Содержание к диссертации
Введение
Глава 1 Стационарные решения системы ЯМд 27
1.1 Стационарные решения 27
1.2 Анализ устойчивости стационарных решений 31
1.3 Задача Штурма-Лиувилля для неустойчивых мод стационарных решений 38
1.4 Результаты расчетов 45
Глава 2 Исследование автомодельных решений системы уравнений ЯМд 50
2.1 Автомодельные решения системы уравнений ЯМд 50
2.2 Анализ устойчивости автомодельных решений 56
Глава 3 Исследование процесса формирования сингулярностей в связанной системе уравнений ЯМд 63
3.1 Начально-краевая задача для системы уравнений ЯМд
3.2 Вычислительная схема 66
3.3 Результаты и анализ расчетов 73
Глава 4 Задача распада возмущенных стационарных решений си стемы уравнений ЯМд 84
4.1 Постановка задачи распада стационарных решений 85
4.2 Параллельная реализация вычислительной схемы 88
4.2.1 Параллельные алгоритмы решения трехдиагональных систем 88
4.2.2 MPI реализация метода разбиения системы 91
4.3 Эффективность параллельных вычислений 95
4.4 Результаты и анализ расчетов 97
Заключение 102
Литература
- Анализ устойчивости стационарных решений
- Анализ устойчивости автомодельных решений
- Начально-краевая задача для системы уравнений ЯМд
- Параллельная реализация вычислительной схемы
Введение к работе
Диссертация посвящена исследованию динамики формирования сингулярностей, возникающих в решениях связанных систем нелинейных эволюционных уравнений второго порядка, принадлежащих к классу надкритических систем. Именно в надкритических системах (этот термин будет разъяснен ниже) возможно образование сингулярностей в решениях эволюционной задачи Коши при гладких начальных условиях с конечной энергией. В качестве представителя такого класса надкритических систем для исследования была выбрана система взаимодействующих безмассовых сферически-симметричных полей Янга-Миллса калибровочной группы SU(2) и дилатон-ного поля в пространстве-врем єни Минковского размерности 3-Ы. Такая система описывается двумя связанными нелинейными уравнениями в частных производных гиперболического типа (нелинейными волновыми уравнениями в физической терминологии) для двух неизвестных функций. Этот выбор обусловлен с одной стороны тем, что данная система, как выяснилось в процессе работы, обладает всем разнообразием свойств, присущих классу надкритических систем и с этой точки зрения является самым общим представителем класса. С другой стороны, эта система представляет большой интерес для физики, так как она возникает в ряде теоретико-полевых моделей, инспирированных теорией суперструн. Таким образом, исследование процессов формирования сингулярностей в такой модели позволяет изучать существенно непертурбативные (не описываемые теорией малых возмущений)аспекты динамики полей при высоких энергиях, а также определяет границы применимости модели.
Возможность формирования сингулярности - процесса, при котором решения (или его производные) неограниченно возрастают за конечное время в некоторой области пространства при ограниченных и гладких начальных данных, является одной из характерных особенностей, отличающей нелиней- ные эволюционные уравнения от линейных [1].
Изучение этого феномена является предметом интенсивного исследования во многих областях математической физики от гидродинамики и нелинейной оптики до теории гравитации. Произойдет ли формирование сингулярности или нет для нелинейных эволюционных уравнений общего вида - это сложный математический вопрос, ответ на который не известен, например, для уравнения Навье-Стокса и уравнений Эйнштейна общего вида. После того, как для некоторого данного эволюционного уравнения (или системы связанных уравнений) установлена возможность формирования сингулярности, представляет большой интерес ответы на следующие вопросы [2]: в какой области пространства и за какое время произойдет формирование сингулярности; каковы условия возникновения сингулярности, например, при каких начальных данных это возможно; в несколько иной постановке эта проблема может быть сформулирована так: найти множество пороговых конфигураций, лежащих в функциональном пространстве решений на границе, разделяющей решения с последующим образованием сингулярности и решения, остающиеся регулярными; чем характеризуется процесс образования сингулярности, насколько он универсален; как промоделировать его численно.
Для проведения такого исследования, отвечающего на вышеперечисленные вопросы, в диссертации разработаны эффективные методы и вычислительные алгоритмы для решения: - краевых задач для систем нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка, имеющих особые точки как внутри, так и на границах исследуемого интервала по пространственной переменной (задачи на нахождение стационарных и автомодельных решений); задач Коши для нелинейных уравнений и систем уравнений (возникающих при проведении анализа устойчивости стационарных и автомодельных решений); матричных задач Штурма-Лиувилля (задача на нахождение собственных неустойчивых мод стационарных решений); начально-краевых задач для систем нелинейных волновых уравнений, возникающих при исследовании процесса формирования сингулярности.
Наиболее наглядным примером возникновения сингулярности в нелинейных задачах являются решения, которые становятся неограниченными при стремлении временной независимой переменной к конечному значению Т > 0. Такие решения называются неограниченными (blow-up) или реэюимы с обострением (физический термин) [1].
Проблема режимов с обострением была поставлена в 1940-1950-ых годах при изучении цепных реакций Семенова, задачи адиабатического взрыва и в связи с теорией горения [1], [3]. Первый анализ эффектов пространственной локализации граничных режимов с обострением был проведен А. А. Самарским и И. М. Соболем [3], [4] в 1963 г, при изучении квазилинейного уравнения теплопроводности.
В простейшей форме появление сингулярности возможно в теории обыкновенных дифференциальных уравнений. В качестве примера рассмотрим задачу Коши для нелинейного обыкновенного дифференциального уравнения [2]: щ = и2, t> 0, u(0) = a. (v.l)
Для начальных данных а > 0 следует, что существует единственное решение задачи (v,l) во временном интервале 0 < t < Т: u(t) = j^—t 0 Из (v.2) видно, что u(t) является ограниченной функцией при ( < Т, и u(i) —+ со при і — Т~ (предел слева). В этом случае говорится, что решение разрушается при t = T. В случае нелинейных уравнений в частных производных возрастают математические сложности при изучении решений и увеличивается разнообразие и типы разрушающихся решений. Например, решение может становиться неограниченным как в одной точке, так и в некоторой пространственной области, в том числе и неограниченной [1]. При рассмотрении разрушающихся решений можно выделить два основных типа [5]: Сильное, или грубое, разрушение; в этом случае решение обращается в бесконечность за конечное время. Слабое, или мягкое, разрушение; в этом случае само решение остается ограниченным, но производная решения обращается в бесконечность за конечное время, т.е. возникает так называемая градиентная катастрофа. При этом существуют градиентные катастрофы высшего порядка. Забегая вперед сразу отметим, что в диссертации исследован случай градиентной катастрофы второго порядка, т.е. образование сингулярности в малой окрестности начала сферической системы координат обусловлено неограниченным ростом второй производной у исследуемых функций при ограниченном росте самих функций и их первых производных. В последние годы проблеме отсутствия глобального решения или, другими словами, "необходимым условиям существования решений "уделяется особое внимание. При исследовании возможности существования решений, приводящих к формированию сингулярности, как правило, изучают решения в пространстве произвольной размерности или рассматривают наиболее общий класс нелинейностей [6], [7], [8j. Как пример такого типа исследований приведем классический результат X. Фуджиты [7]. X. Фуджита рассмотрел задачу: ut = Au + up, р>1, xeRN, t>0;u(x,0) = u0(x)>0, (v.3) где через А обозначен оператор Лапласа размерности N, и введен критический показатель pc{N) = 1 + 2/JV, определяющий существование положительных глобальных решений, т.е. решений определенных для всех t > 0. Им было показано, что: Если 1 < р < pc(N), то задача (v.3) имеет только тривиальное неотрицательное глобальное решение u = 0. Если р > pc(N), то задача (v.3) имеет неотрицательные глобальные решения при условии, что начальные данные щ{х) достаточно малы (в соответствующей норме). Критический показатель Фуджита зависит от размерности пространства N, а естественным обобщением рассмотренного обыкновенного дифференциального уравнения (v.l) является уравнение щ = f(u), для которого необходимое и достаточное условие формирования сингулярности за конечное время при любых положительных начальных данных было получено в работе [9]. Особенностям решений, приводящим к формированию сингулярности для различных типов дифференциальных уравнений посвящены обзоры [2], [8]. Несмотря на то, что история задачи Коши для нелинейного волнового уравнения типа utt = Au + /(«), /(«)>0, (v.4) более длинная [10], чем для соответствующего параболического уравнения (обширная литература посвящена исследованию разрушающихся решений для параболических уравнений, например [1], [2], [11] и ссылки там), решения гиперболических уравнений, приводящие к формированию сингулярности, изучены в меньшей степени, чем соответствующих решений параболических уравнений [2]. Нелинейные гиперболические уравнения с различными типами нелиней-ностей продолжают интенсивно исследоваться в настоящее время (см. например [12]-[16]). Отметим, что существует несколько подходов к доказательству теорем об отсутствии глобальных решений для нелинейных уравнений в частных производных. Один из наиболее распространенных подходов базируется на принципе сравнения, позволяющем на основе построения нижних разрушающихся решений доказать разрушение рассматриваемого решения за конечное время. Альтернативный метод доказательства теоремы об отсутствии глобальных решений для нелинейных уравнений в частных производных, основанный на априорных оценках для решений рассматриваемой нелинейной задачи (получение этой оценки базируется на методе пробных функций), был предложен в работах [5], [11]. Исследуемая в диссертации система взаимодействующих полей Яига-Милл-са с дилатоном является системой нелинейных волновых уравнений, для которой выполняется закон сохранения энергии. Возможность существования разрушающихся решений данной системы нелинейных уравнений базируется па результатах работы [17]. В этой работе был предложен эвристический мета-принцип, который основывается на свойствах масштабного преобразования функционала энергии при одновременном масштабировании пространственных координат и времени. Этот принцип заключается в следующем. Если исследуемая система допускает масштабно-инвариантные решения «(, г) относительно преобразований где Л = const, 0 < Л < 1: u(t,r) = u(j,jj , (v.5) и при этом функционал энергии рассматриваемой системы преобразуется по следующему закону: "(И). = \E[u(t,r)]t (v.6) то показатель а параметра преобразований Л определяет критический индекс системы дифференциальных уравнений в частных производных. Критический индекс указывает на возможность формирования сингулярности в системе эволюционных дифференциальных уравнений при решении задачи Коши (или начально-краевой задачи): если а < О, то система уравнений называется подкритической и изначально гладкие регулярные решения остаются всегда гладкими в процессе эволюции; если а > 0, то система называется надкритической, в этом случае возможно существование решений, приводящих к формированию сингулярности за конечное время на малых пространственных масштабах; при достаточно малых начальных данных, задача Коши глобально разрешима по времени; при а = О, то система называется критической и о возможности формирования сингулярности нет определенных указаний. Таким образом, критический индекс определяется трансформационными свойствами функционала энергии при масштабировании пространственных координат и времени и является индикатором возможности образования син-гулярностей при эволюции ограниченных и гладких начальных распределений с конечной энергией. Исследования математических аспектов образования сингулярностей в надкритических системах нелинейных эволюционных уравнений приобрели особую актуальность с начала 90-х годов XX века в связи с задачей коллапса (образования черных дыр) безмассовых полей в эйнштейновской теории гравитации. Процессы формирования сингулярности активно изучаются в теории гравитации, поскольку пространственно-временные сингулярности являются наиболее характерными особенностями уравнений Эйнштейна [18]. Одной из интересных, до сих пор полностью не исследованных задач теории гравитации является задача гравитационного коллапса полей материи, при котором могут возникать черные дыры - так называются области пространства-времени, в которых гравитационное поле настолько сильно, что не позволяет даже свету покинуть эти области, а границы таких областей пространства-времени, называют горизонтами событий [19]. Внутри черной дыры формируется пространственно-временная сингулярность, что выражается в том, что некоторые компоненты тензора кривизны Римана, вычисленного по метрике данного кол лансирующего пространственного-временного многообразия, становятся расходящимися функциями в окрестности некоторой точки или области. Тип образующейся сингулярности модельно зависим и гравитационный коллапс различных полей материи приводит к различными сценариям формирования сингулярности. Отметим также, что при гравитационном коллапсе процесс формирования сингулярности скрыт от гипотетического внешнего удаленного наблюдателя под горизонтом событий. Одной из наиболее изучаемых проблем в данной области исследований в последние 15 лет стала задача коллапса безмассовых полей материи, т.е. полей, не имеющих массы покоя (самый общеизвестный пример такого поля - это электромагнитная волна). Исследование этой проблемы было инициировано пионерской работой М. Чоптюка [20], в которой численно изучалась самосогласованная задача гравитационного коллапса безмассового скалярного поля, т.е. численно решалась полная сферически симметричная система уравнений Эйнштейна и уравнений для скалярного поля. Скалярные поля в природе пока не обнаружены экспериментально, но они являются неотъемлемой частью практически всех основополагающих физических теорий и очень удобны для изучения в модельных задачах. В работе [20] было, в частно- сти, установлено, что в такой задаче возможно образование ничтожно малых черных дыр с произвольно малой массой при коллапсе сферически симметричной тонкой оболочки из безмассового скалярного поля (полученный тип решений был назван Тип-ЇІ). Это был совершенно неожиданный результат, поскольку еще с 40-х годов XX века было известно, что в случае гравитационного коллапса остывших массивных звезд (которые состоят из массивных полей материи - частиц, имеющих ненулевую массу покоя, таких как протоны, нейтроны и т.д.) возможно возникновение черных дыр с массами, строго большими, чем чандрасекаровский предел (около 1.2 масс Солнца) [19], [21]. Все вышесказанное относительно коллапса безмассовых полей относится к случаю, когда безмассовое скалярное поле является свободным, т.е. без потенциала самодействия. Если рассмотреть случай самодействующих безмассовых полей, то картина гравитационного коллапса еще более усложняется. Дальнейший прогресс в этой области был связан с изучением гравитационного коллапса поля Яига-Миллса [22], [23]. Поле Янга-Миллса является одним из самых физически интересных безмассовых самодействующих полей. Это векторное поле, вектор-потенциал которого имеет два типа индексов - пространственно-временной и внутренний, групповой индекс, определяющий калибровочную группу. Поле Янга-Миллса впервые было введено в теории электрослабых взаимодействий [24]; в настоящее время это поле - неотъемлемая часть всех реалистических полевых моделей. Согласно общим принципам, калибровочные поля преобразуются по неприводимым представлениям компактных калибровочных групп. В некотором грубом смысле поле Янга-Миллса можно считать обобщением электромагнитного поля на случай более высоких энергий. Но, в отличие от электромагнитного поля, которое обладает калибровочной симметрией относительно абелевой группы (7(1), поле Янга-Миллса преобразуется но присоединенному представлению неабелевых калибровочных групп, например, группы SU(2) в самом простейшем случае. Генераторы неабеле- вых групп, как известно, не коммутируют между собой, и на языке полей это приводит к появлению в лагранжиане и в уравнениях движения членов с самодействием. В результате уравнения, описывающие распространяющиеся волны, оказываются нелинейными волновыми уравнениями в отличие от электромагнитных волн, где калибровочная группа С/(1) абелева и никаких нелинейных членов самодействия не возникает. Исследование задачи коллапса в системе самосогласованных уравнений Эйнштейна-Янга-Миллса (ЭЯМ) привело к обнаружению нового типа поведения решений, названного Тип-1. Этот тип коллапсирующих решений характеризуется тем, что в спектре масс образующихся черных дыр опять, как и в случае коллапса массивных звезд, имеется массовая щель. Иными словами, образующиеся таким образом черные дыры не могут иметь массу, меньшую некоторого порогового значения. Выяснилось также, что если для рассматриваемой системы безмассовых полей возможны коллапсирующие решения Типа-1, то и коллапсирующие решения Типа-Н тоже возможны, но при несколько иных начальных данных, обратное же утверждение неверно. Оказалось, что коллапсирующие решения Типа-1 имеют место, если данная система уравнений Эйнштейна с полями материи допускает частицеподобные решения, т.е. асимптотически плоские всюду регулярные стационарные решения с конечной энергией. Как правило, такие стационарные решения оказываются неустойчивыми относительно малых возмущений. И вот в этих случаях возможно образование черной дыры по Типу-1 с наименьшей возможной (пороговой) массой, равной энергии основного стационарного решения. В случае системы ЭЯМ таким основным неустойчивым стационарным решением оказалось регулярное решение с одним узлом функции Янга-Миллса, впервые полученное Бартником и МакКиноном [25]. Более того, оказалось, что это решение играет роль промежуточного аттрактора, к которому приближаются коллапсирующие решения Типа-1, приводящие к появлению черной дыры [22], [23], [26], [27]. Заметим, что уравнения Эйнштейна без материи не имеют несингулярных, "частицеподобных"решений, так же как и поля Янга-Миллса в плоском пространстве-времени [28], [29]. Причины отсутствия таких решений лежат в масштабной инвариантности уравнений Янга-Миллса в плоском пространстве-времени. При наличии гравитации (уравнения ЭйнштеЙиа-Янга-Миллса) такая инвариантность нарушается, физически это обусловлено неустойчивым равновесием между "самоотталкивающим"полем Янга-Миллса и притягивающим гравитационным полем. Из приведенных качественных рассуждений следует, что для существования частицеподобных решений необходимо наличие второго поля, приводящего к притягивающей силе и нарушающего масштабную инвариантность полевых уравнений. В качестве такого поля, нарушающего масштабную инвариантность, также можно рассмотреть ди-латонное поле - это поле, возникающие в теории суперструн и описывающее дилатации (растяжения) струны в пространстве-времени размерности 10 или 26. После процедуры компактификации лишних измерений в низкоэнергетическом пределе гетеротической струны дилатон Ф - это скалярное поле, которое взаимодействует с полем Янга-Миллса FafllJ благодаря члену в лагранжиане ехр[Ф]Га(г,/Fa^. Отметим, член с дилатоном в экспоненте играет роль переменной константы связи с полем Янга-Миллса. Дилатон также называют "скалярным гравитоном", так как система полей Янга-Миллса с дилатонным полем в плоском пространстве-времени обнаруживает ряд свойств, схожих с самогравитирующей системой ЭЯМ. Именно система уравнений, описывающая взаимодействующее поле Янга-Миллса с дилатонным полем в плоском пространстве-времени и являлась основным объектом исследования в настоящей диссертации. В работе [30] было получено счетное множество частицеподобных решений системы уравнений Янга-Миллса с дилатоном (ЯМд). Такие решения были получены и для уравнений Эйнштейна-Янга-Миллса с дилатоном [31], [32]. Это обстоятельство свидетельствует о доминирующей роли поля Янга- Миллса в указанных системах. Отметим, что частицеподобные решения, присущие этим моделям, неустойчивы относительно линейных возмущений [30], [33]- [36]. Таким образом, есть множество оснований полагать, что основные свойства решений системы уравнений ЯМд математически эквивалентны свойствам коллапсирующнх решений в самогравитирущих системах нелинейных безмассовых полей. Система ЯМд в плоском пространстве-времени чрезвычайно удобна для численных расчетов, так как позволяет просчитать эволюцию решений вплоть до образования сингулярности, тогда как в случае гравитационного коллапса это возможно лишь вплоть до образования горизонта событий черной дыры. Продолжая эту цепочку аналогий схожести задачи гравитационного коллапса и образования сингулярностей в системе ЯМд отметим, что в последние годы было действительно осознано, что многие свойства поведения коллапсирующнх решений в случае гравитационного коллапса не есть свойства только уравнений Эйнштейна, а являются общими для целого широкого класса так называемых надкритических систем [17]. Как показали дальнейшие исследования, роль гравитационного поля в таких системах не является определяющей; качественно похожие закономерности были обнаружены при численном моделировании процесса формирования сингулярности в решениях уравнения Янга-Миллса в плоском пространстве-времени Минковского размерности 5 + 1 [37], [38] и многих других. Базируясь на этом наблюдении, было выдвинуто предположение [39], что все основные свойства гравитационного коллапса безмассовых полей, такие как критическое поведение решений, универсальность, самоподобие, (подробнее об этом ниже) изначально открытые на уравнениях Эйнштейна, являются основными свойствами для широкого класса надкритических уравнений в частных производных [17],[37]. Этот класс включает в себя уравнения Эйнштейна, уравнения Янга-Миллса в пространстве Минковского размерности 5 + 1, нелинейные а- модели [38], [40] и многие другие. Как будет показано ниже, система взаимодействующих полей Янга-Миллса с дилатоиом является надкритической и, более того, наиболее общим представителем класса надкритических систем. Приведем некоторые важные результаты, полученные при исследовании коллапса безмассовых полей материи в самосогласованной системе уравнений Эйнштейна с полями материи [20]—[45]: универсальность: при одно параметрическом задании начального распределения поля, зависящего от параметра р, существует критическое значение этого параметра р*, разделяющее два типа решений. Первое, при р < р*, такое что, волна поля сжимается к г = 0 и далее рассеивается по направлению к г = со, и эволюция поля описывается волновым (линейным) уравнением. Второй тип решения, при р > р*, характеризуется тем, что конечным этапом эволюции является формирование черной дыры: при некотором значении гвн неограниченно возрастает метрическая функция за конечное время Т. критическое поведение решений. При исследовании эволюции начального распределения поля с параметром р, принадлежащем окрестности р*, было обнаружено, что все решения до того как рассеяться или сформировать черную дыру, проходят через определенный этап своей эволюции, в течение которого они приближаются к некоторому промежуточному аттрактору. Такой универсальный промежуточный аттрактор называют критическим решением. В зависимости от рассматриваемых моделей, были обнаружены следующие свойства критических решений: - непрерывная самоподобность решений: критическое решение является автомодельным решением, т.е. все безразмерные полевые характеристики Ф(і,г) зависят не от переменных г и і по отдельности, а от комбинации r/l(t) = - автомодельной переменной, Ф(,г) = Ф(), и остаются подобными самим себя в течении некоторого промежутка времени; - дискретная самоподобность решений: решения с начальным распределением поля, принадлежащим окрестности р* эволюционируют к критическому решению, проявляющему на малых пространственно-временных масштабах свойство, при котором все безразмерные полевые характеристики ^(t,r) повторяют сами себя через определенный промежуток времени Д на все меньших пространственных масштабах. Например для модели, рассмотренной в [20] Ф(,г) = Ф(е-"Лг,е-"дг), где п -целое число иА = 3.44; В некоторых моделях критическим решением является стационарное (периодическое) решение, при этом формирование черный дыры соответствует типу-1. закон масштабирования массы образующейся черной дыры, соответствующий Типу-11 формирования черной дыры, и заключающийся в том, что для начальных данных, приходящих к формированию черной дыры, с значением начального параметра р > р*, принадлежащего окрестности р*, масса черной дыры определяется соотношением: М ос (р—р*)1, где параметр 7 - критическая экспонента, зависит от рассматриваемой модели, но не зависит от типа начального распределения поля. Как отмечалось выше, основные свойства гравитационного коллапса, являются общими для широкого класса надкритических систем нелинейных уравнений, включающего полевые модели без гравитации. Интересны такие модели тем, что эволюцию решений можно проследить вплоть до формирования сингулярности. Одним из важнейших вопросов в динамике формирования сингулярности является вопрос об асимптотическом профиле решений, когда t —> Т. В большинстве случаев для ответа на этот вопрос решения исследуются в измененных переменных, масштабирующих эволюционные решения и ищутся предельные кривые, к которым притягиваются решения в области формирования син гул яркостей. Типичным для сингулярностей, формирующимся за конечное время Т < со, являются асимптотические профили, описываемые автомодельными решениями исходных уравнений [47]. Во многих случаях автомодельные решения служат своеобразным "центром притяжения "широкого множества решений данного уравнения (или системы), а так же решений большего класса других уравнений, полученных за счет "нелинейных возмущений"исходного [1], [46], [47], [48]. Например, в теории диссипативных структур автомодельные решения называют "собственными функциями "нелинейной диссипативной среды, так как они определяют универсальные характеристики тех процессов, которые могут в ней устойчиво развиваться [1], [2], [3], [49], [50]. Конкретный вид автомодельных решений определяется из условий инвариантности уравнений относительно некоторых преобразований. В общем случае семейства инвариантных решений находятся путем групповой классификации уравнения (или системы), которая позволяет выделить все классы уравнений рассматриваемого вида, инвариантных относительно специальных групп преобразований. В приведенных выше примерах формирования сингулярностей в решениях уравнений Янга-Миллса в пространстве Минковского размерности 5 + 1 и нелинейных ег-моделей было установлено [39]-[41], [51], [52], что исследуемые уравнения (или системы) обладают счетным множеством автомодельных решений, содержащих единственное устойчивое решение, которое и является универсальным асимптотическим профилем в процессе формирования сингулярности: все решения, становящиеся сингулярными за конечное время Т, приближаются к этой конфигурации при t — Т, являющейся устойчивым автомодельным решением нелинейного эволюционного уравнения (или системы уравнений). При изучении надкритических систем так же изучались пороговые коифи- ryрации: одноузловые стационарное или автомодельные решения, играющие роль барьера в функциональном пространстве решений, разделяющего решения с последующим образованием сингулярности и решения, остающиеся регулярными. При исследовании динамики нелинейных систем особую роль играют стационарные решения соответствующих нелинейных уравнений. Являясь точками локального экстремума функционала действия, такие стационарные решения также могут претендовать на роль глобальных или промежуточных аттракторов в соответствующей эволюционной задаче Коши. Таким образом, при исследовании динамики формирования сингулярно-стей особую роль играют автомодельные и стационарные решения соответствующих нелинейных уравнений, как возможные глобальные или промежуточные аттракторы -промежуточные асимптотики решений в некоторых областях, в которых решения не зависят от деталей начальных и/или граничных условий, но в которых система может находится далеко от состояния равновесия [1], [39], [53]. Суммируя вышеизложенное, сформулируем задачи, возникающие при исследовании надкрических систем: нахождение стационарных решений (если их существование допускает исследуемая система), проведение анализа их устойчивости; нахождение автомодельных решений (если их существование допускает исследуемая система), проведение анализа их устойчивости; моделирование процесса формирование сингулярности для широкого класса начальных данных; исследование эволюционных решений, становящихся сингулярными за конечное время Г, в асимптотической области при t —> Т и в окрестности сингулярности; исследование роли стационарных и автомодельных решений в динамике формирования сингулярностей, как возможных промежуточных аттракторов и пороговых конфигураций, разделяющих решения с последующим образованием сингулярности и решения, остающиеся всюду регулярными (рассеяние). Исследование процесса формирования сингулярности в решениях нелинейных уравнений связано как с качественным анализом, так и с численным решением возникающих задач. Например, для нахождения автомодельных и стационарных решений исследуемых систем требуется решение краевых задач для систем нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений. При анализе устойчивости этих решений, возникают задачи Коши для системы нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений. А соответствующие задачи на определение неустойчивых мод требуют решения задачи на собственные функции и собственные значения. Исследование процесса формирования сингулярности в эволюционных решениях связано с необходимостью создания адаптивных алгоритмов для решения начально-краевой задачи для системы нелинейных уравнений в частных производных. В настоящей работе для численного решения краевых задач на полубесконечном интервале для систем обыкновенных дифференциальных уравнений использовались метод пристрелки по параметру и непрерывный аналог метода Ньютона [54], [55], [56]. Метод пристрелки по параметру заключается в замене краевой задачи на задачу Коши с начальными условиями так, чтобы решения на бесконечности удовлетворяли краевым условиям. Для численного решения задачи Коши системы уравнений второго порядка сводятся к системам уравнений первого порядка, для решения которых в диссертации применялись варианты метода Рунге-Кутты и метода Адамса [57], [58]. Краевые задачи для систем обыкновенных дифференциальных уравнений и задача Штурма-Лиувилля решались на основе непрерывного аналога метода Ньютона (НАМН). Метод введения непрерывного параметра, предложенный в работе [54], основан на сведении исходной задачи к эволюционной, при этом соответствующие дифференциальные уравнения были получены как непрерывные аналоги одношаговых итерационных процессов. Непрерывный аналог метода Ньютона разрабатывался в работах [55], [56] и позволил исследовать широкий круг нелинейных задач физики [55],[56], [59] - [69]. Для численной реализации НАМН в диссертации использовалась дискретизация по "времени"на основе метода Эйлера, для которого сходимость на конечном отрезке изменения временного параметра была рассмотрена и обоснована в работах [55], [56]. Пространственная дискретизация может быть осуществлена на основе метода конечных элементов [70], [66] -[68], [49], [69] и на основе метода конечных разностей [71], [72]. В диссертации использовался второй подход [73]. Анализ устойчивости стационарных и автомодельных решений, выполненный в диссертации, основан на методе фазовых функций [74], [75], [77]-[81], позволяющий определять число связанных состояний в поле заданного потенциала, которые в свою очередь определяют число неустойчивых мод стационарного (автомодельного) решения. Выбор этого метода связан с возможностью сведения, в рамках линейной теории возмущений, задачи на нахождение возмущений решений уравнений ЯМд к двухканальпому уравнению Шредингера для радиальной волновой функции S -волны [30]. Математической основой метода фазовых функций является возможность сведения линейного однородного уравнение второго порядка, каким является уравнение Шредингера, к нелинейному уравнению первого порядка - уравнению Риккати. Физическое содержание такого подхода состоит в том, что удовлетворяющая уравнению Риккати функция (фазовая функция) имеет смысл сдвига (по сравнению со случаем свободного движения) фазы волновой функции при обрезанном в этой точке потенциале [76], Двух-канальное рассеяние описывается двумя фазовыми функциями и функцией, которую обычно называют "параметром смешивания"[75], [77], [82]. Для исследования эволюционных решений системы уравнений ЯМд ставится начально-краевая задача, для которой строится консервативная разностная схема, сохраняющая энергию системы в процессе эволюции [71], [72]. Разностный аналог закона сохранения был получен на основе метода энергетических неравенств [S3]. При численном моделировании процесса формирования сингулярности возникают следующие вопросы: как выбрать пространственную и временную сетки, какой выбрать адаптивный алгоритм, позволяющий сгущать сетки в окрестности особенности в зависимости от близости к времени разрушения решения Т [84], [85]. Для численного моделирования процессов формирования сингул яри остей используются адаптивные методы сгущения сеток [86], с различными процедурами адаптации сеток [84]. Адаптация сетки может быть основана, например, на свойстве масштабной инвариантности решений [87]. В работах [50], [88] предложен подход к построению процедуры адаптации сеток, согласованный с пространственно-временной структурой автомодельного решения. В диссертации изучался процесс формирования сингулярности в центре симметрии г = 0, характеризующийся тем, что при стремлении временной независимой переменной і к некоторому конечному значению Т > 0 (заранее не известному) неограниченно возрастает вторая производная функции Янга-Миллса и неограниченно убывает дилатонная функция в точке г = 0 [89]. Для численного моделирования этого процесса, а именно, построения решений на малых пространственных, в окрестности центра симметрии г = 0, и временных, при t — Т, масштабах строится адаптивный алгоритм, учитывающий самоподобный характер поведения функции Янга-Миллса. Для исследования роли стационарных решений в динамике формирования сингулярности, в диссертации рассмотрена задача распада этих решений. Начальными условиями в этой задаче выбирались возмущенные стационар- ные решения связанной системы ЯМд, где в качестве возмущений брались собственные возмущения. Одной из особенностей стационарных решений системы ЯМд (которые могут быть параметризованы через число нулей N функции Янга-Миллса [30]) является быстрое смещение асимптотической области к большим значениям г с увеличение номера JV, что обуславливает разработку адаптивных алгоритмов для проведения эволюционных расчетов. Для расчетов в диссертации использовались квазиравномерные сетки по пространственной переменной, сгущающиеся к центру симметрии г = 0 и вводилось степенное масштабирование по радиальной координате [90]. Для ускорения расчетов появилась необходимость использования параллельных алгоритмов решения трехдиаго-нальных систем, возникающих после дискретизации задачи. Началом разработки методов решения трехдиагональных систем принято считать работу Томаса [91]. Полное описание метода прогонки и его разновидностей, пригодных также для параллельных методов, можно найти в [92]. Первый параллельный алгоритм был предложен Хокни и Голубом в работе [93]. Параллельным и векторным методам решения линейных систем посвящена книга [94], где дан краткий обзор параллельных методов решения трехдиагональных и ленточных систем. Обширный список работ по алгоритмам параллельного решения трехдиагональных систем с 1965 г. по 1999 г. приведен на сайте . В работе [95] был предложен метод разделения системы уравнений, предназначенный для случая, когда число процессоров намного меньше числа уравнений. В результате строится вспомогательная редуцированная система, причем каждому процессору соответствует одно уравнение этой системы. В работе [96] было установлено диагональное преобладание этой системы, тогда как численная устойчивость алгоритма Ванга была проанализирована в работе [97]. При моделировании задачи распада стационарных решений использовал- ся метод разбиения исходной системы уравнений для дальнейшего распараллеливания, предложенный в [Щ; этот метод мы будем ниже называть «Метод разбиения системы». Для распараллеливания мы использовали технологию МРІ (Massage Passing Interface), которая позволяет проводить вычисления на кластерах с многопроцессорной архитектурой. Расчеты проводились на кластере Лаборатории информационных технологий ОН ЯП. Основные свойства системы уравнений Янга-Миллса с дилатоном Связанная система взаимодействующих полей Янга-Миллса с дилатоном (ЯМд) в пространстве-времени Минковского размерности 3+1 описывается функционалом действия [30] 4тгУ \2У ' 4р2 "" S-h [ кдФ? - ^№""F At Л, (v.7) где Ф - дилатошюе поле, Fafil> - тензор поля Янга-Миллса, греческие индексы принимают значения от 0 до 3, латинские индексы - от 1 до 3, к и g дилатонная и калибровочная константы соответственно. В сферически симметричном случае дилатонное поле и поле ЯМ могут быть описаны двумя функциями Ф(,г) и f(t,r): Ф = Ф(*,г), ^ = 0, ^ = 6^(/(4,7-)-1), (v.8) где Л" - потенциалы поля ЯМ, єаік ~ структурные константы группы SU{2). После подстановки соотношений (v.8) в (v.7) и замены Ф — Ф/к, г ~* {k/g)r, t —> (k/g)t и S —» gkS в действии исчезают зависимости от двух параметров к и д. Интегрирование в (v.7) по угловым переменным позволяет представить эффективное действие в следующем виде: A^-IrV + e^fc'-tf + iy dr dt, (v.9) Тогда уравнения движения /и + /,Ф< - Л, - ЛФг = /('~/}, (v. 10а) *.-*--Т = -7^^ + 1^)' (v'10b) вытекают из (v.9) как необходимое условие экстремума функционала. Система нелинейных уравнений (v. 10) имеет две особые точки г = 0 и г = со. Нами будут рассматриваться только решения, ограниченные в этих * точках. Требованию регулярности при г — 0 удовлетворяют решения, представи-мые в виде ряда в окрестности этой точки f(t,r)r^0 = ±l-b(t)r2 + O(r4), Ф(*, г)г_0 - Фо(і) + Из разложения (v.ll) для /(t,г) и Ф(,г) получаем краевые условия в точке г = 0 /(i,r = 0) = 1, /r(,r = 0) = 0, Фг(і,г = 0) = 0. (v.12) Асимптотическое поведение регулярных решений при г —» со имеет следующий вид: Жг) = ±(і~^ + 0(г-2)), Ф(*,г)г_»оо = Фоо - - + 0(Г~4), (V.13) где с, d и Фоо - константы. Из (v. 13) получаем краевые условия на бесконеч- ности: lim/(і, г) = ±1, lim/r(,r) = 0, г—»00 г—*oo lim Ф(2, г) = Фоо, lim ФМ, г) - 0. (v. 14) Г—»00 г—00 Отметим важное свойство системы ЯМд. Так как подынтегральная функция (v.9) не содержит явно время , то энергия Е= J ]1гЧгЧ\гЧ?+ **((< rfr, (v. 15) + ft2 + Lu2 , „Ф / г 2 . f 2 . (f " 1) является сохраняющейся величиной, т.е. dE/dt = 0. Для определения критического индекса системы уравнений ЯМд исследуем ее трансформационные свойства относительно масштабных преобразований. Уравнение (v. 10а) инвариантно относительно преобразований *->! r^~, (V.16) т.е. если функции /(, г), Ф(, г) - решения (v.lOa), то решениями также являются функции Жг)=/Ц,0, *(*,г)=ф(А,д. (v.i7) Уравнение (v. 10b) не инвариантно относительно преобразования (v. 16), однако, как было показано в нашей работе [89], оно содержит скрытую масштабно-инвариантную часть. Действительно, после представления дилатонной функции Ф(і,г) в следующем виде: (, г) = ф{и г) + 2 In г, (v.18) система уравнений (v. 10), переписанная относительно функций f(t,r), ф{Ь,г) становится инвариантной относительно масштабных преобразований. Выделение масштабно-инвариантной части ф{і,г) у дилатонной функции Ф(Ь,г) обнаруживает схожесть с выделением из компонент метрики в коллапсируго-щих уравнениях Эйнштейна масштабно-инвариантных и масштабно не инвариантных частей [101], что еще раз подтверждает справедливость названия дилатонного поля "скалярным гравитоном". Функционал энергии (v.15) выраженный через функции /(, г), ф(Ь,г) имеет вид ^^^« + 2^42 + ^ в данном случае преобразуется по следующему закону '<М>-«М> = AB[/(i,r),0(t,r)], a = +1. Для исследуемой системы уравнений Янга-Миллса с дилатоном, критический индекс а = +1, т.е. система является надкритической и допускает существование решений, приводящих к формированию сингулярности. Инвариантность уравнений (v,10) относительно масштабных преобразований, при одновременном преобразовании дилатонной функции (v. 18), означает, что система уравнений может иметь решения, зависящие не от переменных і и г по отдельности, а от их отношения: r/t или t/r (автомодельные переменные). Поскольку система уравнений инвариантна относительно преобразования трансляции по времени, можно ввести положительную постоянную Г, а автомодельную переменную представить в виде: Т — t . (v.20) При исследовании процесса формирования сингулярности константа Т может играть роль времени существования решения. Диссертационная работа устроена следующим образом: в первой главе воспроизведено семейство стационарных решений и уточнены значения параметров, характеризующих эти решения, проведен анализ их устойчивости методом фазовых функций. Получены собственные неустойчивые моды (собственные функции и собственные значения) стационарных решений системы связанных уравнений ЯМд на основе непрерывного аналога метода Ньютона. Во второй главе получены автомодельные решения системы уравнений ЯМд и проведен анализ устойчивости полученных решений в линейном приближении. На основе метода фазовых функций показано, что безузловое автомодельное решение устойчиво. В третьей главе исследуется процесс формирования сингулярности в эволюционной задаче Кош и для системы ЯМд, строится консервативная разностная схема и изучается динамика формирования сингулярности для широкого класса начальных распределений поля Янга-Миллса. В четвертой главе приведены параллельные алгоритмы и МР1-подпрог-раммы решения трехдиагональных систем, возникающих после дискретизации эволюционных задач, представленных в диссертации. Представлены результаты моделирования некоторых тестовых задач и проиллюстрирована эффективность выбранных параллельных алгоритмов. На основе примененных методов проведения параллельных вычислений исследована задача распада стационарных и (отчасти) автомодельных решений связанной системы уравнений Янга-Миллса с дилатоном. В результате найдено множество пороговых (критических) конфигураций, лежащих в функциональном пространстве решений на границе, разделяющей дисперсное поведение решений (рассеяние) и решений с образованием сингулярностей (blow-up). В заключении приведены основные результаты выполненных в диссертации исследований. В качестве примеров на Рис. 1.1 представлены стационарные решения с N=1,2,3,4: слева функции ЯМ /лг(г), справа - дилатонные функции Ф#(г). Заметим, что для проведения анализа устойчивости автомодельных решений, который представлен во второй главе нами будет использоваться метод фазовых функций, его подробное изложение будет представлено в следующем параграфе на примере анализа устойчивости стационарных решений. Решение этой задачи позволило нам апробировать построенный вычислительный алгоритм. Анализ устойчивости стационарных решений. Для проведения анализа устойчивости стационарных решений в рамках линейной теории возмущений применим метод фазовых функций [74], [75], [77]-[81]. Разработанный для задач потенциального рассеяния, этот метод стал успешно применяться те только в задачах квантовой механики, но и при решении и исследовании нелинейных эволюционных уравнений [78]. Устойчивость решений связана со спектром соответствующей задачи Штур-ма-Лиувилля: отрицательные собственные значения соответствуют неустойчивым модам исследуемых решений. В физической аналогии с задачами рассеяния это соответствует наличию "связанных состояний". По-этому, для анализа устойчивости нами будет применяться метод фазовых функций в части определения числа "связанных состояний". В основе задачи многоканального потенциального рассеяния лежит матричное радиальное уравнение Шредингера. В нашем случае, для получения двухканалыюго уравнения Шредингера необходимо записать задачу Штурм а-Л иу ви л ля в самосопряженном виде. Для исследования устойчивости некоторого заданного стационарного решения (/ЛГ(Г),ФІ\Г(Г)) в рамках линейной теории возмущений, рассмотрим сферически симметричные возмущения вида: Я ,г) = Mr) + є ехр[-Фдг/2] v(r) eiut, А/2 Ф(і,г) = Ф г) + є — и{г)еги, (1.10) где є малый параметр. Полагая x = {u- v) (верхний индекс Г всюду обозначает транспонирование) запишем эффективное действие (вторая производная функционала (v.9) по є в точке є = 0) для возмущений u(r),v(r) в виде S = J{(x+y(xy + P(r)(x+Y(ia2)x + X+V(r)x-u2x+x) dr + u\ (1.11) о где Ст2 - матрица Паули, а элементы 2-матрицы V и функции р(г) выражаются через решение /JV(I )) $iv(r) следующим образом ехр(Фдг) Vii(r) = /"" V12W = V2l(r) = ,,2 , (/ -1)2 [г ехр(Флг/2)/ ] , уД\ 12 , 3/-1 Vn(r) = «ФХг + тФіг + р(г) = -2 ехр(ФЛг/2)/Лг/ \/2г Задача на собственные значения, вытекающая из необходимых условий экстремума функционала (1.11), является несамосопряженной (см. ниже). Для ее приведения к самосопряженному виду, положим [30] Здесь потенциал С/ = ехр(—гЛо"2) ехр(г.Л 72)- На Рис. 1.2 демонстрируется поведение матричных элементов Uij, соответствующих стационарным решениям с N — 1, 2,3,4 нулями. Положим и2 — А 0. Тогда необходимые условия безусловного экстремума функционала (1.15) по совокупности переменных (Фх,Ф2,А) приводят к матричной задаче Штурма-Лиувилля -Ф" + /(г)Ф-ЛФ = 0, (1.16) на полуоси 0 г со с граничными условиями Фі (0) = 0, Ф2(0) = 0, Фі(оо) = 0, Ф2(оо) = 0 (1.17) и условием нормировки оо оо /(Ф)= /ф+Ф г-1= /"(Ф? + Фг) dr-l = 0. (1.18) о о Полученное уравнение (1.16) имеет вид двухканального уравнения Шредин-гера для S -волны: -Ф"4- 7(г)Ф-;2Ф = 0 при условии к? = А, и для проведения анализа устойчивости может быть применен метод фазовых функций, позволяющий определять число связанных состояний в поле заданного потенциала. В этом подходе, число неустойчивых мод стационарного решения будет определяется числом "связанных состояний". Математической основой метода фазовых функций является хорошо известный в теории дифференциальных уравнений факт, что линейное однородное уравнение второго порядка, каким является уравнение Шредингера, может быть сведено к нелинейному уравнению первого порядка - уравнению Риккати. Физическое содержание такого подхода состоит в том, что удовлетворяющая уравнению Риккати функция (фазовая функция) имеет смысл сдвига (по сравнению со случаем свободного движения) фазы волновой функции при обрезанном в этой точке потенциале [76]. Проведем анализ устойчивости автомодельных решений в рамках линейной теории возмущений. Наличие отрицательных значений в спектре линеаризованной системы уравнений связано с неустойчивостью исследуемых решений. Рассмотрим задачу устойчивости автомодельных решений на интервале Є [1,+оо) и введем дополнительную переменную т так, чтобы множество прямых — const было ортогонально к множеству прямых г — const: = , r = -In4/(T-i)2-r2. 2.14) Тогда функционал действия (v.9) в переменных }т и подстановки (v. 18) для дилатошюй функции имеет вид: Рассмотрим сферически симметричные возмущения в виде: /Ы) = МО W2(2 - 1МКЛ ФЫ) = ф $ + ее- Ш2 /ё и(Ое\ (2.16) где (/JVK), JV(0) - автомодельные решения задачи (2.7), (2.8), (2.11), параметризованные через число нулей N функции Янга-Миллса /(). Для дальнейшего проведения анализа устойчивости на основе метода фазовых функций уравнения на возмущения необходимо привести к стандартному виду двухканального уравнения Шредингера. Для этих целей введем переменную р следующим образом: Тогда, в координатах р рассматриваемый интервал Є [1, со) становится р Є (—00,0]. Следуя процедуре, предложенной в работе [30], запишем эффективное действие (2.15) для возмущений в виде: S -Jdrdpe2 [ОДх),, + X+UX - (У2 - 1)Х+Х] , (2.18) где х = (хіО) Хъ{р))Т и функция А(р) определяется следующим образом ( т2 - матрица Паули): Для безузлового автомодельного решения (/ъ(р),Фо{р)), матричные элементы С/ц(р), С/іг(р), U22{p) представлены на Рис. 2.2. Отметим,что решениям с N 0 соответствуют потенциалы Uij такой же формы. Анализ устойчивости автомодельных решений проведем на основе метода фазовых функций, который подробно изложен в Главе 1. Как отмечалось выше, в случае двухканалыюго рассеяния процесс описывается двумя фазовыми функциями Si(p), 52(р) и функцией s{p) "параметр смешивания". Уравнения, которым удовлетворяют эти функции имеют вид: Задача Коши (2.23), (2.24), (2.30) решалась численно на основе метода Адамса [58]. Полученные фазовые функции 5і(/о), 52(р) и "параметр смешивания "є (р) для автомодельного решения с N = 0 представлены на Рис. 2.3. Согласно методу фазовых функций, число "связанных состояний "определяется суммой связанных состояний для фазовых функций 6± и 2 (См. Рис. 2.3): Для исследования процесса формирования сингулярности в системе уравнений Янга-Миллса с дилатоном рассмотрим следующую постановку начально-краевой задачи для системы нелинейных волновых уравнений (3.1)-(3.2). Начальные условия. Поскольку уравнения ЯМд допускают два вакуумных состояния для поля ЯМ / = ±1, то мы рассмотрим два типа начальных распределений для поля ЯМ f(t = 0,r) = q(r), отличающихся от вакуумных состояний в ограниченной области, лежащей вдали от г — 0. Первый тип начального распределения, соединяющий топологически идентичные вакуумные состояния /==+1, выберем в виде гауссиана q (г) = 1 - Л г2 exp [ a{r - R)2] , 3.3) где Л, а и R - параметры. Второй тип начального распределения функции ЯМ, соединяющий топологически различные вакуумные состояния поля ЯМ / = +1 и / = -1, возьмем в виде кинк-распределения с параметром a 1 — от В качестве второго начального условия для функции Янга-Миллса рассмотрим два вида условий: симметричное по времени и в виде локализованной волны, распространяющейся к центру симметрии г = 0. Симметричное по времени начальное условие для функции ЯМ имеет вид /(0, г) = q (г), /,(0, г) = /(г) = 0. (3.5) Начальное распределение для дилатонной функции получается интегрированием уравнения (3.2) по радиальной координате при t = 0. Отметим, что подобный способ определения начального распределения дилатошюго поля характерен при решении уравнений Эйнштейна, когда дилатон играет роль соответствующей метрической функции. Полагая в (3.2) ФІ(0,Г) = 0, Ф«(0,г) = 0 и учитывая условия (3.7), находим функцию Ф(0,г) = Ф(г) как решение задачи Коши с начальным условием в точке г = 0: 2фо/ еФ _ф"_ ФУ + (я(г?-1) v 2t 2г2 Ф(0) - Ф0/ (0) = 0. (3.6) Для изучения поведения решений вблизи г = 0 рассмотрим в качестве начального условия для поля ЯМ локализованную волну, распространяющуюся только по направлению к г = 0: Исследование процесса формирования сингулярности в точке г = 0 требует изучения поведения решений на малых временных (t — Т) и пространствен ных (г — 0) масштабах. Одной из особенностей стационарных решений системы ЯМд является быстрое смещение асимптотической области к большим значения г с увеличение номера N, что, в свою очередь, обуславливает разработку адаптивных алгоритмов для проведения эволюционных расчетов на больших пространственных масштабах при изучении задачи распада стационарных решений (которая рассмотрена в следующей главе). Теперь построим разностную схему для начально-краевой задачи (3.10)-(3.13) на неравномерной сетке по переменной х, для которой методом энергетических неравенств [71] получим энергетическое тождество. Для численного решения задачи полубесконечный интервал х є [0, оо) заменим отрезком х [О, ], где Хоо = R . Зададим в области Т = {0 х х 0 t Т} прямоугольную сетку О, = uJh х йт, неравномерную по пространственной координате х и равномерную по временной координате t с шагом т: uh = {ХІ[0,Х00],І О,І,,..ІМ,ХО = 0,ХМ = Х00}, ХІ — я;„і = hi, 1ц — 0,5(hi + hi+i); wr = fe=jV, .7=0,1,...,/ 0 = 0, = 71}. Рассмотрим сеточное функциональное пространство Я , состоящее из функций, заданных на сетке uh. Определим на нем скалярное произведение и норму следующим образом [71], [72]: (j/,v) = умПг, У = \/{У,у) , y,veHh. (3.19) J=I Далее, положим м СУ ] = J2yiVihi 1Ы1 = \/(гм/Ь М-1 [г/, 0 = УМЫ+ъ \[у\\= у/[у, у). Следуя [71], введем следующие обозначения: уі - значения сеточной функции у в узле (xi,tj), yt y{xi,tj+i) и yt = y(xi,tj i); для левой, правой и центральной первых разностных производных по времени: yt — (уІ — Ї/І)/Г уі = (уі — уі)/т, yt = (УІ — УІ)І{2Т)\ для первых разностных производных по z: Jfe = {yi+i yi)/hi+u Ух = (у — УІ-І)/ЛІ, 2/І = (УІ+\ УІ)ІК Для упрощения записи, для сеточных функций будем использовать исходные обозначения f и Ф, а так же введем сеточную функцию ip = ехр{Ф/2}. Операторы разностного дифференцирования второго порядка для функ ций / и Ф представим в виде (A{tf)i = ихГЧ ккі, (ЛФ)І = wcf aj і = 0,1,..., M; (Л Ф), = ( 1+"Ф Ь, = l,2,...,Af-l, где = - 0.5/ij, ХІ = Х{ -Ь 0.5ЛІ+І- Вводя произвольный вещественный параметр т, рассмотрим однопараметрическое семейство схем с весами для задачи (3.12)-(3.15) Mtf - AL (a/ +(1 -2ff)/ +a/) +. (3.20) Л Ф = Л , (стФ + (1- 2о-)Ф + тф) + V2; (3.21) /(0,0:) = /"(яг), /.(0, )=/ Ф(0,х) = Ф(я), Ф((0,а:)-Ф0(а;), /( ,0) = 1, f&xM) = f(xM)1 (3.22) (Л Ф),0 = Л?я (сгФ + (1 - 2а)Ф + тф) о + V20l (3.23) Ф{і,хм) = Ф(хм). (3.24) Функции /(а;) и Ф(х) выбираются так, чтобы погрешность аппроксимации начальных условий f{x) и Ф(х) была величиной 0(т2). Для построения консервативной разностной схемы с выполнением дискретного аналога закона сохранения энергии необходимо определить разностные аналоги выражений V\ (3.16) и Vi (3.17). Потенциальное слагаемое V\ запишем в виде, предложенном в работе [99] для кубической нелинейности = v_G[f)-GU) Vl Р2х f-f где G(f) определяется следующим образом: G(f) = J\u-u )du = (l-y Учитывая, что для иф v получаем выражение для потенциала V\ в виде - (/+/)(28-/2-/2)- о»-») Для определения дискретного аналога V2, умножим скалярно уравнение (3.20) на Д и замечая, что ст/ + (1 — 2сг)/ + с/ = / + ?r2fit, получим (Л/, /,.) - (Л4/, М - "-2(Л4/Ь, Д) - (Vlt Д) = 0. (3.26) Учитывая краевые условия (3.22)-(3.24), после вычисления скалярных произведений получаем равенство для уравнения (3.20) + llvVs - W/dl2 + gllV W + ?/х)2 - j[\/ ( /J,-2+ i[ -w/rfii +Jii (i-/4ii; + ill\S(1"/2)ll-J + ,0 Ф...0+ (. $..). = 0, (3.27) из которого определяем дискретный аналог V i (%Ь = 1 Л/ - 8 Ь {С1 - /2)2 + 2 ! - /2)2 + (1 - /2)2} - gi1-" [/.(Л+А)W(/J(-+/2)] ph{ +1 =] 4 (К2),о = -fj-" (/г,о (До + До) + 2(/?д + /м)) ехР{Ф0}. ж1"" [Л(Л + Л) + 2(/Й + /I,)] Л ехр{Ф;}, г = 1,2,..., М - 1, " Заметим, что при вычислении скалярных произведений нами использовалось равенство ехр{Ф/2} - ехр{Ф/2} = г ехр{Ф/2}Ф(0) записанное с точностью до Э(т2). Для получения разностного аналога закона сохранения энергии умножим скалярно уравнение (3.21) на \Фр и после сложения полученного выражения с уравнением Л х (аФ -Ь (1 — 2 т)Ф + стф) + 2,о = 0, умноженным на (Ф(»),о и уравнением (3.27), после умножения на 2, получаем энергетическое тождество для разностной задачи (3.20)-(3.24): Е\ = 0, (3.28) + 11 / 12 + \\[yj ( pfx + q fx)\\2 - j\[y/i MM2 +y( -i)IIV Mi2. (3.29) Как следует из полученного выражения, величина Е неотрицательна для любых /, /, Ф, Ф, если потребовать а 1/4. Энергетическое тождество (3.28) означает, что при значениях а 1/4 разностная схема (3.20)-(3.24) безусловно устойчива по начальным данным в энергетической норме, определяемой функционалом (3.29), и выполняется дискретный аналог закона сохранения энергии (3.18): Е — Е +1 — Е = ... = Е. Точность построенной разностной схемы проверялась на основе метода Рунге на последовательности вложенных сеток [90]: по пространственной переменной с шагами {hi, hi/2, hi/А], по временной переменной с шагами {г, г/2, г/4}. С целью ускорения расчетов нами применялись параллельная реализация метода встречных прогонок и параллельный алгоритм на основе метода разбиения системы. При решении трехдиагональных систем па двухпроцессорных компьютерах наиболее эффективно использовать метод встречных прогонок, основанный на вычислении левой и правой прогонок, что может быть осуществлено двумя процессорами одновременно, и до осуществления обратного хода оба процессора должны обменяться небольшим количеством информации. Число арифметических действий Q & 8п, где п - число уравнений, такое же, как у метода прогонки. При осуществлении этого метода на двух процессорах, каждый из них делает Q а 4тг арифметических операций, для большого п приводит к практически двукратному ускорению ввиду того, что количество обменов не зависит от размера задачи. Для решения трехдиагональных систем на многопроцессорных компьютерах разработано достаточно много параллельных алгоритмов. Нами использовался «метод разбиения» (partition method), предложенный в работе [98] ввиду его простоты. Ниже приведем краткое описание этого метода, в которое мы внесли небольшие изменения. Идею метода разбиения мы для краткости представим лишь по действиям проводимым с элементами матрицы системы. Соответствующие действия проводятся, разумеется, так же и с правой стороной системы. Уравнения системы (4.9) распределяются между процессорами. Не ограничивая общности предположим, что второй процессор получил уравнения 5-9. Тогда он осуществит следующие эквивалентные преобразования строк матрицы системы (чертами обозначена «область переменных» первого процессора) - прямой и обратный ходы (подробнее см. в [98]): Обозначим число процессоров р и ради простоты предположим, что каждый процессор получил для обработки как минимум два уравнения. Система (4.9) распадается пар групп. Индекс первого уравнения А-го процессора обозначим через Sk и индекс последнего уравнения к-го процессора обозначим через fk, тогда Si — 1, fp = п. Если после вышеуказанных преобразований собрать первые и последние уравнения всех процессоров (например, для второго процессора уравнения выделенные в (4.10)), то мы получим вспомогательную трехдиагональную систему уравнений («interface system») для переменных х31, агд, х32, яд, ..., xSp, х/р исходной системы уравнений (4.9): В [98] доказана также следующая теорема, устанавливающая возможность применения метода прогонки для решения вспомогательной системы (4.11): Теорема 1 Если матрица системы (4-9) имеет диагональное преобладание и полоо/сительные элементы главной диагонали, то этими oice свойствами обладает и матрица системы (4Л1). Теперь уже не сложно описать алгоритм параллельного метода разбиения системы: 1. Каждый из р процессоров выполняет преобразования приведенные выше для соответствующей группы уравнений (строки 12-32 раздела 4.2.2). 2. Коэффициенты вспомогательной системы (4.11) пересылаются одному процессору (строки 47 и S3 раздела 4.2.2), который решает систему (4.11) и пересылает полученные решения xSk и х/к к-му процессору (строки 69 и 85 раздела 4.2,2). 3. Процессор с индексом к определяет остальные неизвестные по формулам Хї = щ 0 ї XSk Cj Xjk j % — S/z "T" 1 j . . j Jk согласно (4.10) (строки 92-96 раздела 4.2.2). Первое решение системы Для однократного решения системы мы используем подпрограмму со следующим названием и входными параметрами: 01 subroutine tridiag_partitioning_solution(a,b,c d,x,n,ne,np2) Для многократного решения следует использовать модифицированные подпрограммы для первого и повторного расчетов. В отличие от метода встречных прогонок, пространство памяти выделенное для элементов верхней и нижней диагонали используется для вспомогательных коэффициентов. Поэтому на выходе используются массивы аиха, аихЪ и auxc. Кроме того матрица вспомогательной интерфейс-системы одна и та же и ее можно сохранить в массивах аа, Ьа и са для повторного счета. По сравнению с подпрограммой одноразового решения, в следующей подпрограмме first„tridiag_partitioning_solution добавлены строки 16, 19, 25 и 31.Анализ устойчивости стационарных решений
Анализ устойчивости автомодельных решений
Начально-краевая задача для системы уравнений ЯМд
Параллельная реализация вычислительной схемы
Похожие диссертации на Численное исследование процесса формирования сингулярностей в связанной системе уравнений Янга-Миллса с дилатоном
