Содержание к диссертации
Введение
1 Общие методы моделирования и расчета систем
формирования и управления пучками заряженных частиц 6
2 Математическое моделирование диодной электронно—оптической системы с полевым катодом 17
2.1 Математическая модель диодной электронно— оптической системы с полевым катодом 17
2.1.1 Физическая модель 17
2.1.2 Математическая модель 18
2.2 Математическая модель диодной электронно—оптической системы с полевым катодом в виде тонкого острия и плоскости (анод) 47
3 Математическая модель фокусирующей системы на основе полевого катода 56
3.1 Математическая модель электронно—оптической системы состоящая из катода и фокусирующих электродов в виде диафрагм ...56
3.1.1 Физическая модель 56
3.1.2 Математическая модель 57
3.2 Математическая модель электронно—оптической системы состоящая из полевого катода и диафрагм 105
4 Расчет эмиссионных характеристик 109
Литература
- Физическая модель
- Математическая модель диодной электронно—оптической системы с полевым катодом в виде тонкого острия и плоскости (анод)
- Физическая модель
- Математическая модель электронно—оптической системы состоящая из полевого катода и диафрагм
Введение к работе
Актуальность проблемы.
В настоящее время пучки заряженных частиц широко используются во многих областях науки и техники и перед ними открываются все новые перспективы. Развитие теории и практики электронных и ионных пучков имеет свою сложную и противоречивую историю, тесно связанную с общим развитием фундаментальных и прикладных наук ([9,29,35,36,72,75,98,101,46]) и, в первую очередь с развитием важнейшего направления вакуумной электроники, — электронной и ионной оптики, основу которой составляют процессы формирования, транспортировки и управления пучками заряженных частиц электрическими и магнитными полями, синтеза и оптимизации электронно- и ионно-оптических систем [31,32,43],а также методов математического моделирования, численного эксперимента, с развитием компьютерной техники.
Бурное развитие электронной и ионной оптики, начиная с 20-х годов нашего столетия, во многом объясняется потребностями новых направлений науки и техники таких, как физика высоких энергий, ядерная физика, СВЧ-электроника, элементный и структурный анализ материалов. В результате были созданы принципиально новые приборы, позволившие получить уникальные сведения об окружающем нас мире как фундаментального, так и прикладного характера. В настоящее время электронная и ионная оприка не утратила своей актуальности и продолжает развиваться. Большое стимулирующее влияние при этом оказывают ее приложения в микроэлектронике, диагностике материалов, обработке поверх-
ностей. Достаточно сказать, что решение одной из важнейших задач современной микроэлектронной технологии — освоение субмикронного диапазона — трудно представить без диагностического и технологического оборудования на основе электронных и ионных зондов. При этом, как стало совершенно очевидно в самое последнее время, задачи освоения субмикронного диапазона принципиально может быть осуществлено только при условии использования в соответствующих электронно-оптических системах (ЭОС) в качестве источника электронов — полевого электронного катода (ПЭК) [63,65,67,79].ПЭК по всем наиболее важным характеристикам превосходит и широкоприменяемые на практике термоэмиссионные катоды и практически не применяемые фотоэмиссионные. Так современные ПЭК позволяют получать плотности токов на несколько порядков превышающие плотности токов как термокатодов, так и фотокатодов. Кроме того, и плотность тока на единицу телесного угла для ПЭК также значительно выше, чем для других типов источников [30,71,85],И поэтому ПЭК известны как источники с большой электронной яркостью. Еще одним принципиально, по-видимому, самым важным достоинством ПЭК, существенно отличающим их от термокатодов является возможность получения с их помощью практически монокинетического электронного пучка. Существенное отличие характера полевой электронной эмиссии от фото- и термоэмиссии, заключается в том, что поле создаваемое электродами системы, выполняет двойную роль: вызывает эмиссию и обладает электроннооптическими свойствами. Следовательно, задача фокусировки и транспортировки электронного пучка
должна решаться совместно с задачей получения требуемых эмиссионных характеристик системы.
Исходя из сказанного, можно сделать очевидный вывод, что принципиально совокупные характеристики ПЭК значительно превосходят соответствующие характеристики как термокатодов, так и других типов электронных источников (в частности взрывных катодов [12,33]).
Однако, следует учитывать что катод работает не обособленно (не изолированно) от остальных элементов электронно- или иоино-оптической системы. Работа любого катода определяется не только фундаментальными — внутренними физическими процессами, но и внешними — в частности, системой специальных электродов, составляющих вместе с катодом ЭОС соответствующего электровакуумного прибора и позволяющих при приложении к ним необходимых напряжений обеспечить фокусировку и транспортировку электронного пучка, эмиттируемого катодом. Здесь особо следует отметить, что роль электродов существенно возрастает при использовании в качестве катода — ПЭК. Как известно, полевой катод конструктивно представляет собой очень тонкое острие с радиусом кривизны при его вершине, обычно равным ~ 1 мкм. Придание ПЭК формы острия позволило Э. Мюллеру [41] и его многочисленным последователям (см., например, [10Д1,26])получить при сравнительно небольших напряжениях (от единиц до десятков киловольт — кВ) интенсивную полевую электронную эмиссию. Поскольку возбуждение эмиссии в этом случае осуществляется сильным электрическим полем (Е й 5 -107 В/см), на практике получа-
емым в результате приложения напряжения между ПЭК и первым (близлежащим к катоду) электродом. Т.е. в случае ПЭК с помощью системы дополнительных электродов (ЭОС) осуществляется не только транспортировка и фокусировка пучка, но и управление как эмиссионной способностью эмиттера, так и самим электронным пучком,
Очевидно, что простейшей ЭОС является двухэлектродная (катод и второй электрод, чаще всего имеющий форму круглой диафрагмы, и называемый в зависимости от назначения — анодом, экстрактором и т.д.). Но, вследствие необходимости устранения недостатков эмиттеров и сохранения таких характеристик как: 1) величина максимальной плотности тока, 2) однородность эмиссии, 3) способность работать в определенной среде, 4) "время жизни"катода при заданных условиях работы, 5) яркость, б) первеанс, 7) эмит-танс и некоторые другие — большинство электровакуумных приборов имеют более сложную (чем двухэлектродная) ЭОС, состоящую из некоторой совокупности иммерсионных, а в некотором случае и сочетания иммерсионных и квадрупольных линз, позволяющих довести пучок до обьекта или анализирующего приемника.
Цель работы: Целью диссертационной работы стала разработка методики расчета электронно—оптических систем с полевым острием произвольной формы и создание математических моделей таких систем, а также расчет эмиссионных характеристик.
Положения выносимые на защиту:
Математическая модель диодной электронно—оптической системы с полевым катодом.
Математическая модель электронно-оптической системы с полевым катодом и системой фокусирующих электродов.
Результаты численных расчетов эмиссионных характеристик в зависимости от параметров системы.
Методы исследования.
В работе основными методами исследования являются методы вычислительной математики, математического моделирования и численного эксперимента, а также метод парных уравнений математической физики, численные методы оптимизации и программирования.
Физическая модель
Эти изменения связаны в основном с тем, что все более возрастает роль таких элементов, электронно-оптическая теория которых не может опираться на классическое параксиальное приближение — наклон траекторий заряженных частиц к главной оптической оси этих систем в прикатодиой области неограниченно возрастает. Поэтому усложнение и расширение круга электронно-оптических задач делают необходимым разработку новых методов точного расчета поля в ЭОС, В [92] предложен новый метод расчета полевого острийного катода с использованием виртуального катода. В [74] представлена модель электронной пушки, удовлетворяющая требуемым условиям разрешения и полученная после численных расчетов большого числа электронных пушек с различными геометрическими параметрами. Для расчета статических полей Власовым А. Г. на основе метода разделения переменных разработан так называемый метод переопределенных рядов [19]. Распределение потенциала представляется в виде суммы нескольких бесконечных рядов, удовлетворяющих уравнению Лапласа. Выполнение граничных условий, а также условий "сшивания"на вспомогательных границах раздела приводит к бесконечным системам линейных алгебраических уравнений относительно неизвестных коэффициентов рядов. Полученные бесконечные системы решаются методом редукции. Однако любое конечное число членов ряда дает аналитическую функцию всюду, поэтому метод редукции становится малоэффективным, если решение имеет особенности, например, вблизи угловых точек заряженных электродов. В связи с этим Власовым А. Г. было высказано предположение о необходимости учета асимптотического характера решения. Подобные идеи развиты в так называемом методе двойной редукции [45]. Сущность метода двойной редукции состоит в том, что при решении бесконечной системы первые ./V коэффициентов учитываются точно, как обычно при решении системы методом усечения, а остальные коэффициенты не полагаются равными нулю, а заменяются асимптотическими выражениями, что позволяет не только построить решение, имеющее особенность, но и дает возможность определить и характер этой особенности. Еще одним обобщением метода разделения переменных на краевые задачи со смешанными граничными условиями является метод парных уравнений. Этот метод — один из эффективных современных способов решения широкого класса задач ЭОС. Суть метода заключается в представлении распределе-ния потенциала в виде разложений по собственным функциям, соответствующим непрерывному или дискретному спектру собственных значений, что приводит к парным уравнениям, сводящимся к интегральным уравнениям Фредгольма или к бесконечным алгебраическим системам. В книге [55] систематически изложен как сам метод парных уравнений, так и его прикладные возможности. Рассмотрены многочисленные приложения к смешанным задачам в цилиндрических, параболоидальных, сферических, бисфериче-ских, вырожденных бисферических и тороидальных координатах. Однако, следует отметить, что как метод переопределенных рядов, так и метод интегральных уравнений, до сих пор использовались в основном только для расчета неострийных ЭОС.
В последнее время интенсивно развивается приближенное ре шение краевых задач для эллиптических уравнений. В статье [15] описана технология и приведены результаты численной реализации метода решения осесимметричных задач Дирихле в областях типа микроканала, т.е. областях, составными частями которых являются цилиндры с высотой, много большей радиуса основания. При этом точно выполняются граничные условия и искомая функция аппроксимируется так, что разность между точным решением и приближенным гармонична. К приближенным методам следует отнести методику расчета распределения поля для довольно широкого класса модельных острий в диодной системе, предложенную в [50], хотя в данной методике предполагается известной функция распределения заряда на оси острия, на основании чего получается уравнение для определения формы поверхности острия. Более приемлимая методика расчета напряженности поля на вершине острийного автокатода, позволяющая рассчитать поле в диодной системе с действительно произвольной формой тонкого аксиально-симметричного острия, описана в работах [3,4]. Аналитические формулы для эмиссии в диодах с тонкими острийными полевыми эмиттерами в предположении эллипсоидальной формы острий получены в работе [82], а также рассчитываются эмиссионные характеристики полевого электронного катода в диодной и триодной конфигурациях (для острия эллипсоидальной формы) [83]. Диодная система острие — плоский анод в непосредственной близости к нему (в координатах вытянутого сфероида) рассмотрена в [99], для которой получено строгое решение трехмерного уравнения Пуассона - Лапласа.
Математическая модель диодной электронно—оптической системы с полевым катодом в виде тонкого острия и плоскости (анод)
Работа любого катода определяется не только фундаментальными — внутренними физическими процессами, но и внешними — в частности, системой специальных электродов, которые вместе с катодом составляют ЭОС соответствующего электровакуумного прибора и позволяющих при приложении к ним необходимых напряжений обеспечить фокусировку и транспортировку электронного пучка, эмиттируемого катодом.
В данной главе предложены математические модели электронно-оптических систем представляющих собой электронные пушки с полевыми катодами. В качестве катодов рассматриваются острия произвольной формы, а в качестве систем фокусирующих электродов рассматриваются осесимметричные диафрагмы.
Рассмотрим в качестве физической модели осесимметричную электронно— оптическую систему, состоящую из катода — аксиально-симметричного острия произвольной формы на плоской металлической подложке и системы диафрагм, представляющую собой фокусирующую систему электродов. Потенциал подложки совпадает с потенциалом острия.
Параметрами физической задачи являются: форма острия, чис ло диафрагм, расположение диафрагм, радиусы отверстий диафрагм, потенциалы диафрагм. Влиянием пространственного заряда пренебрегаем. Требуется найти распределение электростатического потенциала.
Потенциал в рассматриваемой острийной системе в цилиндрической системе координат удовлетворяет уравнению Лапласа с граничными условиями: (3.1) AV(r, z) = О, vir j)\r Rj:=U:j, где і — 1; ті, j = п + 1; m -f n + 1, (г, z) — цилиндрические координаты, Zi — положение дисков, Zj — расположение диафрагм, Я; — радиусы дисков, Rj — радиусы диафрагм, \]% — значения потенциала на дисках, Uj — значения потенциала на диафрагмах. Разобьем область г 0, 0 z zm+nyi на подобласти Здесь Ai(X) - неизвестные функции, JQ(XT) - функция Бесселя нулевого порядка.
В силу выбора записи потенциала, условия равенства потенциала на границе раздела областей для Vi(r,Zi) = V +i(r, ), для і = 1;тг уже выполнены. На плоскостях z = Z{ при г К\ потенциал должен принимать заданное значение [/$ а вне этих областей имеют место условия непрерывности потенциала, сводящиеся к требованию непрерывности производной —— , в итоге граничные oz условия запишутся в виде:
Система (3.5) является линейной системой алгебраических уравнений относительно неизвестных АІ(Х). Разрешая ее, получим выражение неизвестных коэффициентов А; (А) через неизвестные функции tpi{t). Учитывая, что
В результате численного расчета было получено распределения потенциала во всем пространстве исследуемой системы, где острие представляет собой сферу на конусе, значения потенциалов на дис Рис.5. Распределение электростатического потенциала. 104 ках острия выбирались из требования равенства нулю потенциала вблизи дисков моделирующих острие. Картина расчетов и картины эквипотенциалей приведены на рис.4, для следующих значений координат диафрагм (r,z): (0.3, 0.3), (0.2, 0.5), (0.1, 0.9), потенциалы диафрагм: 30, 20, 70.Острие представляет собой сферу на конусе. Значение потенциала на катоде равно нулю, на аноде 100, расстояние между анодом и катодом равно 1, длина острия 0.1.
Физическая модель
В результате численного расчета было получено распределения потенциала во всем пространстве исследуемой системы, где острие представляет собой сферу на конусе, значения потенциалов на дисках острия выбирались из требования равенства нулю потенциала вблизи дисков моделирующих острие. Картина расчетов и картины экви потенциал ей приведены на рис.4, для следующих значений координат диафрагм (r,z): (0,85,0,025) (0.6, 0.2), (0.4, 0.5), (0.2, 0.8), потенциалы диафрагм: 30, 20, 70. Острие представляет собой сферу на конусе. Значение потенциала на катоде равно нулю, на аноде 100, расстояние между анодом и катодом равно 1, длина острия 0.1.
Основной зависимостью полевой электронной эмиссии является зависимость величины плотности тока металлического эмиттера от электрического поля, вызывающего эмиссию и работы выхода дается известной формулой Фаулера-Нордгейма: j=Айгр ( в?ч4 (41) где F — напряженность поля у поверхности катода, ф — работа выхода электрона из металла, А и В — комбинации известных физических постоянных, t(y) и v(y) — известные в теории полевой электронной эмиссии эллиптические функции Нордгейма аргумента: у = 3.79 10
В формуле (4.1) не известны, во-первых, работа выхода, зависящая от вида металла, из которого изготовлено острие и, во-вторых, напряженность электрического поля, которую можно вычислить через известное распределение электростатического потенциала.
Таким образом, воспользовавшись выражениями для вычисления потенциала из предыдущих глав, и, зная, из какого материала состоит катод (тем самым зная работу выхода) возможно вычислить плотность тока.
Рассмотрим задачу о нахождении плотности тока в электронно-оптической системе состоящей из полевого катода находящегося на подложке, фокусирующих электродов в виде диафрагм и плоскости (анод). То есть рассмотрим эту задалу для модели описанной в 3.1.
Для нахождения напряженности электрического поля в цилиндрической системе координат продифференцируем выражение для нахождения потенциала по г и по z. Поскольку процесс эмиссии происходит на конце острия (где радиус кривизны мал), то согласно предложенной методики, для вычисления плотности тока достаточно найти частные производные выражений для нахождения потенциала, которые соответствуют областям между последним диском и первой диафрагмой, а так же (в зависимости от количества и расположения дисков и площади эмиссии) между дисками.
Как следует из (3.2) выражение для нахождения потенциала соответствующего области между крайним диском и диафрагмой записывается в виде:
Таким образом, найдя коэффициенты ЛІ(Х) ПО формулам 3.1 и продифференцировав соответствующие выражения для распределения потенциала, можно найти напряженность поля. И зная работу выхода найти плотность тока по формуле (4.1).
Для расчета тока эмиссии кроме знания плотности тока необходимо знать площадь эмиссии, значение которой вычисляется по следующей формуле: где RQ — радиус кривизны на вершине острия, FQ — напряженность электрического поля у вершины острия.
Поскольку в качестве поверхности острия, согласно предложенной методики, выбирается соответствующая нулевая эквипотенци-аль, то для вычисления значения радиуса кривизны острия применима формула:
Математическая модель электронно—оптической системы состоящая из полевого катода и диафрагм
Работа любого катода определяется не только фундаментальными — внутренними физическими процессами, но и внешними — в частности, системой специальных электродов, которые вместе с катодом составляют ЭОС соответствующего электровакуумного прибора и позволяющих при приложении к ним необходимых напряжений обеспечить фокусировку и транспортировку электронного пучка, эмиттируемого катодом.
В данной главе предложены математические модели электронно-оптических систем представляющих собой электронные пушки с полевыми катодами. В качестве катодов рассматриваются острия произвольной формы, а в качестве систем фокусирующих электродов рассматриваются осесимметричные диафрагмы.
Рассмотрим в качестве физической модели осесимметричную электронно— оптическую систему, состоящую из катода — аксиально-симметричного острия произвольной формы на плоской металлической подложке и системы диафрагм, представляющую собой фокусирующую систему электродов. Потенциал подложки совпадает с потенциалом острия.
Параметрами физической задачи являются: форма острия, чис ло диафрагм, расположение диафрагм, радиусы отверстий диафрагм, потенциалы диафрагм. Влиянием пространственного заряда пренебрегаем. Требуется найти распределение электростатического потенциала.
Потенциал в рассматриваемой острийной системе в цилиндрической системе координат удовлетворяет уравнению Лапласа с граничными условиями: Здесь Ai(X) - неизвестные функции, JQ(XT) - функция Бесселя нулевого порядка.
В силу выбора записи потенциала, условия равенства потенциала на границе раздела областей для Vi(r,Zi) = V +i(r, ), для і = 1;тг уже выполнены. На плоскостях z = Z{ при г К\ потенциал должен принимать заданное значение [/$ а вне этих областей имеют место условия непрерывности потенциала, сводящиеся к требованию непрерывности производной —— , в итоге граничные oz условия запишутся в виде:
В результате численного расчета было получено распределения потенциала во всем пространстве исследуемой системы, где острие представляет собой сферу на конусе, значения потенциалов на дис Рис.5. Распределение электростатического потенциала. 104 ках острия выбирались из требования равенства нулю потенциала вблизи дисков моделирующих острие. Картина расчетов и картины эквипотенциалей приведены на рис.4, для следующих значений координат диафрагм (r,z): (0.3, 0.3), (0.2, 0.5), (0.1, 0.9), потенциалы диафрагм: 30, 20, 70.Острие представляет собой сферу на конусе. Значение потенциала на катоде равно нулю, на аноде 100, расстояние между анодом и катодом равно 1, длина острия 0.1.
Отличие этой математической модели, от модели представленной в параграфе 3.1 заключается в наличии дисков между диафрагмами. Поэтому достаточно рассмотреть как преобразуются выражения для нахождения распределения потенциала в системе состоящей из двух диафрагм и дисков между ними.
