Содержание к диссертации
Введение
1. Математическое описание систем с импульсной модуляцией 11
1.1. Импульсная модуляция. Общие понятия 11
1.2. Виды импульсной модуляции. Случай импульсов конечной длительности 15
1.2.1. Амплитудно-импульсная модуляция 16
1.2.2. Частотно-импульсная модуляция первого рода . 16
1.2.3. Частотно-импульсная модуляция второго рода . 16
1.2.4. Широтно-импульсная модуляция первого рода . 17
1.2.5. Широтно-импульсная модуляция второго рода . 17
1.2.6. Комбинированная импульсная модуляция 17
1.2.7. Интегральная широтно-импульсная модуляция . 18
1.2.8. Линейная интегральная широтно-импульсная модуляция 19
1.2.9. Широтно-импульсная модуляция второгорода с пилообразной характеристикой 20
1.2.10. Фазовая модуляция с неавтономным формированием импульсов 20
1.3. Виды импульсной модуляции. Случай мгновенных импульсов 22
1.3.1. Амплитудно-импульсная модуляция 22
1.3.2. Частотно-импульсная модуляция первого рода . 22
1.3.3. Частотно-импульсная модуляция второго рода . 23
1.3.4. Сигма частотно-импульсная модуляция 23
1.4. Непрерывная линейная часть системы 24
1.5. Некоторые известные подходы к исследованию систем с импульсной модуляцией 27
2. Устойчивость состояний равновесия 31
2.1. Введение 31
2.2. Постановка задачи 35
2.3. Аналог критерия Попова. Общий случай 42
2.4. Аналог кругового критерия. Общий случай 48
2.5. Устойчивость систем с импульсами специального вида . 53
2.6. Доказательства теорем из раздела 2.3 54
2.7. Доказательства теорем из раздела 2.4 64
2.8. Доказательства теорем из раздела 2.5 69
2.9. Устойчивость систем с интегральной широтно-импульсной модуляцией 70
3. Устойчивость процессов 79
3.1. Постановка задачи. 79
3.2. Амплитудно-импульсная модуляция 80
3.3. Широтно-импульсная модуляция первого рода 82
3.4. Широтно-импульсная модуляция второго рода 83
3.5. Широтно-импульсная модуляция второго рода с пилообразной характеристикой 88
3.6. Интегральная широтно-импульсная модуляция 91
3.7. Линейная интегральная широтно-импульсная модуляция 99
3.8. Фазовая модуляция с неавтономным формированием импульсов 105
4. Устойчивость систем с мгновенными импульсами 109
4.1. Случай ограниченной снизу тактовой частоты 109
4.2. Случай неограниченной снизу тактовой частоты . 118
5. Стабилизация импульсным сигналом 123
5.1. Постановка задачи глобальной стабилизации 123
5.2. Стабилизация с помощью амплитудно-широтной модуляции 124
5.3. Стабилизация с помощью частотной модуляции 130
5.3.1. Простейший случай 130
5.3.2. Общий случай 133
6. Колебания систем с ШИМ 141
6.1. Постановка задачи 141
6.2. Широтно-импульсная модуляция первого рода 142
6.3. Широтно-импульсная модуляция второго рода 144
6.4. Интегральная широтно-импульсная модуляция 150
6.5. Линейная интегральная широтно-импульсная модуляция 152
6.6. Системы с переменной структурой линейной части . 158
7. Колебания систем с ЧИМ 171
7.1. Общий случай вынужденных колебаний171
7.2. Случай доминирующего собственного числа для ЧИМ-1 180
7.3. Случай доминирующего собственного числа для ЧИМ-2 191
8. Широтно-импульсные системы фазовой синхронизации 194
8.1. Математическая постановка задачи 194
8.2. Стационарные режимы системы сихронизации 197
8.3. Условия синхронизма 200
8.4. Доказательства теорем о стационарных режимах . 202
8.5. Доказательства теорем о синхронизме 207
9. Автоколебания в системах с импульсной модуляцией 221
9.1. Постановка задачи 221
9-2. Условия автоколебаний 223
9.3. Доказательства теорем об автоколебательности 226
10. Вспомогательные утверждения 232
10.1. Управляемость, наблюдаемость, невырожденность, гур-вицевость232
10.2. Матричные уравнения Ляпунова и теоремы об инерции 235
10.3. Лемма Якубовича-Калмана 237
10.4. Вспомогательные утверждения, связанные с леммой Якубовича-Калмана 238
10.5. Оценки одного функционала от решений матричных уравнений 245
10.6. Разрешимость матричных неравенств, встречающихся
при исследовании систем с ШИМ 249
10.7. Разрешимость матричных неравенств, встречающихся
при исследовании систем с ЧИМ 256
10.8. Различные утверждения 259
11. Приложение. О численной проверке частотных критериев 263
11.1. Проверка условий, связанных с вычислением #2-нормы 263
11.2. Проверка условий разрешимости линейных матричных неравенств 265
11.3. Пример. Проверка импульсного аналога критерия В.М, Попова 268
11.4. Пример. Проверка импульсного аналога кругового критерия 275
Список литературы
- Виды импульсной модуляции. Случай импульсов конечной длительности
- Устойчивость систем с импульсами специального вида
- Стационарные режимы системы сихронизации
- Проверка условий, связанных с вычислением #2-нормы
Введение к работе
Эта диссертационная работа посвящена исследованию математических моделей систем с импульсной модуляцией. Точное математическое описание системы с импульсной модуляцией будет дано в следующих параграфах. Неформально процесс импульсной модуляции может быть описан следующим образом. Некоторое устройство (импульсный модулятор) вырабатывает последовательность импульсов. Импульсы последовательности имеет набор стандартных характеристик: амплитуду, частоту следования, фазу, ширину. Под воздействием входного сигнала модулятора (сигнала ошибки) некоторые из этих характеристик меняются (модулируются). Например, чем больше (в каком-то смысле) сигнал ошибки, тем больше может быть амплитуда или ширина импульса, или тем меньше длина тактового (межимпульсного) интервала. В математическом плане модулируемая характеристика является функционалом, зависящем от входного сигнала модулятора. Обычно эта зависимость существенно нелинейна и определяется довольно сложными функциональными соотношениями. С технической точки зрения импульсные устройства отличаются необычайной простотой реализации, малыми габаритами, малой энергоемкостью и высокой надежностью. Так, при отстутствии модуляции амплитуды сигнал на выходе модулятора обычно принимает не более трех значений (±/ и 0), что легко достигается при помощи современных электронных устройств. Указанные преимущества особенно важны при условиях, когда ресурсы управления ограничены (авиационная техника, космическая техника).
Системы с импульсной модуляцией имеют две основные области технических приложений: задачи связи и задачи управления. В данной работе рассматриваются математические модели импульсных систем, применяемых главным образом в системах управления. Другая особенность этой работы — рассмотрение классов импульсных систем, для которых математические модели в дискретном времени (в виде разностных схем) мало эффективны, поэтому более целесообразно анализировать их в непрерывном времени. И наконец, мало внимания уделяется системам с амплитудной модуляцией, которые достаточно хорошо изучены. Основные усилия сосредоточены на изучении систем с широтно-импульсной, частотно-импульсной и комбинированной модуляцией. Остановимся подробнее на некоторых приложениях подобных систем.
Системы управления с широтно-импульсной модуляцией (ШИМ) имеют давнюю историю. По-видимому первое описание ШИМ в технической литературе дано в работе 1897 года [168], где с ее помощью решается задача регулирования температуры в печи. В курсе лекций Н.Е. Жуковского, прочитанном в 1908-09 г.г. [63], рассматривается система регулирования хода паровой машины с отсечкой пара, где также используется ШИМ. В настоящее время системы с ШИМ распространены очень широко. Например, в электронной базе данных Expanded Academic ASAP содержится 421 ссылка на публикации по этой тематике за последние годы. Большинство современных приложений ШИМ относятся к электротехнике. В частности, на базе ШИМ строятся преобразователи напряжения в устройствах постоянного тока (см., например, монографии [56,65,201,212], глава в монографии [195] и статьи [64,147,208]). Для систем управления электроприводом используются также тиристорные преобразователи, математическое описание которых приводит к более сложным моделям с непрямоугольной формой импульсов [93].
Другая важная область использования систем с ШИМ связана с космической техникой (управление ориентацией космических аппаратов [20,100,114,175], гашение колебаний [148]). В [145] описана система с ШИМ, используемая для управления радаром. Известны приложения ШИМ к механическим системам. Например, в [176] описана механическая система с ШИМ, предназначенная для стабилизации перевернутого маятника, а в [207] — система с ШИМ для управления роботом-манипулятором. В [96] приведено описание импульсной системы управления механическими вибраторами.
В [22] описаны модели промышленного и транспортного роботов с приводами на основе ШИМ и ЧИМ, модели автоматического регулирования температуры теплоносителя (ЧИМ), производственной системы управления параметрами микроклимата (ЧИМ). В монографии [91] приведены многочисленные примеры основанных на ЧИМ и ШИМ си 8
стем управления теплотехническими объектами (системы регулирования температуры теплоносителя, температуры расплава и др.). В [80] описана система с ЧИМ для регулирования дозировочных насосов, применяемых при изготовлении смесей, а также система управления ориентацией космического аппарата.
Системы с импульсной модуляцией используются в некоторых моделях нейронных сетей. В частности, с этой целью рассматривают ЧИМ [45,197] илиШИМ [160,190].
За последние годы на эту тему защищен ряд диссертаций, в том числе и на соискание ученой степени доктора наук [8,17,66,67,105]. Они, как правило, посвящены изучению конкретных технических систем и используют непосредственное моделирование исходных уравнений.
С математической точки зрения существует несколько подходов к системам с импульсной модуляцией. Во-первых, их можно рассматривать как частный случай функционально-дифференциальных уравнений [1] и попытаться применить общие результаты этой теории. Во-вторых, импульсные системы можно рассматривать в рамках нового направления — теории гибридных систем. Такая точка зрения проводится в работах [187,188]. В третьих, некоторые виды импульсной модуляции (частотно-импульсная или временная) можно изучать как разновидность известных в механике систем с импульсным воздействием (с толчками). (См., например, [14,92] и монографии [103,183].) Близкий подход содержится также в [68].
К сожалению, системы с импульсной модуляцией столь сложны и специфичны, что достичь практически значимых результатов путем применения общих теорий пока не удается, хотя развитие общих подходов, безусловно, является перспективным.
Важной особенностью многих видов импульсной модуляцией является отсутствие непрерывной зависимости решений от начальных данных. Более того, для некоторых математических моделей и сами траектории системы терпят разрыв. В связи с этим математическое исследование импульсных систем существенно сложнее, чем исследование обычных непрерывных систем. Намного чаще, чем для систем других классов встречаются явления хаотизации (они наблюдаются даже в некоторых практически важных системах первого порядка [70,71,144], а для систем второго и третьего порядка являются типичным поведением [65,147]). Поэтому непосредственное численное интегрирование дифференциальных уравнений, описывающих модели импульсных систем, встречает серьезные затруднения.
В данной работе развиты несколько новых подходов к качественному исследованию математических моделей импульсных систем. Первый из них состоит в развитии частотных методов анализа качественного поведения решений. Эта линия исследований восходит к работам В.М. Попова, В.А. Якубовича и Р. Калмана, посвященным абсолютной устойчивости. Основной метод исследования устойчивости, используемый в данной работе, носит название метода усреднения. Он объединяет идеи теории абсолютной устойчивости с усреднением импульсного сигнала. Полученные таким образом критерии устойчивости имеют традиционный для технических приложений вид частотных неравенств. Для численной проверки условий устойчивости могут использоваться альтернативные формулировки в виде линейных матричных неравенств, для решения которых имеются хорошо разработанные алгоритмы. Метод усреднения успешно применяется в диссертации не только для исследования вопросов устойчивости (главы 2, 3), но также для изучения стабилизации (глава 5), синхронизации (глава 8) и автоколебаний (глава 9).
Другая важная задача, которая рассматривается в диссертации, это задача существования периодических решений (главы б, 7). Для нее известны традиционные подходы, основанные на методах уравнений периодов и гармонического баланса. В диссертации развит иной поход, использующий метод неподвижной точки. Он базируется на известных работах М.А. Красносельского, изучавшего неподвижные точки оператора сдвига по траекториям. Неподвижная точка такого оператора отвечает периодическому решению системы. Проблема состоит в том, для систем с импульсной модуляцией оператор сдвига по траекториям большей частью разрывен, поэтому известные принципы неподвижной точки неприменимы. Для преодоления этой трудности строятся выпуклые замкнутые области в фазовом пространстве системы, которые инвариантны относительно сдвига вдоль траекторий системы и в которых этот оператор сдвига непрерывен. Условия существования таких областей имеют вид неравенств, включающих Щ-норму (норму Хар-ди) передаточной функции линейной части системы. Для вычисления #2 ноРмы в настоящее время имеются простые и эффективные алгоритмы.
В целом диссертация посвящена развитию качественных аналитических методов исследования математических моделей импульсных систем автоматического управления для использования на предварительном этапе математического моделирования. Решается задача выбора параметров математической модели импульсной системы для обеспечения желаемых свойств этой системы (устойчивости, существования периодических решений, синхронизации и др.). Полученные критерии ориентированы в первую очередь на последующее использование программных сред Matlab и Scilab в рамках известных методологий моделирования (см., например, [5,6]). Вопросы практической проверки критериев, полученных в диссертации, обсуждаются в главе 11.
Виды импульсной модуляции. Случай импульсов конечной длительности
Методы исследования дискретных систем управления хорошо известны и в данной работе не обсуждаются. Что касается касается систем с другими видами модуляции, то, хотя их сведение к разностным уравнениям принципиально возможно [111], оно зачастую приводит к весьма сложным функционально-разностным соотношениям, решение которых не проще решения исходной задачи. Исключение составляют системы с широтно-импульсной модуляцией первого рода (ШИМ-1). Для них известен эффективный метод сведения к уравнениям вида (1.19), носящий название метода Делфелда и Мэрфи и впервые предложенный в [158]. Метод Делфелда и Мэрфи получил дальнейшее развитие в работах [131,157,178,189,191, 203,204,213,214].
Я.З. Цыпкиным в книге [113] была показана тесная взаимосвязь между системами с интегральной ЧИМ и релейными системами управления. Используя близкие соображения, Ю.Н. Чеховой предложил релейно-гистерезисную модель систем с ЧИМ [115]. Эта модель, в частности, интенсивно использовалась в монографиях [22,96].
При исследовании систем с ШИМ весьма популярны различные схемы усреденения. Наиболее известная из них носит название «принцип эквивалентных площадей» [142,143]. Ее идея состоит в замене высокочастотного широтно-модулированного сигнала на амплитудно модулируемый сигнал с импульсами той же площади. Этот подход имеет физический смысл, если линейная часть обладает достаточно хорошими фильтрующими свойствами, пропуская лишь постоянную составляющую разложения в ряд Фурье импульсного сигнала и пода вляя уже первые гармоники. К сожалению математическое обоснова ние этого метода при исследовании конкретных свойств системы явля ется явно неудовлетворительным, что отмечалось многими авторами. Например, несложно построить примеры, когда при описанном пре образовании исходная и «усредненная» системы не являются устойчи выми одновременно. Тем не менее, в силу своей простоты, принцип эквивалентных площадей до сих пор пользуется большой популярно стью среди инженеров-практиков. Несколько иные идеи усреднения использовались также в работах Отме тим, что метод усреднения, предложенный в данной работе, базируется на идеях и технике теории абсолютной устойчивости и является принципиально отличным от упомянутых методов.
По-видимому первой работой, относящейся к применению теории абсолютной устойчивости к системам с ШИМ, явилась статья В. А, Якубовича [135] (см. также [138]), за которой последовал ряд других работ на эту тему, наиболее важные из которых принадлежат А.Х. Гелигу (см., например, [44,46-49,131]). Условия устойчивости ранних работ этого направления были весьма ограничительными: они предполагали наличия у модуляционной характеристики широкой зоны нечувствительности и не учитывали другие свойства этой характеристики. В работах [51,167] была использована существенно новая техника, которые базировалась на сложных интегральных оценках и идеях усреднения. В работах автора [124,125] было впервые показано, что импульсные системы могут изучаться в рамках классической теории абсолютной устойчивости (с помощью интегрально-квадратичных связей весьма специального вида).
Перейдем к некоторым другим основным подходам к изучению импульсных систем. При исследовании устойчивости систем с импульсной модуляцией применялись различные модификации второго метода Ляпунова, учитывающий разрывный характер используемых зависимостей. К ранним работам такого рода следует отнести работы В.М. Кунцевича и Ю.Н. Мехового [80,182]. В последние годы появились интересные результаты по развитию метода функций Ляпунова, при 29
надлежащие А.Н. Мичепу и его сотрудникам [170-174]. К сожалению метод Мичела применим лишь в случае модуляции первого рода.
Ряд методов изучения устойчивости импульсных систем базируется на анализе интегральных уравнений. Достоинством такого подхода является его приложимость к системам не только с сосредоточенными, но и с распределенными параметрами, к недостаткам относятся довольно грубые оценки. В [209, 210] проведены исследования устойчивости импульсных систем по входу-выходу. В [49] для изучения устойчивости систем с ЧИМ был применен метод положительных ядер интегральных операторов. В [169] для исследования устойчивости использовался метод прямых интегральных оценок.
Ряд результатов по исследованию устойчивости систем с ШИМ относятся к системам первого и второго порядка и используют графические соображения [19,69,198]. Для импульсных систем, обычно имеющих размерность не выше трех, в последние годы успешно используется теория С-бифуркаций (в англоязычной литературе — border collision bifurcations), учитывающая появление для негладких систем новых видов бифуркаций, приводящих к хаосу [64,65,108,147]. Для изучения хаотических явления в системах с ШИМ использовались также методы символической динамики [70,71,180],
Наиболее распространенным методом исследования периодических колебаний импульсных систем является метод уравнений периодов (см., например, [101,102]). Так как структура импульсного сигнала очень проста, несложно явно выписать реакцию линейной части системы на входной периодический импульсный сигнал. В результате получаются системы трансцендентных уравнений, которым должны удовлетворять параметры периодического .режима. Такой путь исследования колебаний был использован в частности в [9-11,102] Более того, в [102] был предложен метод исследования устойчивости в малом периодического решения с помощью уравнения периодов. К сожалению при исследовании модуляции второго рода этот подход встречает существенные трудности. В работах М.М. Ерихова и М,Я. Островского сначала экспериментально, а затем теоретически было обнаружено, что в этот случае уравнения периодов могут иметь «паразитные» решения, которые не обеспечивают условие минимальности корня функционала в законе модуляции. На практике это приводит к срыву периодического режима. В связи с этим уравнения периодов требуют наложения дополнительных ограничений, что и было сделано в работах [59-62,151].
Из традиционных инженерных методов исследования колебания импульсных систем отметим также различные варианты метода гармонического баланса [10,19,80,177,196], математическое обоснование которых не всегда выполняется удовлетворительно.
Устойчивость систем с импульсами специального вида
Методы исследования дискретных систем управления хорошо и в данной работе не обсуждаются.
Что касается касается систем с другими видами модуляции, то, хотя их сведение к разностным уравнениям принципиально возможно [111], оно зачастую приводит к весьма сложным функционально-разностным соотношениям, решение которых не проще решения исходной задачи. Исключение составляют системы с широтно-импульсной модуляцией первого рода (ШИМ-1). Для них известен эффективный метод сведения к уравнениям вида (1.19), носящий название метода Делфелда и Мэрфи и впервые предложенный в [158]. Метод Делфелда и Мэрфи получил дальнейшее развитие в работах [131,157,178,189,191, 203,204,213,214].
Я.З. Цыпкиным в книге [113] была показана тесная взаимосвязь между системами с интегральной ЧИМ и релейными системами управления. Используя близкие соображения, Ю.Н. Чеховой предложил релейно-гистерезисную модель систем с ЧИМ [115]. Эта модель, в частности, интенсивно использовалась в монографиях [22,96].
При исследовании систем с ШИМ весьма популярны различные схемы усреденения. Наиболее известная из них носит название «принцип эквивалентных площадей» [142,143]. Ее идея состоит в замене высокочастотного широтно-модулированного сигнала на амплитудно модулируемый сигнал с импульсами той же площади. Этот подход имеет физический смысл, если линейная часть обладает достаточно хорошими фильтрующими свойствами, пропуская лишь постоянную составляющую разложения в ряд Фурье импульсного сигнала и пода вляя уже первые гармоники. К сожалению математическое обоснова ние этого метода при исследовании конкретных свойств системы явля ется явно неудовлетворительным, что отмечалось многими авторами. Например, несложно построить примеры, когда при описанном пре образовании исходная и «усредненная» системы не являются устойчи выми одновременно. Тем не менее, в силу своей простоты, принцип эквивалентных площадей до сих пор пользуется большой популярно стью среди инженеров-практиков. Несколько иные идеи усреднения использовались также в работах 7-Щ, 2&3.- - v " Отме тим, что метод усреднения, предложенный в данной работе, базируется на идеях и технике теории абсолютной устойчивости и является принципиально отличным от упомянутых методов.
По-видимому первой работой, относящейся к применению теории абсолютной устойчивости к системам с ШИМ, явилась статья В. А, Якубовича [135] (см. также [138]), за которой последовал ряд других работ на эту тему, наиболее важные из которых принадлежат А.Х. Гелигу (см., например, [44,46-49,131]). Условия устойчивости ранних работ этого направления были весьма ограничительными: они предполагали наличия у модуляционной характеристики широкой зоны нечувствительности и не учитывали другие свойства этой характеристики. В работах [51,167] была использована существенно новая техника, которые базировалась на сложных интегральных оценках и идеях усреднения. В работах автора [124,125] было впервые показано, что импульсные системы могут изучаться в рамках классической теории абсолютной устойчивости (с помощью интегрально-квадратичных связей весьма специального вида).
Перейдем к некоторым другим основным подходам к изучению импульсных систем. При исследовании устойчивости систем с импульсной модуляцией применялись различные модификации второго метода Ляпунова, учитывающий разрывный характер используемых зависимостей. К ранним работам такого рода следует отнести работы В.М. Кунцевича и Ю.Н. Мехового [80,182]. В последние годы появились интересные результаты по развитию метода функций Ляпунова, при 29
надлежащие А.Н. Мичепу и его сотрудникам [170-174]. К сожалению метод Мичела применим лишь в случае модуляции первого рода.
Ряд методов изучения устойчивости импульсных систем базируется на анализе интегральных уравнений. Достоинством такого подхода является его приложимость к системам не только с сосредоточенными, но и с распределенными параметрами, к недостаткам относятся довольно грубые оценки. В [209, 210] проведены исследования устойчивости импульсных систем по входу-выходу. В [49] для изучения устойчивости систем с ЧИМ был применен метод положительных ядер интегральных операторов. В [169] для исследования устойчивости использовался метод прямых интегральных оценок.
Ряд результатов по исследованию устойчивости систем с ШИМ относятся к системам первого и второго порядка и используют графические соображения [19,69,198]. Для импульсных систем, обычно имеющих размерность не выше трех, в последние годы успешно используется теория С-бифуркаций (в англоязычной литературе — border collision bifurcations), учитывающая появление для негладких систем новых видов бифуркаций, приводящих к хаосу [64,65,108,147]. Для изучения хаотических явления в системах с ШИМ использовались также методы символической динамики [70,71,180],
Наиболее распространенным методом исследования периодических колебаний импульсных систем является метод уравнений периодов (см., например, [101,102]). Так как структура импульсного сигнала очень проста, несложно явно выписать реакцию линейной части системы на входной периодический импульсный сигнал. В результате получаются системы трансцендентных уравнений, которым должны удовлетворять параметры периодического .режима. Такой путь исследования колебаний был использован в частности в [9-11,102] Более того, в [102] был предложен метод исследования устойчивости в малом периодического решения с помощью уравнения периодов. К сожалению при исследовании модуляции второго рода этот подход встречает существенные трудности. В работах М.М. Ерихова и М,Я. Островского сначала экспериментально, а затем теоретически было обнаружено, что в этот случае уравнения периодов могут иметь «паразитные» решения, которые не обеспечивают условие минимальности корня функционала в законе модуляции. На практике это приводит к срыву периодического режима. В связи с этим уравнения периодов требуют наложения дополнительных ограничений, что и было сделано в работах [59-62,151].
Из традиционных инженерных методов исследования колебания импульсных систем отметим также различные варианты метода гармонического баланса [10,19,80,177,196], математическое обоснование которых не всегда выполняется удовлетворительно.
Общий случай вынужденных колебаний
Системы фазовой синхронизации (в иной терминологии фазовые метод неподвижной точки может быть применен для исследования моделей систем с ЧИМ, в которых импульсы описываются с помощью 5-функций. Изложение будет в основном следовать работе [38]. Трудность состоит в том, что в этом случае не только оператор сдвига вдоль траекторий разрывен, но разрывны и сами траектории, поэтому траектории могут «выпрыгнуть» из любой области фазового пространства.
Здесь А — постоянная гурвицева и х /-матрица, b и с — постоянные v-мерные векторы-столбцы, ф — ненулевое число (внешнее воздействие), а и / — соответственно вход и выход модулятора. Пусть W(s) = с (А — slj) b — передаточная функция НЛЧ. Допустим, что
системы, системы с угловыми координатами, системы с цилиндрическим фазовым пространством, системы маятникового типа) давно привлекают внимание исследователей. К первым математическим работам на эту тему можно отнести работы по исследованию колебаний маятника (Ф. Трикоми, Л. Америр, Г. Зейферт и др.). В СССР изучением математических моделей таких систем занимались передставители научных школ А.А. Андронова (Л.Н. Белюстина, В.Н. Белых и др.) и Е. А. Барбашина. Обзор ранних работ по этой тематике можно найти в монографии [13]. Отметим, что эти исследования относились к системам низкого порядка (не выше третьего). В 70-е годы Г.А. Леоновым были предложены существенно новые математические методы изучения систем фазовой синхронизации (метод конусных сеток, метод нелокального сведения), которые позволили эффективно рассматривать системы сколь угодно высокого порядка (достижения этого направления отражены в монографиях [83,84,185,186]).
В этой главе рассмотрим систему фазовой синхронизации, в которой широтно-импульсный модулятор служит в качестве фазового детектора. Подобные системы используют для синхронизации тактовых генераторов, в частности в сетях передачи данных и многопроцессорных системах. Близкие математические модели можно найти в работах ники [15,49,57,77-79]. Содержание данной главы в основном следует изложению работы автора [152].
Развитый здесь подход является еще одной иллюстрацией применения метода усреднения, описанного в главах 2, 3. Этот подход совмещает метод усреднения и методы изучения систем фазовой синхронизации, предложенные Г.А. Леоновым и его сотрудниками [83,84,185,186] (см. также [85,86,116,127]).
Пусть {jfc}fcLo Ол}ь=о — две последовательности моментов времени. Допустим, что они строго возрастающие и стремятся к бесконечности при к —Э- оо. Первую из этих последовательностей будем рассматривать как задающую (в иной терминологии эталонную, опорную), а вторую — как подстраиваемую.
Очевидно ТОТ же временной интервал содержит ровно п—т элементов первой (задающей) последовательности. Таким образом, если последовательности синхронизированы, то число элементов второй (подстраиваемой) последовательности, попадающих в интервал, отличается от числа элементов задающей последовательности не более, чем на единицу.
Определение 8.2. Будем говорить, что две последовательности моментов времени {tk}, {tk} втягиваются в синхронизм, если сформулированное выше свойство выполнено при N = т п, где N — достаточно большое целое число.
Нас будет интересовать случай, когда tk — кТ, к 0,1,..., где Т — постоянное положительное число, а последовательность t k определяется следующим образом. Пусть задана непрерывная функция 6{t) (функция фазы), определенная при t 0 и пусть а — заданное положительное число (в приложениях часто а — 27г). Тогда f0 — минимальное число такое, что Схема системы синхронизации изображена на рис. 8.1 [77]. Здесь Тг — триггер, на выходе которого формируются импульсы конечной длительности, модулированные по ширине. На его входы поступают мгновенные импульсы в моменты времени tk и tk. Здесь ПР — преобразователь, который, исходя из функции фазы $(t), формирует последовательность мгновенных импульсов в моменты времени t k.импульса совпадает со знаком -ф, будем называть простейшим периодическим режимом. Справедливы следующие утверждения.
LINK4 Управляемость, наблюдаемость, невырожденность, гур-вицевость LINK4
В критериях устойчивости данной работы используется метод линейных матричных неравенств. Линейные матричные неравенства давно и широко используются при исследовании нелинейных систем управления (см., например, [29,98,134]). Традиционный подход к задачам абсолютной устойчивости состоит в сведении условий разрешимости матричных неравенств к некоторым неравенствам, включающим амплитудно-фазовую частотную характеристику линейной части системы. Наиболее известный результат такого рода носит название леммы Якубовича-Кал мана или частотной теоремы. Подобные неравенства обычно называют «частотными». С прикладной точки зрения частотный подход интересен тем, что частотная характеристика реального технического объекта может быть снята экспериментально, путем измерения установившейся реакции объекта на синусоидальные колебания различной частоты. При проверке частотных условий не требуется знание модели объекта в виде дифференциального уравнения, что позволяет избежать процедуры идентификации параметров модели.
Аналитическая проверка частотных неравенств может быть явно выполнена лишь для систем низкого порядка (первого, второго, иногда третьего). Импульсные аналоги частотных критериев устойчивости, существенно более сложные, еще реже поддаются аналитической проверке. Некоторые классические частотные критерии (критерий Попова, круговой критерий) допускают наглядную геометрическую интерпретацию (анализ годографа частотной характеристики на комплексной плоскости), но в современной ситуации, при использовании компьютеров, геометрический подход уже не выглядит столь привлекательным как раньше.
Вопрос о численной проверке частотных неравенств (по аналитически заданной передаточной функции) ставился уже достаточно давно. Интересный полиномиальный подход был развит Д. Шильяком [132,205,206] в начале 70-х годов. (Подробное описание алгоритма Ши-льяка может быть найдено также в [76].) Проверка частотного неравенства может быть несложными преобразованиями сведена к условию положительности многочлена вида
Таким образом, задача сводится к отсутствию вещественных корней у многочлена P(to). Проверка последнего свойства может быть выполнена с помощью теоремы Штурма [23]. Основываясь на этой идее, Д. Шильяк предложил алгебраический критерий устойчивости, напоминающий по форме критерий Рауса-Гурвица. В дипломной работе Н.Л. Денисова (1999 г., Санкт-Петербургский морской технический университет) с помощью теоремы Штурма была реализована проверка импульсных аналогов критерия Попова и кругового критериев главы 2.
В 80-е годы в работах [99,200] был предложен иной подход к методу матричных неравенств, связанный с анализом этих неравенств непосредственно в пространстве состояний. Задача решения матричных неравенств была поставлена как задача выпуклого программирования и был предложен численный метод ее решения (метод эллипсоидов). Успеху этого направления исследований существенно способствовало развитие методов внутренней точки для решения задач выпуклого программирования, которые оказались очень эффективными с вычислительной точки зрения. Наиболее полное изложение методов внутренней точки дано в [192]. Первое систематическое изложение этих новых подходов применительно к задачам теории управление содержится в [149]. Развитию метода линейных матричных неравенств посвящен сборник [141] и десятки статей различных авторов. Заметим, что существующие алгоритмы обычно не позволяют описать все множество решений линейного матричного неравенства (это множество является выпуклым в линейном пространстве решений). За конечное число ша 267
гов они приводят либо к одному из возможных решений задачи, либо к утверждению о том, что решения отсутствуют,
В настоящее время разработаны эффективные программные средства, позволяющие как проверять условия разрешимости, так и находить сами решения линейных матричных неравенств теории управления. К наиболее известным пакетам программ для решения задач этого класса относятся пакет LMI Control Toolbox [161], входящий в стандартную поставку системы Matlab, а также некоммерческий (свободно распространяемый) пакет LMITOOLS, имеющий версии для систем Matlab и Scilab [159,193]. В частности, проверка всех приводимых далее алгебраических критериев стабилизации была реализована с помощью LMI Control Toolbox и общих приемов моделирования, изложенных в [5].
При фиксированном в может быть найдено решение этой задачи х{6) (обычно используется разновидность метода Ньютона). При слабых предположениях относительно исходных функций, если выбрать последовательность Вп - +СО, то последовательность решений х(6п) оптимизационной задачи (11.3) будет сходиться к решению задачи (11.2). Для того, чтобы проверить разрешимость матричного неравенства.
