Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА 1. Математическая модель мгд-процессов в алюминиевом электролизере 19
1.1 Исходная система уравнений 19
1.2 Математическое моделирование давления в среднем слое жидкости 25
1.3 Уравнение электромагнитной индукции 29
1.4 Расчет анодного тока в средах 34
1.5 Учёт геометрии ванны и анодов в математической модели 36
1.6 Полная математическая модель 38
ГЛАВА 2. Численный метод решения 44
2.1 Разделение на этапы по физическим процессам 44
2.2 Численный метод решения задачи по этапам 50
2.3 Устойчивость разностного метода 68
2.4 Оценка точности метода 73
ГЛАВА 3. Анализ численных экспериментов 76
3.1 Тестовые расчеты 77
Одномерный плоский случай 77
Двумерный случай 85
3.2 Оценка адекватности результатов расчетов по конкретной ванне 101
Расчет 766-ой ванны по 1-му аноду 101
Расчет 766-ой ванны по 22-м анодам 104
3.3 Моделирование некоторых процессов, возникающих при промышленном производстве 114
Замена выгоревших анодных блоков 114
Исследование влияния геометрии рабочего пространства электролизера на МГД-стабильность 119
Возможности по моделированию неполадок 121
3.4 Устранение неопределенности в критерии устойчивости Бояревича-Ромерио 125
Заключение 129
Список литературы
- Математическое моделирование давления в среднем слое жидкости
- Учёт геометрии ванны и анодов в математической модели
- Численный метод решения задачи по этапам
- Моделирование некоторых процессов, возникающих при промышленном производстве
Введение к работе
Постановка задачи
Необходимо провести математическое моделирование процесса промышленного электролиза алюминия в условиях, максимально приближенных к реальным. Требуется построить нестационарную математическую модель движения двух жидких слоев, описывающую электромагнитные и гидродинамические процессы в своей взаимосвязи, с учетом как токов, исходящих из анодов, так и индуцированного тока. Модель должна учитывать геометрию ванны и вязкое трение между средами и на их границах. Результаты численного расчета должны позволять визуализировать динамику изменения поверхности раздела между средами, скоростей в средах жидкого металла и электролита, а так же основных электромагнитных величин в обеих средах.
В производственных автоматизированных системах управления технологическим процессом (АСУТП) для определения порога устойчивости электролизера на практике часто используется критерий Бояревича-Ромерио [17], который в реальном времени позволяет следить за МГД-стабильностью технологического процесса и позволяет эффективно управлять электролизом. Опираясь на результаты моделирования, требуется предложить способ снятия неопределенности в выборе ведущей пары мод разложения поверхности металла для конкретных электролизных ванн.
Обзор литературы
В настоящее время первичный алюминий производится путем электролиза криолит-глиноземного расплава в электролизной ванне [14,16]. Основными компонентами криолит-глиноземного расплава являются: глинозем А120з, криолит ИазАШб, и фтористый алюминий A1F3. В
промышленном электролите всегда присутствует фтористый кальций - CaF2, который снижает температуру плавления и снижает потери алюминия.
Электролит в расплавленном состоянии диссоциирует на ионы. Положительно заряженные ионы (катионы) разряжаются на катоде, отрицательные ионы (анионы) - на угольном аноде.
Основной процесс на катоде - восстановление трехвалентного алюминия А1 + Зе = А1, на угольном аноде - происходит разряд кислородосодержащих ионов с образованием окислов углерода СО и С02. На рис. 1 изображена рабочая зона межполюсного зазора электролизера.
0 о : о о оо?о 0^
С и
Реакционная зона
Транспорт С02 конвекцией
Электролит
Перенос металла конвекцией
Поверхность металл-электролит
v_
Алюминий
Пограничный слой
перенос диффузией Рис. 1. Рабочая зона межполюсного зазора электролизера.
Суммарная реакция, происходящая в электролизере, может быть представлена в виде уравнения:
А1203 + ХС = 2А1 + (2Х-3)СО + (3-Х)С02
То есть в процессе электролиза в основном расходуется глинозем и углерод (в смеси пека и кокса), электроэнергия на разложение глинозема и поддержание рабочей температуры, дополнительно расходуются фтористые соли.
Процесс электролиза непрерывный, поэтому в электролит периодически загружают глинозем (а в самообжигающийся анод - анодную массу). Для поддержания уровня и состава электролита загружают свежий и вторичный криолит, оборотный электролит, фтористый алюминий, и кальцированную соду.
Основным показателем работы электролизёра является выход по току. Выход по току - отношение количества практически полученного алюминия к количеству, которое должно выделиться на катоде согласно закону Фарадея. Величина выхода по току таким образом рассчитывается по формуле:
В процессе производства алюминия возникают нежелательные явления (циркуляция металла, волнообразование на поверхности металла, перекос анода и др.), что ведет к негативным последствиям: к размыву гарнисажа, разрушению подовых и анодных блоков, прорыву металла, перемешиванию алюминия с электролитом и пр. В результате нарушается технологический режим, снижается выход по току и уменьшается срок службы электролизеров. Важно знать, как изменения конструкции и технологических параметров отражаются на процессах, происходящих в электролизере.
Считается, что первопричина снижения выхода по току - окисление растворенного алюминия анодным газом (СС^). Основная реакция, вызывающая потери металла:
2А1 + ЗС02 -> А1203 + ЗСО
Алюминий попадает в рабочую зону либо в следствие растворения, либо в следствие диспергирования.
Для уменьшения энергетических потерь следует по возможности уменьшать слой электролита, но при этом на поверхности раздела металл-электролит могут возникнуть колебания. При некоторых условиях наблюдается рост амплитуд этих волн, который называется неустойчивостью или магнитогидродинамическои (МГД) нестабильностью. Даже простое незатухающее колебание поверхности раздела должно быть устранено, так как при нем возрастает массоперенос растворенного алюминия от катода в межполюсное пространство, где он снова окисляется. МГД-нестабильность является основным препятствием увеличения выхода по току, и её устранение является одним из самых тонких мест в технологическом процессе производства первичного алюминия.
В настоящее время развито две технологии производства первичного алюминия: в электролизерах с предварительно обожженными анодами, и в электролизерах с самообжигающимися анодами. Наиболее распространенными в мире являются электролизеры с обожженными анодами (70% добываемого алюминия). Технология электролиза с обожженными анодами подразумевает периодическую замену анодов, в процессе чего могут происходить нежелательные возмущения среды, приводящие к снижению эффективности производства. При замене выгоревших анодов, которые выводят по 1-2 шт. по мере их выгорания, происходит перераспределение токов (суммарная величина которых порядка двухсот кА) по анодам, что влечет за собой изменение распределения токов в металле и электролите, а значит, ведет к изменению величины электромагнитной силы, действующей в этих средах. Это, в свою очередь, вызывает изменение распределения скоростей в электролите и металле, образование вихрей в средах, что ведет к возмущению границы раздела сред
металла и электролита. Часто при этом возникает МГД-нестабильность, зазор между анодом и жидким металлом становится меньше допустимого критического (значение минимального допустимого МПР для каждой электролизной ванны индивидуально и составляет в среднем 3 см).
Известно, что плотность чистого алюминия зависит от температуры следующим образом:
Г = 18 С: рА, =2,7 г/смг;
Т = 658 С: рм =2,382 ті см3 (температура плавления алюминия);
Т > 658 С: рм = 2,382 - 0,000273(t-658) г/ел/3;
Г =950 С: рА1 =2,302 г/см3;
а плотность криолита:
Г = 18 С: pNaiAIF6 =2,948 ті см3;
Т = 1000 С: pNajAiF =2,08 тісм3 (температура плавления криолита); Т > 1000 С: pNajAIFб =2,08 -0,00088(t-l000) г/см3;
Таким образом, с ростом температуры плотность алюминия падает меленнее чем плотность криолита, в итоге, уже при 950 С плотность алюминия больше плотности криолита на 10%. Поэтому выделяющийся в результате электролиза алюминий осаждается на падине ванны под электролитом.
Если температура меньше 950 С, то электролит может кристаллизоваться и плотность алюминия станет меньше плотности криолита. Тогда металл всплывет на поверхность. Чем выше электропроводность электролита, тем меньше падение напряжения при прохождении через него тока, т.е. затраты электроэнергии будут меньше. Максимальная удельная электропроводность электролита равна 446 См/м при температуре 1000 С. Если в электролит добавить фтористый натрий и фтористый алюминий, то его удельная электропроводность будет почти в 2
раза меньше (267 См/м), т.е. затраты энергии возрастут. Однако повышение температуры на каждые 10 С понижает выход по току на 3-4%. При температуре равной 940 С выход по току равняется 95%, при температуре равной 980 С выход по току равен 74%. Поэтому температуру поддерживают в пределах 940 - 970 С.
Важным параметром, влияющим на эффективность работы электролизера, является межполюсное расстояние (МПР). МПР - это расстояние между подошвой анодов и поверхностью металла. Чем больше межполюсное расстояние, тем больше выход по току. Если межполюсное расстояние больше 6 см, то выход по току растет не значительно. Если межполюсное расстояние меньше 3 см, то выход по току резко падает, так как алюминий попадает в реакционную зону, где происходит его обратное окисление. Поэтому для большинства ванн оптимальное МПР лежит в диапазоне 4-6 см.
Одна из основных технологических задач - создание условий в межполюсном пространстве, при которых уменьшается поток растворенного и диспергированного алюминия с поверхности катода и снижается вероятность его вторичного окисления, а также создание условий, при которых уменьшается вероятность зажатия ванны (когда МПР становится меньше допустимого).
Таким образом, при электролизе криолито-глиноземных расплавов на выход по току влияет:
Плотность тока,
Межполюсное расстояние,
Температура электролита,
Состав электролита,
и, конечно, качество обслуживания ванны.
Неполадки в работе ванн - это такие расстройства процесса электролиза, которые приводят к снижению выхода по току и качества получаемого алюминия, к перерасходу электроэнергии и сырья, а также к более серьезным последствиям - аварийному состоянию ванн, требующему выключения отдельных ванн и даже целой их группы.
В [14] подробно описаны неполадки, которые могут возникать в технологическом процессе производства первичного алюминия. К основным неполадкам в работе ванн авторы относят следующие:
Холодный ход ванны;
Выпадение глинозема на подину ванны;
Затяжной, «негаснущий» анодный эффект;
Горячий ход ванны.
Холодный ход ванны наблюдается если ванна получает недостаточное количество тепла, его причинами может быть пониженная сила тока серии, малое МПР, а также большое количество металла в ванне.
Выпадение глинозема на подину ванны, или «отравление ванны глиноземом» может происходить, если в ванну загружено глинозема больше того количества, которое может раствориться в электролите. Также это может происходить при холодном ходе ванны.
Анодный эффект возникает при снижении концентрации глинозема в электролите до 1-2%, поэтому его гасят внесением глинозема в ванну. Главный признак анодного эффекта - резкое, почти мгновенное, повышение напряжения в ванне. Основной причиной анодного эффекта является ухудшение смачиваемости поверхности анода электролитом из-за увеличения поверхностного натяжения на границе раздела электролит-анод. Поэтому на поверхности анода появляется сплошная прослойка из пузырьков газа - продукта электролиза. Растет сопротивление на границе электролит-анод, что влечет за собой потери тока и резкое повышение напряжения. Для
каждой ванны существует критическая плотность тока. Чем она выше, тем реже возникает анодный эффект. Величина критической плотности тока зависит главным образом от состава электролита и температуры. Затяжной анодный эффект характеризуется тем что он длится несколько часов и его не удается ликвидировать обычным приемом - загрузкой в электролит очередной порции глинозема. Если затяжной анодный эффект не прекратить, то неизбежен прорыв электролита и металла и даже полный выход ванны из строя.
Горячий ход ванны характеризуется высокой температурой электролита, что создает условия для более усиленного окисления растворенного алюминия, что, в свою очередь, также вызывает повышение температуры и ведет к понижению выхода по току. Его причинами могут быть:
Чрезмерно малое МПР (избыточное тепло выделяется в рабочей зоне при обратном окислении алюминия);
Сильно возросшее напряжение из-за увеличения МПР;
Недостаточное количество алюминия в ванне;
Анодный эффект;
Перегрев электролита на каком-то участке (местный перегрев) при неравномерном распределении тока. Главная причина -сильный перепад поверхности раздела металл-электролит. При этом плотность тока растёт и электролит перегревается, происходит усиленное окисление алюминия и повышается температура ванны.
Сильный перепад поверхности раздела возникает, когда:
Нарушена параллельность между нижней поверхностью анодов и
дном ванны из-за перекоса анодов после выливки алюминия и
перетяжки рамы анодов.
Анод неравномерно расходуется из-за неоднородности материала, из которого он состоит, и в нижней его части образуется конус, который может так вырасти, что начнет касаться алюминия.
Анод замыкается с алюминием через обломившийся кусок анода или кусок подового блока, который не вынули из ванны.
Анод касается настыли.
Для ликвидации горячего хода ванны устраняют возможную причину нарушения режима электролиза:
Если горячий ход произошел из-за роста тока, то его снижают до нормального.
Если увеличено напряжение из-за большого МПР, то аноды опускают.
Корректируют состав электролита.
Если причиной горячего хода являются местные перегревы, то в первую очередь устраняют их. Характерными внешними признаками ванны с местными перегревами являются: колебание напряжения, неравномерное бурление электролита вокруг анода, перегрев электролита там, где нет бурления и большой накал анода на этом участке, образование на этом аноде «шейки».
Если причиной является перекос анода, то его устраняют, регулируя подвески анода.
Поскольку физические эксперименты по оптимизации работы электролизера затруднительны, а замеры полей при температуре близкой к 1000 С на практике дают погрешность порядка 15%, возрастает роль проведения численного эксперимента на основе математического моделирования.
Существуют различные уравнения, связывающие выход по току с магнитогидродинамическими явлениями (МГД-явлениями) в электролизёре [21,22]. При изучении магнитогидродинамических явлений можно выделить две задачи:
Получение математической модели, описывающей основные поля в стационарном состоянии (магнитное, электрическое, форму стационарной поверхности раздела, линии течения в металле и электролите, скорости движения обоих жидкостей, формы рабочего пространства и т.д.);
Получение математической модели, описывающей динамику поверхности раздела.
Приведем краткий обзор основных результатов, относящихся ко второй задаче. Существование различных подходов, дающих объяснения возникновению волн на поверхности металла, а значит приводящих к разным критериям устойчивости, свидетельствует о значимости этого явления для эксплуатационных качеств электролизера. Первая двумерная модель в приближении «мелкой воды» была предложена в [29,30]. В данной модели используется нелинейное волновое уравнение для описания поверхности невязкой жидкости. Нелинейность обусловлена электромагнитной силой. К сожалению, в [29,30] не приводится вывод этого уравнения. В работе [28] для анализа волн в металле предложен «Метод быстрых анодных погружений».
Аналитический критерий устойчивости впервые предложен в [26]. В качестве основного механизма неустойчивости в этой работе выбрано взаимодействие между горизонтальными электрическими токами и вертикальной компонентой вектора магнитной индукции. Введено понятие
эффективного межполюсного расстояния >, =/^+-/; Ds отражает зависимость возмущенных распределений тока от анодных сопротивлений.
Критерий Селе является необходимым условием и отражает тот факт, что если электролизер работает устойчиво, то выполняется условие:
(/ +^ЩНт >———А, где J2,B2 — невозмущенные компоненты плотности
тока и магнитного поля соответственно.
В работе [23] рассматривается электролизер бесконечных размеров. В основе модели лежат уравнения Навье-Стокса. Используется классическая техника линейной теории гидродинамической устойчивости, за исключением того, что для моделирования течений на середине каждого слоя предполагается линейный закон трения в приэлектродной области [23]. Авторы отмечают, что электромагнитная неустойчивость может развиваться, если плотность тока в жидком алюминии достаточно велика. Она может порождать крупномасштабные волны (1,5-2 м), распространяющиеся в направлении горизонтального тока. Возрастание уровня турбулентности (или возрастание коэффициента трения) может стабилизировать возмущения Это предполагает существование некоторого механизма насыщения и требует развитие нелинейных моделей, способных различать условия насыщения от условий развития хаоса. В работе [19] получен результат, который противоречит [26] и [23]. А именно: рассматривается электролизер со сплошным анодом. Система запитана вертикальным электрическим проводником, расположенным выше анодного блока. Какова бы ни была длина проводника, система (в рамках используемой модели) неустойчива. Если добавить однородное поле в z-направлении, то система становится устойчивой в случае, когда Вг -компонента магнитного поля превышает
некоторое критическое значение 10" Тл. Авторы объясняют это различие тем, что они учли индуцированный электрический ток, в то время как в статьях, опубликованных ранее, индуцированным током пренебрегают. Уравнения выводятся при следующих предположениях:
Движения несжимаемых жидкостей подчиняется уравнениям Навье-Стокса.
Электромагнитное поле подчиняется квазистационарным уравнениям Максвелла.
Электрические токи вне электролизера, в анодных и катодных блоках известны и не зависят от времени.
Флуктуации вокруг стационарного движения настолько маленькие, что уравнения можно линеаризовать в окрестности стационарного решения.
Изменения электромагнитного поля настолько маленькие, что ротор электрического поля равен нулю.
В линеаризованной системе для флуктуации можно пренебречь вязкими членами.
При расчетах дополнительно предполагалось:
Стационарное поле скоростей - нулевое.
Стационарная поверхность - плоская.
Аноды и катод представляют из себя два слоя.
В работах [27] и [17] рассматриваются стоячие волны. В [17] выводится волновое уравнение методом разложения по малому параметру. В качестве малого параметра взяты: отношение глубины слоев к горизонтальным размерам ванны, отношение амплитуды волны к глубине, отношение проводимости электролита к проводимости металла. Получены уравнения, аналогичные уравнениям в работе [29,30], усиленные наличием анодного слоя. Модифицирован критерий Селе. В работе [20] демонстрируются области справедливости подходов на основе теории «мелкой воды», хорошо описываются неустойчивости, порожденные вертикальным магнитным полем. Авторы строят трехмерное интегро-дифференциальное уравнение для описания колебаний в металле, осредняя его по глубине слоя, получают
новое двумерное волновое уравнение. Тщательно моделируются аноды, приведена трактовка граничных условий. Вследствие этого, коэффициент в волновом уравнении отличается от [17]. Новое волновое уравнение было выведено из теории «мелкой воды» в работе [18] ив других работах этих же авторов. В этом уравнении сила Лоренца выражена непосредственно в терминах движения жидкости. Приводится общий энергетический критерий для того, чтобы установить, какие движения могут быть неустойчивыми. Это могут быть как бегущие, так и стоячие волны. Приводится достаточное условие стабильности, которое не требует решения основных уравнений магнитной гидродинамики.
В настоящей работе предлагается новая нестационарная математическая модель для описания МГД-процессов в промышленном алюминиевом электролизере, которая не разделяет описание основного и возмущенного движений и дает представление о состоянии поверхности раздела сред и скоростей движения в динамике.
Обзор работы
В главе 1 предложена математическая модель полного физического моделирования физических процессов в промышленном алюминиевом электролизере.
В главе 2 описан численный метод решения предложенной системы уравнений.
В главе 3 проведены расчеты, подтверждающие адекватность предложенной модели, представлены результаты расчетов моделирования конкретных электролизных ванн, проведен численный эксперимент по исследованию МГД-нестабильности электролизера при
замене выгоревших анодов, а также предложен алгоритм снятия неопределенности в критерии устойчивости Бояревича-Ромерио.
Основные результаты
Предложена новая динамическая математическая модель МГД-нестабильности в процессе промышленного электролиза алюминия. Модель основана на нестационарных уравнениях Навье-Стокса и общих уравнениях магнитной гидродинамики в средних слоях двух сред.
Разработан численный метод решения предложенной системы уравнений, основанный на разделении на этапы по физическим процессам. Создан комплекс программ, осуществляющий расчеты по предложенному методу.
Проведено моделирование МГД-нестабильности электролизера при замене выгоревших анодов.
Предложена методика снятия неопределенности в критерии устойчивости Бояревича-Ромерио, используемом в производственных АСУТП в реальном времени для оценки порога устойчивости в зависимости от основных технологических параметров электролизера.
Автор выражает глубокую благодарность за постоянную помощь, поддержку и внимание своему научному руководителю, доктору физико-математических наук Н.П. Савенковой.
Особую благодарность автор выражает академику РАЕН, доктору физико-математических наук, профессору физического факультета МГУ им. М.В. Ломоносова Р.Н. Кузьмину за постоянное внимание, консультации по физической постановке задачи и полезные советы в ходе выполнения диссертационной работы.
Автор благодарен преподавателям кафедры вычислительных методов МГУ им. М.В. Ломоносова профессору А.П. Фаворскому, профессору Г.Г. Еленину, профессору А.В. Гулину, профессору В.Б. Андрееву, доценту СИ. Мухину, доценту Н.В. Соснину за обсуждение работы и ценные замечания.
Автор глубоко признателен доктору технических наук, профессору Красноярского государственного университета О.Г. Проворовой за научные консультации и конструктивное обсуждение результатов численных экспериментов.
Математическое моделирование давления в среднем слое жидкости
Решение трехмерной задачи связано с рядом проблем, прежде всего с мощностью вычислительного оборудования. Однако характерные вертикальные размеры электролизной ванны на порядок меньше горизонтальных (расстояние от верхней границы электролита до дна ванны порядка 40 сантиметров, в то время как длина ванны лежит в районе 9 метров), и, кроме того, будем считать, что процессы в электролизёре протекают медленно по вертикальной координате по сравнению с горизонтальными направлениями. На основании этого допущения, следуя методике [6], проводится интегрирование системы по вертикальной координате, в результате которого происходит переход к значениям основных физических величин в средних слоях жидкого металла и электролита, однако, сохраняется информация о распределении высоты слоев обеих этих сред. Окончательный вариант системы уравнений будет выписан в 1.6. Рис. 5 Алюминиевый электролизер (продольный разрез, увеличено). В дальнейшем используются следующие обозначения: 2о(х У) высота гарнисажа, отсчитываемая от нулевого уровня (уровня подины); l\{x,y,t) - толщина слоя металла; Hx(x,y,t) = 2й(х,у)+1ц(х,у,і) - высота границы раздела; 0, ,/) - толщина слоя электролита; H2{x,y,t) = Hx{x,y,t)+h2{x,y,t) - высота поверхности электролита от нулевого уровня. Данные обозначения приведены на рис. 5.
Величины, относящиеся к металлу, будут снабжаться индексом «1», к электролиту - индексом «2». Значение величины в среднем слое при необходимости будет обозначаться чертой сверху, например: р. Впрочем, в большинстве случаев значение величины в среднем слое будет подразумеваться (за очевидностью) без черты. Параметры жидкого металла: V, =(w,,v,,w,) -векторскоростей, рх - плотность жидкого металла, /?, - давление в жидком металле, 7] - температура жидкого металла, Н х=(Ни,Н\у,Ни) - вектор напряженности магнитного поля в слое жидкого металла, fi=(f\x f\y fiz) плотность электромагнитных сил в металле, J. =—га/Н, II,, fTi - нагревание металла за счет действия электромагнитных сил, f,.= f-{romxf, Е, - вектор напряженности электрического поля в жидком металле, ех = 1 - диэлектрическая постоянная жидкого металла, сг, - электрическая проводимость жидкого металла. Параметры электролита: V2 =(u2,v2,w2) -векторскоростей, р2 - плотность электролита, р2 - давление в электролите, Т2 - температура электролита, Н 2=(Н2х,Н2у,Н22) - вектор напряженности магнитного поля в слое электролита, 1г = (І2хЛіуЛгї) - плотность электромагнитных сил в электролите, /2 =—гоМ2 Н2, fT - нагревание электролита за счет действия электромагнитных сил, Л,=("/н2) . с2 vm = магнитная вязкость, с и а - заданы, Ana Е2 - вектор напряженности электрического поля в электролите, є2 - диэлектрическая постоянная электролита, а2 - электрическая проводимость электролита. Q-2-Ю 1 м/сек - скорость осаждения металла из электролита. Уо& У) функция помехи (образованной анодами, погруженными в электролит) в уравнении движения.
Математическое моделирование давления в среднем слое жидкости Рассмотрим среду жидкого металла. Уравнение для давления в металле [13] имеет вид: f- = -A +/, (1-2.1) проинтегрировав по z от z0 до z, получаем: Pl(z)-p1(z0) = -plg(z-z0) + fl2(z-z0) или, что то же самое: Pi 00=Px () - Pig(z - h)+Az(z - Z0 ) (1.2.2) Далее получим осредненное значение, проинтегрировав (1.2.2) по z от z0 до Hi, учитывая что \ = Я, -z0: j я, - і Я - і " Р\=-г \-Pi8z-dz + Pizo8 + fizT- \z-dz-kz + \P\(z )-dz = = P ( ) + PiZog+fhML yfuZo+1 = я, 2 /z, 2 / _ Р\8\,к\,п(г .. „ Л
В данном выражении неизвестно значение давления рi(x,y,z0,t). Поскольку это давление значительно не изменяется с течением времени, делаем приближение, что pi(x,y,z0)t) равно своему значению в начальный момент времени. Поэтому встает задача о поиске давления на дно ванны и гарнисаж в начальный момент времени. Выразим его из предыдущего уравнения для осредненного давления:
Учёт геометрии ванны и анодов в математической модели
В расчетах нам понадобится функция, описывающая нижнюю огибающую поверхности анодов, помещенных в электролит,- функция помехи. Также необходимо построить функцию значения токов, на основе значений токов, выходящих из анодов. Данные функции должны быть достаточно гладкими для обеспечения устойчивости применяемых разностных методов.
Рассмотрим сначала функции вида f0(x) = —7—т на интервале Г-Д,ДІ, є +х где с 0 и є - константы
Для определения констант зададим значения функции в нуле и на С С концах отрезка: /0 (0) = —т = А, /0 (±А) = —г—г = В. Общий вид таких функций є є +А представлен на рис. Решая систему линейных алгебраических уравнений относительно с 0 иг, получаем: с = є2= ABA2 А-В ВА2 А-В
Таким образом, мы имеем выражение для коэффициентов функции /0в случае заданных значений в двух точках.
Теперь перейдем к функции, зависящей от двух переменных: J 0,2 \Х У) 2 2 2 є +х +у Рассмотрим /02 на прямоугольнике [-Д Д х д д,]. Аналогично предыдущему, зададим значения /(0,0) = A, f(Ax,A) = В
Решая систему уравнений относительно сиг2, получаем: с = АВ(А2+Ау2) А-В г_В{А2 + А2) А-В (1.5.1) Функция, описывающая огибающую одного анода, имеет следующий вид: у/0=а+Ь є +ІХ-ХсУ+Іу-Ус) (1.5.2) где хс,ус- координаты центра анода; а и b - константы: а - сдвиг по вертикали, b = -1 масштабирование (отражение относительно горизонтальной плоскости); с и є2 определяются из (1.5.1) исходя из параметров анода: А,,А, горизонтальные размеры, А - глубина погружения в электролит в центре анода, В - глубина погружения анода на его границе. В реальности величины А и В близки, однако, для расчетов удобнее допускать незначительное превышение величины А над величиной В, что не вносит серьезных ошибок.
Функция помехи для всех анодов будет иметь вид: o=Z o- (1.5.3)
В уравнениях нам понадобятся лишь частные производные этой функции, которые мы можем посчитать аналитически, используя производные функций помех каждого анода: be W ="71 ; тт-Чх-Хс) (є2+(х-хс)2+(у-ус)2) 1 (1.5.4) [s2+(x-xcf+{y-ycf) Конфигурация настыли и гарнисажа задаётся через величину z0 (х,у).
Используя общий вид осредненных уравнений гидродинамики [6], основанных на уравнениях (1.1.1) - (1.1.3) , полностью выпишем систему дифференциальных уравнений в двух средах.
При этом мы не будем учитывать перенос тепла в металле и электролите и теплообмен между металлом и электролитом. Температура на дне металла на 3-4 градуса Цельсия меньше, чем на поверхности раздела при средней температуре электролиза порядка 940-960 С [14].
Численный метод решения задачи по этапам
В работе [4] показано, что разностная схема, применяемая на этапах 2,6,11,14 условно устойчива. Для модельной задачи —+с— = 0 устойчивость dt дх схемы "Кабаре" достигается при числах Куранта, лежащих в диапазоне от нуля до единицы, то есть при 0 cr h. На этапах 3,7,8,9,12,15 мы используем разностный вид точного решения уравнений, поэтому соответствующие разностные схемы абсолютно устойчивы. Однако, вывести аналитически условие устойчивости всего разностного метода в целом не представляется возможным. В работе [11] для схожего разностного метода, но с постоянным шагом по времени, экспериментально было получено условие устойчивости T Cmm(hx,hy}, С«0.2 которое приводило к устойчивому поведению схемы для некоторых модельных задач. Оказалось, что разностный метод, описанный в 2.2, ведет себя неустойчиво при расчетах с использованием реальных входных данных, с постоянным тп = 0.01 0.2min(hx,hy).
На рис. 9-12 в качестве примера изображены графики скоростей в слое жидкого металла при постоянном шаге по времени. Видно, что разностный метод ведет себя неустойчиво.
Проведена серия численных экспериментов с целью полуэмпирического подбора условия устойчивости. Предположительно, условие на шаг по времени должно было походить на используемое ранеегч const minihith\, но зависеть также и от скачков величин: при резких изменениях должно происходить дробление шага. В результате получено условие: г„+1 С min(A,,A) max max maxabsic,ІАІ" -С.ІАГ),1 Aeft.V,.!!,.!!,} IJ \ A «J Л I 1,,7 / J где С = com 0.01. Данное условие, конечно, является несколько жестким, однако позволяет избежать некорректного поведения разностного метода. На рис. 13-16 изображены графики скоростей в слое жидкого металла при расчетах с использованием переменного шага по времени.
На рис. 13-16 приведен пример расчета с таким условием на шаг по времени при прочих равных условиях с предыдущим вариантом. На графиках видно, как процесс корректно затухает при отсутствии возмущающих электромагнитных сил, причем скорость расчета в этом случае даже возросла, поскольку при малых изменениях на соседних временных слоях шаг по времени больше чем г„ = 0.01 из предыдущего примера. В таблице 1 представлены расчетные Мк для различных коэффициентов сгущения сетки. Видно, что они очень близки между собой, а значит предположение о первом порядке точности схемы подтверждаются.
Подойдём к исследуемому вопросу с другой стороны. Если схема имеет первый порядок точности, то погрешность решения при сгущении сетки в 2 раза (Д2) относительно решения на исходной сетке и погрешность решения при сгущении сетки в 4 раза относительно решения при сгущении сетки в 2 раза (А4 - А2) должны различаться ровно в 2 раза. Из таблицы видно, что отношение этих величин Аз 0.00536175249593865 А4-А2 0.00804251876919745-0.00536175249593865 (2 4 7Ї в 0.00536175249593865 0.0026807662732588 что фактически подтверждает первый порядок аппроксимации исходной постановки задачи в целом.
Программная реализация осуществлена в среде Delphi 7.0. Модуль визуализации программы позволяет строить графики поверхности раздела, поля скоростей, напряженности магнитного поля, плотности тока, плотности электромагнитных сил и давления в средах жидкого металла и электролита, а также динамики МПР. Существует возможность отображения результатов расчетов в виде таблицы. Есть возможность производить расчеты с начального момента времени или продолжать с точки останова. Векторные поля изображены в виде набора стрелок в узлах сетки, направление стрелки отвечает направлению соответствующего вектора в данной точке, а длина -модулю этого вектора, причем длины стрелок нормированы по максимальному значению. Z-компонента векторного поля при необходимости отображается в виде окружности, при этом её радиус отвечает величине z-компоненты, а знак изображается крестиком: окружности с крестиком - отрицательная величина, без - положительная. Предусмотрена возможность строить проекции векторных полей на координатные плоскости: (x,y,z), (х,у), (x,z), (y,z), (z). Интерфейс программы изображен на Рис. 18.
Одномерный плоский случай
Данный пункт содержит тестовые расчеты и пояснения к ним - для одномерного плоского случая [13]. Расчеты проходили в системе без учета влияния конфигурации анодов, то есть было принято: у/0=0. Данные тесты проводились с целью проверки работоспособности системы в простейшем случае, основные тесты будут представлены ниже.
В одномерном плоском случае все функции зависят только от одной пространственной координаты. Рассмотрим структуру магнитного поля в этом случае. Уравнение divH-О приобретает вид:
Моделирование некоторых процессов, возникающих при промышленном производстве
Замена выгоревших анодных блоков
Технология электролиза с обожженными анодами подразумевает периодическую замену анодов, в процессе чего могут происходить нежелательные возмущения среды, приводящие к снижению эффективности производства. Амплитуда колебаний может быть настолько велика, что МПР станет меньше предельно допустимого, или даже произойдёт замыкание жидкого металла на анод. При замене выгоревших анодных блоков, которые выводят по 1-2 шт. по мере их выгорания, происходит перераспределение токов по анодам, что влечет за собой изменение распределения напряженности электромагнитного поля в металле и электролите, а значит, ведет к изменению величины электромагнитной силы, действующей в этих средах. Практика показывает, что часто нежелательные колебания возникают при извлечении двух угловых анодов. Проведен численный эксперимент, моделирующий извлечение 21-го и 22-го анодов в ванне 766. На рис. 75, 76 изображены графики напряженности магнитного поля в электролите и металле после перераспределения тока по оставшимся анодам.
Напряженность магнитного поля в среде жидкого металла при извлечении 21 и 22 анодов. При этом примерно через 0.3 с после отключения анодов наблюдается всплеск поверхности раздела, при котором МПР становится равно 2 см, что меньше критического для данного электролизера, однако затем амплитуда колебаний снижается до допустимой. На рис. 77 изображена динамика максимальной высоты поверхности раздела извлечения анодов, в зависимости от времени после. Межполюсное расстояние на графике отображено в виде расстояния между уровнем погружения анодов и максимальной высотой поверхности металла в конкретный момент времени.
Расчеты показали, что при одновременном извлечении 21 и 22 анода происходит резкое возрастание амплитуды колебаний, что приводит к тому что МПР становится меньше критического и свидетельствует о нарушении стабильности работы электролизера, что подтверждается наблюдениями. Были проведены расчеты при извлечении других комбинаций анодов, а так же при извлечении различных отдельных анодов. В этих случаях также наблюдался незначительный скачок колебаний поверхности раздела жидкий металл-электролит, однако МПР не становилось меньше критического допустимого, что свидетельствовало о стабильности протекания процесса электролиза. Таким образом, проводя предварительные расчеты по предложенной модели, возможно заранее выносить качественные суждения о стабильности процесса электролиза при извлечении анодов из конкретного электролизера, не прибегая к дорогостоящим физическим экспериментам.
Исследование влияния геометрии рабочего пространства электролизера на МГД-стабнльность
Проведены расчеты для начальных данных, описанных в 3.4 при различной геометрии рабочего пространства электролизера (различных конфигурациях гарнисажа). На рис. 80 изображены заданные в качестве начальных данных для расчетов zg.
Различие между ними состоит в том, насколько далеко нижний край гарнисажа отстоит от бортов электролизной ванны. В случае а) расстояние вдоль дня ванны от борта до нижнего края гарнисажа составляет 0.3 м, в случае б) - 0.6 м и совпадает с проекцией края анодного блока на дно ванны (этот случай на практике считается оптимальным), а в случае в) - 1 м. Во всех случаях по центру ванны задано существующее на практике небольшое возвышение гарнисажа.
На рис. 81 изображена полученная при расчетах динамика изменения максимальной по пространству высоты поверхности металла в зависимости от времени в зависимости от размеров гарнисажа. Тонкой сплошной линией изображен график для случай а), пунктиром - для случая б) и более толстой сплошной светлой линией - для случая в).
Расчеты показали, что во всех трех случаях наблюдается стабильный режим работы, так как МПР не становится меньше критического. При этом наименьшая амплитуда колебаний и, соответственно, наиболее стабильное протекание процесса, наблюдается в случае а), то есть когда гарнисаж по ширине наименьший из рассмотренных вариантов. Однако, в силу того, что на практике желательно максимально прикрыть гарнисажем дно ванны для защиты подины от износа, целесообразно формировать рабочее пространство с учетом сценария б).
Возможности по моделированию неполадок
Математическая модель позволяет численно исследовать различные режимы работы ванн, следить за динамикой процессов в ванне при возникновении неполадок в её работе и предсказывать некоторые из них. Далее изложены общие выводы, которые показывают возможность математического моделирования процесса электролиза в различных условиях.
Неполадки в работе ванн - это такие расстройства процесса электролиза, которые приводят к снижению выхода по току и качества получаемого алюминия, к перерасходу электроэнергии и сырья, а также к более серьезным последствиям - аварийному состоянию ванн, требующему выключения отдельных ванн и даже целой их группы.
В обзоре литературы были рассмотрены основные неполадки, возникающие в промышленном процессе электролиза алюминия [14]. Перечислим возможности предложенного метода по моделированию ситуаций, связанных с возникновением и развитием основных неполадок.
Напомним, что к основным неполадкам в работе ванн могут быть отнесены следующие: Холодный ход ванны; Выпадение глинозема на подину ванны; Затяжной, «негаснущий» анодный эффект; Горячий ход ванны.
Причинами холодного хода ванны может быть пониженная сила тока серии, малое МПР, а также большое количество металла в ванне. Предложенная модель позволяет моделировать изменение тока серии путем варьирования токов, входящих в каждый анод. Малое МПР и большое количество металла в ванне моделируется путем равномерного уменьшения толщины электролита / по всей площади электролизера и увеличения высоты металла \ соответственно.
Выпадение глинозема на подину ванны возможно моделировать за счет изменения конфигурации z0, однако в предложенной модели при этом не учитывается изменение структуры электропроводности сг,, которая в модели задана однородной для всей среды жидкого металла.
Предложенная модель позволяет моделировать поведение сред при возникновении затяжного анодного эффекта за счет резкого уменьшения электрической проводимости электролита т2 и последующего резкого роста напряженности электрического поля Е2.
