Содержание к диссертации
Введение
Глава І. Математическая модель МГД-процессов в алюминиевом электролизере 25
1.1 Рабочая гипотеза модели модели 25
1.2 Дифференциальные уравнения масс и импульсов для каждой фазы . 30
1.3 Математическое моделирование давления 33
1.4 Математическое моделирование токов 34
1.5 Математическое моделирование электромагнитного поля 35
1.6 Полная математическая модель 36
Глава 2. Численный метод решения 42
2.1 Разделение на этапы по физическим процессам 42
2.2 Численный метод решения задачи по этапам 45
2.3 Численное исследование разностного метода 61
Глава 3. Анализ численных экспериментов 68
3.1 Тестовые и верификационные расчёты 70
3.2 Моделирование некоторых процессов, возникающих при промышленном производстве алюминия 84
Моделирование замены выгоревших анодных блоков 84
Оценка вклада индуцированных токов 93
Численное исследование влияния формы настыли на мгд-стабильность
Сравнение численных экспериментов, проведенных по однофазной и двухфазной математическим моделям 98
Заключение 113
Список использованной литературы
- Дифференциальные уравнения масс и импульсов для каждой фазы
- Численный метод решения задачи по этапам
- Моделирование некоторых процессов, возникающих при промышленном производстве алюминия
- Численное исследование влияния формы настыли на мгд-стабильность
Введение к работе
Настоящая работа посвящена численному исследованию МГД-стабильности алюминиевого электролизёра в условиях промышленного производства алюминия.
Актуальность темы диссертации
Математическое моделирование фактически является единственным способом исследования, и визуализации динамических процессов на границе раздела сред электролит-алюминий. В силу высокой температуры (960С) и химической агрессивности среды проведение экспериментальных замеров основных характеристик процесса электролиза алюминия в промышленной электролизной ванне крайне затруднено. Поэтому достаточно адекватное математическое моделирование позволяет получить достоверную информацию о форме границы раздела сред, конфигурации распределения скоростей металла и электролит, электромагнитных полей и электрических токов в средах, а также зависимости этих величин от геометрии ванны, конфигурации анодов и условий проведения процесса электролиза. Это даёт возможность выработать рекомендации по оптимальному режиму проведения процесса электролиза и выбору формы рабочего пространства ванны с целью увеличения выхода алюминия по току.
Цель работы
Целью настоящей диссертационной работы является:
-
разработать нестационарную трёхмерную математическую модель электролиза алюминия в промышленной ванне, описывающую гидродинамические и электромагнитные процессы в электролизной ванне во взаимосвязи, учитывающую реальную форму рабочего пространства и позволяющую исследовать МГД-стабилыюсть ванны при различных режимах проведения электролиза алюминия;
-
разработать численный метод решения поставленной трёхмерной математической модели;
-
осуществить программную реализацию численного метода, позволяющую визуализировать полученные результаты;
-
определить границы возможного применения осреднённой двухмерной математической модели электролиза алюминия.
Положения, выносимые на защиту
-
Разработана трёхмерная двухфазная математическая модель алюминиевого электролизёра, учитывающая взаимосвязь гидродинамических и электромагнитных процессов в средах алюминия и электролита, реальную геометрию ванны и конфигурацию анодов.
-
Предложен численный метод решения и осуществлена его программная реализация, позволившая провести визуализацию динамических процессов во всём объёме электролизной ванны.
-
Численно исследована МГД-стабильность ванны при замене различных пар выгоревших анодов.
4. Исследована зависимость МГД-стабильности работы
электролизёра от формы рабочего пространства ванны для заданной
конфигурации анодов.
Научная новизна работы
Диссертационная работа предлагает оригинальный подход к моделированию промышленного алюминиевого электролизёра. Математическая модель, описывающая магнитно-гидродинамические процессы в электролизной ванне, основана на трёхмерной системе уравнений магнитной гидродинамики - системе уравнений Навье-Стокса, записанной для сред алюминия и электролита в двухкомпонентном приближении для смеси вязких жидкостей, и на системе уравнений Максвелла. Особенность математической постановки модели заключается в том, что нестационарные гидродинамические и электромагнитные процессы в ней рассматриваются во взаимосвязи в двухкомпонентной смеси, каждой из компонент которой соответствует своё поле скоростей. Такая постановка позволяет определить границу раздела сред в зависимости от чистоты металла и учесть реальную геометрию ванны. Разработанный в диссертации численный метод решения позволил исследовать МГД-стабильность ванны в условиях выемки выгоревших анодов и предложить оптимальную форму гарнисажа электролизной ванны, для которой характерна наибольшая МГД-стабильность режима протекания электролиза для конкретной ванны.
Теоретическая и практическая значимость
Работа имеет как теоретическую, так и практическую значимость. Теоретическая значимость заключается в применении многофазного
подхода к моделированию магнитно-гидродинамических процессов в промышленной электролизной ванне, а также в разработке численного метода решения полученной трёхмерной системы уравнений в частных производных.
Практическая ценность заключается в применении разработанного программного комплекса для решения конкретных технологических задач для реальной промышленной электролизной ванны с учётом формы рабочего пространства, конфигурации анодов и распределения подаваемых на них электрических токов. Результаты, полученные в диссертации, хорошо согласуются с экспериментально полученными данными. Численные расчёты, проведённые для конкретной ванны, позволяют предсказать динамику границы раздела сред алюминий-электролит при замене выгоревших анодов и дать рекомендации по подбору оптимальной формы гарнисажа ванны.
Апробация работы и публикации
По теме диссертации опубликовано 12 печатных работ. Результаты диссертации докладывались на научно-исследовательском семинаре кафедры физики твёрдого тела физического факультета МГУ им. Ломоносова под руководством проф. Бушуева В.А., в Институте Прикладной Механики им. Келдыша РАН, Институте Безопасного Развития Ядерной Энергетики, на семинарах факультета ВМК и конференциях:
-
Третий международный конгресс «Цветные металлы-2011», 2011
-
Международная конференция «Математика. Компьютер. Образование», 2007,2008,2009, 2011.
-
XVIII Всероссийская конференция «Теоретические основы и конструирование численных алгоритмов, и решение задач математической физики», посвященная памяти К.И. Бабенко, 2010.
-
Тихоновские чтения, 2007,2008,2011.
-
Международная научная конференция «Современные проблемы вычислительной математики и математической физики», посвященная памяти академика А.А.Самарского, 2009.
Личный вклад автора
Личный вклад автора состоит в разработке представленной в диссертации математической модели, разработке численного метода решения полученной системы уравнений в частных производных, разработке программного комплекса, позволяющего проводить расчёты на основе предложенного численного метода.
Основные результаты, изложенные в диссертационной работе, были впервые получены автором. Постановка и ход научных исследований осуществлялись под руководством д.ф - м.н. Савенковой Надежды Петровны. Основное содержание диссертационной работы и её результатов полностью отражено в 12 научных публикациях автора. В материалах совместных публикаций личный вклад автора является определяющим.
Публикации
Положения диссертации отражены в 12 публикациях автора, 3 из которых в изданиях, рекомендованных ВАК [6, 7, 9].
Структура работы
Диссертация состоит из титульного листа, оглавления, введения, трёх глав, заключения и списка литературы (55 наименований). Объём диссертации - 120 страниц.
Автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю в.н.с. д.ф. - м.н. Савенковой Надежде Петровне за поддержку и постоянную помощь в работе.
Дифференциальные уравнения масс и импульсов для каждой фазы
В настоящее время можно выделить три вида моделей для описания физических полей в алюминиевом электролизере.
Первый из них [21], основан на двумерных уравнениях Навье-Стокса-и к-є модели турбулентности; учитывается только движение в горизонтальной плоскости, не учитывается вертикальный перенос импульса, т. е. трение относительно узких слоев жидкости о дно ванны, нижнюю поверхность анода и между собой. Для нахождения скоростей, давления и формы поверхности металла решается усредненная по времени система уравнений Навье-Стокса. В [21] приведены результаты расчета скоростей в металле и электролите и формы поверхности металла для ванн с различными схемами ошиновки. В работе [21 ] также описана модель для расчета электрического и магнитного поля в алюминиевом электролизере. Для нахождения распределения тока в электролизере авторы работы используют закон Ома. Электрический потенциал находится из уравнения Лапласа для потенциала. Авторы работы [21] делают предположение, что величина компоненты электрического тока, направленной вдоль длинной стороны электролизера мала по сравнению с вертикальной компонентой и с компонентой, направленной вдоль короткой стороны электролизера. Уравнение на электрический потенциал решается в плоскости, в поперечном сечении электролизера. Магнитное поле находится с помощью закона Био-Савара-Лапласа, интегрирование ведется по объему, занятому токонесущими элементами системы. Магнитное поле рассчитывается без учета ферромагнетиков.
Второй подход — это рассмотрение движения металла, электролита, распределения температуры в вертикальном разрезе, представляющий собой систему уравнений теплоэлектропереноса, Максвелла и Навье-Стокса [31]. Этот подход не позволяет получить распределение температур и линии циркуляции в планарной плоскости, тем не менее, конвекция учитывается с помощью эффективного коэффициента теплопроводности.
Третья, наиболее распространенная в настоящее время модель Моро-Эванса [33]. Одна из главных идей в формулировке этой модели состоит в том, что основной интерес представляет описание циркуляции средних слоев жидкостей. Как следствие этого в уравнении движения в горизонтальной плоскости учитывается трение слоев друг о друга. Следующий шаг - это оценка значений вклада каждого члена в уравнение для моментов движения. В результате разность между электромагнитным силами и градиентом давления уравновешивается силами трения, которые предполагаются пропорциональными скорости. Первая двумерная модель в приближении «мелкой воды» была предложена в работе [3], в данной модели используется нелинейное волновое уравнение для описания поверхности невязкой жидкости. Нелинейность обусловлена электромагнитной силой. К сожалению, в работе не приводится вывод этого уравнения.
В работе [33] рассматривается электролизер бесконечных размеров. В основе модели лежат уравнения Навье-Стокса. Используется классическая техника.линеинои теории гидродинамической устойчивости, за исключением того, что для моделирования течений на середине каждого слоя предполагается линейный закон трения в приэлектродной области. Авторы отмечают, что электромагнитная неустойчивость может развиваться, если плотность, тока в жидком алюминии достаточно велика. Она может порождать крупномасштабные волны (1,5-2 м); распространяющиеся в направлении горизонтального тока. Возрастание уровня»турбулентности (или возрастание коэффициента трения) может стабилизировать возмущения. Это предполагает существование некоторого механизма насыщения, и требует развитие нелинейных моделей, способных различать условия насыщения от условий развития хаоса. В работе [33] получен результат, который противоречит [4]. А именно: рассматривается электролизер со сплошным анодом. Система- запитана вертикальным электрическим проводником, расположенным выше анодного блока. Какова бы ни была длина проводника, система (в рамках используемой модели) неустойчива. Если добавить однородное поле в z-направлении, то система становится устойчивой- в случае, когда В, -компонента магнитного поля превышает некоторое критическое значение \0 3Ts. Авторы объясняют это различие тем, что-они учли индуцированный электрический ток, в то- время- как в статьях, опубликованных ранее, индуцированным1 током пренебрегают. Уравнения выводятся при следующих предположениях:
В [6] выводится волновое уравнение методом разложения по малому параметру. В качестве малого параметра взяты: отношение глубины слоев к горизонтальным размерам ванны, отношение амплитуды волны к глубине, отношение проводимости электролита к проводимости металла. Получены уравнения, аналогичные уравнениям в работе [3], усиленные наличием анодного слоя. В работе [12] демонстрируются области справедливости подходов на основе теории «мелкой воды», хорошо описываются неустойчивости, порожденные вертикальным магнитным полем. Авторы строят трехмерное интегро-дифференциальное уравнение для описания колебаний в металле, осредняя его по глубине слоя, получают новое двумерное волновое уравнение. Тщательно моделируются аноды, приведена трактовка граничных условий. Из-за этого коэффициент в волновом уравнении отличается от [26]. Новое волновое уравнение было выведено из теории «мелкой воды» в работе [27] и в других работах этих же авторов
Численный метод решения задачи по этапам
В качестве исходных уравнений, описывающих гидродинамические процессы в электролизной ванне, используется система уравнений гидродинамики в переменных Эйлера для многофазных сред [22], записанная в средах жидкого металла и электролита.
Запишем балансовые соотношения массы и импульса для каждой составляющей в фиксированном в пространстве объёма AV, учитывая при этом обмен (взаимодействие) не только с внешней (по отношению к выделенному объёму AV) средой, но и соответствующий обмен (взаимодействие) массой и импульсом между составляющими внутри объёма AV Уравнение сохранения массы m-й компоненты смеси имеет вид: L + div(amPmVm) = Mm, (121) где Мт - массовая скорость превращения глинозёма, растворённого в электролите, в алюминий в процессе электролиза, т.е. характеризует интенсивность перехода массы из 1-й во 2-ю составляющую в единице объёма смеси в единицу времени. Из закона сохранения массы при различных физико-химических превращениях имеем где первое слагаемое правой части соответствует притоку импульса т-й составляющей через поверхность контрольного объёма; второе, третье и четвёртое слагаемые — воздействию градиента давления и массовых сил, приходящихся на т-ю компоненту смеси и характеризуемых вектором gn силой Лоренца F; Рт представляет интенсивность обмена импульсом между 1-й и 2-й компонентами смеси за счёт вязкого трения. Из закона сохранения импульса следует, что Рх=-Р2. (1.2.8) Рінтенсивность обмена импульсом между компонентами смеси за счёт вязких сил (Стоксова сила) может быть описана согласно [36, 43] следующим соотношением: Р1=-Р2=а1а2к(уі -v2), (1.2.9) где К = ау/лх + a2ju2. Поскольку плотности сред — Р\ и р2 считаются постоянными — разделим уравнения (1.2.1) и (1.2.7) на рт :
Перенесём член, представляющий градиент давления в левую часть и применим операцию дивергенция к обеим частям: где Ратм- атмосферное давление, Г— граница расчётной области, Lz — высота ванны, z0(x,y) — высота гарнисажа в точке с координатами (х,у). Таким образом, давление может быть найдено как решение уравнения Пуассона (1.3.2). 1.4 Математическое моделирование токов Итак, в модели сделаны следующие предположения: Ток в аноде вертикальный и равномерно распределен по объему каждого анода; Потенциал дна ванны (область блюмсов - токосъёмников) считается равным нулю. Для перерасчёта токов при выемке анодов решается уравнение Пуассона на потенциал [40, 44]: V(crV(p) = S ,где а — ахах + а2 т2 (1.4.1) Это уравнение является следствием системы уравнений Максвелла с учётом закона Ома: j = -oS7 p + avxH, (1.4.2) где v и а определены согласно рабочей гипотезе модели следующим образом:
Покомпонентная запись уравнения сохранения импульса имеет вид: дахих t д(ахихих) d(axvxux) _ d(axwxux) _ ах dp _ В начальный момент времени заданы значения скоростей, напряжённость магнитного поля в металле и электролите, распределение объёмных долей фаз в рабочем пространстве: ax{x,y,z,tG),a2{x,y,z,t ), (х,;/, , ), , , ), H(x,y,z,t0), высота границы раздела сред. Также заданы величины токов, исходящих из анодов и распределение токов.
Моделирование некоторых процессов, возникающих при промышленном производстве алюминия
Компоненты вектора скорости среды электролита, аналогично тому, как это делалось для среды металла, — получаются как уравнение сохранения импульса для электролита (1.4.5). Разностный аналог уравнения (1.4.2) для трёх компонент скорости имеет следующий вид (переменные без индекса фазы подразумеваются относящимися к среде электролита): где cx IJka2NBK\u"JJk -unim jозначает суммирование по всем смежным NB ячейкам и по самой ячейке. -И+1 Давление Pijk берётся из решения, полученного на 1-м этапе, объемная доля п+\ среды электролита &2,ук берётся из решения уравнения (2.1.1), полученного на 2-м этапе. Этап 6 Решается уравнение (1.4.11) для напряжённости электромагнитного поля по схеме, использованной для этапов 2- 5. Запишем уравнение (1.4.11) покомпонентно:
Плотность электрических токов в расчётной области находится согласно уравнению (1.4.10), потенциал находится как решение уравнения (1.4.8) с граничными условиями (1.4.18)- (1.4.20). Для уравнения (1.4.8) строится разностный аналог по схеме «крест»:
Найденные на п+1-м временном слое величины не будут удовлетворять всем решённым на этом временном слое уравнениям — поскольку они были найдены с использованием переменных с п-го временного слоя. Поэтому следует проделать серию итераций — до сходимости полученных решений, определяемой следующим условием: где Q-множество узлов, принадлежащее расчётной области р "+к , р? \ -значения переменных (um,vm, wm,p,am;m -1,2), полученные на последних двух последовательных итерациях. 2.3 Численное исследование разностного метода Устойчивость разностного метода
В работах [17] [18] показано, что разностная схема, применяемая на этапах 2, 3, 4, 5 условно устойчива. Для модельной задачи he— = 0 dt дх устойчивость одномерного варианта схемы "Кабаре" достигается при числах Куранта, лежащих в диапазоне от нуля до единицы, то есть при 0 ст h . Вывести аналитически условие устойчивости всего разностного метода в целом не представляется возможным. В работе [41] для схожего разностного метода, но с постоянным шагом по времени, экспериментально было получено условие устойчивости r C-mm(Ax,Ay,Az), С«0.2 которое приводило к устойчивому поведению схемы для некоторых модельных задач. Проведена серия численных экспериментов с целью полуэмпирического подбора условия устойчивости. Предположительно, условие на шаг по времени должно было походить на используемое ранее тп const- (Ах, Ay, AzJ, но зависеть также и от скачков величин: при резких изменениях должно происходить дробление шага. В результате получено условие выбора шага:
Данное условие, конечно, является несколько жестким, однако позволяет избежать некорректного поведения разностного метода. Оценка точности метода. Был проведён численный эксперимент моделирования процесса электролиза алюминия в ванне, при этом особое внимание было уделено вопросу сохранения массы компонент смеси с учётом их взаимного превращения.
В табл. 1 приведены величины массы компонент смеси в указанные в левом столбце моменты времени, также приведена разность между суммарной массой среды в начальный и в текущий момент времени. Из таблицы видно, что в ходе процесса масса алюминия увеличивается, масса электролита уменьшается. Таким образом баланс массы соблюдается -отклонения же масс компонент смеси в процессе расчёта обусловлены погрешностью схемы. Видно, что отклонения не превышают величины порядка шага по пространству. Проведём апостериорную оценку точности численного метода, используя сгущающиеся сетки.
Из таблицы видно, что на сгущающихся сетках наблюдается стабилизация погрешности, что подтверждает наличие аппроксимации исходной дифференциальной задачи. Для выявления порядка аппроксимации (точности схемы) используем следующие соображения. Предположим, схема имеет первый порядок точности. Тогда ЗМ: у/ = max коэффициентов сгущения сетки. Видно, что они очень близки между собой, а значит предположение о первом порядке точности схемы подтверждаются.
Подойдём к исследуемому вопросу х другой стороны. Если схема имеет первый порядок точности, то погрешность решения при сгущении сетки в 2 раза (Д2) относительно решения на исходной сетке и погрешность решения при сгущении сетки в 4 раза относительно решения при сгущении сетки в 2 раза (А4-А2) должны различаться ровно в 2 раза. Из таблицы видно, что отношение этих величин
Программная реализация осуществлена в среде Emarcadero RAD Studio 2010 на языке Delphi. Для визуализации полученных результатов использовался пост-процессор TecPlot, а также модуль, разработанный автором на основе библиотек GLScene и TeeChart - применяемый для визуализации расчётной области, разбитой на ячейки и восстановленной поверхности уровня. Данные могут вводиться как из внешних файлов, так и быть заданы при помощи функций (скриптов), хранящихся отдельно от программы и доступных для изменения и ввода без перекомпиляции программы. Использование явных разностных схем позволило разработать вычислительный комплекс с применением параллельных вычислений на машинах с несколькими процессорами, что дало прирост производительности в 1.5 раза для 2-х процессорного компьютера и в 3 раза для 4-х процессорного.
Численное исследование влияния формы настыли на мгд-стабильность
Двумерная модель [41] была разработана в предположении существования некоторого «среднего слоя» - в котором физические величины меняются по вертикали несущественно. Трёхмерная модель позволила провести расчёты, подтверждающие верность такого предположения и, следовательно, адекватность двумерной модели.
На рис. 66-67 изображены характерные для всей рабочей области графики изменения компонент скоростей металла и электролита в зависимости от вертикальной координаты. Крайние точки на оси абсцисс 0 и 1 соответствуют дну ванны и поверхности уровня на рис. 66; и поверхности уровня и верхней границе электролита на рис. 67. Видно, что в обеих средах существуют отрезки по оси z, на которых величины скоростей слабо меняются, что подтверждает наличие «среднего слоя» и применимость двумерной модели для качественного описания процессов, протекающих в электролизной ванне.
Таким образом, анализ результатов численного эксперимента, проведенного по приведенной упрощенной математической модели, показал, что в трехмерной области моделирования, как в среде алюминия, так и в среде электролита, действительно можно выделить "средний" слой для моделирования процесса электролиза, в котором достаточно двухмерного приближения.
На рис. 68-69 приведена характерная картина распределения толщины «среднего слоя» в плоскости XY по пространству в обеих средах. В среде алюминия «средний слой» расположен вблизи границы раздела сред и составляет примерно половину объема среды, а в среде электролита этот слой занимает практически всю область, за исключением слоя, составляющего примерно 1/8 часть глубины электролита, расположенного непосредственно над границей раздела сред. Результаты численного эксперимента свидетельствуют также о том, что над впадиной в среде алюминия изменение скоростей происходят достаточно интенсивно, т.е. для описания физических процессов двухмерной модели здесь уже недостаточно и необходимо использовать трехмерную модель.
Разработанная математическая модель позволяет численно исследовать различные режимы работы электролизной ванны, следить за динамикой процессов в ванне при возникновении неполадок в её работе и предсказывать некоторые из них. Далее изложены общие выводы, которые показывают возможность математического моделирования процесса электролиза в различных условиях.
Неполадки в работе ванн - это такие расстройства процесса электролиза, которые приводят к снижению выхода по току и качества получаемого алюминия, к перерасходу электроэнергии и сырья, а также к более серьезным последствиям - аварийному состоянию ванн, требующему выключения отдельных ванн и даже целой их группы. по В обзоре литературы были рассмотрены основные неполадки, возникающие в промышленном процессе электролиза алюминия [25]. Перечислим возможности предложенного- метода по моделированию ситуаций, связанных с возникновением и развитием основных неполадок.
Причинами холодного хода ванны может быть пониженная сила тока серии, малое МИР, а также большое количество металла в ванне. Предложенная-модель позволяет моделировать изменение тока серии путем варьирования токов, входящих в каждый анод. Малое МНР и большое количество металла в ванне моделируется путем изменения объёма расчётной области, в которой присутствует среда электролита {сс2 0)
Выпадение глинозема на подину ванны возможно моделировать за счет изменения формы рабочего пространства, при этом должен быть произведён перерасчёт токов.
Предложенная модель на данном этапе позволяет моделировать поведение сред при возникновении затяжного анодного эффекта за счет резкого уменьшения локальной электрической проводимости электролита о 2- в дальнейшем модель может быть расширена введением третье компоненты смеси — пузырьков газа, адекватное математическое моделирование которых позволит учесть их налипание на нижнюю границу анодов, что позволило бы получить более точные результаты при моделировании этого физического явления.
Также введение третьей компоненты смеси (пузырьков газа) позволит уточнить такой параметр как выход по току. В данный момент считается, что толщина реакционной зоны (область, в которой может произойти обратное окисление алюминия) составляет одну треть от толщины слоя электролита — что является- весьма грубым, приближением. Моделирование поведения газовой составляющей смеси позволит описывать обратное окисление полученного алюминия — в соответствии с распределением этой компоненты в среде электролита.
