Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Постановка задач гидродинамики и вихревые методы 12
1.1. Трехмерная задача о переносе завихренности в неограниченном объеме идеальной жидкости 15
1.2. Трехмерная задача об отрывном обтекании системы тел идеальной жидкостью 16
1.2.1. Постановка задачи для потенциала скорости и давления 16
1.2.2. Интегро-дифференциальная система уравнений для трехмерной задачи об отрывном обтекании системы тел идеальной жидкостью 19
1.3. Вихревые численные методы 23
1.3.1. Численный метод для трехмерной задачи распространения завихренности в неограниченном объеме 23
1.3.2. Численная схема моделирования движения завихренности с использованием условия вмороженности вихревых линий в жидкость .. 25
1.4. Численный метод для трехмерной задачи обтекания тел идеальной жидкостью 28
1.4.1. Метод вихревых рамок для трехмерного моделирования 30
1.4.2. Метод вихревых отрезков 37
1.5. Выводы 39
Глава 2. Обоснование сходимости численного метода в задаче переноса завихренности в безграничном объеме 41
2.1. Регуляризация интегрального представления поля скоростей в задаче о переносе завихренности в безграничной области 43
2.1.1. Дискретизация по пространству 47
2.1.2. Дискретизация по времени 68
2.2. Выводы 71
Глава 3. Ускорение вычислений 72
3.1. Общий обзор методов быстрого умножения 72
3.2. Мозаично-скелетонные аппроксимации 75
3.3. Интеграция программных комплексов, реализующих метод дискретных вихрей и метод мозаично-скелетонных аппроксимаций 88
3.4. Число уровней дерева кластеров 92
3.5. Скелетонная аппроксимация 95
3.6. Выводы 97
Глава 4. Результаты численного моделирования 98
4.1. Задача о чехарде вихревых колец 98
4.2. Обтекание полусферы 103
4.3. Обтекание восьмигранного цилиндра 106
4.4. Обтекание прямоугольного крыла 108
4.5. Обтекание системы зданий и сооружений 111
4.6. Выводы 114
Заключение 115
Литература 116
- Трехмерная задача об отрывном обтекании системы тел идеальной жидкостью
- Численная схема моделирования движения завихренности с использованием условия вмороженности вихревых линий в жидкость
- Интеграция программных комплексов, реализующих метод дискретных вихрей и метод мозаично-скелетонных аппроксимаций
- Обтекание прямоугольного крыла
Введение к работе
Объект исследования и актуальность темы. Метод дискретных вихрей (МДВ) и его модификации - одно из наиболее активно развивающихся и широко применяемых направлений среди вихревых методов аэрогидродинамики.
В настоящее время метод дискретных вихрей применяется для решения задач в различных областях: аэродинамика летательных аппаратов, парашютов, зданий и сооружений, изучение вопросов образования и развития вихревых структур, таких как, например, спутные следы за самолетами.
При моделировании вихревых течений рассматриваемыми методами основные вычислительные затраты по числу операций и следовательно времени расчета приходятся на преобразования формы вихревых структур, осуществляемые на каждом шаге интегрирования по времени. Каждое такое преобразование можно свести к задаче умножения некоторой матрицы большой размерности на вектор.
В настоящей работе рассматриваются возможность и эффективность применения метода мозаично-скелетонных аппроксимаций матриц в рамках метода дискретных вихревых отрезков для трехмерного моделирования вихревых течений идеальной жидкости в безграничной области, а также при обтекании системы тел.
Следует отметить, что разделение задач на два класса: распространение завихренности в безграничном объеме идеальной жидкости; трехмерное моделирование обтекания тел; обусловлено тем фактом, что развитие численного метода (МДВ) и его внедрение в практическую деятельность происходило существенно быстрее, чем развитие математического аппарата, дающего строгое обоснование применимости метода. В настоящий момент существует обоснованная математическая теория только для задач первого класса, в рамках которой в настоящей работе формулируются новые теоремы и приводятся доказательства, обосновывающие применение предложенных идей
ускорения вычислений. Что касается второго класса задач, то практика показывает, что использование МДВ дает хорошие результаты (при сравнении с экспериментальными данными). Таким образом, учитывая сложившуюся практику апробации численных методов МДВ для задач трехмерного обтекания системы тел, в работе проводится ряд исследований, позволяющих продемонстрировать хорошее совпадение результатов моделирования с данными физических экспериментов.
В связи с изложенными обстоятельствами объектом исследования в настоящей работе являются метод дискретных вихрей, трехмерные математические модели движения идеальной жидкости в безграничном объеме и обтекание тел идеальной жидкостью, а предметом исследования - вопросы ускорения вычислений в методе дискретных вихрей.
Целью диссертационной работы является формулировка, обоснование и программная реализация «быстрого» численного алгоритма для задач, решаемых методом дискретных вихрей («быстрого» означает ускорение в 10 и более раз по сравнению с алгоритмами, основанными на прямых вычислениях).
Для достижения указанной цели в работе решены задачи:
разработка модификации метода дискретных вихревых отрезков (МДВО) эффективно совместимой с методом мозаично-скелетонных аппроксимаций для решения трехмерных задач переноса завихренности в безграничной области и задач обтекания тел;
доказательство сходимости решений, полученных сформулированным численным методом, к решению непрерывной задачи о переносе завихренности в безграничной области;
теоретическое обоснование применимости метода мозаично-скелетонных аппроксимаций в сформулированном численном алгоритме для ускорения расчетов;
интеграция программных комплексов, реализующих МДВО и метод мозаично-скелетонных аппроксимаций;
5) проведение исследовательских расчетов по оценке эффективности быстрых алгоритмов.
Методы исследования. Вихревые методы, методы вычислительной линейной алгебры, дифференциальные уравнения, численное моделирование.
Научная новизна.
Сформулирована новая модификация метода дискретных вихревых отрезков с использованием мозаично-скелетонных аппроксимаций для ускорения вычислений для трехмерных задач переноса завихренности в безграничном объеме и задач обтекания тел идеальной жидкостью.
Доказаны сходимость численных решений, получаемых модифицированным алгоритмом, к решению исходной непрерывной задачи о переносе завихренности в безграничной области на сетке.
Получено теоретическое обоснование применимости метода мозаично-скелетонных аппроксимаций в сформулированном численном алгоритме для ускорения расчетов.
Произведена оценка возможностей по ускорению вычислений за счет использования метода мозаично-скелетонных аппроксимаций матриц в новой области: вихревых методах вычислительной аэродинамики.
Научная и практическая значимость.
В характерных аэродинамических задачах сформулированный «быстрый» алгоритм позволяет получить ускорение времени расчета в 10 и более раз по сравнению с алгоритмами, основанными на прямых вычислениях.
Сформулированный «быстрый» алгоритм открывает возможности для решения принципиально новых аэрогидродинамических задач, которые до настоящего времени не решались ввиду их большой вычислительной сложности.
Возросшая скорость вычислений позволяет проводить расчеты на более мелких сетках и правильно моделировать тонкие аэродинамические эффекты, такие, как, например, расчет подсасывающей силы на передней кромке крыла.
В диссертации получены следующие основные результаты, выносимые на защиту:
сформулирована модификация алгоритма метода дискретных вихревых отрезков с применением мозаично-скелетонных аппроксимаций для ускорения расчетов;
доказана сходимость на сетке численных решений, получаемых с помощью сформулированного численного алгоритма, к решению исходных уравнений для трехмерной задачи переноса завихренности в безграничном объеме идеальной жидкости;
интегрированы программные комплексы, реализующие метод дискретных вихревых отрезков и метод мозаично-скелетонных аппроксимаций;
произведено тестирование алгоритмов ускоренного умножения матриц на основе мозаично-скелетонных аппроксимаций в трехмерных модельных задачах о переносе завихренности в безграничном объеме и об отрывном обтекании тел. Получены данные об ускорении вычислений при применении ускоренного алгоритма.
Апробация работы. Результаты работы докладывались и обсуждались на следующих конференциях:
международная школа-семинар «Методы дискретных особенностей в задачах математической физики», 2008 год, Орел;
международная научно-образовательная конференция «Наука в вузах: математика, физика, информатика. Проблемы высшего и среднего профессионального образования», 2009 год, Москва;
XX школа-семинар «Аэродинамика летательных аппаратов», 2009 год, пос. Володарка, ЦАГИ им. проф. Н.Е. Жуковского;
конференция Тихоновские чтения - 2009 год, Москва;
Кроме того, результаты докладывались и обсуждались на семинарах:
отчетная сессия Института Вычислительной математики РАН,
декабрь 2008;
семинар имени проф. СМ. Белоцерковского, ВВИА им. проф. Н.Е. Жуковского - ЦАГИ им. проф. Н.Е. Жуковского, февраль 2009;
семинар на факультете ВМиК МГУ им. М.В. Ломоносова под руководством проф. Е.В.Захарова;
семинар «Вычислительные и информационные технологии в математике» ИВМ РАН под руководством чл.-корр РАН, проф. Е.Е. Тыртышникова, сентябрь 2009.
Публикации: По теме работы опубликовано 4 статьи, 2 тезиса докладов на конференциях. Основные результаты содержатся в работах [1-6], в том числе [5,6] из перечня ВАК РФ.
Структура работы. Работа состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы. Общий объем диссертации - 124 страницы. Список литературы включает 83 наименования.
Личный вклад автора. Личный вклад автора в совместные работы оценивается как равный с соавторами.
Трехмерная задача об отрывном обтекании системы тел идеальной жидкостью
Более сложная математическая модель возникает при моделировании отрывного обтекания тела (группы тел) идеальной жидкостью. Будем предполагать, что течение является потенциальным всюду вне обтекаемых тел и вихревых следов, возникающих при отрыве потока с заданных линий отрыва, а вихревые следы представляют собой тонкие поверхности разрыва касательной составляющей поля скоростей (вихревые пелены). Пусть поверхности тел образуют заданную кусочно-гладкую поверхность (вообще говоря, состоящую из нескольких компонент) Т] [31], которая может быть замкнутой (граница телесного объекта), разомкнутой (тонкий объект), или состоять из замкнутых и разомкнутых компонент. Предполагается, что в каждый момент времени t вихревые следы образуют неизвестную кусочно-гладкую поверхность cr2{t), каждая компонента которой разомкнута и соответствует одной вихревой пелене, а совокупность всех линий отрыва образует заданную кусочно-гладкую кривую L (см. рис. 1.1.). При этом должно выполняться соотношение На поверхности обтекаемых тел сг, ставится условие непротекания где п, - нормаль к поверхности о",, которое должно выполняться в каждой точке поверхности. На свободной вихревой пелене т2(0 в каждый момент времени выполняются условия равенства давлений и условие отсутствия потока жидкости через вихревую пелену где Dn - нормальная скорость перемещения точек вихревой пелены (п2 -вектор нормали к J2(t) предполагается непрерывным).
Индексы "+" и "-" обозначают краевые значения рассматриваемых функций в точках поверхности со стороны вектора нормали и с противоположной стороны соответственно. Кроме этого ставится условия затухания возмущений скорости на бесконечности и условие Чаплыгина-Жуковского ограниченности поля скоростей в окрестности любой точки линии отрыва L. При решении задачи (1.9)-(1.13) потенциал U(x,t) ищется в виде: поверхности а1 (непрерывная функция), - производная по направлению вектора п(у), вычисляемая в точке у = (у\у2,у3)- Задача о нестационарном обтекании тел потоком, имеющим заданную скорость на бесконечности wK, в рассматриваемой постановке сводится к отысканию потенциального поля скоростей w(x,t) — V U(x,t) и поля давления p(x,t), определенных вне обтекаемых тел и поверхностей, моделирующих вихревые следы, которые являются подвижными и закон движения которых заранее неизвестен, х = (х\х2,х )е1+, l+cR -область вне тел и вихревых следов, t - время.
Потенциал поля скоростей был представлен с использованием потенциалов двойного слоя (1.15). Известно [1, 19], что потенциал свойствами: 1) удовлетворяет уравнению Лапласа во всех точках, не лежащих потенциал двойного слоя при пересечении слоя претерпевает разрыв, причем величина скачка при пересечении в направлении положительной нормали через точку х равна U+(x) — U (x) = g(x), где g(x) - плотность потенциала; 3) нормальная производная потенциала двойного слоя остается непрерывной при пересечении поверхности, на которой он размещен.
Это позволяет удовлетворить условия (1.10) и (1.12). 4) поле скоростей ищется в виде суммы скорости невозмущенного потока на бесконечности и градиентов потенциалов двойного слоя с неизвестными плотностями gi (y,t), у Є О",-, / = 1,2 Если U есть потенциал двойного слоя с плотностью g = const, размещенного на замкнутой поверхности Е, то V/(x) = 0 при хЪ [19]. Прибавление к функции gi(x,t) постоянного слагаемого на каждой замкнутой компоненте поверхности о-, не изменяет поля скоростей и функция gx (х, t) ищется так, чтобы при каждом t выполнялось условие точки, выбранные по одной па каждой замкнутой компоненте поверхности 7[. Если поверхность о", и функция gt(y,t) являются достаточно гладкими, то подынтегральная функция в правой части формулы (1.16) векторная функция, гладкая в окрестности точки х. Выражение (1.16) определено и на поверхностях а{ и J2{t), если входящие в него интегралы понимать как гиперсингулярные в смысле конечного значения по Адамару [31]. Для поверхности т общего вида в пространстве определение интеграла в смысле конечного значения по Адамару дано в [18].
Численная схема моделирования движения завихренности с использованием условия вмороженности вихревых линий в жидкость
Метод дискретных вихрей был первоначально развит для моделирования плоских течений. Математическое доказательство сходимости метода для двумерных уранений переноса завихренности в области без границ дано в работах [72, 74].
В работе [28] приводится математическое обоснование численной схемы, основанной на уравнениях (1.25)-(1.26). Учитывая, что интеграл в выражении (1.8) является несобственным, в работе [28] сначала проводится регуляризация уравнений переноса завихренности введением в закон Био-Савара регуляризирующего множителя как в формуле (1.24). Далее в [28] доказывается, что если в задаче (1.4)-(1.8) в ядре интегрального оператора (1.8) ввести регуляризирующий множитель 6S, как в формуле (1.24), то полученная задача, также как и исходная, имеют решение на некотором отрезке времени 0 t T, и решения такой «сглаженной» задачи сходятся к решению исходной задачи при є - О (см. раздел 2.1). После этого строится численная схема для «сглаженной» задачи и доказывается сходимость численных решений на сетке.
В данной работе аналогичные результаты получены для численной схемы, предложенной в разделе 1.3.2. Основное отличие этой схемы состоит в том, что она основана на дифференциальных уравнениях (1.28).
В отличие от уравнений (1.25)-(1.26), здесь не содержатся производные поля скоростей, что оказывается удобным при использовании ускоренных алгоритмов вычисления массива правых частей. Для такой схемы в главе 2 получены следующие результаты.
Во-первых, доказано, что при каждом значении параметра сглаживания 0 на отрезке времени 0 t T есть сходимость получаемых численных решений на сетке к точному решению.
Во-вторых доказано, что указанная сходимость не нарушается, если допустить, что при вычислении скорости в каждой точке может возникать дополнительная погрешность, которая по абсолютной величине много меньше шага дискретизации по пространственным переменным. Такая погрешность возникает, в частности, при использовании методов аппроксимации матриц для ускоренного вычисления массива значений ветора скорости в концах вихревых отрезков. Отметим, что оценки для сходимости получены в специальных метриках. Из этих оценок, в частности, следует сходимость в равномерной метрике на подвижной лагранжевой сетке. Кроме того, из полученных оценок сходимости следует, что указанная лагранжева сетка, определяемая положениями вихревых отрезков, сохраняет с течением времени свойство «квазиравномерности», которое является одним из достаточных условий применимости метода мозаично-скелетоной аппроксимации для матрицы скоростей (см. главу 3). Общая схема доказательства такова. 1) Проводится дискретизация исходной задачи (1.4)-(1.8) по пространству. При этом возникает система дифференциальных уравнений, описывающих движение вихревых отрезков, которая включает в себя уравнения движения центров отрезков и уравнения эволюции вихревых векторов, размещенных на этих отрезках (см. (2.5)-(2.7)). Данная система содержит производные от поля скоростей. 2) Доказывается теорема, утверждающая, что для любого, наперед заданного параметра сглаживания є (в интеграле Био-Савара) можно подобрать шаг h начального разбиения области завихренности Q0, который обеспечивает сходимость с достаточно хорошей оценкой решений указанных уравнений для вихревых отрезков к решению исходной задачи с є О (см. теорему 2.1). 3) Система дифференциальных уравнений (1.28), предложенная в разделе 1.3.2, предполагает, что движение вихревых отрезков осуществляется «за концы» по скорости жидкости. Для такой системы уравнений доказывается, что решение существует и сходится к решению дискретной задачи, предполагающему прямое дифференцирование. А значит и к решению исходной задачи (см. теорему 2.2). 4) Далее осуществляется дискретизация уравнений (1.28) по времени и рассматривается окончательная численная схема (см. (2.32)-(2.34)). 5) Доказывается сходимость дискретных решений, получаемых по построенной численной схеме, к решению исходной задачи (1.4)-(1.8) на сетке с учетом погрешности при вычислении поля скоростей, вносимой, например, при использовании метода мозаично-скелетонных аппроксимаций (см. теорему 2.3).
Интеграция программных комплексов, реализующих метод дискретных вихрей и метод мозаично-скелетонных аппроксимаций
При численной реализации схемы (2.32)-(2.33), на каждом шаге происходит преобразование массива величин, которое можно свести к умножению матрицы на вектор, которое при прямом счете требует порядка 0(N2) операций (здесь и далее 0( )- величины того же порядка, что и выражение в скобках, и о( ) - величины, являющиеся бесконечно малыми, по сравнению с выражением в скобках). Учитывая, что при решении многих современных задач возникают матрицы порядка N 105, очевидно, что без использования тех или иных методов ускорения счета их решение выглядит затруднительным. а. При дискретизации этого оператора возникает линейное преобразование - матрица размера NxN, размерность которой N растет с увеличением параметра дискретизации п. Основные вычислительные затраты связаны с операциями умножения матрицы Ап на столбец хп, а таюке с вычислениями элементов матрицы. Это приводит к следующей задаче матричной аппроксимации: найти «близкую» к Ап матрицу Д,, такую что: умножение fn = Апхп выполняется быстро; объем памяти, необходимый для хранения Лп мал; погрешность в решении, допускаемая при замене Ап на Ап сравнима с погрешностью дискретизации. Говоря «быстро» и «мал», будем иметь в виду o(N2) математических операций и o(N2) ячеек памяти. Под близостью Ап иАп, будем понимать матрицы А = (а..) , где є - малое число.
Весь математический аппарат методов приближенного быстрого матричного умножения сформировался за последние 20-25 лет [51]. С алгебраической точки зрения большинство этих подходов базируется на следующем наблюдении: для весьма широкого класса ядер К{х,у) и для всех достаточно больших N можно указать такое блочное разбиение матрицы Ап, что подавляющее большинство блоков будет иметь хорошее малоранговое приближение. Среди различных подходов можно выделить четыре основных направления развития таких методов: 1. Мультипольный метод. Автором метода является В. Рохлин [80]. Родственными к нему методами являются метод кластеризации граничных элементов, предложенный В. Хакбушем и 3. Новаком в работе [71], и алгоритм Барнса-Хата, сформулированный в работе [60]. 2. Интерполяционный метод. Применение и развитие метода можно посмотреть в работах [37] и [66]. 3. Метод локальных волн. Работы [64, 67]. 4. Метод мозаично-скелетонных аппроксимаций [83], применяемый в настоящей работе. Все перечисленные методы являются операторными, т.е. исходная матрица в явном виде не участвует в вычислениях. Методы приближенного матричного умножения описывают процедуру получения и применения матрицы А, которая приближает исходную матрицу А, но сама матрица А в явном виде нигде не появляется. Вопрос о сравнении эффективности перечисленных методов по сей день остается открытым и лежит за пределами настоящей работы. Отметим лишь, что с точки зрения численного алгоритма, метод мозаично-скелетонных аппроксимаций выгодно отличается от других тем, что в нем естественным образом вычисляется a posteriori погрешность приближенного умножения, что позволяет проверять достижение заданной точности приближения и задавать эту точность как входной параметр алгоритма. Все методы разделяют элементы исходной матрицы на две группы, отвечающие «дальнодействию» и «близкодействию». Это разделение зависит от вида оператора исходной задачи. Поскольку все сингулярности находятся в зоне «близкодействия», то работа с ними осуществляется прежними методами (в случае МДВ - прямые вычисления).
Применительно к задачам об ансамбле частиц наиболее интересные работы по ускорению вычислений связаны с использованием мультипольного метода и его модификаций. В работе [76] рассматривается задача взаимодействия ансамбля частиц. К сожалению, оценок, позволяющих судить об ускорении относительно прямого счета, не приводится. В работе [26] рассматривается задача обтекания кругового цилиндра однородным потоком вязкой несжимаемой жидкости в безграничном пространстве. Для численного решения используется лагранжев бессеточный метод вязких вихревых доменов [4, 26] (ВВД). Для ускорения вычислений используется модифицированный алгоритм Барнса-Хата [60]. Использование «быстрых» вычислений позволило довести число лагранжевых точек в потоке до величины 106 и выше, что является принципиально важным параметром при моделировании течений с высокими значениями числа Рейнольдса методом ВВД. Следует отметить, что решение такой задачи без использования методов ускорения счета на персональном компьютере невозможно из-за высокой вычислительной сложности. В настоящей работе рассматриваются вопросы применения метода мозаично-скелетонных аппроксимаций для численных алгоритмов, описанных в Главе 1.
Обтекание прямоугольного крыла
Для апробации возможности моделирования «тонких» аэродинамических эффектов за счет использования мелких сеток было произведено моделирование обтекания прямоуголного крыла с профилем NACA-0012 и удлинением Х-Ъ [13]. Моделирование проводилось при разбиениях поверхности крыла на 1600 и 2400 вихревых ячеек, угол атаки 10,8 градуса, что соответствует экспериментальному значению коэффициента подъемной силы С., =0.8. Интерес представляет s а распределение давления вдоль верхней поверхности профиля крыла. На рис. 4.9 видно, что при разбиении на 1600 вихревых ячеек не удается правильно смоделировать сильное разрежение на носке крыла, которое наблюдается в эксперименте [13]. При использовании для моделирования 2400 вихревых ячеек наблюдается хорошее совпадения распределения давления на носке крыла в численных расчетах и эксперименте (рис. 4.10) (коэффициент давления рассчитывается по формуле ПО давление, р - плотность, Wx - скорость жидкости на бесконечности). Проведенные исследования являются почти неосуществимыми без использования методов ускоренного вычисления ввиду высокой вычислительной сложности. Возникающие в процессе моделирования матрицы имеют размерность 105-106. Ускорение вычислений в данной задаче составило более 20 раз по сравнению с прямым алгоритмом расчетов (рис. 4.11).
В задаче численного моделирования обтекания системы зданий и сооружений (рис. 4.12) для учета поверхности земли используются дополнительные вихревые отрезки, которые располагаются симметрично основным вихревым отрезкам относительно поверхности (экрана). При этом возникает два возможных варианта реализации численного алгоритма. 1) Рассматривать всю совокупность вихревых отрезков в рамках одной матрицы при вычислении поля скоростей. 2) Рассчитывать скорости в расчетных точках, индуцируемые основными вихрями и дополнительными вихрями, независимо. В этом случае возникает 2 матрицы. Результаты исследований показали, что скорость вычислений практически совпадает в обоих случаях (рис. 4.13). В четвертой главе описаны численные эксперименты, проведенные с использованием разработанного программного комплекса. На примере задачи о «чехарде» вихревых колец продемонстирована численная устойчивость предложенного алгоритма. В задачах нестационарного обтекания полусферы и восьмигранного цилиндра показано хорошее совпадение результатов вычислений и экспериментальных данных для аэродинамических характеристик указанных объектов.
Расчет распределения давления по поверхности прямоугольного крыла демонстрирует возможности моделирования тонких аэродинамических эффектов, которые затруднительно моделировать без ускорения вычислений. В задаче моделирования обтекания системы зданий продемонстрированы два возможных варианта применения мозаично-скелетонных при необходимости моделировать поверхность раздела, а также приведены данные по соотношению вычисляемых элементов матрицы к общему числу элементов матрицы в зависимости от размера матрицы. В диссертационной работе получены следующие результаты, которые выносятся на защиту. 1) Сформулирована модификация алгоритма метода дискретных вихревых отрезков с применением мозаично-скелетонных аппроксимаций для ускорения расчетов; 2) Доказана сходимость на сетке численных решений, получаемых с помощью сформулированного численного алгоритма, к решению исходных уравнений для трехмерной задачи переноса завихренности в безграничном объеме идеальной жидкости; 3) Интегрированы программные комплексы, реализующие метод дискретных вихревых отрезков и метод мозаично-скелетонных аппроксимаций. 4) Произведено тестирование алгоритмов ускоренного умножения матриц на основе мозаично-скелетонных аппроксимаций в трехмерных модельных задачах о переносе завихренности в безграничном объеме и об отрывном обтекании тел. Получены данные об ускорении вычислений при применении ускоренного алгоритма.
