейной диффузии (0.5). Подобраны функциональные пространства, при которых уравнение (0.5) можно редуцировать к абстрактному уравнению (0.9). Методами, предложенными в главе 1, изучается вопрос существования и единственности решения задачи (0.1), (0.2), (0.5). Установлено существование оптимального управления задачи (0.10) и найдены необходимые условия существования минимума функционала.
Третья глава состоит из двух параграфов и содержит приложения, разработанные в вычислительной среде Maple 9.0. В п. 1 представлены результаты работы программ, вычисляющих оптимальное управление для уравнения Хоффа в случае п = 1, Р — 0. В п. 2 представлены результаты работы программ, вычисляющих оптимальное управление для уравнения Осколкова нелинейной фильтрации в случае п = 2, р = 2.
