Введение к работе
Актуальность темы. Математическое моделирование физических процессов в полупроводниковых устройствах имеет огромное значение для технических приложений и в последнее время превратилось в быстро развивающуюся область прикладной математики. Современный уровень развития микроэлектронных технологий позволяет создавать полупроводниковые приборы столь малых размеров, что точность, обеспечиваемая упрощенными аналитическими моделями, становится неприемлемой для анализа и проектирования таких приборов. Необходимы математические модели, более полно описывающие физические процессы, происходящие в полупроводнике.
Моделирование процесса переноса заряда в полупроводниковых устройствах основывается на кинетическом уравнении Больцмана для электронной функции распределения. Однако, прямое численное интегрирование полного уравнения переноса Больцмана для носителей заряда в полупроводниках (например, с помощью метода Монте-Карло), требует больших вычислительных затрат. Как показывает практика, приемлемая точность во многих случаях может быть достигнута при использовании уравнений, полученных на основе моментов уравнения Больцмана. Простейший набор таких уравнений - это хорошо известная дрейф-диффузионная модель Schockley и van Roosbroeck'a, состоящая из уравнений неразрывности для носителей заряда и уравнения Пуассона для электрического потенциала.
Надо отметить, что дрейф-диффузионная модель и по настоящее время широко используется при моделировании электронных устройств. Однако возрастающая миниатюризация современных электронных приборов требует более точного моделирования процесса переноса энергии в полупроводниках, что имеет первостепенную важность для описания таких феноменов как горячие электроны, ударная ионизация, генерация тепла и т.п. Следовательно, возникает необходимость расширения общепринятой дрейф-диффузионной модели, принимая во внимание энергию носителей заряда. Эта цель достигается в гидродинамических моделях переноса носителей заряда. Первая гидродинамическая модель была сформулирована в работе Blotekjaer'a и содержала законы сохранения для числа частиц, импульса и энергии носителей зарядов, а также уравнение Пуассона для электрического потенциала.
К настоящему моменту существует довольно много математических моделей, описывающих физические явления в полупроводниковых приборах. Встает вопрос о конструировании численных алгоритмов и их обосновании для нахождения приближенных решений таких моделей.
В данной диссертации рассматриваются две задачи из физики полупроводников: одномерная задача - баллистический диод и двумерная - кремниевый полевой транзистор со структурой металл-проводник (MESFET или metal-semiconductor field-effect transistor) прямоугольной формы и предлагаются новые оригинальные вычислительные алгоритмы. В качестве математической модели взята недавно предложенная A.M. Anile и V. Romano гидродинами-
ческая модель переноса заряда в полупроводниках. Эта модель представляет из себя квазилинейную систему уравнений, записанных в форме законов сохранения. Эти законы сохранения получены из системы моментных соотношений для уравнения переноса Больцмана с помощью так называемого принципа максимума энтропии (или МЕР от Maximum Entropy Principle).
Цель работы. Основной целью данной диссертации является разработка, обоснование и программная реализация новых эффективных вычислительных алгоритмов нахождения стационарных решений гидродинамических моделей переноса зарядов в полупроводниках.
Для достижения поставленной цели в работе решаются следующие задачи:
- построение одного класса дифференциально-разностных моделей для сим
метрических t-гиперболических систем и рассмотрение вопроса о нахождении
решений таких моделей.
разработка и обоснование нового вычислительного алгоритма решения модельной смешанной краевой задачи для уравнения Пуассона;
применение разработанного алгоритма для нахождения стационарных решений в кремниевом транзисторе MESFET;
разработка нескольких подходов для нахождения приближенных решений в задаче о баллистическом диоде;
реализация алгоритмов в виде комплекса компьютерных программ, проведение соответствующих тестовых расчетов и вычислительных экспериментов.
Объектом исследования являются гидродинамические модели переноса заряда в полупроводниках: одномерная задача о баллистическом диоде и двумерная задача, описывающая кремниевый полевой транзистор со структурой металл-проводник.
Предметом исследования являются математические модели, описывающие стационарные решения переноса заряда в полупроводниках, вычислительные алгоритмы, компьютерные программы для нахождения стационарных решений гидродинамических моделей переноса заряда в полупроводниках.
Методы исследования. Для решения поставленных задач использовались аппарат функционального анализа, теории гиперболических и эллиптических уравнений, методы вычислительной математики.
Основные результаты, выносимые на защиту:
Построение дифференциально-разностной модели с использованием техники сплайн-функций для симметрических t-гиперболических систем и рассмотрение вопроса о нахождении решений такой модели.
Разработка и обоснование нового оригинального эффективного вычислительного алгоритма решения модельной смешанной краевой задачи для уравнения Пуассона, основанного на идее метода прямых и методе установления.
Стационарные решения двумерной задачи (кремниевый полевой транзистор со структурой металл-проводник), полученные на основе предложенного вычислительного алгоритма для модельной задачи.
4. Ряд подходов для нахождения приближенных решений в задаче о баллистическом диоде, основанные на сведении задачи к интегральным уравнениям, использовании техники сплайн-функций и схемы предиктор-корректор, применении метода ортогональной прогонки. Приближенные решения этой задачи, полученные на основе предложенных подходов.
Научная новизна работы. Все основные результаты настоящей диссертации являются новыми и состоят в следующем.
Для симметрических t-гиперболических систем построена дифференциально-разностная модель и изучен вопрос о нахождении приближенных решений такой модели.
Разработан и теоретически обоснован новый оригинальный эффективный вычислительный алгоритм решения модельной смешанной краевой задачи для уравнения Пуассона, основанный на идее метода прямых и методе установления. При использовании метода установления предложено два способа регуляризации. На основе параболической и соболевской регуляризации получены математические модели для описания стационарных решений переноса заряда в полупроводниках.
На основе предложенного вычислительного алгоритма для модельной задачи получены стационарные решения двумерной задачи, описывающей кремниевый полевой транзистор со структурой металл-проводник.
Предложено несколько подходов к нахождению приближенных решений известной в физике полупроводников задачи о баллистическом диоде: сведение задачи к интегральным уравнениям, использование техники сплайн-функций и схемы предиктор-корректор, применение метода ортогональной прогонки. На основе предложенных подходов получены приближенные решения этой задачи.
Все алгоритмы реализованы ввиде комплекса прикладных програм, написанные на языке Object Pascal в среде Delphi 6.
Обоснованность и достоверность результатов. Обоснованность и достоверность результатов, полученных в диссертации, обеспечивается корректностью постановок рассматриваемых задач, теоретической проработкой разрабатываемых вычислительных алгоритмов и подтверждается согласованием результатов численных расчетов с решением тестовых задач и с результатами, полученными другими авторами.
Теоретическая и практическая значимость. Разработанные эффективные вычислительные алгоритмы и реализующие их комплексы программ могут быть использованы для моделирования физических процессов в полупроводниковых устройствах.
Вычислительные алгоритмы, предложенные для решения уравнений математической физики, представляют интерес для специалистов в области вычислительной математики.
Апробация работы. Основные результаты, изложенные в диссертации, докладывались и обсуждались на конференциях: XLV-XLVII Международные
научные студенческие конференции "Студент и научно-технический прогресс" (Новосибирск, 2007-2009 гг.), Всероссийская школа-конференция для студентов, аспирантов и молодых ученых "Фундаментальная математика и ее приложения в естествознании" (Уфа, 2007г.), IX Всероссийская конференция молодых ученых по математическому моделированию и информационным технологиям (Кемерово, 2008г.), Международная конференция "Дифференциальные уравнения. Функциональные пространства. Теория приближений", посвященная 100-летию со дня рождения С.Л. Соболева (Новосибирск, 2008г.), Всероссийская научная конференция молодых ученых "Наука. Технологии. Инновации" (Новосибирск, 2008г.), Международный конкурс научных работ молодых ученых в области нанотехнологий (Москва, 2008г.). Основные результаты докладывались: в Институте гидродинамики им. М.А. Лаврентьева СО РАН на семинаре "Прикладная гидродинамика" (под рук. чл.-корр. РАН В.В. Пухначева), в институте вычислительной математики и математической геофизики СО РАН на семинаре "Методы вычислительной математики" (под рук. проф. В.П. Ильина), в Институте вычислительных технологий СО РАН на объединенном семинаре "Информационно-вычислительные технологии" (под рук. академика Ю.И. Шокина, проф. В.М. Ковени), в Институте математики СО РАН на объединенном семинаре лаборатории вычислительных проблем задач математической физики и лаборатории дифференциальных и разностных уравнений.
Публикации. По теме диссертации опубликовано 14 печатных работ, куда входят (в скобках в числителе указан общий объем этого типа публикаций, в знаменателе - объем, принадлежащий лично автору) 3 статьи в изданиях, рекомендованных ВАК (2.6/1.1 печ. л.), 2 - в международных журналах (3.69/1.84 печ. л.), 1 - в трудах всероссийских и международных конференций (0.69/0.69 печ. л.), 8 - в тезисах всероссийских и международных конференций (0.875/0.813 печ. л.).
Личный вклад автора. При выполнении работ [1—5], опубликованных совместно с научным руководителем и другими соавторами, А.С. Ибрагимова принимала участие в постановке задач, разработке численных алгоритмов, обсуждении полученных результатов, подготовке и представлении статей и докладов на конференциях. Ею самостоятельно выполнена программная реализация всех разработанных вычислительных алгоритмов, проведены расчеты тестовых задач и получены результаты численных экспериментов. Кроме того, А.С. Ибрагимовой в [3-5] проведена серия расчетов, а также сравнение с результатами других авторов.
Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, шести приложений и списка литературы из 86 наименований. Объем работы 147 страниц. В диссертации содержатся 27 рисунков и 3 таблицы.
