Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Построение КГД системы уравнений на основе законов сохранения 10
1.1. Интегральные законы сохранения 10
1.2. Переход к дифференциальным уравнениям 12
1.3. Классический способ замыкания. Уравнения Эйлера и Навье-Стокса 14
1.4. Другой способ замыкания. Квазигазодинамическая система уравнений 17
1.5. Параметр релаксации 19
1.6. Вид КГД добавок в {х, y,z) и (г, ф, z) геометрии 20
1.6.1. Общие положения тензорного анализа 20
1.6.2. КГД система в тензорно-индексном представлении 23
1.6.3. КГД добавки в цилиндрических координатах . 24
1.6.4. КГД добавки в декартовых координатах 28
1.7. Некоторые свойства КГД системы 31
Глава 2. Численный алгоритм расчета сверхзвуковых течений 33
2.1 Введение 33
2.2. Система КГД уравнений в цилиндрической геометрии . 34
2.3. Система КГД уравнений в плоской геометрии 36
2.4. Обезразмеривание КГД системы 38
2.5. Введение искусственной диссипации 43
2.5.1. Оценка величины искусственной диссипации . 43
2.5.2. Искусственная диссипация на границе 44
2.6. Течение в окрестности цилиндрического торца 45
2.6.1. Геометрия расчетной области 45
2.6.2. Начальные условия 46
2.6.3. Граничные условия 46
2.7. Численный алгоритм 47
2.7.1. Расчетная область и сетка 47
2.7.2. Разностная аппроксимация уравнений 49
2.7.3. Аппроксимация начальных условий 51
2.7.4. Алгоритм расчета 51
2.7.5. Заполнение фиктивных ячеек 52
2.7.6. Разностная схема 54
2.8. Параметры торможения и положение ударной волны . 55
2.9. Результаты расчетов 56
2.10. Течение в канале с уступом 59
2.11. Заключение 61
2.12. Иллюстрации 63
Глава 3. Моделирование течений, возникающих при входе летательных аппаратов в атмосферу Марса 70
3.1. Введение 70
3.2. Постановка задачи 71
3.2.1. Летательный аппарат 71
3.2.2. Параметры течения 72
3.2.3. Граничные условия 73
3.3. Особенности численного алгоритма 73
3.3.1. Обезразмеривание 73
3.3.2. Заполнение фиктивных ячеек 74
3.3.3. Решение проблем, возникающих при вычислениях 76
3.4. Поток энергии на стенку 77
3.5. Обсуждение результатов расчетов 79
3.6. Заключение 83
3.7. Иллюстрации 86
Глава 4. Численный алгоритм расчета дозвуковых течений 97
4.1. Обезразмеривание КГД системы 97
4.2. Введение искусственной диссипации 101
4.2.1. Оценка величины искусственной диссипации . 102
4.2.2. Искусственная диссипация на границе 103
4.3. Граничные условия для дозвуковых течений 104
4.3.1. Традиционная постановка граничных условий . 104
4.3.2. Нетрадиционная постановка граничных условий . 105
4.4. Течение в канале с внезапным расширением 108
4.4.1. Постановка задачи 108
4.4.2. Результаты расчетов 108
4.5. Течение в канале с внезапным сужением 112
4.5.1. Постановка задачи 112
4.5.2. Результаты расчетов 113
4.6. Заключение 115
4.7. Иллюстрации 116
Глава 5. Комплекс программ 120
5.1. Программная реализация алгоритмов 120
5.1.1. Блок-схема 123
5.2. Программы обработки результатов 125
Заключение 132
Литература 134
- Классический способ замыкания. Уравнения Эйлера и Навье-Стокса
- КГД добавки в цилиндрических координатах
- Параметры торможения и положение ударной волны
- Нетрадиционная постановка граничных условий
Введение к работе
Актуальность. Численное моделирование течений вязкого сжимаемого газа в сверхзвуковых и дозвуковых режимах является актуальной задачей вычислительной гидродинамики. Многочисленные технические приложения, связанные с необходимостью расчета газодинамических течений, требуют постоянного совершенствования и оптимизации разработанных ранее методов численного расчета.
Имеющиеся в настоящее время программы расчета вязких течений основаны на использовании системы уравнений Навье-Стокса (НС). Несмотря на большой опыт решения НС-уравнений, их численная реализация спряжена с определенными трудностями.
Нетрадиционным подходом к построению алгоритмов расчета вязких течений является использование квазигазодинамических (КГД) уравнений, которые отличаются от уравнений Навье-Стокса дополнительными диссипативными слагаемыми с малым параметром в качестве коэффициента1"2. Использование дополнительной диссипации позволяет существенно оптимизировать вычислительные алгоритмы.
КГД уравнения были получены Б.Н. Четверушкиным и Т.Г. Елизаровой, позднее в работах Ю.В. Шеретова был предложен феноменологический вывод квазигазодинамических и квазигидродинамических уравнений.
Цель работы состоит
в создании новых численных алгоритмов расчета сверхзвуковых и дозвуковых течений вязкого сжимаемого газа, основанных на КГД уравнениях;
в написании комплекса программ, реализующих эти алгоритмы;
в апробации программ на характерных задачах и сравнении результатов с имеющимися данными, полученными на основе существующих моделей (системы уравнений Эйлера и Навье-Стокса, метод прямого моделирования Монте-Карло).
Научная новизна. На основе предложенных ранее КГД уравнений и идей их численного решения в диссертации построены два численных алгоритма расчета течений газа. Первый ориентирован на сверхзвуковые течения, второй - на течения в дозвуковом режиме.
Оба алгоритма базируются на записи КГД уравнений в инвариантном виде, что позволяет естественным образом адаптировать их к различным системам координат. Разностные аппроксимации строятся в потоковой форме непосредственно для векторов плотности потока массы, теплового потока и тензора вязких напряжений, что соответствует записи КГД
1 Елизарова Т.Г„ Четверушкин Е. Н. // ЖВМ и МФ. 1985. Т. 25, №10. С. 1526.
2 Шеретов Ю. В. Математическое моделирование течений жидкости и газа па основе
хвазигидродинамическвх и квазигаюдикамическиї )щіщЩй,^Щ„
C.Tlmp#pr 7л/
СТНтгрб^рг
OS mr/ткт
уравнении в виде законов сохранения и делает алгоритмы компактными и экономичными.
Присутствующая в КГД уравнениях дополнительная диссипация позволяет применять центрально-разностные аппроксимации (второго порядка точности) для всех пространственных производных, включая конвективные слагаемые.
В отличие от ранее разработанных алгоритмов данного типа, дополнительные КГД слагаемые выписаны отдельно, что позволяет варьировать величину искусственной диссипации в зависимости от типа течения.
Алгоритм расчета дозвуковых течений, построенный на основе КГД уравнений, имеет две особенности. Первая - это естественный и эффективный способ построения неотражающих граничных условий на свободных границах. Это позволяет избежать применения так называемых «дозвуковых» условий, основанных на построении характеристик для уравнений Эйлера. Второй особенностью является специальный способ введения искусственной диссипации, не искажающий вид теплового потока и коэффициента трения на твердых стенках.
Практическая ценность. Построенные в диссертации алгоритмы являются простым и эффективным способом численного расчета течений в широком диапазоне чисел Маха (от 0.01 до 50) и чисел Кнудсена (вплоть до 0.2).
На основе построенных алгоритмов проведено численное моделирование тестовых задач, которые в дальнейшем могут использоваться для проверки работоспособности других алгоритмов.
Кроме того, в упрощенной постановке решена задача о расчете тепловых нагрузок на поверхность возвращаемого космического аппарата, находящегося в атмосфере Марса.
Разработанные в диссертации программы подробно описаны, легко модифицируются и могут использоваться для расчета широкого круга вязких течений газа.
Апробация работы. Основные результаты работы докладывались и обсуждались:
на VIII Международной конференции студентов и аспирантов по фундаментальным наукам «Ломоносов-2001». Москва (апрель, 2001 г.);
на X Международной конференции студентов и аспирантов по фундаментальным наукам «Ломоносов-2003». Москва (апрель, 2003 г.);
на научном семинаре Института Математического Моделирования РАН. Москва (март, 2004 г).
на XI Международной конференции студентов и аспирантов по фундаментальным наукам «Ломоносов-2004». Москва (апрель, 2004 г.).
на научном семинаре им. К.И. Бабенко в Институте Прикладной Математики им. М.В. Келдыша. Москва (апрель, 2004 г.).
Работа выполнена при поддержке гранта РФФИ 01-01-0061.
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 9 работах. Список публикаций приведен в конце автореферата.
Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения, списка литературы и приложений. Текст изложен на 140 страницах, список литературы включает 60 наименований.
Классический способ замыкания. Уравнения Эйлера и Навье-Стокса
Построенные в диссертации алгоритмы являются простым и эффективным способом численного расчета течений в широком диапазоне чисел Маха (от 0.01 до 50) и чисел Кнудсена (вплоть до 0.2).
На основе построенных алгоритмов проведено численное моделирование тестовых задач, которые в дальнейшем могут использоваться для проверки работоспособности других алгоритмов.
Кроме того, в упрощенной постановке решена задача о расчете тепловых нагрузок на поверхность возвращаемого космического аппарата, находящегося в атмосфере Марса. Разработанные в диссертации программы подробно описаны, легко модифицируются и могут использоваться для расчета широкого круга вязких течений газа. Первая глава посвящена изложению способа построения КГД уравнений, согласно работам [7, 9], на основе законов сохранения массы, импульса и энергии. Отдельным параграфом приведены выражения для КГД добавок в декартовой и цилиндрической геометриях, полученных автором [52]. Вторая глава посвящена реализации и исследованию численного алгоритма расчета вязких сверхзвуковых течений [9]. Алгоритм базируется на записи КГД уравнений в инвариантном виде, что позволяет легко адаптировать его к различным системам координат. Разностные аппроксимации строятся в потоковой форме непосредствен-но для векторов плотности потока массы j, тензора вязких напряжений П и вектора теплового потока q. Это соответствует записи КГД уравнений в виде законов сохранения и делает алгоритм компактным и экономичным. Слагаемые НС и КГД выписаны отдельно, что позволяет варьировать величину искусственной диссипации в зависимости от типа течения. Вве дение дополнительной вязкости в виде слагаемого a h/c (где h - шаг сетки, с - скорость звука, а - численный коэффициент порядка единицы, определяемый эмпирически) в коэффициенты динамической вязкости fl, теплопроводности ае и в релаксационный параметр г обеспечивает устойчивость алгоритма. Устойчивость позволяет провести аппроксимацию всех пространственных производных центральными разностями. Для численного решения используется явная по времени разностная схема. Для единообразного решения системы уравнений во всех точках внутренней области вводится система фиктивных ячеек. Построенный алгоритм протестирован на двух характерных задачах. Первая - стационарное течение вязкого газа в окрестности цилиндрического торца. Проведен ряд расчетов в широком диапазоне чисел Маха -от 1.5 до 50. Параметры торможения (значения газодинамических величин перед торцом цилиндра) соответствуют значениям, рассчитанным теоретически. Вторая задача - нестационарное течение невязкого газа в плоском канале с внезапным сужением. Картина течения, полученная на момент времени t = 4, хорошо соответствует результатам расчета по схемам третьего порядка точности, приведенным в литературе. Третья глава посвящена численному решению практической задачи на основе построенного алгоритма. Проведен расчет течений в окрестности возвращаемого летательного аппарата, находящегося в атмосфере Марса. Для всех точек траектории течение вблизи аппарата характеризуется большими числами Маха (Ма=17-т- 30), резким перепадом температур (Т—1500-Ь 30000 , где Tw = 1500 К - температура стенки, поддерживаемая постоянной) и широким диапазоном чисел Рейнольдса (Re — 102Ч-2.5 105). Рассматривается гидродинамический аспект проблемы, химические реакции и излучение, возникающее в пограничном слое перед аппаратом при температурах свыше 10000 К, не учитываются. На лобовой поверхности аппарата задается условие "скольжения" для скорости и условие скачка температур. Были проведены расчеты для пяти времен, соответствующих разным точкам траектории полета, в диапазоне чисел Кнудсена от Кп — Ю-5 до Кп = 0.2. Целью исследования был расчет поля течения и тепловых потоков, возникающих на лобовой поверхности аппарата (в точке торможения). Расчеты показали, что распределение газодинамических параметров перед аппаратом и значения тепловых потоков на его поверхности, полученные на основании КГД-алгоритма, хорошо соответствуют данным, полученным по методу прямого численного моделирования Монте-Карло, вплоть до чисел Кнудсена 0.01 — 0.2. Четвертая глава посвящена построению численного алгоритма для расчета дозвуковых течений. Алгоритм строится на примере плоского двумерного течения в канале с внезапным расширением и сужением.. Первая особенность алгоритма состоит в введении искусственной диссипации в виде a h/c только в КГД слагаемые. Введение этой дополнительной диссипации только в КГД слагаемых исключает ее влияние на коэффициенты трения и тепловые потоки на стенке. Второй особенностью алгоритма является естественный способ постановки неотражающих граничных условий на свободных границах канала. Граничные условия задаются по аналогии с условиями для течений вязкой несжимаемой жидкости. В частности, на входной границе поставлен профиль Пуазейля. На выходной границе задаются так называемые "мягкие" граничные условия (равенство нулю первых производных) для плотности и компонент скорости, а давление поддерживается постоянным, равным р = l/ Ma2). Предложенный способ постановки граничных условий прост в реализации и не требует применения традиционного подхода, основанного на вычислении характеристик рассматриваемого течения в рамках уравнений Эйлера. Проведены расчеты для чисел Рейнольдса 100, 200, 300 и 400, при этом число Маха изменялось в диапазоне от 0.01 до 0.5. Длина отрывной зоны в каждом из расчетов совпадает с результатами, полученными в расчетах для вязкой несжимаемой жидкости.
КГД добавки в цилиндрических координатах
КГД уравнения отличаются от уравнений Навье-Стокса дополнительными дивергентными слагаемыми с малым параметром т в качестве коэффициента. КГД систему можно рассматривать как математическую модель для описания вязких течений газа.
При численном моделировании вязких течений дополнительные слагаемые проявляют себя как эффективные регуляризаторы. Для КГД системы получен ряд теоретических результатов [7]. В частности, выведены уравнения баланса энтропии с неотрицательными дисси-пативными функциями, доказаны теоремы о возрастании полной термодинамической энтропии в адиабатически изолированных объемах, изучены свойства решений типа неподвижной ударной волны. Приближением ламинарного пограничного слоя для системы служит классическая система Прандтля. Модель описывает эволюцию пространственно-временных средних величин - плотности, скорости и температуры, В стационарном случае КГД-система отличаются от уравнений Навье-Стокса дивергентными членами, имеющими формальные асимптотические порядки малости 0(Кп2) при Кп — 0. Влияние добавочных членов незначительно для стационарных и квазистационарных газодинамических течений при малых числах Кнудсе-на. Однако для сильно нестационарных течений, а также при числах Кп, близких к единице, их вклад становится существенным. Именно в этом классе задач следует искать преимущества новых моделей. КГД уравнения следует использовать только при моделировании течений идеального политрогагого газа. Для исследования движений неидеальных газов и жидкостей предназначена квазигидродинамическая система уравнений [7]. Вопрос о границах применимости КГД модели является одним из наиболее сложных. Для того чтобы ответить на него, необходимы дополнительные исследования. Отметим также, что КГД система является одной из альтернативных для системы НС. Существуют и другие отличные от нее системы, которые в разное время предлагались в работах [17, 18, 20, 19, 21].
В данной главе описан и протестирован новый численный алгоритм расчета сверхзвуковых течений газа, основанный на системе КГД уравнений. Выписаны системы уравнений в плоской и цилиндрической геометриях, проведено обезразмеривание на примере уравнений в одномерном виде, приведена разностная аппроксимация уравнений и алгоритм расчета, описано введение искусственной вязкости.
На основе алгоритма рассмотрена стационарная задача об осесиммет-ричном обтекании цилиндра и нестационарная задача о плоском течении в канале с уступом. Результаты расчетов демонстрируют высокую точность и эффективность алгоритма.
В статье [9] на основе КГД модели был предложен оригинальный алгоритм расчета нестационарных осесимметричных течений вязкого газа. В отличие от разработанных ранее численных алгоритмов, опирающихся на КГД уравнения [2, 22, 24, 23], данный метод базируется на записи КГД уравнений в инвариантном виде. Это позволяет естественным образом адаптировать алгоритм к различным, в том числе и криволинейным, системам координат. Разностные аппроксимации строятся в потоковой форме непо-средственно для векторов плотности потока массы j, вектора теплового потока f и тензора вязких напряжений П. Это соответствует классической записи уравнений газовой динамики в виде законов сохранения и делает алгоритм достаточно компактным и экономичным.
НС и дополнительные КГД диссипативные слагаемые выписаны отдельно, что позволяет независимо друг от друга варьировать значения коэффициентов вязкости }i, теплопроводности ае и величину искусственной диссипации, которая задается дополнительными слагаемыми с множителем (релаксационный параметр).
В данной главе алгоритм реализован для плоской и цилиндрической геометрий и тестируется на примере задач вязкого течения в окрестности цилиндрического торца и невязкого течения в плоском канале с уступом [23, 26].
Параметры торможения и положение ударной волны
Проводились серии расчетов са = 0.2, 0.5, 1. Наиболее точные значения параметров торможения получаются при а — 0.5.
Профили плотности, приведенные на рис. 2.3в, подтверждают, что расчет с а = 0.5 является оптимальным - при меньшем значении (а = 0.2) профиль "портится", при большем значении (а = 1) - увеличивается толщина ударной волны. На рис. 2.4в приведена зависимость скорости сходимости (уменьшение невязки є) в зависимости от значения параметра а. Насколько мы видим, скорость сходимости практически не зависит от параметра а. Сходимость численного решения по сетке Расчеты проводились на равномерных пространственных сетках с шагами hT = hz = 0.05 и hr = hz = 0.025. Для Ma = 1.5 уменьшение шага сетки мало влияет на точность решения. Профили плотности для Ма = 2, расчитанные на сетках 80 X 60 и 160 х 120, приведены на рис. 2.3с. Видно, что с уменьшением шага сетки плотность торможения (в точке 2 — 2) ближе к теоретическому значению о = 2.72 (отмечено точкой), профиль круче, ширина ударной волны меньше. При расчете на грубой сетке стационарное распределение достигается быстрее (рис. 2.4с). 2.10. Течение в канале с уступом Описанный выше алгоритм был адаптирован для плоских двумерных течений и использован для расчета невязкого сверхзвукового течения в канале со ступенькой [23, 26]. Сложная конфигурация ударных волн, формирующихся с течением времени в канале, служит известным тестом для оценки работоспособности методов высокого порядка точности для решения уравнений Эйлера и НС. В соответствии с [23, 26] задача решается в следующей постановке: длина канала - 3, ширина - 1, высота ступеньки, расположенной на расстоянии 0.6 от начала канала, равна 0.2. Рассматривается течение невязкого теплопроводного газа с показателем адиабаты -у =1.4. Газ втекает справа (рис. 3). Течение описывается КГД системой, записанной в декартовой системе координат (2.12)-(2.15) в безразмерном виде. Обезразмеривапие проведено по аналогии с обезразмериванием системы уравнений, записанной в цилиндрических координатах. В качестве начальных условий используются параметры набегающего Граничные условия задаются следующим образом. На входной границе значения газодинамических параметров полагаются равными значениям набегающего потока, то есть р = 1, иг = —Ма,иг = 0 и р = 1/7 На выходной границе задаются "мягкие" граничные условия - предполагается равенство нулю первых производных от всех параметров потока. На твердых стенках канала и ступеньки задаются граничные условия то есть производная тангенциальной составляющей скорости и нормальная составляющая скорости равны нулю. Расчеты проведены на трех равномерных пространственных сетках, результаты представлены в таблице 2.3. При вычислении релаксационного параметра г коэффициент а — 0.3. Для сопоставления с результатами работ [23, 26] на рисунке 2.5 приведены распределение плотности на момент времени t = 4 (50 изолиний расположены эквидистантно), полученные при расчетах на последовательно сгущающихся сетках: 120 х 40, 240 х 80 и 480 х 160. Картина течения, образующаяся на момент времени і = 4, соответствует данным [26], полученным с использованием кусочно-параболических схем третьего порядка точности по пространству, и результатам [23], где применяются методы расщепления первого, второго и третьего порядка точности. Отчетливо прослеживается образование вторичных волн отражения от верхней стенки канала и верхней поверхности ступеньки. За волной разрежения над углом ступеньки плотность газа минимальна, вблизи контактного разрыва за тройной точкой над уступом плотность газа максимальна. При сгущении сетки картина становится более четкой. Полученные в расчетах минимальное и максимальное значения плотности на разных сетках приведены в таблице 2.3. Согласно [26], ртах/роо 4.33, Pmin/Poo = 0.18. Видно, что максимальные значения плотности хорошо совпадают. При сгущении пространственной сетки величина pmin уточняется. На рис. 2.6 приведен процесс установления течения. Изображено распределение плотности, полученное на моменты времени t = 0.5, 1, 2, 4, 7, 15 на сетке 240 х 80. На рис. 2.7 приведено распределение плотности, давления, температуры, компонент скорости, нарисованы линии тока и указан диапазон изменения величин на момент времени Ь—А. На рисунке представлены результаты расчета, полученные на на самой подробной сетке 480 х 120. В данной главе на примере расчета двух типичных газодинамических течений протестирован предложенный в [9] новый численный алгоритм, основанный на системе КГД уравнений. Алгоритм базируется на записи КГД системы уравнений в инвариантном виде в потоковой форме и аппроксимируется явной по времени разностной схемой первого порядка точности. Достоинствами метода являются простота реализации и высокая точность, которая обеспечивается вве- дением регуляризаторов в КГД уравнения. При тестировании алгоритма выяснено влияние регуляризирующего параметра г, и в частности, установлена величина численного коэффициента а. Оптимальное значение следует выбирать равным 0.5. Проведено исследование сходимости решения при сгущении сетки. Алгоритм может использоваться для расчета вязких и невязких сверхзвуковых нестационарных течений с высокими числами Маха, возникающих, например, при входе летательных аппаратов в атмосферу планет.
Нетрадиционная постановка граничных условий
Проведены расчеты для времен t = 50,150, 270, 300, 340 секунд (параметры течения для выбранных моментов времени приведены в табл. 3.1).
Результаты расчетов систематизированы в табл. 3.2. Указан момент времени и соответствующее ему число Рейнольдса, размер и шаг пространственной сетки, коэффициент искусственной вязкости а, шаг по времени, точность установления стационарного распределения плотности (невязка). По результатам расчета таблица дополнялась числом шагов до установления и рассчитанными безразмерными значениями теплового потока q для КГД модели. Для сравнения в табл. 3.2 также внесены безразмерные значения тепловых потоков, полученных по кинетическому алгоритму в модификациях Disirafl и DSMC. В последней колонке приведена приближенная оценка величины теплового потока, полученная по полуаналитическим формулам, использующим приближение пограничного слоя. Эти оценки взяты из [35].
Жирным шрифтом в табл. 3.2. выделены варианты расчета с минимальной схемной вязкостью (минимальным значением а). Расчеты для всех вариантов проводились на трех сгущающихся сетках: 40x30, 80x60 и 160x120 с шагами по пространству hr = hz = 0.1,0.050.025 соответственно. Дополнительно для V2 был проведен расчет па более подробной сетке 240 х 240 с шагом hr — h2 = 0.0125. Для вариантов V4 и V5 проведены расчеты без искусственной вязкости, когда параметр а = 0. На рис. 3.1-3.5, приведены двумерные распределения полей плотности (а), давления (в) и температуры (с) в сочетании с линиями тока, полученные в расчетах по КГД алгоритму, (вторая цифра в номере рисунка соответствует варианту расчета). Здесь же, на рис. 3.1-3.5 построены распределения плотности р (d) и температуры Т (е) вдоль оси 2, а также распределения размерного теплового потока вдоль радиуса цилиндра (f) в сравнении с результатами Disirafl. Исключение составляет вариант V2, для которого в силу малости числа Кнудсена не удается получить результаты по кинетическому алгоритму, поэтому на рис. 3.2 представлены только профили, рассчитанные с помощью КГД алгоритма. На рис. 3.2d приведена сходимость температуры по а, на рис. 3.2е - по сетке, на рис. 3.3f - сходимость теплового потока по сетке. Значения размерного теплового потока приведены в табл. 3.2 для каждого варианта расчета. Из этой таблицы наглядно видна сходимость величины теплового потока q при сгущении пространственной сетки и уменьшении параметра а. Значение теплового потока в размерном виде для каждой точки траектории полета, полученное для КГД уравнений в вариантах с минимальным влиянием схемной вязкости (а — 0-г-0.5 в зависимости от варианта), в сравнении с двумя указанными вариантами кинетической модели приведены в табл. 3.3, а также в логарифмическом масштабе представлены на рис. 3.6. Этот вариант характеризуется наибольшим числом Ма — 29 (Кп 2.71 - 1(Г2). В расчете данного варианта по методу Монте-Карло (модификация Disirafl) точность расчета оказывается недостаточной, что выражается в значительных флуктуациях теплового потока (рис. 3.1f) и в недостаточном разрешении градиента плотности в ударной волне. Излом в графике плотности на оси, соответствующий положению ударной волны, хорошо виден в кривой, соответствующей КГД алгоритму, и не разрешается в расчете по кинетическому алгоритму (рис. З.Ы). Тем не менее, профили температуры в обоих расчетах совпадают хорошо. В данном варианте число Рейнольдса достаточно велико Re = 1.07 Ю-3, и на использованных сетках не удается получить численное решение по КГД модели без использования искусственной диссипации. Минимально допустимая величина а = 0.1 обеспечивает сходимость решения до невязки є = Ю-4. Тем не менее, на графике распределения плотности видны небольшие осцилляции перед ударной волной, свидетельствующие о том, что такая величина а недостаточна. Однако при расчете тепловых нагрузок на лобовую поверхность аппарата эта незначительная неустойчивость влияния не оказывает. Этот вариант характеризуется большим числом Re = 2.4 105, поэтому в данном случае решение с помощью кинетического алгоритма получено не было. КГД уравнения позволяют устойчиво рассчитывать этот вариант задачи при введении искусственной диссипации. Для использованных сеток минимальная величина параметра а = 0.4. Сходимость по сетке (варианты расчета с а = 0.5) представлена на рис. 3.2e,f. Влияние параметра а в этом варианте незначительно. Уже на использованных сетках удалось достигнуть сходимости по температуре: максимальное значение температуры соответствует аналитическому значению температуры за ударной волной Из табл. 3.2 наглядно видна сходимость решения по тепловому потоку, которая графически изображена на рис. 3.2f. Для более точного определения тепловой нагрузки мы использовали очень подробную сетку (hz = 0.0125), что позволило более точно разрешить пограничный слой в этой зоне.
Для данного варианта Re = 2110 и Кп = 0.00848, что представляет сложность для расчета методами прямого численного моделирования Монте-Карло (DSMC). Это выражается в значительных флуктуациях теплового потока вблизи оси (рис. 3.3f). Эти флуктуации также могут быть следствием неудачного выбора шага пространственной сетки в области расчета. Тем не менее, профили плотности, температуры и распределение теплового потока в этом варианте, рассчитанные по алгоритмам КГД и DSMC, хорошо согласуются.
В расчетах по КГД алгоритму минимальное значение а = 0.2 (табл. 3.2), что позволяет достигнуть сходимости расчета, однако, как и в варианте VI, приводит к небольшим осцилляциям плотности перед ударной волной (рис. 3.3d). Сходимость расчета для теплового потока при сгущении сетки и уменьшении параметра а хорошо видна из табл. 3.2, а также приведена на рис. 3.7.
