Введение к работе
Актуальность работы.
Задача о генерации волновых возмущений сдвиговыми потоками рассматривалась рядом авторов для описания широкого круга волновых процессов, начиная от раскачки волн на поверхности океана и в атмосфере Земли (J.W. Miles, L. Prandtl, О. Philips) и заканчивая образованием колоссальных волновых структур, наблюдаемых в ряде астрофизических объектов (кометных хвостах, выбросах из активных ядер галактик, галактических дисках и т.д.) (T. Ray, A.I. Ershkovich, M. Birkinshow, P.E. Hardee, B.D. Turland, В.М. Конторович, С.Г. Гестрин). С точки зрения технических приложений к этому же кругу вопросов можно отнести и проблему флаттера, состоящую в динамической потере устойчивости аэроупругой, или гидроупругой системой (элементом конструкции самолета: крылом, фюзеляжем, хвостовым оперением, обшивкой; строительной конструкцией: мостом, плотиной, трубопроводом и т.д.) при ее взаимодействии с дозвуковыми и сверхзвуковыми сдвиговыми течениями (М.В. Келдыш, Т. Янг, Е. Доуэл, В.В. Веденеев).
Несмотря на явные различия физических свойств и масштабов упомянутых объектов, связанные с ними волновые процессы можно объяснить в рамках механизма ветровой неустойчивости. При развитии ветровой неустойчивости в критическом слое сдвигового потока происходит усиление волн различной физической природы (гравитационных, плазменных, магнитогидродинамических, упругих и т.д.), существующих на границе тех или иных динамических систем. Описание этого процесса является сложной математической задачей, которая до настоящего времени решалась в основном аналитическими методами лишь для некоторых частных случаев (J.W. Miles, О. Philips, В.М. Конторович, С.Г. Гестрин). В этой связи весьма актуальными являются построение и исследование обобщающей математической модели ветровой неустойчивости, а также создание математического обеспечения, позволяющего оценить все основные характерные параметры ее развития: инкремент неустойчивости, длину волны и частоту наиболее быстро растущего возмущения, найти положение критического слоя в потоке, а также подобрать параметры конструкции, при которых влияние на нее ветровой неустойчивости будет минимальным.
В частности, для исследования флаттера часто используется натурный эксперимент, основанный на размещении модели объекта c закрепленными на ней датчиками в аэродинамической трубе – экспериментальной установке, разработанной для изучения эффектов, возникающих при обтекании твердых тел (самолетов, автомобилей, зданий, мостов и т.п.) воздушным потоком.
Зачастую такие исследования являются весьма затратными, а их результаты – сложными для интерпретации.
В этой связи актуальным является проведение на основе разработанной математической модели ветровой неустойчивости вычислительного эксперимента, который дает возможность легко и быстро менять условия его проведения, а также позволяет глубже вникнуть в детали происходящих процессов.
Изложенное определило актуальность темы диссертации и ее цель.
Целью диссертационной работы является построение обобщающей математической модели ветровой неустойчивости, аналитических и численных методов ее исследования, а также разработка на их основе проблемно-ориентированного комплекса программ, позволяющего исследовать воздействие сдвиговых течений на аэроупругие и гидроупругие системы.
Для достижения поставленной цели были поставлены и решены следующие основные задачи:
1. Построение математической модели ветровой неустойчивости аэроупругих и гидроупругих динамических систем в форме дифференциальных уравнений и связанных с особенностями системы граничных условий.
2. Разработка эффективных, аналитических и численных методов исследования, лежащих в основе модели ветровой неустойчивости дифференциальных уравнений второго порядка, содержащих сингулярность, и являющихся аналогом уравнения Рэлея.
3. Создание комплекса программ, позволяющего определить характеристики ветровой неустойчивости динамической системы для различных значений параметров системы и при различных вариантах внешнего воздействия.
Предметом и областью исследования является математическая модель ветровой неустойчивости, а также приближенные аналитические и качественные методы исследования этой модели; численные методы решения дифференциальных уравнений, составляющих основу модели, а также разработка на их основе комплекса проблемно-ориентированных программ для проведения вычислительного эксперимента; комплексное исследование с применением математического моделирования и вычислительного эксперимента проблемы флаттера аэроупругих и гидроупругих систем.
Методы исследований.
В диссертации использованы методы системного анализа, приближенные аналитические и численные методы математического моделирования, применяемые в электродинамике сплошных сред, теории упругости, гидродинамике, физике плазмы, квантовой механике, метод интегрального преобразования Фурье, аппарат специальных функций.
Достоверность полученных результатов определяется корректностью применяемых методов системного анализа и постановки решаемых задач, применением классических математических методов, определением границ применимости моделей по различным параметрам, совпадением с известными теоретическими результатами для предельных случаев, близостью результатов вычислительного и натурного экспериментов для тех ситуаций, когда возможно сравнение.
Теоретическая и практическая значимость работы.
Впервые предложена и исследована обобщающая математическая модель волновых процессов в различных по своим свойствам и масштабам физических системах, позволяющая объяснить их с единой точки зрения, как результат развития ветровой неустойчивости. Наличие максимума инкремента ветровой неустойчивости естественным образом приводит к наличию выделенного масштаба наблюдаемых возмущений. Теоретический интерес представляют применявшиеся в работе качественные и приближенные аналитические, а также численные методы исследования модели ветровой неустойчивости.
Практическая значимость связана с созданием проблемно-ориентированного комплекса программ «Определение параметров ветровой неустойчивости аэроупругих и гидроупругих систем». Вычислительные эксперименты, основанные на использовании данного комплекса, позволяют по известным параметрам системы и взаимодействующего с ней потока определить основные параметры возникающего в этих системах флаттера, а также выдать рекомендации по оптимальному подбору параметров, при которых инкремент ветровой неустойчивости будет малым по сравнению с вещественной частью частоты колебаний и, следовательно, ее влияние на систему станет незначительным.
Научная новизна работы:
1. Впервые предложена обобщающая модель ветровой неустойчивости, позволяющая объяснить возникновение волновых структур в системах, имеющих различную физическую природу и масштабы: волны на поверхности океана и в атмосфере Земли; волновые структуры, наблюдаемые в астрофизических объектах; различные варианты флаттера, возникающие при контакте аэроупругих и гидроупругих систем со сдвиговыми потоками.
2. Впервые разработаны новые аналитические и численные методы анализа дифференциальных уравнений, составляющих основу модели ветровой неустойчивости. Данные методы позволяют исследовать дифференциальные уравнения типа уравнения Рэлея, содержащие сингулярность.
3. На основе обобщающей математической модели и предложенных аналитических и численных методов, разработан алгоритм и создан комплекс проблемно-ориентированных программ, позволяющий по известным параметрам динамической системы и воздействующего на нее течения определять характерные параметры ветровой неустойчивости: инкремент, частоту и длину наиболее быстро растущего возмущения, положение резонансного слоя в потоке. Получаемые на основе вычислительного эксперимента результаты позволяют сделать заключение о значениях параметров, характеризующих аэроупругую или гидроупругую систему, при которых влияние на нее ветровой неустойчивости будет минимальным. Таким образом, решена прямая и обратная задача математического моделирования панельного флаттера.
4. На основе анализа инкремента ветровой неустойчивости показано, что неустойчивость имеет место при всех значениях скорости потока, хотя при скоростях, превышающих скорость звука в газе, происходит стабилизация длинноволновых возмущений, распространяющихся вдоль потока.
5. Показано, что усиление изгибных волн в пластине происходит в критическом слое контактирующего с ней сдвигового потока, где его скорость близка к фазовой скорости волны. Инкремент ветровой неустойчивости при малых волновых числах растет степенным образом, а при больших убывает по экспоненциальному закону, что приводит к максимуму, с которым и связано наличие выделенного масштаба возмущений.
Основные положения и результаты, выносимые на защиту:
1. Обобщающая модель, основанная на дифференциальных уравнениях и связанных с ними граничных условиях, описывающих резонансное взаимодействие поверхностных волн со сдвиговым течением, позволяет исследовать начальную стадию развития ветровой неустойчивости в динамических системах.
2. Приближенный аналитический метод, предусматривающий совместное интегрирование исходного и сопряженного с ним дифференциального уравнения, позволяет исследовать дифференциальные уравнения с сингулярностью типа уравнения Рэлея, составляющие основу модели.
3. Численный метод, основанный на совместном использовании метода Рунге-Кутты и метода бисекции, алгоритм которого основан на поэтапной корректировке одного из граничных условий, позволяет найти решение уравнения Рэлея на отрезке, содержащем сингулярность.
4. Разработанный комплекс проблемно-ориентированных программ «Определение параметров ветровой неустойчивости аэроупругих и гидроупругих систем», реализующих предложенные методы для получения основных характеристик ветровой неустойчивости и возникающих вследствие ее развития волновых структур, позволяет выдать рекомендации по оптимальному подбору параметров системы, при которых влияние флаттера на нее будет минимальным.
5. Ветровая неустойчивость имеет место при всех значениях скорости потока газа, хотя при скоростях, превосходящих скорость звука в газе, происходит стабилизация длинноволновых возмущений, бегущих вдоль потока.
6. С ростом скорости течения газа и приближением ее к скорости звука в потоке происходит смещение максимума инкремента ветровой неустойчивости в область более коротких волн.
7. С ростом кривизны профиля скорости в резонансном слое происходит изменение в поведении решения уравнения Рэлея. Убывающее с удалением от пластины решение, описывающее поверхностную волну, сменяется решением, нарастающим вплоть до резонансного слоя, после перехода, через который начинается спад.
Апробация работы.
По основным результатам работы сделано 19 докладов на 12 международных, всероссийских, региональных и внутривузовских конференциях:
Молодежной научной конференции «Молодые ученые – науке и производству» (Саратов, июнь 2008);
Международной научно-практической конференции «Интернет и инновации: практические вопросы информационного обеспечения инновационной деятельности» (Саратов, ноябрь 2008);
II Международной научно-практической конференции «Молодежь и наука: реальность и будущее» (Невинномысск, март 2009);
Пятнадцатой Всероссийской научной конференции студентов-физиков и молодых ученых «ВНКСФ-15» (Кемерово – Томск, март-апрель 2009);
Региональной научно-практической конференции студентов, аспирантов и молодых ученых «Молодежь и научно-технический прогресс» (Владивосток, апрель-май 2009);
XXII Международной научной конференции «Математические методы в технике и технологиях – ММТТ-22» (Псков, май 2009);
XVII Международной молодежной научной конференции «XVII Туполевские чтения» (Казань, май 2009) (награждена дипломом I степени за высокий научный уровень представленного доклада);
Всероссийской научно-практической конференции молодых ученых «Инновации и актуальные проблемы техники и технологий» (Саратов, сентябрь 2009);
Второй международной научно-практической конференции «Измерения в современном мире – 2009» (Санкт-Петербург, декабрь 2009);
XXIII Международной научной конференции «Математические методы в технике и технологиях – ММТТ-23» (Саратов, июнь 2010);
XXIV Международной научной конференции «Математические методы в технике и технологиях – ММТТ-24» (Киев, май-июнь 2011);
II Международной научной конференции «Проблемы управления, передачи и обработки информации – АТМ-2011» (Саратов, октябрь 2011);
на научных семинарах кафедры «Физика» ФГБОУ ВПО «Саратовский государственный технический университет имени Гагарина Ю.А.».
Публикации.
По теме диссертации опубликовано 26 работ (5 статей в журналах, рекомендованных ВАК РФ, 2 статьи в иностранных изданиях, 18 статей в научных сборниках). Имеется свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ №2012610990 от 24 января 2012 г. Список публикаций приведен в конце автореферата.
Структура и объем диссертации.
Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, списка использованной литературы и приложения. Работа содержит 136 страницы, включая 42 рисунка, библиографический список из 120 наименований.
