Содержание к диссертации
Введение
1. Задача электромагнитного рассеяния на диэлектрике 9
1.1. Постановка задачи 9
1.2. Расчетная вычислительная сетка 13
2. Итерационные методы для решения задач электромагнитного рассеяния 21
2.1. Решение задач методом простой итерации 23
2.2. Обобщение метода простой итерации 30
2.3. Оптимальный итерационный параметр для сходимости МОПИ 38
2.4. Метод релаксации 44
3. Разработка алгоритмов и программ для решения интегральных уравнений задач рассеяния волн с помощью МОПИ 47
3.1. Алгоритмы определения оптимального итерационного параметра для различных практически важных случаев области локализации спектра матрицы перехода 47
3.2. Описание подпрограмм определения оптимального параметра 50
3.3. Описание подпрограммы МОПИ для решения систем линейных уравнений... 53
4. Численные исследования 55
4.1. Двумерные скалярные задачи рассеяния 56
4.2. Двумерные векторные задачи рассеяния 87
4.3. Трехмерные векторные задачи рассеяния 95
4.4. Исследование задач рассеяния на диэлектрике с помощью борновского приближения 101
4.5. Двумерные краевые задачи электростатики 114
Заключение 119
Литература 120
Приложение 1
- Расчетная вычислительная сетка
- Обобщение метода простой итерации
- Описание подпрограмм определения оптимального параметра
- Трехмерные векторные задачи рассеяния
Введение к работе
Актуальность темы.
Диссертационная работа посвящена разработке алгоритмического и программного обеспечения для численного решения задач двумерного и трехмерного рассеяния и поглощения электромагнитных волн рэлеевского и резонансного диапазонов на неоднородном диэлектрическом теле. Указанные задачи являются объектом исследования многих специалистов. Это обусловлено тем, что подобные задачи имеют большое значение для практики, например, при проектировании диэлектрических антенн, при взаимодействии электромагнитного поля с биологическими объектами, при дистанционном обнаружении дислокаций в кристаллах и так далее. Математическое моделирование взаимодействия электромагнитного поля с диэлектрическими структурами значительно облегчает разработку устройств, а в ряде случаев является единственно возможным, например, при взаимодействии поля с биологическими объектами.
Указанные задачи описываются интегральными уравнениями относительно электрического поля в диэлектрическом теле. Для численного решения интегральные уравнения необходимо дискре-тизировать и свести к системе линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) относительно неизвестных значений электрического поля в узлах расчетной сетки. Поскольку размерность СЛАУ N очень велика, особенно для трехмерных задач, то использование прямых методов типа метода Гаусса практически невозможно, так как это требует порядка N3 арифметических операций.
При использовании итерационных методов решения СЛАУ наблюдается значительный выигрыш по числу арифметических операций и объему оперативной памяти, требуемых для реализации алгоритмов. По сравнению с методом Гаусса время решения задачи будет в N / т раз меньше, где т - требуемое число итераций. Таким образом, решение СЛАУ размерностью N»1000 становится реально осуществимой задачей для персональных компьютеров.
Поэтому разработка и программная реализация быстросхо-дящихся итерационных алгоритмов, предназначенных для числен-
ного решения задач рассеяния электромагнитных волн на диэлектриках, является актуальной.
Цель работы.
Целью работы является разработка алгоритмического и программного обеспечения для численного решения интегральных уравнений, описывающих задачи рассеяния электромагнитных волн на диэлектрических структурах, с использованием метода оптимальной простой итерации (МОГТИ), а также проведение численных расчетов с использованием разработанного комплекса программ для двумерных и трехмерных задач.
В соответствии с целью работы поставлены следующие научные задачи:
Исследование спектра рассматриваемых интегральных уравнений для различных классов задач.
Алгоритмы нахождения оптимальных итерационных параметров для МОПИ.
Разработка алгоритмов и подпрограмм, основанных на МОПИ, для решения СЛАУ, возникающих после дискретизации интегральных уравнений.
Численные решения двумерных скалярных, а также двумерных и трехмерных векторных задач.
Научная новизна.
Научная новизна работы определяется следующими положениями:
Численно исследованы спектральные картины интегрального оператора и их закономерности использованы для построения оптимального итерационного алгоритма.
Определены явные формулы и алгоритмы для нахождения оптимального итерационного параметра для сходимости МОПИ.
Исследована точность и область применения первого приближения МОПИ (оптимизированное борновское приближение), которое существенно использует информацию о спектре интегрального оператора. Показана эффективность этого метода, как в рэлеевском, так и в ближнем резонансном диапазонах длин волн.
Основные положения, выносимые на защиту.
Комплекс программ, разработанный в среде Mathcad, позволяющий получать решения задач электромагнитного рассеяния на диэлектрических структурах.
Алгоритмы нахождения оптимальных итерационных параметров для МОГТИ для различных практически важных случаев области локализации спектра матрицы перехода.
Комплекс алгоритмов и программ на основе МОГТИ для решения интегральных уравнений.
Численные результаты, полученные с помощью разработанного пакета программ по решению двумерных и трехмерных задач рассеяния электромагнитных волн.
Методы исследования.
При решении поставленных задач использовались принципы построения алгоритмов, методы вычислительной математики и программирования, численные методы, а также аппарат линейной алгебры и математической физики.
Практическая ценность работы.
Исследования показали практическую возможность моделирования электромагнитного рассеяния на двумерных и трехмерных локально неоднородных объектах.
Численные решения задач рассеяния и поглощения электромагнитных волн на биологических структурах показали возможность использования разработанного комплекса алгоритмов и программ с целью разработки безопасных источников мобильного излучения, для решения задач гипертермии и других биомедицинских целей.
Оптимизированное борновское приближение может служить предобуславливателем для нестационарных итерационных методов.
Результаты исследований вошли в работы по проектам: «Исследование путей создания экспериментального образца аппаратно-программного комплекса для решения больших вычислительных задач (с приложениями в области электромагнетизма и гидроакустики)» (2013 г.), который проводился по Государственному контракту с Министерством образования и науки Российской
Федерации; «Математическое моделирование взаимодействия электромагнитного поля со сложными трехмерными структурами на основе сингулярных объемных интегральных уравнений» ведомственной научной программы «Развитие научного потенциала высшей школы» (2009 г.). Практическая ценность выполненных разработок подтверждена актами о внедрении.
Достоверность полученных результатов подтверждается математическими выкладками, а также проведенными численными исследованиями.
Апробация работы.
Основные положения и результаты работы докладывались на:
Международном симпозиуме «Progress In Electromagnetics Research Symposium» (Москва 2009 г.) - одном из крупнейших ежегодно проводящихся симпозиумов по применению и прогрессивному развитию теоретической и прикладной электродинамики и разнообразных ее приложений во всех частотных диапазонах; симпозиумы PIERS проводятся при поддержке Академии электромагнетизма с 1989 г.;
Международной научно-практической конференции «Актуальные проблемы и перспективы развития радиотехнических и инфокоммуникационных систем» (Москва 2013 г.);
Международной научно-практической конференции «Современные информационные технологии и ИТ-образование» (Москва 2011 г.);
Конкурсе прикладных разработок и исследований в области компьютерных технологий «Компьютерный континуум: от идеи до воплощения» (Москва 2011 г.) - работа отмечена дипломом;
Международных конференциях «Информационно-вычислительные технологии в науке» (Москва 2007, 2008, 2009 гг.);
Научно-практических конференциях «Современные информационные технологии в управлении и образовании» (Москва 2010,2011гг.);
Научно-технических конференциях МГТУ МИРЭА (Москва 2007, 2008, 2009, 2011 гг.);
Конкурсе «Лучшая научная работа студентов и молодых ученых» (Москва 2008 г.) - работа отмечена дипломом 3-й степени.
Публикации.
По материалам диссертационной работы опубликовано 10 работ, из них 1 публикация в ведущем рецензируемом научном издании, рекомендованном ВАК РФ, 1 публикация в трудах международного симпозиума «Progress in Electromagnetics Research Symposium», проводящегося при поддержке Академии электромагнетизма с 1989 г. (включен в систему цитирования Web of Science - Conference Proceedings Citation Index) - может быть причислена к публикациям в изданиях, рекомендованных ВАК РФ, 2 статьи в материалах международных конференций, 6 статей в сборниках трудов конференций.
Личный вклад соискателя.
Определены оптимальные итерационные параметры для МОПИ для различных конфигураций спектра на комплексной плоскости. Разработаны комплексы алгоритмов и программ для решения интегральных уравнений для двумерного и трехмерного случаев. Проведены численные исследования.
Структура и объём работы.
Диссертационная работа состоит из введения, четырех глав, выводов, библиографического списка из 34 наименований. Работа содержит 127 страниц, включая 60 рисунков, 1 таблицу и 2 приложения.
Расчетная вычислительная сетка
Запишем исходное уравнение электромагнитного рассеяния (1.1.1) в виде, более удобном для вычисления итераций х = Тх + ф. (2.1.1) Здесь X - неизвестный вектор, ф - заданный вектор правой части, Т - заданная матрица коэффициентов, так называемая матрица перехода, используя которую вычисляются итерации по следующим формулам Для случая Т = Е- А выражения (2.1.2) представляют собой запись метода простой итерации.
Если матрица Т постоянна (не зависит от номера итерации к), то такой итерационный процесс называется стационарным. Если матрица Т легко вычисляема и может быть явно представлена в законченном виде до начала вычислений, то такой итерационный процесс называется явным.
Процесс простой итерации может быть эквивалентно записан также в виде ряда по степеням оператора Т, то есть в виде, так называемого, ряда Неймана
Пусть X - точное решение, строго удовлетворяющее исходному уравнению х =Тх + f, а Ллг - дг - х - ошибка на к -м шаге итерации. Тогда из (2.1.2) получаем выражение для соотношения ошибок на к+1 и к-м шаге Дх( +1)=7Дх( ). Значит для нормы ошибок имеем соотношения: Дх( +,) rAxw ІІТІІА+І Дх(0) Сотникова Наталья Юрьевна. Диссертация на соиск. уч. ст. канд. техн. наук. Москва 2013 Отсюда следует достаточное условие сходимости процесса простой итерации: 7j = 6, 8 1. Действительно, тогда йщк+1 Д = sk+l А5Е « Д5с Матрица перехода с 7 = 5 1 называется сжимающей, а процесс (2.1.2) для него сходящимся, т.к. ошибка убывает с каждым шагом независимо от её начальной величины. Спектральным радиусом матрицы (конечномерного оператора) Т называется р(Т) = тах#/, где в. - собственные числа оператора Т [27]. / Для любой нормы справедливо соотношение р(Т) г[. Доказывается [11, 24], что необходимым и достаточным условием сходимости процесса простой итерации (2.1.2) является условие Р(Т) \, (2.1.5) при этом итерации сходятся не хуже геометрической прогрессии со знаменателем q = р(Т).
Условие (2.1.5) является, как правило, сильным ограничением для непосредственного применения метода простой итерации (2.1.2) для решения заданной СЛАУ. Выбор иного оператора Т с другим спектром при эквивалентности исходной системе уравнений может существенно расширить область сходимости процесса простой итерации:
В качестве условия выхода из вычислительного процесса при достижении заданной точности решения є, как показано ниже, можно принять: Сотникова Наталья Юрьевна. Диссертация на соиск. уч. ст. канд. техн. наук. Москва 2013 5cw -x( _1) —— є, где g-спектральный радиус T или какая-либо оценка дру 1 Ч гой нормы Т. Покажем практический способ выхода из процесса итераций, гарантирующий достижение заданной точности вычислений в общем случае процесса простой итерации со знаменателем q. Будем полагать, что ошибка на п-отл итерации вычислена с точностью є, то есть Дх . Контролю же в процессе вычислений поддаётся величина Дх„, где Дхи = х(" -Xе""1 - разность векторов решения на двух соседних итерациях. Установив связь между этими величинами, мы получим возможность проводить вычисления с заданной точностью. Заметим, что х{" к) - х(п) - Дх при к — со. Из неравенства треугольника получим
Поскольку В и С постоянны и не зависят от номера итераций, то процесс называется неявным стационарным одношаговым методом. Эквивалентная матрица перехода в вычислительном процессе непосредственно не участвует, но может быть использована для теоретических исследований сходимости метода. Из (2.1.9) следует, что эквивалентная матрица перехода есть Т(экв)=В 1С (2.1.10)
Результат процесса (2.1.9) такой же, как и процесса (2.1.2) при использовании в качестве матрицы перехода Т эквивалентной матрицы т экв , однако процессы (2.1.9) и (2.1.2) существенно различные.
В виде (2.1.9) могут быть записаны как неявные, так и явные итерационные процессы, но для явных процессов матрица В легко вычисляема. Так, если В = Е- единичная матрица, то С = Т-Е-А и процесс известен, как явный метод простой итерации Ричардсона. Если В = D,TO C-D-A = -(L + U), и матрица перехода T = -D l(L + U) (2.1.11) легко аналитически вычисляется (так как для обратной матрицы D" элементы известны и равны d..-\la-, при i = j и нулю при іФ j). Процесс (2.1.2) с матрицей (2.1.11) называется явным методом простой итерации Якоби. Здесь исходная матрица А представляется в виде суммы нижней треугольной матри Сотникова Наталья Юрьевна. Диссертация на соиск. уч. ст. капа. техн. наук. Москва 2013 цы L, диагональной матрицы D и верхней треугольной матрицы U. Таким образом, матрица перехода Якоби имеет нулевую главную диагональ. В случае B-L + DnC- -U эквивалентная матрица перехода есть Т(эт) =-{L + D) lU. (2.1.12) Обратная матрица здесь не является легко вычисляемой и в вычислениях не присутствует. Процесс (2.1.9) в этом случае называется неявным методом Зейделя.
Более подробная построчная запись явного метода Якоби и неявного метода Зейделя выглядят почти аналогично, так как основой алгоритма в том и другом случае является матрица перехода Якоби. Отличие в том, что в методе Якоби для получения вектора текущей итерации эта матрица умножается на вектор предыдущей итерации, а в методе Зейделя происходит последовательное умножение строк этой матрицы на изменяющийся в одной компоненте после каждого умножения вектор. Результат этого процесса можно представить в виде умножения эквивалентной матрицы перехода на вектор предыдущей итерации. Однако, сам процесс и количество арифметических операций в нем совершенно другое. Так, если исходная матрица трехдиагональная, то матрица Якоби (2.1.11), участвующая в процессе метода Зейделя, двухдиагональная, а эквивалентная матрица в (2.1.12) - это почти треугольная матрица Хессенберга [29].
Обобщение метода простой итерации
Таким образом, величины x и x" в двух последних формулах существенно отличаются, что и свидетельствует о нелинейности оператора по отношению к сумме операторов и умножению на число. По отношению к воздействию на вектор легко можно показать, что оператор линеен и непрерывен. Поэтому критерий сходимости метода простой итерации для линейных непрерывных операторов перехода применим и для него: р{Т) 1.
Для ускорения сходимости перепишем исходное уравнение в эквивалентном виде, заменив матрицу В на (В + kl) /(1 + /с) и правую часть z на z /(к +1), где к- произвольное, к -1, комплексное число. В соответствии с нашими соглашениями о сумме операторов и умножении оператора на число, этой матрице соответствует модифицированный оператор Зейделя в (2.2.7) следующего вида Вк=(В + к1)/(1 + к). (2.2.11)
Сотникова Наталья Юрьевна. Диссертация на соиск. уч. ст. канд. техн. наук. Москва 2013 Применение модифицированного оператора Зейделя эквивалентно следующему неявному процессу в матричной записи (L + (\ + K)D)x(k+l) =(KD-U)x(k) +f (2.2.12) Такой неявный стационарный процесс известен как метод релаксации. При к = О и со = 1 метод релаксации совпадает с обычным методом Зейделя. Эквивалентная матрица перехода имеет вид т(жв) =(L + Q + K)D) l (kD-U). (2.2.13) Известно, что ряд простой итерации сходится тогда и только тогда, если спектральный радиус оператора перехода Зейделя или эквивалентной матрицы перехода р(Вк) \. Выбором параметра к попытаемся улучшить сходимость итераций. Аналогичное преобразование было исследовано ранее для явных методов. Для неявного модифицированного метода Зейделя (метода релаксации) оптимальный параметр для сходимости в аналитическом виде удается найти в случаях, когда матрица СЛАУ имеет вид: 1) трехдиагональная теплицева, вообще говоря, несимметричная матрица; 2) симметричная положительно определенная согласованно упорядоченная матрица.
Сходимость метода простой итерации зависит от спектральных свойств матрицы перехода.
Рассмотрим случай комплексной симметричной (неэрмитовой) матрицы с комплексным спектром, возникающей при численном решении интегральных уравнений электромагнитного рассеяния.
Процедура нахождения оптимального итерационного параметра для МОПИ известна [1]. Пусть выпуклая оболочка спектра матрицы перехода Т не содержит точку 1. Тогда оптимальным параметром к, минимизирующим радиус сходимости р{Т(к)) матрицы Т(к), является на комплексной плоскости центр круга, содержащего полностью выпуклую оболочку спектра матрицы Т и «видимого» из точки 1 под наименьшим углом. Однако, аналитически и алгоритмически оптимальный параметр известен лишь в нескольких случаях расположения спектральной области. А именно, если эта область: — замкнутая непрерывная окружность, либо отрезок, лежащий на луче, исходящем из точки 1. В этих случаях оптимальный параметр для сходимости МОПИ есть центр спектральной области и дается формулой (2.2.4), где в . и в - минимальное и максимальное по модулю собственные числа матрицы Е-Т. Здесь же, в частности, находится случай вещественного положительного (отрицательного) спектра матрицы Е-Т; — произвольный комплексный отрезок. Тогда оптимальный параметр есть точка пересечения серединного перпендикуляра к отрезку и окружности, проведенной через точку 1 и концы отрезка [1]; — произвольный комплексный треугольник; Сотникова Наталья Юрьевна. Диссертация на соиск. уч. ст. канд. техн. наук. Москва 2013 — произвольный комплексный многоугольник.
Остановимся более подробно на двух последних случаях, так как алгоритм определения оптимального параметра для сходимости МОГТИ в случае спектральной области в виде произвольного комплексного треугольника и многоугольника имеет практическое значение.
Сначала найдем оптимальный радиус и скорость сходимости для спектральной области в виде комплексного отрезка.
На рис.2.3.1 точка 0 - начало координат комплексной плоскости и точка А — точка 1 на вещественной оси. Отрезок ВС — область расположения спектра матрицы перехода Т. Точка Одвс - центр окружности, описанной вокруг треугольника ABC. Через серединный перпендикуляр к отрезку ВС проведем из точки Одвс луч Олвсх» на котором х - расстояние от начала луча.
Пусть центр окружности, проходящей через точки В и С, лежит на этом луче на расстоянии X от точки Одвс в точке X, а окружность при этом «видна» Сотникова Наталья Юрьевна. Диссертация на соиск. уч. ст. канд. техн. наук. Москва 2013 из точки 1 под углом 2. АК - касательная к этой окружности, R = R(x) - её радиус. Если в качестве параметра к в (2.2.1) принять комплексное значение точки X, то радиус сходимости естьр = sin() = R/АХ. Найдем функцию р = р{х), ее минимум и значение в минимуме. Очевидно, что /9(0) = р(оо) = 1, на остальной оси 0 р(х) 1. Итак, искомая функция, используя теорему косинусов и свойства центральных и вписанных углов в окружности с центром в точке Одвс И В точке X х2 -2rxcosa+r2 Xі - 2rxcos(a + 2у) + г1 p(x) = R/AX = J 2x-ZrxC0Sa + r л. (2.3.1) Здесь а - ZBAC, у = /.ВСА - фиксированные углы заданного ААВС, г-радиус описанной вокруг ААВС окружности. Минимум функции (2.3.1) имеет значение
При этом, оптимальный параметр сходимости в случае спектра-отрезка к = ОХ,. Таким образом, оптимальный параметр сходимости в случае комплексного спектра-отрезка есть значение точки пересечения окружности Одвс и серединного перпендикуляра к отрезку, причем из двух значений следует выбирать то, для которого оптимальная окружность не содержит точку
В случае, если область расположения спектра - ABCD, алгоритм определения оптимального параметра следующий. Пусть со., і = 1,2,3 - оптимальные круги, построенные для каждого отрезка из ABCD, как описано выше. Если третья вершина треугольника принадлежит какому-либо кругу со. или его границе, то оптимальный параметр найден: к = 0Х.. В противном случае (как представлено на рис.2.3.2) следует переместиться из точки X. по построенному
Описание подпрограмм определения оптимального параметра
Оценка невысокой скорости сходимости, приведенная выше для метода МОПИ на основе исследования спектра интегрального оператора перехода итерационного процесса, справедлива для всех явных методов, как стационарных, так и нестационарных, имеющих дело с явным исходным оператором или с оператором перехода, связанного с ним дробно-линейным преобразованием, как в методе МОПИ. Проводились исследования сходимости другого явного итерационного метода, многошагового метода минимальных невязок МММН [1], который является методом вариационного типа и не использует информацию о спектре оператора. Метод МММН дает также невысокую и даже худшую в 2-4 раза по сравнению с методом МОПИ скорость сходимости и имеет другие, нехарактерные для МОПИ, недостатки. Так, для задач на рис.4.1.2, 4.1.3 метод МММН при однажды найденном на редкой сетке внутреннем параметре показывает зависимые от NK результаты по количеству итераций для достижения заданной точности решения, лучший из которых т=2300 итераций при точности по невязке решения в 1 10" (что более, чем в 5 раз больше, чем необходимо методу МОПИ), а в случае NK=1200 значение т=6000 при ТОЧНОСТИ ПО невязке решения в 1 10"3 (заданная ТОЧНОСТЬ 10"4 не достигнута ввиду ограничения по количеству итераций). Кроме того, имеется существенная зависимость скорости сходимости в методе МММН от правой части уравнения, то есть от падающего поля, в частности, от его направления для несимметричной задачи.
Так, рассматривалась задача, когда круглое цилиндрическое костное включение имеет смещенный на R/5 по оси Y центр и радиус 2R/3. Падающее поле имеет направленный вдоль оси X волновой вектор к и, таким образом, задача поглощения несимметрична по оси Y, что хорошо видно на графике линий уровня одинакового поглощения в сечении цилиндра и на графике зависимости значения поглощения Р(х,у) от координат х,у в сечении цилиндра. Заметно, что для меньшего электрического радиуса (рис.4.1.4) одинаковая по значению
Сотникова Наталья Юрьевна. Диссертация на соиск. уч. ст. канд. техн. наук. Москва 2013 напряженность электрического поля глубже проходит внутрь цилиндра, чем для цилиндра максимального радиуса (рис.4.1.6). Во всех случаях наблюдается значительное затухание поглощения в костной ткани, которая отличается меньшим значением мнимой и действительной части диэлектрической проницаемости. Для параметров задачи на рис.4.1.4 размер цилиндра составляет около половины длины волны в мышечной среде и наблюдается дифракционная картина вокруг костного включения. Из рассмотренных графиков можно сделать вывод, что поле данной и меньшей частоты может быть использовано для задач гипертермии в среде с такими параметрами, а проникновение поля большей частоты в такую двумерную структуру мало.
На рис.4.1.7 представлено решение аналогичной задачи с d=0.15 мис волновым вектором падающей волны, направленным в обратную сторону по оси Y. Ввиду близкого расположения костной области к границе среды и ее экранирующего действия заметно увеличенное энерговыделение в более тонком мышечном слое. Наблюдается также значительная дифракция на костном включении, так как волна не успела затухнуть на тонком мышечном слое. Этот эффект значительно ослаблен на рис.4.1.8 ввиду большего затухания поля в мышечной среде при увеличении ее размера.
Для рассмотренных несимметричных задач метод МММН дает лучшие результаты по сходимости, чем для симметричной задачи, однако, по-прежнему отстает от МОПИ по эффективности в 2-3 раза. Число итераций в методе МММН для рассмотренных несимметричных задач лежало в диапазоне т=940-1240 при достигнутой точности по невязке решения h=7- 9 10"5, в то же время для метода МОПИ т=448-464 при h=4-6 10"5. В связи с проведенными исследованиями далее для больших задач использовался только метод МОПИ.
Сотникова Наталья Юрьевна. Диссертация на соиск. уч. ст. канд. техн. наук. Москва 2013 Численные исследования задачи рассеяния и поглощения электромагнитной волны на длинном цилиндре мышечных тканей с двумя несимметричными костными включениями
На рис.4.1.9-4.1.14 представлены численные решения задач поглощения плоской волны Е-поляризации частотой 900 МГц на длинном цилиндре круглого сечения радиуса R=0.1M и R=0.25M ИЗ мышечных тканей с диэлектрической проницаемостью = 58-/ 61 с двумя несимметричными по оси X костными цилиндрическими включениями с диэлектрической проницаемостью = 14-/ 3 и различными радиусами Rl=R/4 и R2=R/3. Количество узлов сетки в области сечения - NK=1875 (RK=25), что для задачи с R=0.25M соответствует 6 узлам на длину волны в мышечной среде и 16 узлам для задачи с R=0.1M.
Численная методика опирается на МОПИ для решения интегрального уравнения рассеяния.
На рис.4.1.9 представлено численное решение задачи рассеяния и поглощения на цилиндре с R=0.1M и направлением распространения падающей волны вдоль оси X. В данной задаче для достаточной аппроксимации волновых явлений в среде (8 узлов на длину волны в среде) достаточно было выбрать значение RK=10. Однако с целью достаточной аппроксимации сложной геометрии задачи принято RK=25.
Электрические размеры цилиндра относительно невелики - 0.3 длины волны в свободном пространстве и 2.5 длины волны в мышечной ткани. Поэтому затухание волны в цилиндре плавное (рис.4.1.9) и заметны дифракционные явления на костных включениях и поверхностная волна на внутренних цилиндрах вплоть до выхода волны из цилиндра на противоположном конце диаметра. Та же картина наблюдается и на рис.4.1.10 при противоположном направлении падающей волны, однако дифракционные явления и поверхностная волна
Трехмерные векторные задачи рассеяния
Численные исследования трехмерной задачи рассеяния электромагнитной волны на диске (длина «радиуса)
Рассматривались 2 случая падения волны на диск: а) сбоку; б) перпендикулярно. Параметры задачи: d=1.5?i - безразмерный диаметр цилиндра; є=4 — диэлектрическая проницаемость; К3=1 - количество точек по z.
На рис.4.3.9 представлен спектр, оптимальный параметр к= -1-1.71 и диаграммы рассеяния на редкой сетке (количество точек разбиения по диаметру К=12, общее количество точек N=324). На рис.4.3.10 - диаграммы рассеяния на более густой сетке (К=24, N=1296), полученные при найденном на редкой сетке значении оптимального параметра за: а) т=54 итерации при точности по невязке решения h=8.871 10"6 при распространении волны по х, поляризации по у; б) ш=53 итерации при точности по невязке решения h=5.159 10"6 при распространении волны по z, поляризации по у.
В данной работе для оценки приближенного решения задачи рассеяния исследуется точность и область применения первого приближения МОПИ, которое существенно использует информацию о спектре интегрального оператора Г: EV=LJEL. Е(0)+ . (4.4.1) 1-лг 1-лг Здесь Ет - значение поля на 1-ой итерации, начиная с начального при ближения к - комплексный параметр, оптимальное значение для которого зависит от области локализации спектра интегрального оператора перехода Т. В случае к — О приближение (4.4.1) известно как борновское приближение, ко торое с хорошей точностью дает решение для малых отклонений диэлектриче ской проницаемости от проницаемости вакуума \s —1«1.
Спектр интегрального оператора и его влияние на численное решение интегрального уравнения до последнего времени оставались малоизученными. Закономерности спектра сингулярного интегрального оператора перехода Т, а следовательно, и матрицы перехода итерационного метода установлены аналитически [2] и подтверждаются численно [6].
В векторных случаях задачи рассеяния электромагнитных волн, а именно в двумерном случае Н-поляризации и общем трехмерном случае, этот спектр содержит как непрерывную часть, которая имеет установленную зависимость от значений диэлектрической проницаемости среды, так и дискретную часть с точками накопления собственных чисел на непрерывной составляющей.
Сотникова Наталья Юрьевна. Диссертация на соиск. уч. ст. канд. техн. наук. Москва 2013 102 В рэлеевском диапазоне длин волн дискретная составляющая спектра находится в относительно малой области возле непрерывной части спектра и при определении оптимального параметра МОГТИ ею можно пренебречь. Например, для однородной среды область локализации непрерывного спектра -это отрезок от точки 0 до точки 1-е, где є - относительная диэлектрическая проницаемость среды, и в случае среды без потерь для рэлеевского диапазона оптимальный параметр равен (согласно [2, 6] как для вещественного отрезка-спектра)
Для неоднородной среды без затухания формула для оптимального параметра такая же - (4.4.2), но при этом є - максимальное значение в среде.
В случае однородной среды с потерями отрезок непрерывного спектра комплексный — 0, 1- е] и оптимальный параметр сходимости определяется с помощью формул [6]
Здесь с- середина комплексного отрезка (так как рассматривается диэлектрик с потерями \т{е) 0, то Re(c) 0, Im(c) 0 и область расположения непрерывного спектра - вторая четверть комплексной плоскости), R — радиус окружности, проведенной через концы отрезка и точку сингулярности - точку 1, JC — оптимальный параметр МОПИ. При этом, так как точка 0 есть вершина отрезка локализации спектра, то спектральный радиус интегрального оператора перехода в МОПИ для однородной среды как с потерями, так и без них, равен [6] Сотникова Наталья Юрьевна. Диссертация на соиск. уч. ст. канд. техн. наук. Москва 2013 103 Для неоднородной среды с затуханием значение оптимального параметра определяется специальными алгоритмами [13]. В случае, если комплексная диэлектрическая проницаемость среды принимает два различных значения si и е2, то непрерывный спектр лежит на двух сторонах треугольника [0,1-е/] и [0,1-е2], а также, быть может, во внутренности этого треугольника. Если проводимость принимает три различных значения, то на сторонах и во внутренности четырехугольника с вершиной в точке 0 и т.д. В квазистатическом, рэлеевском диапазоне длин волн существенным является только непрерывный спектр. В ближней резонансной и резонансной области длин волн появляется дискретный спектр, точки накопления которого лежат на непрерывном спектре. Дискретный спектр в резонансной области может существенно выходить за пределы выпуклой оболочки непрерывного спектра, тем самым изменяя значение оптимального параметра для сходимости МОГТИ. Так, для среды без затухания он может заполнять некоторую значимую область в нижней полуплоскости и определять мнимую составляющую оптимального параметра.
На рис.4.4.1,а приведена область сходимости р \ обычного метода последовательных приближений для диэлектрической проницаемости однородного рассеивающего тела є = Re()-i-lm(c) (рассматриваются реальные диссипа-тивные среды с ReO) 0, Іт(є) 0) в рэлеевской области длин волн. В этой области максимальное по модулю собственное значение оператора Т, то есть его спектральный радиус р = 1-я. Область сходимости ограничена полукругом радиуса 1 вокруг точки 1 (диэлектрическая проницаемость вакуума). Область достаточно быстрой сходимости по критерию р 0.6 есть соответственно полукруг радиуса 0.5. Нарис.4.4.1,б,в показана область сходимости МОПИ с оптимальным параметром (4.4.3) и спектральным радиусом (4.4.4) в виде поверхности над комплексной плоскостью (рис.4.4.1,б) и в виде линий уровня
