Содержание к диссертации
Введение
Глава I. Формулировка краевых задач теории мелководных волн 17
1.1. Физическая постановка задачи 17
1.2. Гидродинамическая аналогия в теории мелководных волн 21
1.3. Вывод основных уравнений 24
1.4. Вывод краевых условий 31
1.5. Математическая формулировка краевой задачи 36
1.6. Описание метода полной аппроксимации. Получение формул для коэффициента давления 37
Глава II. Дифракция мелководных волн на тонком теле при движении с околокритической скоростью 43
2.1. Формулировка и решение краевой задачи при числах Фруда больших единицы 43
2.2. Анализ полученных результатов 55
2.3. Формулировка и решение краевой задачи при числах Фруда меньших единицы 56
2.4. Анализ полученных результатов 66
Глава III. Низкочастотные гармонические колебания телесного профиля в околозвуковом потоке газа при числах Маха больших единицы 70
3.1. Формулировка и решение краевой задачи 70
3.2. Анализ полученных результатов 79
Глава IV. Оптимальные формы обтекаемых контуров тел минимального волнового сопротивления при околокритических скоростях и числах Маха или Фруда больших единицы 81
4.1. Формулировка и решение задачи определения профиля крыла самолёта 81
4.2. Анализ полученных результатов 90
4.3. Формулировка и решение задачи определения контура ватерлинии корабля или гидросамолёта 94
4.4. Анализ полученных результатов 97
Заключение 101
Литература
- Гидродинамическая аналогия в теории мелководных волн
- Формулировка и решение краевой задачи при числах Фруда меньших единицы
- Формулировка и решение задачи определения профиля крыла самолёта
- Формулировка и решение задачи определения контура ватерлинии корабля или гидросамолёта
Введение к работе
Актуальность проблемы.
При исследовании математических моделей теории околозвуковых течений в газовой динамике и околокритических течений в гидродинамике на мелкой воде возникают задачи, описываемые нелинейными дифференциальными уравнениями в частных производных второго и выше порядков. В частности, это задачи теории мелководных волн, ряд задач околозвуковой газовой динамики и другие.
Первые теоретические работы в этой области относятся к 40-м годам. В течении последующих четырёх десятилетий были получены решения ряда задач теории мелководных волн, касающиеся сверхкритических и докритических режимов обтекания тел, что соответствовало сверхзвуковым и дозвуковым течениям в газовой динамике, но только в линейной постановке. Значимые результаты были получены Н.Е. Жуковским [22], А.А. Костюковым [26], А. Мие-ле [76], М.Д. Хаскиндом [80], Л.Н. Сретенским [72], Д. Ньюменом [56], Дж. Коулом, Л. Куком [29], J. СМ. Коротковым [25], J. A. Aranha, С.А. Martins [83] и др. Решение же вышеупомянутых задач в нелинейной постановке вызывало большие трудности, что было связано с несовершенством математического аппарата их исследования. Актуальность данного направления послужила в последние годы толчком к разработке и развитию ряда качественных и приближенных аналитических методов исследования математических моделей, которые успешно применялись к отдельным задачам. Общий обзор методов дан в работах [3, 5-7, 9, 71, 35-37,12,17, 63,64, 81].
С точки зрения современного состояния теории большой интерес представляют работы ученых Новосибирского института гидродинамики им. М. А. Лаврентьева И.В. Стуровой [73] - [74] и И.К. Тена [75]. И.В. Стуровой найдены решения двумерных нестационарных задач о поведении плавающей на свободной поверхности жидкости упругой балки конечных размеров и упругой круг-
лой пластины под действием внешней нагрузки. Совместное движение тел и жидкости рассмотрено в рамках линейной теории. И.К. Тен рассматривает двумерную нестационарную задачу о плавающем теле прямоугольной формы в слое жидкости конечной глубины. Задача исследуется в рамках линейной теории потенциального движения идеальной несжимаемой жидкости. Уравнения движения жидкости сводятся к бесконечной системе интегральных уравнений Вольтерра второго рода методом декомпозиции области течения и полученная система исследуется и решается численно методом редукции. В результате найдено распределение гидродинамических давления и силы, действующих на тело.
В работе СИ. Горлова [13] рассматривается применение численного метода Рунге-Кутта-Фельберга к задаче о погружении кругового цилиндра под свободной поверхностью весомой жидкости. В результате приводятся профили генерируемых волн и суммарные гидродинамические характеристики контура.
Т.А. Кулагина и О.А. Трошкина [31] рассматривают решение краевой задачи обтекания телесного профиля потоком сжимаемой жидкости на малых отстояниях от опорной поверхности в случае дозвукового диапазона течений методом малых возмущений. В результате получены значения коэффициента подъёмной силы и моментов.
В.П. Житников, О.И. Шерыхалин и Н.М. Шерыхалина исследуют задачи о течении идеальной несжимаемой весомой жидкости при наличии внутреннего источника, вихря, диполя или тела конечного размера [21]. Для решения задач применяются численно-аналитические методы с выделением особенностей. Основное внимание уделяется решениями типа солитона и волны Стокса. Решение строится в виде аналитической функции, удовлетворяющей тривиальным краевым условиям на всех участках границы, за исключением одного, где граничное условие задается в виде нелинейного интегрального уравнения (интеграла Бернулли). Особенности, соответствующие волне Стокса и солитону, учитываются с помощью дополнительных слагаемых, входящих в решение.
Коэффициенты перед дополнительными слагаемыми определяются из краевого условия путем предельных переходов к особым точкам.
Интересна, с точки зрения исследования математических моделей теории околокритических течений, работа В.Г. Сизова [70], посвященная обсуждению вопроса о граничном условии на бесконечности для краевой задачи, определяющей потенциал скоростей, вызванных движущимся судном. Здесь приводится высказанное М.Г. Крейном предположение о возможных условиях на бесконечности впереди и позади судна. Затем рассмотрен метод, примененный Мичеллом для решения полученной им краевой задачи. Отмечается, что по сути Мичелл впервые применил обобщенное преобразование Фурье для решения краевой задачи. Указывается более общий вид уравнений, к которым применимо преобразование Фурье-Мичелла.
Д.Ф. Абзалиловым и Н.Б. Ильинским в рамках модели идеальной несжимаемой жидкости рассматривается задача построения крылового профиля, обладающего продольной устойчивостью [1]. Решение строится методом обратных краевых задач аэрогидродинамики. Выполнение условий разрешимости задачи и продольной устойчивости профиля достигается применением способа квазирешения некорректных задач математической физики. Такой подход, использующий в качестве основных исходных данных распределение скорости по искомому контуру крылового профиля, позволяет находить форму устойчивых профилей, обладающих достаточно хорошими аэродинамическими характеристиками.
В диссертации В. Г. Леонтьева [32] поставлена и решена задача построения крылового профиля, вдоль контура которого задано распределение скорости в виде кусочно-постоянной функции. Доказано, что для рассмотренного класса имеется максимум подъемной силы. Построено численное решение задачи нахождения формы бесконечно тонких профилей, обладающих максимальной подъемной силой, в неограниченном потоке и при наличии плоского экрана. На основе разработанных алгоритмов построено решение задачи нахо-
ждения телесного профиля с оптимальными аэродинамическими характеристиками в неограниченном потоке и при наличии экрана.
А. М. Елизаров, А. Н. Ихсанова, Д. А. Фокин в своих работах [19, 20] находят численное решение вариационной обратной краевой задача аэрогидродинамики, в которой отыскивается непроницаемый крыловой профиль, обладающий максимальным коэффициентом подъемной силы, при ограничении на максимум скорости потока идеальной несжимаемой жидкости на его контуре и проводят численный эксперимент.
В работе Bai K.J., Kyoung J.H., Kim J.W. [84] рассматривается движение тонкого судна вдоль прямолинейного канала прямоугольного сечения. Определяется форма свободной поверхности (корабельные волны). Задача в рамках полной нелинейности теории безвихревых волн решается численно методом конечных элементов с результатом в виде аэродинамических характеристик.
Японские ученые Kataoka Shiro, Sueyoshi Akira, Arihama Kiyoshi, Iwashita Hidetsugu, Takaki Mikio в своей работе [88] численно исследовали нелинейное нестационарное давление, действующее на корпус судна, продвигающегося в волнах. В вычислениях по временной области функция Грина, удовлетворяющая линеаризованному условию на свободной поверхности, применена в нелинейной задаче, которая отслеживает изменение формы корпуса под спокойной водой при движении судна. Показано, что учет нелинейных эффектов заметно сказывается на нестационарном давлении вблизи резонансных условий у кормы.
Dymitruk Janusz, Laudanski Ludomir M. представлен метод численного моделирование обтекания авиационного профиля нестационарным околозвуковым потоком [86]. Метод опирается на сопряжении наружного невязкого потока с вязким потоком внутри пограничного слоя у поверхности профиля и вдоль по вихревому следу. Физическая модель наружного потока основана на нестационарном, полном уравнении для потенциала, которое решается методом конченных разностей. Уравнения сжимаемого пограничного слоя решают-
ся в интегральной форме как система обычных дифференциальных уравнений. Форма этой системы уравнений зависит от характера потока в пограничном слое. Практическая реализация разработанного метода и программа для компьютера позволяют анализировать обтекание профиля как в стационарном, так и в полностью нестационарном режиме.
Таким образом, за последние годы, рассматриваемая теория в целом и теория мелкой воды в частности, получили достаточно большое развитие. В то же время можно констатировать, что полученные результаты ещё далеки от завершения и необходимы дальнейшие исследования, что определяет достаточно большое теоретическое и практическое значение работы в этом направлении.
В последнее время был развит асимптотический метод, который позволил эффективно решить ряд околозвуковых задач газовой динамики, - метод полной аппроксимации, основанный на задаче полной аппроксимации, предложенной А.Н. Панченковым [61, 62], математически обоснованный и развитый Г.Ф. Сигаловым [64, 66], и являющийся дальнейшим обобщением метода деформируемых координат [10, 38]. В соответствии с этим методом вводятся новые независимые деформированные переменные, в которых нелинейное дифференциальное уравнение линеаризуется с определённой асимптотической оценкой, что позволяет построить структуру решения. Обратный переход к исходным переменным позволяет получить искомое решение.
На основе метода полной аппроксимации был исследован широкий круг задач для нелинейных дифференциальных уравнений - обыкновенных и в частных производных [64, 68, 69]. В теории мелководных волн можно уравнения движения несжимаемой жидкости привести к уравнениям газовой динамики и для околокритических режимов (докритический и сверхкритический диапазоны) получить уравнения аналогичные уравнениям околозвуковой газовой динамики. В связи с этим интересен вопрос о применении метода полной аппроксимации в теории мелководных волн при околокритических режимах течения. Отметим, что в гидродинамике такие задачи часто исследовались на основе
экспериментов [11,23, 26, 69, 82, 85, 87, 90], а теоретические решения, как уже говорилось ранее, были получены в основном для задач в линейной постановке. Нелинейные задачи теории мелководных волн исследовались на основе метода последовательных приближений и ряда других аналогичных методов, что, однако, могло приводить к возникновению неравномерности решения в дальней области (кумулятивный эффект) [10, 29, 38, 40]. Эта неравномерность решения в виде кумулятивного эффекта аналогична неоднородности в теории профиля крыла [10, 38]. То есть применение метода последовательных приближений в этом случае не представлялось возможным вследствие того, что уже на первом шаге нужно было решать нелинейные дифференциальные уравнения.
Получение равномерно пригодного решения возможно либо с применением метода деформируемых координат, либо метода сращиваемых асимптотических разложений [28, 38, 80, 83].
В дальней области, применяя преобразование координат, приходим к нелинейному уравнению типа Кортевега - де Фриза [16, 18, 89], которое представляет собой дисперсионное уравнение, с решением в виде либо периодической, либо уединённой волны. Решение уравнений типа Кортевега - де Фриза производится численным или аналитическим методом при помощи специальных преобразований независимых и зависимых переменных типа Коула-Хопфа или Бэклунда в зависимости от вида уравнения. Затем эти решения должны сращиваться, образуя равномерно пригодное решение.
Как видим, это решение задачи о мелководных волнах довольно сложно по следующим причинам:
Решение неравномерно пригодно (в асимптотическом представлении решения могут быть пропущены члены шкалы сравнения).
Трудоёмкость вычислений резко возрастает при переходе от низших приближений к высшим.
Применение же метода полной аппроксимации в задачах теории околозвуковых течений показало, что решения полученные на его основе являются равномерно пригодными [64].
В данной работе на основе метода полной аппроксимации получены решения ряда новых нелинейных задач, касающихся дифракции волн на мелководье, низкочастотных колебаний тела и оптимизации контуров обтекаемых тел [41]-[55]. Общность этих задач состоит в близости формулировок их математических моделей.
Целью работы является развитие и приложение метода полной аппроксимации к решению ранее не исследованных нелинейных задач механики жидкости и газа.
Методы исследования Результаты работы получены на основе использования метода полной аппроксимации, методов математической физики и вариационного исчисления. Расчёт конкретных значений и получение их графической интерпретации проводился с использованием современных средств вычислительной техники и сопутствующего программного обеспечения, в частности, созданного с участием автора, программного комплекса «Конус».
Научная новизной данной работы является дальнейшее развитие метода полной аппроксимации и его приложение для решения ряда ранее не исследованных актуальных задач теории околозвуковых течений в газовой динамике и околокритических течений в гидродинамике на мелкой воде. Необходимо отметить, что подход к решению задач, рассматриваемый в работе впервые применён в теории мелководных волн. Его дальнейшее использование в этом направлении представляет широкий научный интерес и возможно позволит получить аналитическое решение целого класса ранее не исследованных задач.
Результаты, выносимые на защиту:
1. Исследованы новые нелинейные задачи механики жидкости и газа, касающихся дифракции волн на мелководье, низкочастотных колебаний тела и оптимизации контуров обтекаемых тел.
Сформулированы и доказаны теоремы о существовании решений нелинейных задач об дифракции мелководных волн на тонких телах различных форм при числах Фруда больше или меньше единицы.
Получены выражения для определения усилий, возникающих при дифракции мелководных волн.
Получено уравнение для границы устойчивости колебаний телесного профиля в околозвуковом потоке газа при числах Маха больших единицы.
Найдены оптимальные формы обтекаемых контуров тел минимального волнового сопротивления при околокритических скоростях и числах Маха или Фруда больших единицы.
Практическая ценность:
Результаты, полученные в работе, могут использоваться на этапах предварительного проектирования судов и различных авиационных конструкций.
Прикладные программы, используемые в работе, вошли в программный комплекс «Конус», на который получено авторское свидетельство Российского агентства по патентам и товарным знакам [51].
Полученные в диссертации результаты использовались:
- при проведении научно-исследовательских работ в Институте Солнечно-земной физики СО РАН в рамках федеральной целевой программы «Интеграция» (проект №3.2-268 - «Центр коллективного пользования уникальным учебно-техническим оборудованием»).
- при проведении научных исследований и в учебном процессе в Институте математики, экономики и информатики ИГУ и ГОУ ВСИ МВД России.
Личный вклад автора. При выполнении работ по теме диссертации автор принимал непосредственное участие в постановке задач, разработки методологии исследований, создании комплекса расчётных программ и подготовке публикаций по результатам исследований.
Апробация работы. Основные результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались:
- на ряде научных конференций: международной конференции «Математиче
ские модели и методы их исследования (Красноярск, КГУ, 1999 г.), 3-ей Си
бирской школе-семинаре «Математические проблемы механики сплошной
среды» (Новосибирск, НГУ, 1999 г.), юбилейной научной конференции, по
священной 40-летию Института механики МГУ (Москва, МГУ, 1999 г.), 6-й
Всероссийской научно-практической конференции «Проблемы деятельности
правоохранительных органов и государственной противопожарной службы»
(Иркутск, ВСИ МВД, 2001 г.), XII научно-технической конференции «Пробле
мы повышения боевой готовности, боевого применения, технической эксплуа
тации и обеспечения безопасности полётов летательных аппаратов с учётом
климатогеографических условий Сибири, Забайкалья и Дальнего Востока»
(Иркутск, ИВАИИ МО РФ, 2001 г.), VIII Четаевской международной конфе
ренции «Аналитическая механика, устойчивость и управление движением»
(Казань, КГТУ, 2002 г.), международной молодёжной научной школе-
конференции «Лобачевские чтения 2002» (Казань, 2002 г.), III Всероссийской
конференции «Математика, Информатика, Управление» (Иркутск, ИДСТУ
РАН, ИГУ, 2004 г.), 4-м российско-швейцарском научно-практическом семи
наре «Проблемы экологической безопасности и борьбы с лесными пожарами»
(Улан-Удэ - Иркутск, 2006 г.).
- научных семинарах в Институте математики, экономики и информатики ИГУ
и в Восточно-Сибирском институте МВД России.
Публикации. По теме диссертации опубликовано 15 научных работ [41-55]. В число указанных статей входит две статьи [45, 50] из «Перечня ведущих научных журналов и изданий, выпускаемых в Российской Федерации, в которых должны быть опубликованы основные научные результаты диссертации 2006 года».
Объём и структура работы. Диссертация состоит из введения, четырёх глав, заключения и списка литературы (90 наименований). Общий объем диссертации 114 страниц, включая 25 рисунков.
В первой главе, в п. 1.1. даётся общая физическая постановка задачи дифракции мелководных волн на тонком теле, в п. 1.2. - вводится гидродинамическая аналогия, которая позволят свести трёхмерную систему уравнений мелководных волн к двумерной системе уравнений, аналогичных уравнениям газовой динамики.
Затем, в п. 1.З., 1.4., получены нелинейные дифференциальные уравнения в частных производных второго порядка (аналоги нелинейных уравнений для дозвукового и сверхзвукового диапазона нестационарных околозвуковых течений) с граничными условиями, определяемыми формой тела, набегающими волнами и скоростью потока.
В п. 1.5. дана общая математическая формулировка задачи, обобщающая результаты предыдущих двух пунктов.
В п. 1.6. рассмотрен метод полной аппроксимации (МПА), на основе которого проводилось решении нашей задачи и приведены формулы для скачков давления в стационарных и нестационарных случаях).
Во второй главе рассматривается решение задачи о дифракции мелководных волн на тонком теле. Сначала рассматривается задача для чисел Фруда больше единицы. Для этой задачи имеем нелинейное дифференциальное уравнение гиперболического типа с соответствующими граничными условиями.
В п. 2.1. дана математическая постановка задачи в физическом пространстве и, далее, пространстве деформированных переменных, где нелинейное уравнение задачи асимптотически линеаризуется. Затем мы разделяем нашу задачу на задачу о стационарном обтекании тела и задачу о дифракции мелководных волн. Решение первой задачи известно. Для задачи о дифракции мелководных волн, полагая движение гармоническим получаем гиперболическое уравнение Гельмгольца с соответствующими граничными условиями. Решение
этого уравнения проводится методом Римана. Здесь также была сформулирована и доказана теорема о существовании решения рассматриваемой задачи в пространстве деформированных переменных.
Затем, интегрированием выражений для скачков давления, полученных в п. 1.6., и подстановкой в них соответствующих значений потенциалов получены формулы для усилий на теле.
В п. 2.2. для этих формул подсчитаны значения усилий и сделан анализ полученных результатов. Далее, в работе, рассматривается решение задачи о дифракции мелководных волн на тонком теле при числах Фруда меньше единицы. Для этой задачи имеем нелинейное дифференциальное уравнение эллиптического типа с соответствующими граничными условиями.
В п. 2.3. дана математическая постановка задачи в физическом пространстве и, далее, пространстве деформированных переменных, где нелинейное уравнение задачи асимптотически линеаризуется. Затем, аналогично п. 2.1., мы разделяем нашу задачу на задачу о стационарном обтекании тела и задачу о дифракции мелководных волн. Для задачи о дифракции мелководных волн, полагая движение гармоническим, получаем эллиптическое уравнение Гельм-гольца с соответствующими граничными условиями. Для данной задачи граничное условие в вихревом следе ведёт к образованию полосы разрывов потенциала скоростей в области вихревого следа. Поэтому, при решении задачи целесообразно введение потенциала ускорений, который непрерывен в вихревом следе. В результате получаем интегральное уравнение Фредгольма второго рода для определения интенсивности диполей /, решение которого находится при помощи теоремы Грина. Затем, по аналогии с п. 2.1., формулируется и доказывается теорема о существовании решения задачи в пространстве деформированных переменных. После этого, интегрированием формул для скачков давления, полученных в п. 1.6., и подстановкой в них решений соответствующих задач получены формулы для усилий на теле.
В п. 2.4. для этих формул подсчитаны значения усилий и сделан анализ полученных результатов.
В третьей главе рассматривается решение задачи о низкочастотных колебаниях телесного профиля в околозвуковом потоке газа при числах Маха больших единицы.
В п. 3.1. дана математическая постановка задачи в физическом пространстве и, далее, пространстве деформированных переменных. Затем, задача разделяется на задачу о стационарном обтекании профиля и задачу о низкочастотных гармонических колебаниях профиля. Далее приведено решение этих задач. Затем, интегрированием формул для скачков давления, полученных в п. 1.6., и подстановкой в них решений соответствующих задач получены выражения для подъёмной силы и момента для тонких тел произвольной формы.
В п. 3.2. построено конкретное уравнение для границы устойчивости колебаний чечевицеобразного профиля и проделан анализ полученных результатов.
В четвёртой главе сформулирована и решена задача определения профиля крыла самолёта и контура ватерлинии корабля или гидросамолёта на мелкой воде, обладающих минимальным волновым сопротивлением и движущихся с околокритическими скоростями при числах Маха или Фруда лишь немного больших единицы.
В п. 4.1. для профиля крыла самолёта формулируется вариационная задача минимизации волнового сопротивления при изопериметрическом ограничении на площадь контура, которая решается методом неопределённых множителей Лагранжа. Полученная в результате оптимальная форма зависит от числа Маха и значительно отличается от полученной ранее по линейной теории.
В п. 4.2. проделан подробный анализ полученных результатов.
В п. 4.3., аналогично п.4.1., для контура ватерлинии корабля или гидросамолёта получено решение вариационной задачи минимизации волнового сопротивления и получена оптимальная форма, зависящая от числа Фруда.
В п. 4.4. проделан анализ полученных результатов.
В заключении приводятся основные результаты работы.
В работе принята тройная нумерация формул и рисунков, где первая цифра - номер главы, вторая - параграфа, третья - непосредственно порядковый номер формулы или рисунка.
В заключение хочу выразить большую благодарность в адрес моего научного руководителя профессора Сигалова Геннадия Фёдоровича, скоропостижно скончавшегося в 2006 году, который оказал неоценимую помощь при работе над диссертацией.
Гидродинамическая аналогия в теории мелководных волн
Первые теоретические работы в этой области относятся к 40-м годам. В течении последующих четырёх десятилетий были получены решения ряда задач теории мелководных волн, касающиеся сверхкритических и докритических режимов обтекания тел, что соответствовало сверхзвуковым и дозвуковым течениям в газовой динамике, но только в линейной постановке. Значимые результаты были получены Н.Е. Жуковским [22], А.А. Костюковым [26], А. Мие-ле [76], М.Д. Хаскиндом [80], Л.Н. Сретенским [72], Д. Ньюменом [56], Дж. Коулом, Л. Куком [29], J. СМ. Коротковым [25], J. A. Aranha, С.А. Martins [83] и др. Решение же вышеупомянутых задач в нелинейной постановке вызывало большие трудности, что было связано с несовершенством математического аппарата их исследования. Актуальность данного направления послужила в последние годы толчком к разработке и развитию ряда качественных и приближенных аналитических методов исследования математических моделей, которые успешно применялись к отдельным задачам. Общий обзор методов дан в работах [3, 5-7, 9, 71, 35-37,12,17, 63,64, 81].
С точки зрения современного состояния теории большой интерес представляют работы ученых Новосибирского института гидродинамики им. М. А. Лаврентьева И.В. Стуровой [73] - [74] и И.К. Тена [75]. И.В. Стуровой найдены решения двумерных нестационарных задач о поведении плавающей на свободной поверхности жидкости упругой балки конечных размеров и упругой круглой пластины под действием внешней нагрузки. Совместное движение тел и жидкости рассмотрено в рамках линейной теории. И.К. Тен рассматривает двумерную нестационарную задачу о плавающем теле прямоугольной формы в слое жидкости конечной глубины. Задача исследуется в рамках линейной теории потенциального движения идеальной несжимаемой жидкости. Уравнения движения жидкости сводятся к бесконечной системе интегральных уравнений Вольтерра второго рода методом декомпозиции области течения и полученная система исследуется и решается численно методом редукции. В результате найдено распределение гидродинамических давления и силы, действующих на тело.
В работе СИ. Горлова [13] рассматривается применение численного метода Рунге-Кутта-Фельберга к задаче о погружении кругового цилиндра под свободной поверхностью весомой жидкости. В результате приводятся профили генерируемых волн и суммарные гидродинамические характеристики контура.
Т.А. Кулагина и О.А. Трошкина [31] рассматривают решение краевой задачи обтекания телесного профиля потоком сжимаемой жидкости на малых отстояниях от опорной поверхности в случае дозвукового диапазона течений методом малых возмущений. В результате получены значения коэффициента подъёмной силы и моментов.
В.П. Житников, О.И. Шерыхалин и Н.М. Шерыхалина исследуют задачи о течении идеальной несжимаемой весомой жидкости при наличии внутреннего источника, вихря, диполя или тела конечного размера [21]. Для решения задач применяются численно-аналитические методы с выделением особенностей. Основное внимание уделяется решениями типа солитона и волны Стокса. Решение строится в виде аналитической функции, удовлетворяющей тривиальным краевым условиям на всех участках границы, за исключением одного, где граничное условие задается в виде нелинейного интегрального уравнения (интеграла Бернулли). Особенности, соответствующие волне Стокса и солитону, учитываются с помощью дополнительных слагаемых, входящих в решение. Коэффициенты перед дополнительными слагаемыми определяются из краевого условия путем предельных переходов к особым точкам.
Интересна, с точки зрения исследования математических моделей теории околокритических течений, работа В.Г. Сизова [70], посвященная обсуждению вопроса о граничном условии на бесконечности для краевой задачи, определяющей потенциал скоростей, вызванных движущимся судном. Здесь приводится высказанное М.Г. Крейном предположение о возможных условиях на бесконечности впереди и позади судна. Затем рассмотрен метод, примененный Мичеллом для решения полученной им краевой задачи. Отмечается, что по сути Мичелл впервые применил обобщенное преобразование Фурье для решения краевой задачи. Указывается более общий вид уравнений, к которым применимо преобразование Фурье-Мичелла.
Д.Ф. Абзалиловым и Н.Б. Ильинским в рамках модели идеальной несжимаемой жидкости рассматривается задача построения крылового профиля, обладающего продольной устойчивостью [1]. Решение строится методом обратных краевых задач аэрогидродинамики. Выполнение условий разрешимости задачи и продольной устойчивости профиля достигается применением способа квазирешения некорректных задач математической физики. Такой подход, использующий в качестве основных исходных данных распределение скорости по искомому контуру крылового профиля, позволяет находить форму устойчивых профилей, обладающих достаточно хорошими аэродинамическими характеристиками.
Формулировка и решение краевой задачи при числах Фруда меньших единицы
В последнее время был развит асимптотический метод, который позволил эффективно решить ряд околозвуковых задач газовой динамики, - метод полной аппроксимации, основанный на задаче полной аппроксимации, предложенной А.Н. Панченковым [61, 62], математически обоснованный и развитый Г.Ф. Сигаловым [64, 66], и являющийся дальнейшим обобщением метода деформируемых координат [10, 38]. В соответствии с этим методом вводятся новые независимые деформированные переменные, в которых нелинейное дифференциальное уравнение линеаризуется с определённой асимптотической оценкой, что позволяет построить структуру решения. Обратный переход к исходным переменным позволяет получить искомое решение.
На основе метода полной аппроксимации был исследован широкий круг задач для нелинейных дифференциальных уравнений - обыкновенных и в частных производных [64, 68, 69]. В теории мелководных волн можно уравнения движения несжимаемой жидкости привести к уравнениям газовой динамики и для околокритических режимов (докритический и сверхкритический диапазоны) получить уравнения аналогичные уравнениям околозвуковой газовой динамики. В связи с этим интересен вопрос о применении метода полной аппроксимации в теории мелководных волн при околокритических режимах течения. Отметим, что в гидродинамике такие задачи часто исследовались на основе экспериментов [11,23, 26, 69, 82, 85, 87, 90], а теоретические решения, как уже говорилось ранее, были получены в основном для задач в линейной постановке. Нелинейные задачи теории мелководных волн исследовались на основе метода последовательных приближений и ряда других аналогичных методов, что, однако, могло приводить к возникновению неравномерности решения в дальней области (кумулятивный эффект) [10, 29, 38, 40]. Эта неравномерность решения в виде кумулятивного эффекта аналогична неоднородности в теории профиля крыла [10, 38]. То есть применение метода последовательных приближений в этом случае не представлялось возможным вследствие того, что уже на первом шаге нужно было решать нелинейные дифференциальные уравнения.
Получение равномерно пригодного решения возможно либо с применением метода деформируемых координат, либо метода сращиваемых асимптотических разложений [28, 38, 80, 83].
В дальней области, применяя преобразование координат, приходим к нелинейному уравнению типа Кортевега - де Фриза [16, 18, 89], которое представляет собой дисперсионное уравнение, с решением в виде либо периодической, либо уединённой волны. Решение уравнений типа Кортевега - де Фриза производится численным или аналитическим методом при помощи специальных преобразований независимых и зависимых переменных типа Коула-Хопфа или Бэклунда в зависимости от вида уравнения. Затем эти решения должны сращиваться, образуя равномерно пригодное решение.
Как видим, это решение задачи о мелководных волнах довольно сложно по следующим причинам:
1. Решение неравномерно пригодно (в асимптотическом представлении решения могут быть пропущены члены шкалы сравнения).
2. Трудоёмкость вычислений резко возрастает при переходе от низших приближений к высшим. Применение же метода полной аппроксимации в задачах теории околозвуковых течений показало, что решения полученные на его основе являются равномерно пригодными [64].
В данной работе на основе метода полной аппроксимации получены решения ряда новых нелинейных задач, касающихся дифракции волн на мелководье, низкочастотных колебаний тела и оптимизации контуров обтекаемых тел [41]-[55]. Общность этих задач состоит в близости формулировок их математических моделей.
Формулировка и решение задачи определения профиля крыла самолёта
Математические модели, описывающие движение крылового профиля с околозвуковыми скоростями представляют собой краевые задачи для нелинейных дифференциальных уравнений типа Кармана-Гудерлея, что затрудняет их исследование. Линейные задачи о профиле крыла были решены ранее в [76]. Большой интерес представляет исследование нелинейных задач, соответствующих движению крылового профиля в сверхзвуком диапазоне околозвуковых течений. Для тел вращения такие задачи эффективно решены на основе метода полной аппроксимации [65, 67].
Аэродинамическая часть задачи для крылового профиля сформулирована для уравнения Кармана-Гудерлея и решена с результатом в виде коэффициента давления Ср в [64]. Позже выражение для коэффициента давления было уточнено [54, 55,66] и приняло вид
Отметим, что первое приближение Ух даёт нам параболическую форму У\ = У\ () и нелинейную добавку к ней, зависящую от числа Маха, чего не давала линейная теория. Однако, нелинейная добавка не оказывает влияния на величину множителя Лагранжа Я. Отметим также, что уже первое приближение нелинейно при переходе от переменной к х и даёт форму, отличающуюся от параболической и зависящую от числа Маха.
Если хорда тела постоянна, то, при постоянном коэффициенте трения, сопротивление трения, которое добавляется к волновому, постоянно и не влияет на решение вариационной задачи и, следовательно, на оптимальную форму контура. Если же хорда тела свободна, то при постоянном коэффициенте тре ния, сопротивление трения будет переменным и влияет на оптимальную форму контура у которого длина и толщина будут оптимальными и зависеть от коэффициента трения.
В связи с этим ранее исследования оптимальной формы проводились на основе первого интеграла уравнения Эйлера, что привело к выражению формы тела в неявном виде через производную функции формы у = f{y) и к громоздким вычислениям [76]. Можно значительно упростить решение задачи, если использовать для определения связи множителя Лагранжа с коэффициентом трения Kf равенство первых производных от уравнения оптимальной формы (4.1.13) и первой производной из первого интеграла уравнения Эйлера.
По формулам (4.1.13) и (4.1.2) проведены расчёты оптимальной формы контуров [53] - [55], представленные на рис. 4.2.1. - 4.2.6. Основные выводы сводятся к тому, что контур перестаёт быть симметричным относительно поперечной оси, центр максимальной толщины смещается по сравнению с линейной теорией (кривая 1) назад к хвостовой оконечности контура (кривая 2). На рис. 4.2.7. представлено изменение волнового сопротивления в виде изменения функции Ч по (4.1.14) от чисел Маха.
Из рисунков видно, что изменение формы и уменьшение сопротивления оптимального контура по сравнению с линейной теорией тем больше, чем ближе число Маха к единице и чем больше относительная толщина контура. Теоретические результаты, полученные в работе, представляют определённый научный интерес. Интересным было бы также построение оптимальных контуров при других ограничениях на форму контура [76,41].
Целью работы является развитие и приложение метода полной аппроксимации к решению ранее не исследованных нелинейных задач механики жидкости и газа.
Методы исследования Результаты работы получены на основе использования метода полной аппроксимации, методов математической физики и вариационного исчисления. Расчёт конкретных значений и получение их графической интерпретации проводился с использованием современных средств вычислительной техники и сопутствующего программного обеспечения, в частности, созданного с участием автора, программного комплекса «Конус».
Научная новизной данной работы является дальнейшее развитие метода полной аппроксимации и его приложение для решения ряда ранее не исследованных актуальных задач теории околозвуковых течений в газовой динамике и околокритических течений в гидродинамике на мелкой воде. Необходимо отметить, что подход к решению задач, рассматриваемый в работе впервые применён в теории мелководных волн. Его дальнейшее использование в этом направлении представляет широкий научный интерес и возможно позволит получить аналитическое решение целого класса ранее не исследованных задач.
Формулировка и решение задачи определения контура ватерлинии корабля или гидросамолёта
Математические модели, описывающие движение контура ватерлинии корабля, движущегося на мелкой воде, с околокритическими скоростями и крылового профиля оказываются одинаковыми и, как уже говорилось ранее, представляют собой краевые задачи для нелинейных дифференциальных уравнений типа Кармана-Гудерлея. Линейная задача об оптимальной ватерлинии была решена еще Н.Е. Жуковским [22]. Рассмотрим решение нелинейной задачи о движении цилиндрического корабля с основанием в виде контура ватерлинии на мелкой воде с осадкой, близкой глубине жидкости h, в закритическом диапазоне околокритических скоростей.
І. В работе на основе асимптотического метода полной аппроксимации проведено исследование ряда задач, решение которых до сих пор не было получено. К ним относятся: задача о дифракции мелководных волн на тонком теле при околокритических скоростях движения при числах Фруда как больших так и меньших единицы, краевая задача, описывающая низкочастотные гармонические колебания тонкого телесного профиля в сверхзвуковом диапазоне околозвуковых течений, задача определения профиля крыла самолёта при околозвуковых скоростях движения и числах Маха лишь немного больших единицы и задача определения контура ватерлинии корабля или гидросамолёта на мелкой воде, при околокритических скоростях движения и числах Фруда лишь немного больших единицы. Эти задачи объединяет общность их математических формулировок.
При исследовании этих задач были получены следующие выводы: - Для задачи о дифракции мелководных волн на тонком теле при числах Фруда больших единицы, при решении которой получены выражения для усилий, возникающих на теле при отражении волн, было установлено, что в области околокритических скоростей наблюдается резкое возрастание усилий по нелинейной теории и при Fr =1.15 оно составляет, соответственно до 23.5% от линейной. При увеличении числа Фруда результаты нелинейной теории стремятся к линейным и при Fr = 2 переходят в линейную теорию. - Для задачи о дифракции мелководных волн на тонком теле при числах Фруда меньших единицы сделан вывод о том, что увеличение толщины тела ведёт к увеличению общего значения усилий. Кроме того с увеличением частоты колебаний в диапазоне от 0,1 до 0,3 наблюдается значительное возрастание усилий по нелинейной теории по сравнению с линейной, и при ст = 0,3 нелинейная добавка составляет до 16,5 % от линейной теории. Результаты, выносимые на защиту: 1. Исследованы новые нелинейные задачи механики жидкости и газа, касающихся дифракции волн на мелководье, низкочастотных колебаний тела и оптимизации контуров обтекаемых тел. 2. Сформулированы и доказаны теоремы о существовании решений нелинейных задач об дифракции мелководных волн на тонких телах различных форм при числах Фруда больше или меньше единицы. 3. Получены выражения для определения усилий, возникающих при дифракции мелководных волн. 4. Получено уравнение для границы устойчивости колебаний телесного профиля в околозвуковом потоке газа при числах Маха больших единицы. 5. Найдены оптимальные формы обтекаемых контуров тел минимального волнового сопротивления при околокритических скоростях и числах Маха или Фруда больших единицы.
Практическая ценность: 1. Результаты, полученные в работе, могут использоваться на этапах предварительного проектирования судов и различных авиационных конструкций. 2. Прикладные программы, используемые в работе, вошли в программный комплекс «Конус», на который получено авторское свидетельство Российского агентства по патентам и товарным знакам [51]. 3. Полученные в диссертации результаты использовались: - при проведении научно-исследовательских работ в Институте Солнечно-земной физики СО РАН в рамках федеральной целевой программы «Интеграция» (проект №3.2-268 - «Центр коллективного пользования уникальным учебно-техническим оборудованием»). - при проведении научных исследований и в учебном процессе в Институте математики, экономики и информатики ИГУ и ГОУ ВСИ МВД России. Личный вклад автора. При выполнении работ по теме диссертации автор принимал непосредственное участие в постановке задач, разработки методологии исследований, создании комплекса расчётных программ и подготовке публикаций по результатам исследований. Апробация работы. Основные результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались: - на ряде научных конференций: международной конференции «Математиче ские модели и методы их исследования (Красноярск, КГУ, 1999 г.), 3-ей Си бирской школе-семинаре «Математические проблемы механики сплошной среды» (Новосибирск, НГУ, 1999 г.), юбилейной научной конференции, по священной 40-летию Института механики МГУ (Москва, МГУ, 1999 г.), 6-й Всероссийской научно-практической конференции «Проблемы деятельности правоохранительных органов и государственной противопожарной службы» (Иркутск, ВСИ МВД, 2001 г.), XII научно-технической конференции «Пробле мы повышения боевой готовности, боевого применения, технической эксплуа тации и обеспечения безопасности полётов летательных аппаратов с учётом климатогеографических условий Сибири, Забайкалья и Дальнего Востока» (Иркутск, ИВАИИ МО РФ, 2001 г.), VIII Четаевской международной конфе ренции «Аналитическая механика, устойчивость и управление движением» (Казань, КГТУ, 2002 г.), международной молодёжной научной школе конференции «Лобачевские чтения 2002» (Казань, 2002 г.), III Всероссийской конференции «Математика, Информатика, Управление» (Иркутск, ИДСТУ РАН, ИГУ, 2004 г.), 4-м российско-швейцарском научно-практическом семи наре «Проблемы экологической безопасности и борьбы с лесными пожарами» (Улан-Удэ - Иркутск, 2006 г.). - научных семинарах в Институте математики, экономики и информатики ИГУ и в Восточно-Сибирском институте МВД России.
Публикации. По теме диссертации опубликовано 15 научных работ [41-55]. В число указанных статей входит две статьи [45, 50] из «Перечня ведущих научных журналов и изданий, выпускаемых в Российской Федерации, в которых должны быть опубликованы основные научные результаты диссертации 2006 года». Объём и структура работы. Диссертация состоит из введения, четырёх глав, заключения и списка литературы (90 наименований). Общий объем диссертации 114 страниц, включая 25 рисунков.
В первой главе, в п. 1.1. даётся общая физическая постановка задачи дифракции мелководных волн на тонком теле, в п. 1.2. - вводится гидродинамическая аналогия, которая позволят свести трёхмерную систему уравнений мелководных волн к двумерной системе уравнений, аналогичных уравнениям газовой динамики.
