Содержание к диссертации
Введение
2 Глава I. Начальная модель звезды 19
2.1 Постановка задачи 19
2.2 Динамика пузырей в сферической геометрии: теоретические расчеты . 21
2.3 Уравнение состояния 27
2.4 Равновесная конфигурация вращающейся звезды 33
2.5 Кинетика реакций 36
3 Глава II. Математическое моделирование 41
3.1 Уравнения гидродинамики 41
3.2 Разностная схема , 43
3.3 Тестирование схемы: задача о сферически-симметричной аккреции . 51
4 Глава III. Анализ граничных условий 55
4.1 Проблема граничных условий при численном моделировании 55
4.2 Анализ характеристик 56
4.3 Неотражающие граничные условия 59
4.4 Стационарные по радиусу граничные условия 62
4.5 Разностная аппроксимация в граничных ячейках 64
4.6 Результаты расчетов при различных граничных условиях 65
5 Глава IV. Результаты гидродинамических расчетов 71
5.1 Развитие конвективной неустойчивости при радиусе сгоревшей области
гс = 0.20, сравнение с теоретическими расчетами динамики пузырей . 71
5.2 Влияние разностной сетки на результаты расчетов 83
5.3 Влияние скорости вращения звезды на результаты расчетов 87
5.4 Влияние характера вращения звезды на результаты расчетов 90
5.5 Зависимость результатов от радиуса сгоревшей области 94
5.6 Циклический процесс 99
6 Заключение 106
7 Основные результаты диссертации
- Динамика пузырей в сферической геометрии: теоретические расчеты .
- Разностная схема
- Неотражающие граничные условия
- Влияние скорости вращения звезды на результаты расчетов
Введение к работе
1.1 Описание явления сверхновой
Взрывы сверхновых звезд представляют собой одно из самых интересных и впечатляющих явлений природы. При взрыве сверхповой за время менее одной секунды выделяется энергия ~ 1051 —1054 эрг, что сравнимо с энергией, выделяемой за ~ 1010 лет "нормального" термоядерного синтеза в звезде Солнечного типа. При этом звезда становится па несколько месяцев очень яркой, а затем постепенно угасает. Такие взрывы довольно редкое событие: в нашей Галактике вспышки происходят, по оценкам, 1 раз в 30-50 лет. Наиболее интересной сверхновой является SN 1987А, вспыхнувшая в Большом Магеллановом Облаке - молодой галактике-спутнике Млечного Пути, в которой проходят интенсивные процессы звездообразования. Фотографии SN 1987А приведены в заключении (см-стр. 108). Расстояние до нее примерно 160 тыс. световых лет. Эта сверхновая особенно интересна тем, что здесь удалось наблюдать предсверх-новуїО; которая, вопреки ожиданиям, не была красным сверхгигантом. Первые результаты наблюдений привели к трудностям с классификацией SN 1987А. Предыдущая вспышка сверхновой - Сверхновая Кеплера наблюдалась невооруженным глазом только в 1604 году, еще до изобретения телескопа. К настоящему времени открыто более тысячи сверхновых, но все они далекие и слабые. Значительная доля полного числа регистрируемых сверхновых находится в скоплении галактик в созвездии Девы, расстояние до которых ^ 39 млн. световых лет.
Сверхновые не являются случайными катастрофами и жизни звезд, а являются закономерными и очень важными событиями, влияющими на весь ход эволюции Вселенной. Считается, что только при таких взрывах возможно образование тяжелых химических элементов в природе. В частности, наличие тяжелых элементов на Земле свидетельствует о том, что Солнце не является первичной звездой, а образовалось из газового облака па месте существовавшей ранее звезды, вспыхнувшей как сверхновая. В нашей Галактике достаточно много старых областей звездообразования, в которых произошло много взрывов сверхновых, и в которых распределение тяжелых элементов почти однородно. В Большом Магеллановом Облаке количество тяжелых элементов значительно
меньше. Образование элементов вплоть до железа объясняется звездной
эволюцией- Образование более тяжелых элементов, таких как свинец, золото, уран, связано, как считается, с образованием нейтронных звезд в остатках сверхновых. Избыток нейтронов, возникающих при рождении нейтронной звезды, при высокой температуре может взаимодействовать с железом и образовывать более тяжелые элементы. Сверхновые, возможно, единственный их источник во Вселенной. Со вспышками сверхновых связывают также возможность образования черных дыр. Изучение сверхновых играет важную роль для теории происхождения космических лучей, для вопросов баланса энергии-в межзвездной среде, а также вопроса о природе темной энергии. Выбросы вещества в межзвездное пространство способствуют звездообразованию и оказывают существенное влияние на эволюцию галактик.
В настоящее время принята классификация сверхновых по их оптическому спектру. Различают сверхновые I типа (SN І), в спектре которых отсутствуют линии водорода, и II типа (SN II), если эти линии присутствуют. В свою очередь, SN I делятся на SN la, SN lb и SN Іс- В отличие от других, SN 1а характеризуются наличием линии поглощения Si с длиной волны вблизи G150AB начальный период времени после взрыва, а также наличием сильных линий испускания Fe в последующем. Напротив, в начальном спектре SN lb и 1с отсутствуют линии Si. SN lb имеет относительно сильные линии Не (особенно около 587бА), которые не наблюдаются (или очень слабы) в случае SN Ic. SN II, lb и 1с являются источниками петеплового радиоизлучения, наблюдаемого в течение нескольких лет после взрыва- Такое излучение является признаком того, что произошло рождение пульсара (быстровращающейся нейтронной звезды). При вспышке SN 1а оно никогда не возникает. Наличие линий водорода в спектре SN II говорит о том, что взрыв произошел до того как звезда потеряла свою водородную оболочку в процессе эволюции. Профили спектральных линий указывают на то, что они образуются при прохождении излучения через расширяющуюся протяженную оболочку звезды. Размеры этой оболочки могут быть довольно внушительными: R ~ (103 — 104)Яо. Спектры SN II, lb и 1с гораздо более разнообразны, чем спектры SN 1а. Отсутствие линий водорода в спектре SN 1а говорит об отсутствии водородной оболочки и о небольших размерах нред-
сверхновой. Спектральные линии указывают на радиоактивный распад 2$Ni —> 27^ ~~^ 2б^е- Оденки энергии этого излучения дают массовую долю никеля в остатке сверхновой Msepji ы (0.3 -т- 1Л)М^. Относительно медленное энерговыделение в промежутке времени от двух до двадцати дней после взрыва приводит к продолжительной фазе максимального блеска сверхновой и говорит в пользу компактной звездной модели. Подобный радиоактивный распад наблюдался также и в спектре SN 1987А через 120 дней после взрыва. По расчетам, содержание никеля в остатке составляло Мыщ ~ О.О78М0.
I
ft 10D ZOO ЗОЛ
Время, сутки
Рис. 1: Кривая светимости SN 1а.
Кривая светимости SN 1а показана на рис, 1. Яркость за время около 2 недель достигает максимума, затем быстро спадает в течение 2 недель и затем ослабевает по экспоненциальному закону с характерным временем спада светимости - примерно в два раза за 50 дней. Светимость SN II спадает примерно в 2 раза быстрей, но более равномерно (рис. 2).
Итак, SN II, lb и 1с представляют собой результат взрыва массивных звезд: SN II - взрыв одиночной звезды, имеющей массивную водородную оболочку, SN lb, Ic - взрывы в двойных системах почти голых ядер, потерявших свою оболочку в процессе эволюции за счет ее аккреции на вторую компоненту звездной системы. Заметим, что большинство звезд во Вселенной обладают звездами-спутниками. В этом смысле наше Солнце не является типичной звездой. По оценкам 15% звезд являются
і
О 5(1 100 150
Время, суші
Рис» 2: Кривая светимости SN II.
одиночными, ~ 50% - двойными, остальные входят в состав еще более сложных систем. Предшественниками SN 1а являются белые карлики, состоящие из смеси ядер углерода и кислорода, и сильно вырожденного электрон-позитрон ного газа с массой, близкой к чандрасекаровскому пределу Mch г** 1,44А/0 [1]. SN 1а чаще всего наблюдаются в старых областях звездообразования, таких как эллиптические галактики.
SN 1987А принято относить к SN II. Как показали архивные снимки Большого Магелланового Облака, сделанные до вспышки, ее предшественником был голубой сверхгигант с массой М ^ 20М и радиусом R 5ОД0. Было всего два случая в науке, когда удалось наблюдать предсверхновую. Ранее считалось, что сверхновые могут порождаться только красными, а не голубыми сверхгигантами.
Существует два принципиально различных механизма взрыва. Сверхновые типа 1а представляют собой относительно однородный набор объектов и относятся к так называемому "термоядерному" типу сверхновых. В основе механизма взрыва таких звезд лежат процессы термоядерного синтеза в их ядрах. Они используются как "стандартные свечи" для определения расстояний во Вселенной по красному смещению. Механизм взрыва остальных типов (П; lb и 1с) сверхновых основан на процессе коллапса, возникающего из-за динамической неустойчивости железного
ядра.
Заметим, что принятая классификация сверхновых определяется спектром их оболочек, в то время как образование плотных ядер в центральной области таких звезд определяется механизмом эволюции их предшественников. Это сложный процесс, на который влияет множество факторов: характер вращения, наличие тяжелых элементов, магнитные поля, конвективные процессы и т.д. Законченную теорию эволюции построить пока не удается. Остаются неизвестными точные оценки масс предсверхновых и их остатков после взрыва. Поэтому вполне допускается ситуация, при которой имеется возможность образования плотных углеродно-кислородных ядер, окруженных массивной оболочкой. В этом случае сверхновая может наблюдаться как SN lb, Ic или II [2]. Новые наблюдения вполне могут изменить некоторые концепции существующих моделей.
За последние десятилетия с развитием технологий исследования Космоса был накоплен значительный объем данных, требующих анализа. Интересные данные были получены с помощью телескопов НаЬЫе, Spitzer Space Telescope и Chandra X-ray Observatory, С развитием вычислительных возможностей современных компьютеров особый интерес представляет численное моделирование процессов в ядрах звезд и изучение физических условий, необходимых для столь катастрофического разрушения звезды.
1.2 Механизм коллапса железных ядер звезд
Известно, что на поздних стадиях эволюции у звезд образуются плотные ядра. Картина эволюции массивной звезды выглядит следующим образом. Сначала звезда представляет собой плотное шарообразное облако водорода, которое за счет сил гравитации постепенно сжимается. При этом увеличивается его плотность и температура, и начинается цепочка термоядерных реакций превращения водорода в гелий. Горение гелия затруднено, т.к. при слиянии двух а-частиц образуется неустойчивый берилий-8, который тут же распадается обратно: 8Ве -> 24Не. По мере выгорания водорода температура и плотность в центральной области нарастают, радиус звезды увеличивается, а средняя плотность падает. Наконец, наступает момент, когда водород в центральной области
полностью выгорает. Начинается сжатие и температура в центре поднимается настолько (эффект отрицательной теплоемкости гравнтирущсго невырожденного вещества), что гелий начинает перегорать в углерод (34Яе -> 212С + 7), кислород и неон, а сжатие центральной области останавливается. Затем все повторяется: гелий полностью выгорает, гравитация снова повышает температуру и плотность в центре, а наружные слои расширяются еще больше. Рост температуры в центре приводит к образованию кремния, при горении которого образуется ядро, состоящее из элементов железного пика (никель, кобальт, железо). Последние стадии звездной эволюции проходят очень быстро - например, образование "железного" ядра из кремния занимает всего около суток. На этом цепочка термоядерных реакций завершается. Если в этот момент масса образовавшегося "железного" ядра превышает чандрасекаровский предел, гравитация становится настолько сильной, что ядро начинает коллапси-ровать.
В процессе коллапса, при температуре ~ 10ПК ядра элементов железного пика распадаются па нуклоны и некоторое количество а-частиц (например, для железа: f6Fe *=> An + 13а ±=» ЗОтг + 26р). Далее начинается процесс нейтронизации: р+ в~~ —> п + ие и образуется нейтронная звезда. Скорость коллапса составляет менее 1 секунды. Плотность нейтронной звезды ^ 1014 г/см3, радиус ^ 20 км. Столь стремительный коллапс приводит к пересжатию ядерного вещества нейтронной звезды и создает разряженную область между нейтронной звездой и оболочкой. За счет этого внешняя оболочка начинает падать к центру со скоростью ^ 20 км/с, превышающей скорость звука. Пересжатие ядерного вещества нейтронной звезды приводит к отдаче и формированию мощной ударной волны, которая движется навстречу падающему веществу и может сорвать внешние слои звезды, выталкивая их наружу и образуя расширяющееся облако,
В одиночных звездах ядра составляют малую часть звезды, тогда как в тесных двойных системах из-за перетекания вещества возможно образование почти голых ядер. Разреженные оболочки не влияют на механическую устойчивость, поэтому при исследованиях обычно ограничиваются рассмотрением одних ядер. Существует два направления в исследованиях: первое - исследование конца спокойной эволюции массивных звезд,
и второе - исследование вырожденных ядер, В первом случае используется гипотеза о том, что в процессе эволюции звезд с массой М ~ 2ОЛ/0 образуются горячие железные ядра с массой М ~ L6M, в которых из-за фотодиссоциации железа возможна потеря устойчивости. Этот механизм взрыва впервые был исследован в работе [3]. (Фотодиссоциация - это процесс 7 + 56^е —> ъ2Сг + а, при этом поглощается энергия и ядро звезды быстро схлопывается.) Однако в дальнейшем были проведены расчеты с более полным описанием процессов горения и нейтропизации в таких ядрах, и оказалось, что сброса оболочки сверхновой не происходит. [4]
Наиболее перспективное объяснение механизма взрыва сверхновой связано с процессами, проходящими в вырожденном веществе ядер звезд. Такие ядра, согласно теории эволеоции, образуются, например, в одиночных звездах на главной последовательности с массой 4М0 < М < ЮЛ/. Гидродинамические расчеты показали, что скорость развития процесса потери неустойчивости в вырожденных ядрах одиночных звезд определяется скоростью горения термоядерного топлива и последующей ней-тропизацией сгоревшего вещества. Однако, при проведении расчетов выяснилось, что при взрыве в таких звездах не образуется компактного остатка. [5] Он может образоваться при взрыве почти голого ядра в двойных системах. В этом случае теория дает существование критической плотности: если тепловая вспышка развивается при плотностях меньше критической, то происходит полное разрушение звезды, в противном случае образуется компактный остаток. Рассматриваются также модели взрыва сверхновой при исследовании потери устойчивости из-за нейтропизации в холодных железных ядрах с массами ниже чандрасскаровской массы. Впервые такая модель была предложена в [6].
В звездах с массой в диапазоне 1ОМ0 < М < 15М (возможно даже М < ЮМ, если конвекция недостаточно эффективна) в процессе эволюции образуется холодное (температура ~ (1 Н- 5) х 10s К) железное ядро с массой чуть меньше чандрасскаровской, и углеродной оболочкой, которая является источником термоядерного топлива. [7] Такая звезда находится в гидростатическом равновесии до тех пор, пока /^-процессы не приведут к потери устойчивости, В этом случае теория дает возможность проследить этапы образования нейтронной звезды в процессе нейтрони-
зации такого ядра и получить сброс оболочки сверхновой.
Опишем далее одну из моделей сверхновой, в основе которой лежит процесс коллапса, более детально |7]. В качестве начальной модели можно взять равновесную конфигурацию с массой железного ядра Ы ^ 1М@, на поверхности которого лежит слой углерода с Mq 0.22Ме. Плотность и температура берутся из условия вырождения электронов. рс = 2 X 10 г/см3? Т = 109 К. В процессе эволюции достигаются плотности в центре ядра р 109 г/см3, железо начинает захватывать электроны и переходит в хром по цепочке mFe + е" —> 5GMn + е" —> mCr, Причем скорость ^Мп -> ^Сг па пять порядков больше скорости 5GFe —> Гі6Мп^ поэтому концентрация магния всегда мала. Нейтропизация вещества приводит к уменьшению давления вырожденных электронов и сжатию ядра под действием собственной гравитации. Темп сжатия определяется скоростью /3-процесеов, ускоряясь по мере того как ядро приближается из-за нейтронизации к чандрасекаровскому пределу. Сжатие приводит к нагреву до температур (4 -f- 5) X 109 К. При такой температуре устанавливается статическое равновесие по ядерным реакциям.
Основные трудности в расчете взрыва связаны с тем, что не существует самосогласованного описания нейтринного излучения в холодных железных ядрах. Поэтому при больших центральных плотностях рс > 1012 г/см3 приходится использовать предельные случаи:
Вещество всегда прозрачно для излучения нейтрино.
Вещество полиостью непрозрачно для нейтрино при рс > 1012 г/см3.
Как было сказано, при коллапсе из-за неравповеспости ^-процессов и из-за сжатия температура в центральной области ядра начинает расти. Однако в дальнейшем, из-за нейтринного излучения и сильной нейтронизации вещества, которая приводит в условиях статистического равновесия к появлению большого числа свободных нейтронов и ядер с большим избытком нейтронов, температура в центре начинает падать. Быстрое горение углерода оболочки и высокие температуры приводят к образованию ударной волны при плотностях ниже 108 г/см3 [7]. Усиление ударной волны и выход ее на поверхность ядра приводит к большим скоростям расширения внешней оболочки. В расчетах, проведенных в [7], выход ударной волны происходил при центральных плотностях ^ 10 г/см .
Параметры ударной волны были нечувствительны к физике глубокого коллапса. Свойства сброшенной оболочки зависели от момента начала быстрого сжатия и момента формирования ударной волны, что в свою очередь определялось начальной температурой углеродной оболочки. Кинетическая энергия разлетающейся оболочки равна 5 х 1048 эрг. Полная энергия разлетающейся оболочки Еып + Egrav Egrav — 1.2 х 104D эрг и равна энергии протекающей через поверхность ядра за время расширения оболочки. Энергия, которая выделялась при термоядерном горении углеродного слоя была значительно больше: 2.5 х 1050 эрг. Низкий процент преобразования термоядерной энергии углеродного слоя в кинетическую энергию разлетающейся оболочки связан с тем, что ударная волна образуется, когда слой уже находится при большом гравитационном потенциале и имеет большую скорость сжатия. Т.е. ударная волна должна совершить работу против сил тяжести и сменить скорость сжатия на еще большую скорость расширения. Именно большие скорости сжатия вещества при потере устойчивости в горячих железных ядрах не позволяют получить эффект выброса оболочки.
При расширении оболочки его плотность падала от 10й до 109 г/см3. Т.к при этом идут ядерные реакции в условиях горячей нейтронизации вещества, то температура оболочки росла. Когда же плотность опускалась ниже 109 г/см3 ядерные реакции прекращались и температура начинала падать при расширении. Скорость оболочки достигала ^ 109 см/с. Когда оболочка начинала разлетаться, ядро переставало сжиматься и тоже начинало расширяться. Однако, т.к. энергия связи ядра оставалась отрицательной, ядро не разваливалось и начинало колебаться около положения равновесия при р Ю8 г/см3. Расчеты позволили сделать также вывод о том, что компактный остаток может образовываться только, если энергия разлетающейся оболочки находится в диапазоне (1.54-7) Х104!} эрг, а при более сильной ударной волне происходит полный разлет звезды.
Итак, описанная модель позволила получить компактный остаток с одновременным сбросом оболочки. Если на поздней стадии эволюции у зиезды образуется вырожденное железное ядро, то после ее взрыва остается нейтронная звезда с массой ^ 1.2М@ и массивная оболочка. Кинетическая энергия оболочки в дальнейшем может увеличиваться за счет
энергии вращения нейтронной звезды и достичь требуемой из наблюдений SN II величины 1051 эрг. При коллапсе горячего железного ядра такого взрыва не получается, оболочка начинает падать на коллапсиру-ющее ядро и образуется черная дыра.
Модель подтверждается наблюдениями SN 1006 года, в остатке которой обнаружен белый карлик. [8]
1,3 Термоядерная сверхновая
Термоядерная сверхновая классифицируется как SN 1а и является взрывом белого карлика, имеющего углеродно-кислородное ядро с массой, как принято в большинстве моделейj близкой к чандрасекаровскому пределу. В процессе увеличении массы до чандрасекаровского предела происходит повышение температуры в центральной области звезды, что создаст условия для начала термоядерных реакций горения углеродно-кислородной смеси. Современная теория таких сверхновых еще далека от завершения. Наличие большого количества нерешенных вопросов в теории эволюции звезд создает определенные трудности при выборе начальной модели термоядерной сверхновой. Предлагаются различные модели SN Іа, в частпости, рассматриваются взрывы в двойных системах, в которых вторая компонента является либо таким же белым карликом, состоящим из вырожденного вещества, либо представляет собой эволюционирующий красный гигант. Рассматриваются также модели взрывов белых карликов как с массой М Мс^ так и М < Mch- Предлагаются различные сценарии эволюции двойных систем: поглощение белого карлика второй компонентой двойной системы либо, за счет переноса вещества от второй компоненты, аккреция водорода и гелия на белый карлик [9]. Введение двойных систем в качестве предшественников SN 1а является необходимым условием, т. к. только в этом случае белый карлик может приобрести необходимую для взрыва массу ^ Afc/i3 тогда как изначально его масса составляет ^ 0.6М. [10]
Важной проблемой является вопрос о взаимосвязи между процессами внутри сверхновой и ее наблюдаемыми характеристиками, а именно кривой блеска и спектром. Эта проблема не решена для многих астрофизических объектов, в том числе и для SN 1а, где механизм переноса излучения является одним из наиболее сложных по сравнению с другими
случаями. В отличие от остальных астрофизических объектов, SN 1а не содержит водорода совсем, или его очень мало. Она представляет собой непрозрачный для излучения расширяющийся шар, в котором выделяется энергия, причем механизм выделения энергии до конца не ясен. В процессе расширения звезды плотность вещества уменьшается и времена диффузии становятся короче - звезда становится прозрачной, и излучение начинает выходить наружу» Однако звезда расширяется слишком быстро, из-за чего существенную роль на видимый спектр оказывают Доплеровские поправки. Фотоны, испущенные внутри звезды, рассеиваются на быстродвижущихся атомных ядрах много раз. При этом возникает некий "тепловой" спектр. Температура, показанная таким спектром, не будет иметь ничего общего с реальной температурой вещества. Ситуация усугубляется еще и тем, что перенос излучения и SN 1а сильно нелокален. Поэтому методы, используемые при моделировании спектра звездных атмосфер, в случае SN 1а неприменимы и требуют корректировки. Как следствие среди групп, занимающихся моделированием спектров и кривых блеска, отсутствует согласие насчет того, какую методику лучше использовать. Предлагаются различные программы расчета спектра [11, 12, 13, 14], и для одной и той же модели внутренних процессов в звезде разные программы дают разные предсказания. Кроме того, во всех таких программах используется предположение о сферичности взрыва, что в действительности является приближением.
Ключевой вопрос для понимания механизма взрыва - как горение распространяется внутри звезды. Пока не ясен ни механизм горения, ни его скорость. Физика термоядерного горения вырожденного вещества очень сложна и недостаточно изучена. Фронт горения представляет собой очень тонкую поверхность ^ (10~4 -г 1) см. [15|3 которая может распространяться либо в режиме дефлаграции за счет теплопроводности элсктроп-позитрошюго газа, либо в режиме детонации, за счет инициирования термоядерных реакций ударной волной. Однако, режим дефлаграции - медленного распространения ламинарного пламени, не соответствует энергетике взрыва и не физичен. Режим детонации не соответствует правильному нуклеосинтезу в звезде: отсутствуют химические элементы промежуточных масс. Спектр SN Іа в период максимального блеска показывает наличие большого количества элементов с промежу-
точной массой, таких как Мд^ Si, S. Решением проблемы является исследование и учет различных видов возможных возмущений. Вероятнее всего горение наминается в режиме дефлаграции,в этом случае плотность белого карлика начинает снижаться при его расширении, что создаст необходимые условия для синтеза элементов промежуточных масс. Эти элементы могут быть синтезированы только при небольших плотностях ~ 107 г/см3 при температуре ^ (4 н- 5) х 109К, Необходимая энергетика нарыва может быть получена, как за счет турбулезации пламени, так и за счет развития крупномасштабных неустойчивостей.
Между двумя крайними вариантами режимов горения (дефлаграция и детонация) находятся различные варианты режима неустойчивого распространения пламени. На распространение дефлаграциоиного фронта горения существенное влияние оказывает гравитация, которая приводит к возникновению Релей-Тейлоровской неустойчивости [16] и к режиму так называемой турбулентной дефлаграции, имеющей ббльшую скорость распространения. Такой тип неустойчивости является, видимо, наиболее важным для гидродинамики вспышки и основан на эффекте действия архимедовой силы на горячие и легкие продукты горения по отношению к плотному несгоревшему веществу. За счет этой силы возмущения фронта горения приводят к формированию пузырей, всплывающих к поверхности, и к движению несгоревшего термоядерного топлива к центру звезды. [17, 18, 19]
Другой тип неустойчивости, возникающий в процессе горения связан с линейной неустойчивостью фронта горения по отношению к пространственным возмущениям в приближении "тонкого'1 пламени. Такой тин неустойчивости был впервые исследован Ландау [20] и Дарье [21] и носит их имя. Оказалось, что если пренебречь шириной фронта горения и рассматривать его как скачок плотности, распространяющийся с некоторой скоростью, то он будет неустойчив к линейным возмущениям любых длин волн. Однако, при развитии этой неустойчивости, возникают пористые структуры, стабилизирующие фронт при конечных амплитудах возмущений. Такая стабилизация препятствует сильному ускорению фронта горения в моделях SN 1а. [22]
Возникает также неустойчивость связанная со скачком тангенциальной составляющей скорости при движении крупномасштабных струк-
тур (пузырей) - сдвиговая неустойчивость или неустойчивость Кельвина-Гельмгольца- Она приводит к турбулентным флуктуациям скоростей, которые от макроскопических масштабов порядка размера пузырей передаются на микроскопические масштабы ^ 10"4 см, где и рассеиваются, [23] Ни на одном компьютере невозможно разрешить такие мелкие масштабы, и такие флуктуации можно учитывать только статистическим образом. Турбулезация пламени за счет возмущений увеличивает площадь поверхности горения, а следовательно возрастает энерговыделение и скорость распространения фронта. Если турбулентность особенно сильная, то скорость распространения пламени перестает зависеть от микроскопических процессов горения и диффузии и определяется только скоростью наибольшего турбулентного нихря. [24]
В процессе распространении фронта горения от центра звезды к ее внешним слоям, плотность сгораемого вещества снижается, что приводит к снижению скорости движения фронта и увеличению его толщины* Поэтому в некоторый момент времени турбулентность может существенным образом изменить структуру пламени и привести к началу режима "распределенного" горения. [25, 26] При этом возникают существенные трудности в моделировании, т.к. неизвестно, как описывать термоядерное горение, диффузию и турбулентное перемешивание в этом случае. Режим "распределенного" горения предполагает наличие множества зон горения, имеющих различные размеры и толщину фронта. Возникает также вопрос о критерии перехода к такому режиму. Используется, например, критическая плотность ^ 107 г/см3. [27]
Исследуется также многомерная неустойчивость детонационного фронта горения в вырожденном углеродно-кислородном веществе ядер белых карликов. [28] В частности, было обнаружено, что возникает пористая структура фронта с неполным выгоранием топлива.
Численное моделирование взрыва SN 1а - довольно сложная зада-ча, т.к. фронт горения распространяется в протяженной среде, в которой существенную роль играет гравитация и центробежные силы, если звезда вращается. Это создает условия для развития описанных выше различных видов возмущений на различных масштабах. Соотношения скоростей развития возмущений до сих пор не изучены, несмотря на 4 десятилетия исследований. Имеется много неопределенных параметров,
что позволяет предлагать различные варианты развития взрыва. [9, 26]. Основные модели SN 1а основаны на следующих механизмах:
конвективная дефлаграция [29];
пульсащюнная дефлаграция. [30, 31]
отложенная детонация; [25, 32];
пульсационная детонация; [33, 34];
Механизм конвективной дефлаграции наиболее простой и впервые был предложен в работе [29]. Основная идея заключается в том, что горение все время остается в дозвуковом режиме, захватывает большую часть звезды и приводит к сбросу ее оболочки с первой попытки, без промежуточных пульсаций. Механизм изучался многими авторами и дает неплохое согласие с наблюдаемыми кривыми блеска и спектральными линиями. Основное его достоинство в том, что он позволяет получить правильные пропорции элементов промежуточных масс за счет выбора скорости фронта горения. Скорость горения в свою очередь определяет-ся параметрами конвективного переноса вещества, в частности масштабом конвекции, который задается искусственно как функция времени. Конвекция возникает за счет Релей-Тейлоровекой неустойчивости. Однако не ясно, насколько используемые параметры соответствуют реальной физике процессов в звезде. Обратим внимание на то, что все более-менее успешные модели были основаны па одномерных расчетах. Последние двух- и трехмерные расчеты показывают, что скорость фронта горения слишком мала для сброса оболочки с первой попытки. [33, 35] Имеются модели, которые все-таки приводят к взрыву, но при этом не происходит достаточного образования никеля. [17] Основное отличие между предлагаемыми моделями состоит в учете влияния турбулентности. В более ранних моделях предполагалось, что кинетическая энергия турбулентного перемешивания мгновенно передается Релей-Тейлоронским флуктуациям. В другом подходе допускается временная задержка между моментами ее образования и диссипации.
Механизм пульсационной дефлаграции был предложен в 1977 году в работах [30, 31]. Была построена одномерная модель с учетом кинетики
ядерных реакций и /3-процессов, особенностью которой является пренебрежение теплопронодностыо вещества и конвективными процессами. В качестве начальных данных задавался относительно однородный про-филь температуры, возмущенный в центральной части звезды, что имитировало "тепловую" стадию вспышки. Это означает, что в центре уже прошли термоядерные реакции горения. В процессе расчета возникали возмущения давления, что приводило к частичному снятию вырождения вещества и, следовательно, к его радиальным осцилляциям. В фазах расширения горение прекращается, а в фазах сжатия возобновляется. Сгорающее в фазах сжатия топливо вызывало раскачку амплитуды пульсаций и в конце-концов приводило к разлету звезды. При очень обширной области первоначального повышения температуры в процессе пульсаций могла возникнуть ударная волна- Недостатком модели является ее сильная зависимость от начального профиля температуры, который мог задаваться относительно произвольно. В некоторых вариантах расчета была достигнута величина кинетической энергии разлета, соответствующая наблюдениям SN 1а (1.8 X IIP1 эрг). Однако этот результат был связан с эффектом искусственного возрастания энтропии вещества в случае развивающихся пульсаций. После исправления ошибки, допущенной в разностной схеме, оказалось, что полная энергия взрыва составляет не более 0.4 х 105G эрг [36]. Модель доказывает большую вероятность после зажигания термоядерного топлива дальнейшей гидростатически равновесной эволюции звезды с образованием ядра из элементов железного пика. Если все же стадия тепловой вспышки переходит в термоядерный взрыв, то скорее всего этот взрыв похож на образование планетарной туманности, а не на вспышку сверхновой. Критические замечания по поводу данного механизма взрыва сверхновых можно найти в недавней работе [37].
Механизм отложенной детонации предполагает, что начальная дефла-грация переходит в детонацию при достижении фронтом горения областей с низкой плотностью, [25] В таких моделях свободными параметрами являются как скорость распространения фронта горения, так и момент перехода к детонации. Чтобы модель хорошо соответствовала наблюдениям, необходимо очень медленное начальное горение. В этом случае звезда успевает достаточно расшириться, а плотность снизиться
до значений, необходимых для синтеза элементов промежуточных масс. Затем горение должно быстро ускориться, чтобы успеть сжечь расширяющиеся внешние слои. Для реализации численной модели требуется очень тонкая настройка свободных параметров. Модель использует предположение, что горение может локально подавляться и тут же возникать снова, но уже в сверхзвуковой форме за счет механизма, впервые предложенного Зельдовичем. [38] Это возможно только если в звезде существуют макроскопически большие области с постоянным градиентом температуры, что, вообще говоря, маловероятно. В частности, были проведены расчеты влияния турбулентности на пламя термоядерного горения на микроскопическом уровне, которые показали, что пламя слишком устойчиво по отношению турбулентности чтобы сформировать области с постоянным температурным градиентом, [39]
Механизм пульсациошюй детонации является разновидностью описанного выше механизма отложенной детонации. Здесь предполагается, что первая фаза турбулентной дефлаграции затухает, так и не образовав достаточной энергии для сброса оболочки, после чего звезда начинает пульсировать. Пульсации могут привести либо к образованию детонационной волны в момент пересжатия ядра [40, 41], либо к повторному воспламенению в режиме дефлаграции и постепенному ускорению фронта горения до звуковой скорости [42]. В обоих случаях модель допускает сброс оболочки опять же при тонкой настройке параметров. Требуется так выбрать скорость начального горения, чтобы первые пульсации привели к достаточной степени перемешивания и предварительного нагрева вещества, и в тоже время не были достаточно сильными, чтобы нарушить целостность звезды и сбросить оболочку с минимальной энергией. [26] Именно это является слабой стороной модели, - она допускает слабые вспышки SN 1а, которые не наблюдаются.
Таким образом, предлагается множество различных моделей SN 1а. Одни из них более легко поддаются численному моделированию, другие относительно сложны, но ни один из предложенных к настоящему моменту механизмов нельзя полностью исключить. Современное понимание физики сверхновых не препятствует различным вариантам развития вспышки, даже если начальные условия очень близки. Даже внутри одного класса моделей имеется достаточно свободы для варьирования
параметров взрыва: условий поджига, соотношения кислорода и углерода, условий перехода и режиму детонации и т.п. Окончательное решение всех вопросов взрывов сверхновых и получение правдоподобной картины взрыва требует дальнейшего углубления наших знаний о поведении вещества в экстремальных условиях, а также повышения производительности современных компьютеров, для учета и моделирования более топких эффектов.
1.4 Описание диссертации по частям
Предлагаемая работа посвящена исследованию термоядерного взрыва SN 1а. Основная цель - показать существенное влияние крупномасштабных конвективных процессов на развитие вспышки. В работе проведено трехмерное численное моделирование конвективной неустойчивости для фронта термоядерного горения вырожденного вещества белого карлика с массой М ^ Мсь без учета скорости распространения фронта горения. Мы рассматриваем только центральную часть предеверхновой. Не учитывается влияние внешней оболочки звезды, а также влияние гравитационного поля второй компоненты двойной системы и процессы перетекания вещества.
Полученные результаты также могут быть использованы при описании механизма взрыва сверхновых других типов при условии наличия плотных углеродно-кислородных ядер у их предшественников.
Диссертации состоит из введення, четырех глав и заключения.
В I главе дается постановка задачи, делаются теоретические расчеты динамики пузырей, возникающих в процессе крупномасштабной конвекции, описывается уравнение состояния, вычисляется начальная равновесная конфигурация предсверхповой звезды и обсуждаются вопросы, связанные с процессами горения.
Во II главе представлена методика математического моделирования вспышки путем численного решения уравнений гидродинамики.
В III главе представлена методика расчета граничных условий для данной модели сверхновой. Исследовано влияние вида граничных условий на результаты расчетов.
В IV главе представлены полученные при моделировании результаты. Исследуется зависимость результатов от свободных параметров модели.
Динамика пузырей в сферической геометрии: теоретические расчеты .
В течение долгого времени сценарии взрыва сверхновых рассматривали исключительно сферически симметричное горение белого карлика [51, 52, 53]. Однако, на основании теории пузырей, в работе [44] было показано, что сгоревшее легкое вещество в центре предсверхновой может всплывать крупными пузырями, а белый карлик должен взрываться с сильным нарушением сферической симметрии. Пузырь сгоревшего вещества выталкивается из центра звезды за счет силы Архимеда, бы огрте. чем распространяется пламя, ишаружеиный эффект ттлытшя пузырей имеет парвосі їїбиное знамеїш: для творім сщр&идаых. Однако , jirt ый характеру в вей испшіьзовшшсь а нниы. По $той причине интересно ре в шешиовых более с жеста ог радіуса вблизи центра звезды. / 3- X Х ЛЛ пия поля тяжести w связана с центральной ішотниетью звезды р# как а;2 (4тг/3}С?йї ГА " гратштшщониая постоянная. Сначала мы ршшгариы случай бгапшнечдо легкого пузыря, позже мы учтем конечный скачок плотности между пузырем и тяжелым тщжтпом вокруг. Мы предполагаем. «тто шггочніге легкого ішцестна плодится в центре зтздъц легкое вещество образует птаырь шли набор пузырей? которые всплывают из центра- Характерная форма пузыря и накраплений тсздішя в т оы случж ШШІЇ.ГАПЬІ на рис. 4, где R(t) есть положение ш?р Рне» 4: (а) Баь-штж пузыря из дсіезтр ш»з& газлы зтаедта, І: тщшщрй пульцж. Ь) Систе&т отетсгт, тжштим сть оу ырт UbuMp. " Я определяется размером пугшря Я И рнвшіші ноля тяжести при вершине пузыря g w2B. 54t 55( По этой причине вместо стационарного всплытия пузыря следует ожидать экспоненциального ускорения R exp(CW); цель задачи - найти коэффициент С. При этом, справедливо соотношение R=CuR. (1) Для того чтобы описать движение бесконечно легкого пузыря, необходимо решить уравнение Лапласа для потенциала скорости в тяжелом веществе W = 0. (2)
Будем исследовать только решения с цилиндрической симметрией. Чтобы лучше понять геометрию течения, следует представить себе, что пузырь на рис. 4 (Ь) симметричен с точки зрения вращения вокруг оси . Хотя предположение о симметрии вращения сильно сужает область решения, оно вполне оправдано для ведущей моды / — 2, которая является наиболее интересной в астрофизических приложениях. В выбранной геометрии уравнение Лапласа (2) имеет вид 1 д ( 2дф\ 1 д Ґ ш лдф\ п Мы ищем решение уравнения (3) в форме ф{г,в) гп1\[в), (4) где Р[{в) есть полиномы Лежандра, удовлетворяющие уравнению (см. [56]) eUsineW=-i{i+m- (5) Подставляя (4) в (3) получим п(п+ 1) = 1(1+1) с двумя решениями п — I и п = — / — 1. Чтобы удовлстнорить граничным условиям на бесконечности г — оо мы должны выбрать убывающие гармоники, поэтому п — — I — 1, или ф = Аг , 1Щв) с некоторой амплитудой А и с компонентами скорости чт = -(1+1)Аг-1-2Р1{в)} (6) щ = Лг- Л (7) Используя граничное условие на вершине пузыря uT\r=Il — ІЇ, находим амплитуду (6)-(7): - & к) pt(oy R /Г\- -2 1 dPi Щ = ї / + 1 W fl(0) rf0 На следующем шаге мы должны найти форму пузыря вблизи вершины. Поверхность пузыря совпадает с разделяющей линией тока в системе отсчета вершины пузыря. Переходя в ускоряющуюся систему отсчета, мы выбираем прямоугольные безразмерные координаты, как показано на рис. 4 (Ь) f = -cos0-1, 7} = - sin 0.
Величина 7} играет роль радиальной переменной в цилиндрических координатах. Соответствующие компоненты скорости имеют вид щ = uT cos 9 — щ sin 9 — Я, uv — чт sin 9 + щ cos в. Вблизи вершины пузыря 0 g; L Используя соотношение (5) в этом пределе получим m = (j_ Mi±iV) fl(o), Функция тока Ф определяется как 15Ф 1дФ rjdrj т} д При вычислении поля скоростей вблизи вершины пузыря rsj fj2 g; \ используем соотношения r/R — 1 та + г}2/2, в та ту, и находим «,/Л=( + 2), (8) Ф/Д=-(ї + 2) -а + 2)(і + 3) . Линия тока Ф = 0 определяет форму пузыря вблизи вершины е = -( + 3). (9)
В ускоряющейся системе отсчета уравнение Бсрпулли вдоль поверхности пузыря есть l + 2R2( -2-?j+Rm = 0, (10) где потенциальная энергия отсчитывастся от вершины пузыря. Подставляя (8) в (10) и учитывая форму пузыря (9), приходим к дифференциальному уравнению для положения вершины пузыря (І + 2)2Д2 - (I - 1)ы2Н2 - {I + 3)RR = 0. (11) Мы ищем решение уравнения (11) в виде R exp(CW) с коэффициентом С. определяемым уравнением [(г + 2)2-г-з] с2- г-1, или / 1-1 \1/2
Пузырь легкого вещества всплывает из центра, экспоненциально ускоряясь. Самая быстрая мода соответствует I = 2с коэффициентом С & 0.3. Прежде чем применять полученные результаты к теории термоядерных сверхновых, мы должны учесть конечное отношение плотностей в ТЯЖеЛОМ И ЛеГКОМ ВСЩеСТВС G = pheavyjPlight В ОТЛИЧИС ОТ обычНЫХ лабораторных и промышленных пламен в газах с большим тепловым расширением, термоядерная реакция в сверхновых распространяется в сильно вырожденном веществе. Из-за вырожденного уравнения состояния для электронов в белых карликах, даже сильное эперговыделение приводит лишь к незначительным изменениям плотности [15, 57]. Например, когда плотность вырожденной смеси углерода и кислорода раина / — 10 г/см3т распространение термоядерного пламени вызывает лишь слабое изменение плотности в — 1 0.2, Учитывая конечное изменение плотности аналогично [58], мы запишем уравнение Бернулли (10) в виде что приводит к соответствующим поправкам в формулах (И) и (12) {I + 2)2R2 -{I- 1) 1Ш2Л2 - (I + 3) ЛЯ = 0, ( (6-1)(1-1) е(і + 2)2-(е-і)(г + з) В частности, в случае 0 — 1 = 0.2 и / = 2 мы получим достаточно малый численный коэффициент С Й 0,1, Таким образом, пузырь сгоревшего вещества выталкивается из центра белого карлика за характерное время (13) что примерно в 4 раза превышает оденки [44]. Однако полученный результат не противоречит основному выводу [44], о том, что термоядерное пламя выталкивается из центра белого карлика гораздо быстрее, чем оно распространяется. Например, при центральной плотности белого карлика рс = 10й г/см3 с равной долей углерода и кислорода мы имеем скорость термоядерного пламени Iff & 36 км/с [15]. За интервал времени, определяемый уравнением (13) то есть около 0.6 с, фронт пламени сжигает термоядерное горючее внутри сферы радиусом около 20 км. Поскольку радиус центральной горячей части белого карлика превышает 100 км, то в течение времени At пламя способно поглотить лишь малую долю от
Разностная схема
Мы вынесли множители ve и v j r из е/ и $5 для того, чтобы а 4 и afb не становились неопределенными при v$f — 0 и г / = 0- Записав (34) в явном виде и решив получившуюся алгебраическую систему уравнений относительно pf,vrr,vof,v и 5 , можно показать, что [64, 65] J тті У/РЬ ЬЛ- Л/PRUR Р = л/pLPii, U = v , (7 = ип и , уфі S. (35) у/ + у PR При выводе (35) использовалось соотношение Аналогичным образом, воспользовавшись формулами (31) и (32) вместо (30), можно показать, что (35) справедливы не только для ячеек, смежных но радиусу, по и для направлений вдоль в и ф. В процессе счета усредненные производные давления (рРУ3 и (р5) следует вычислять по формулам [66] где «ур=др-((рр);др+(р.);д5). Производные {pp) g и (ря)л вычисляются по табличному уравнению состояния р = P(p7S) через известные величины р и S .
В схеме Роу-Пайка потоки плотностей па границе между двумя смежными ячейками (например, по радиусу с номерами г и г + 1) вычисляются по формуле Fi+./2 Y - EWWS . (36) Для построении разностной схемы необходимо провести некоторые простые преобразования исходной системы (27)» Выпишем уравнения для тд и гпф в явном виде. дтв , 1 д 2 1 д , , лГ ,.. + л/dr № ) + Т ГБТЇЇ (5шв\Р + РЩ) + di v2 дт г sin 050 Ід, ч 1 , пч _ /3Vr 7 ГвЪф{рЩУф) =Р9в + -г(р + pvl) ctge - , (37) dnu 1 9/2 v 1 д , m п л at г2 or гБіпвдв 1 я У ГвЩ + Р РЗф- г+УосЬдВ). (38) В уравнении (37) слагаемое —l/r - pvrv$ удобно внести под знак производной: 1 & f 2 . pVrV0 1 9 /3 \ {r PvTve) + — = __ (rzpvTve) , Аналогично, для уравнения (38): 1 З1 . „ у. , рувУфСІдв 1 д , . о л ч г sin 0 00 г г sin2вд9 Тогда, система (27) примет следующий вид: др 1 д , 2 , 1 д , . Л ч 1 5 от т2дг гвтвдв г sin вдф 9 дгпт 1 д , пг 2л\ 1 / - Л ч 13, Зі r2ar твтвдв гзтвдф 9 P9r + + [vi + vl], (а) Зто 1 5 / о , 1 д , . п. ».-. 1 д , , Зі r33rv гвтвдв y гзтвдф 9 pge + - (p + /wj) c , (b) 1 5 r 2T LP + Pv6\ = P96, r sin 0 дф Зі HOT r sin f/ay rsm0c? j& (39) Будем заменять производные разностными отношениями вида dw wn+l — w" _____ _____ 1 3 _ 0 +l/2Fi+l/2- -l/2Fi-l/2 r2/)rV / d r3 _r3 Г аГ i+1/2 .-1/2 IA (r3F) = 1Г?+1/2 +1/2 - rf_1/2F,_1/2 r35r r?+l/2 - Г?-1/2 Г Sin 0 30 T j (COS 0/-1/2 — cos #/+1/2) 1 д ! 2дг-1 - а1п2 +1/2С_+1/2-8Ь20,-_1/2С,-_._/2 1 а / дгм sin0i+i/2Gi+i/2 - -т_»,_1/2С,_1/2 r sin2 030 ГІ sin вj (cos 0j_i/2 — cos 0,-+1/2) 1 5 тт Щ+1/2 - H _xy2 xl = ГВІпвдф Г{Втву(фШ/2 - фь-фУ где wn - значение вектора плотности на га-ом шаге по времени, т-шаг по времени, цельте индексы относятся к центру ячейки, полуцелые - к границам. Заметим, что на трехмерной сетке все величины, в действительности, нумеруются тремя индексами, однако, чтобы не загромождать формулы, мы опускаем повторяющиеся. Индексы i}j,k меняются вдоль г, 0, и соответственно. В правой части уравнения (39-а) имеется слагаемое 2р/г, которое взаимоупичтожастся с соответствующим слагаемым в левой части. Для того, чтобы это свойство сохранялось при разностной аппроксимации, требуется, чтобы при р = const выполнялось соотноше Нт 2 2 Гг+1/2 Г -1/2 _ %Р О—о о Р — . г+1/2 f-1/2 Г Отсюда находим 2 -1/2 + П--1/2ГгЧ1/2 + Г?+1/2 7\ = о П-1/2 + +1/2 и в разностном уравнении вместо 2р/г1 используем 2p/rs. Аналогично, в правой части уравнения (39-Ь) имеется слагаемое p-ctg9/r7 для которого требуется положить г — ТІ и ctg$ = cosBj-yz- coa6j+i/2 Ускорение свободного падения определяется формулой д = —ЧФд. Возмущениями гравитационного потенциала пренебрегаем, т.е. Фд задается в качестве начального условия в виде таблицы и не меняется со временем. Компоненты д вычисляются по формулам __ gf+l/2 " 91-1/2 _ gj+1/2 " gj-1/2 П+1/2 - П-1/2 ri{0j+l/2 - 0J-1/2) В силу осевой симметрии Ф — Фд(г, в) и дф — 0. Все остальные величины в правых частях уравнений (39) задаются в центре ячеек. Шаг по времени г определяется условием Куранта и на каждом шаге п вычисляется по формуле . (Г{+1/2 - ГІ-І/2 rt(0j +i/2 0J-1/2) ГіЗІП ( +і/2- -1/2) Г = L/C пит TCHU ; ; , ; ; . : ; У, I \vr\ + С Ы + С \Уф\ + С где Ccour — const - число Куранта, 0 Ссоиг 1, с - скорость звука. Минимум берется по всей области счета, но, в силу особенности сферической сетки, г определяется ячейками с малыми т\
Тестирование схемы: задача о сферически-симметричной аккреции
Для тестирования разностной схемы был проведен расчет сферически симметричного изэнтропического потока, описываемого автомодельным решением Боиди для политропного газа в гравитационном потенциале точечной массы т [67]» Уравнение состояния политропного газа записывается в виде V = k(S)p\ (40) где k(S) - некоторая размерная функция удельной энтропии. Для изэнтропического течения k(S) = ко = const. Уравнение Эйлера в случае стационарного течения du ldp Gm . , u—+ --f = T (41) dr par rl преобразуется в уравнение Вернули и2 7 Р Gm _ /ЛЛЧ + L i- Е = const, 42 2 7 1Р г т.е. сумма удельной кинетической энергии и2/2, удельной энтальпии 7Р/ ((т I)/3) — CV(7 — 1) и гравитационного потенциала —Grnjr постоянна вдоль каждой линии тока. При записи (41) мы использовали значок полного дифференциала вместо частного, т.к. все величины зависят только радиуса г и не меняются со временем. Интегрирование стационарного уравнения непрерывности 1г = 0 (43) г2 аг дает г2ри = — т, где т 0 - поток массы в единичный телесный угол па гравитационный центр. Таким образом, распределение плотности определяется темпом аккреции m по формуле р(г)=-- (44) u[r)r2 Решая совместно (41) и (43) относительно du/dr, получаем du и (2с2 - Gm/r) (45) dr (u2 — с2) г Если течение содержит звуковую точку на радиусе г = г&, то в этой точке 2 2 U = с — Gm 2ть Радиус Бопди 7 вычисляется из (42): Ъ-ZyGm / s ос где с о - скорость звука па бесконечности. Сферически-симметричная аккреция с переходом через скорость звука возможна только при у 5/3. При этом о Gm 1 / 2 \ (8-37)/2(7-4 А = /(7) ,гдс /(7) = 1( У (47, Чтобы найти распределение скорости и(г) требуется проинтегрировать (45), используя соотношение =4-(7-1)( ). Уравнение (45) при и = с имеет особенность типа "седло", поэтому интегрирование следует проводить от радиуса Бонди г = ть в обе стороны по г. При этом, для выделения правильной ветки решения требуется определить производную du/dr в звуковой точке- Воспользовавшись правилом Лопиталя для раскрытия неопределенности 0/0 в правой части (45), получаем 2с (l + V3/2 (5/3 7)) dr r=n" rj(7+l) (Т.к. при аккреции вещества на гравитирующий центр и 0 и \и\ —у оо при г 0, то выбираем положительный знак производной: du/dr 0.) Вычисления проводились для случая у — 4/3 в области 0 г 0,6. Масса гравитирующего центра выбиралась так, чтобы Gm — 1. Значения то из условия на бесконечнейД м, шшучшш вшш хші на 6#СКШЇЄЕШОЄТИ задаются произвольным образом. Іьеяи положить с , — 1/2F то из (46) определяется радиус Вонди г& 1 /2. Пара вдтр роо входит в (4?) и определяет тещ і аккрецш . В расчете использовалось гутчошюрж - 0-1. Осталось определить ш-крфтщет k(S) — k$ в уравнении состояния (40).
Неотражающие граничные условия
Скорость течения вещества вдоль оси вращения приближается к сверхзвуковой, следовательно, только малая доля вещества может отразиться от границы и вернуться в расчетную область. Поэтому для вытекающего вещества мы использовали неотражающие граничные условия. Фактически это сводится к расчету только одной величины І2 по формуле (56) для случая дозвукового вытекания, т.к. только величине L отвечает отрицательное собственное значение А2 — vr — с. Сверхзвуковое вытекание не требует определения граничных условий. Вдоль экваториальной плоскости должно происходить втекание холодного термоядерного топлива из внешних слоев звезды. Здесь мы ставим стационарные условия втекания. Как показали расчеты, применение этого типа граничных условий приводит к результатам, мало отличающимся от результатов, полученных с использованием только неотражающих граничных условий. Картина эволюции изэнтропических поверхностей довольно похожа. В обоих случаях (рис. 14, 16) наблюдается течение вещества вдоль экваториальной плоскости от границы к центру. В случае неотражающих граничных условий (рис. 14) это течение захватывает часть сгоревшего вещества с повышенной энтропией и снова переносит его в сторону центра, чего не наблюдается н случае с использованием стационарных по радиусу граничных условий для втекающего вещества (рис. 16). Однако, этот процесс не оказывает существенного влияния па тепловую вспышку, тле. массовая доля сгоревшего вещества, переносимого к центру, крайне незначительна. Тем не менее, использование стационарных по радиусу граничных условий для втекающего вещества и неотражающих для вытекающего представляется нам более предпочтительным, тж. в этом случае, как видно из рис. 15 и 16, влияние границы минимально.
В качестве проверки работоспособности алгоритма был также иссле-донял вариант более быстрого вращения: Т/И = 0.05, QQ = 4.288 с-1. В этом случае различия становятся более заметными. При исторических граничных условиях отражение от границы разрушает конвективный процесс и приводит к численным неустойчивостям вблизи границы. В случае использования неотражающих граничных условий и условий стационарного втекания вдоль радиуса граница не влияет на характер и скорость конвективного движения, и не возникает численных проблем. Заметим, что в этом варианте вращения характер движения вещества па границе в экваториальной плоскости меняется в момент достижения конвекцией этой области. Изначально дозвуковое втекание становится сверхзвуковым, поэтому меняется число характеристик, которые необходимо определять исходя из вида граничных условий. Глава IV- Результаты гидродинамических расчетов
Развитие конвективной неустойчивости при радиусе сгоревшей области гс = 0-20, сравнение с теоретическими расчетами динамики пузырей
Для проведения численных расчетов все величины обезразмеривались с помощью характерных параметров: 1. радиус йо = 1 х 108 см. 2. плотность PQ = 2 х 109 г/см3. 3- давление Д) = 1.213 X 102 дин/см2 4. энтропия SQ — к/ти = 8.314 х 107 эрг/(К-г), где к - постоянная Больцмана, ти - ат. ед. массы. 5. ускорение свободного падения gro = PO/{RQ ро) = 6-066 X 10 см/с2. 6. скорость 1 — у/ро7ро = 7.789 х 10s см/с. 7. время to = RQ/VO = 0Л28 с.
Радиус области счета и безразмерных единицах равен 1.5. Радиус образовавшегося "железного" ядра в момент начала развития конвективной неустойчивости был взят те — 0.20. Фоновая энтропия (энтропия вращающегося СО шара) равна 5Q — 0.356, что соответствует температуре в центре звезды Го = 1 х 108 К при плотности pQ = 2x 10 г/см3. Угловая скорость вращения 1$ = 2.187 с"1 (r/[W = 0.01). В момент і — 0 в центральной области при г 0.20 мы переходим к уравнению состояния для железа и повышаем энтропию в 8 раз. Число гс — 0.20 является свободным параметром предлагаемой модели сверхновой. В разделе 5.5 будет исследована зависимость результатов от этого параметра. Радиус "железного" ядра определяется процессом горения, который влияет на скорость движения фронта, и динамикой пульсаций ядра. Число 5" = 8 - 5о получено из оценок теплового эффекта протекающих термоядерных реакций, которые приведены в разделе 2.5.
Влияние скорости вращения звезды на результаты расчетов
В разделе 5-1 было отмечено, что в процессе развития крупномасштабной конвективной неустойчивости в центральной области звезды возникают условия для повторного поджига поступающего туда из внешних слоев свежего термоядерного топлива. Таким образом, в процессе взрыва допускается возможность циклического процесса образования всплывающих крупномасштабных структур. Для проверки этого предположения необходимо провести самосогласованное моделирование; гидродинамика + горение, что требует больших вычислительных мощностей компьютеров и гораздо более сложного математического аппарата, тж. для этого необходимо разрешать микроскопически малую ширину фронта горения на фоне протяженной среды. Как уже говорилось, эта задача выходит за рамки настоящей работы, однако мы попытались получить такой процесс в рамках нашей модели сверхповой. В данном разделе приводится только один из возможных вариантов развития процесса как демонстрация ого принципиальной возможности.
При моделировании циклического процесса всплытия крупномасштабных структур проводился последовательный поджиг вещества внутри области, ограниченной сферой радиуса rc = 0,20, при достижении массой этого вещества значения тс — 0.019 (в единицах Солнечных масс). В момент времени і = 0 это значение составляло тс 0.023. Те. мы ввели еще один свободный параметр, смысл которого в том, чтобы определять моменты времени, в которые происходят вспышки. Очевидно, чем больше значение тс, тем реже должно происходить повторное поджигание вещества. Таким образом регулируется частота вспышек и их общее количество, которое, как показало моделирование, ограниченно. В данном расчете предполагалось, что при значении параметра тс — 0.019 в центральной области достигается необходимая концентрация свежего топлива для начала термоядерных реакций.
В момент вспышки вещество сгорает мгновенно, что не соответствует дефлагарационному режиму распространения пламени. Однако это единственный способ получить циклический процесс в рамках нашей модели сверхновой без моделирования распространения фронта горения. Моментальное сгорание вещества можно трактовать как одновременное поджигание термоядерного топлива во множестве точек внутри ради уса rc = 0,20- При этом каждая вспышка приводит к возникновению акустического возмущения, что связано с резким скачкообразным подъемом энтропии. Возмущение является артефактом используемой нами модели, оно быстро уходит из области счета и не влияет на текущую конфигурацию звезды (см. раздел 2,5, стр. 37).
Моделирование проводилось для твердотельного вращения с угловой скоростью о = 2.217 с"1 на сетке Щ х Ne х Nr : 40 х 160 х 80.
На рис. 39-40 показано распределение энтропии и поле импульсов в меридиональной плоскости для двенадцати моментов времени. Всего произошло 9 вспышек, включая первую и момент і — 0. На картинках (кроме первой на рис. 39 и трех последних на рис- 40) отражены моменты времени, в которых происходит сгорание вещества в центральной области г гс. Практически все продукты горения выносятся вдоль оси вращения в виде джетов. Лишь незначительная их часть выбрасывается вдоль экваториальной плоскости и под небольшим углом к ней (см. моменты t = 0.95 - 1.91 с). Это происходит из-за того, что у части топлива имеется большой угловой момент. Эффект начинает проявляться только с момента t = 0.58 с, т.к. требуется время, чтобы свежее топливо из внешних быстровращающихся слоев звезды достигло центральной области. В момент времени t — 1.91 с произошла последняя вспышка, за которой последовал мощный выброс вещества (см. t — 2.1 с). На картинках і = 1.91 - 3 с видно, что часть продуктов горения перераспределилась по всей звезде и перемешалась с несгоревшим веществом, подняв его энтропию, и, как следствие, уменьшив среднюю плотность. По этой причине вспышки прекратились - вещество не может набрать необходимую массу тс = 0.019 в центральной области г гс, т.к. становится менее плотным. Это видно из рис. 41 па котором показано распределение плотности вдоль оси вращения в начальный момент времени, и в момент t — 3 с. На рис. 40 в момент времени t = 3 с наблюдается только высокоэптропийный след после выброса вещества в виде джета.
На рис. 42 изображено число Маха, как функция радиуса для направления вдоль оси вращения для двенадцати моментов времени. В интервале времени t — 0.4 - 2.1 с значения чисел Маха расположены вдоль одной прямой и меняются в относительно узком диапазоне- Это говорит об устойчивости процесса формирования джетовой структуры течения.
Видно, что течение вещества внутри джета становится сверхзвуковым на радиусе R — 0.6 - L Распределение значений скорости вдоль оси вращения для тех же моментов времени показано на рис, 43, После завершения процесса интенсивного выхода сгоревшего вещества из расчетной области в виде джетов скорость вещества постепенно снижается и уходит в отрицательную зону (см, момент t = 3 с). Слабое втекание вещества в расчетную область при отсутствии крупномасштабной конвекции связано с разностным эффектом.
На рис, 44 показан график выделения энергии в процессе взрыва. Энергия выделяется ступеньками в моменты сжигания топлива в центральной области звезды, В течение девяти вспышек выделилась энергия Ег 1.07 х 1051 ерг. Это значение превышает полную энергия белого карлика с массой І.бМ, которая равна примерно Ejuu —6,83 X 1050 эрг [74], Таким образом, в данном расчете происходит нарушение гравитационной связности звезды. Происходит се полное разрушение, вещество выбрасывается в виде джетов со скоростями порядка vT 109 см/с.
