Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Современные подходы к учёту неопределённости, случайности и риска при анализе макроэкономических процессов 13
1.1. Неопределённость, случайность и риск в экономических исследованиях 13
1.2. Нелинейные детерминированные модели макроэкономических процессов 16
1.3. Дискретные стохастические экономико-математические модели 20
1.4. Непрерывные стохастические модели финансового сектора экономики 25
1.5. Термодинамические аналогии в исследовании макроэкономических процессов 33
1.6. Резюме 34
Глава 2. Стохастическое моделирование односекторной национальной экономики 37
2.1. Стохастическое обобщение модели Солоу 37
2.2. Исследование модели 41
2.3. Логарифмически стационарные траектории экономики 45
2.4. Детерминированные характеристики показателей развития односекторной экономики 48
2.5. Резюме 54
Глава 3. Стохастическое моделирование экономики российской федерации 55
3.1. Анализ макроэкономических показателей Российской Федерации по методу нормированного размаха (TZ / S -анализ) 55
3.2. Энтропийный анализ макроэкономических показателей Российской Федерации 58
3.3. Параметрическая идентификация односекторной стохастической динамической модели экономики Российской Федерации 69
3.4. Резюме 71
Основные выводы 74
Список использованной литературы 76
Приложение
- Нелинейные детерминированные модели макроэкономических процессов
- Непрерывные стохастические модели финансового сектора экономики
- Детерминированные характеристики показателей развития односекторной экономики
- Энтропийный анализ макроэкономических показателей Российской Федерации
Введение к работе
Актуальность темы исследования. Одним из основных постулатов современной политической экономии и математической экономики является общая теория экономического равновесия, основанная на утверждении Ж.-Б. Сэя (XIX в.) о том, что рыночные отношения автоматически приводят к состоянию равновесия, т. е. равновесие является глобально устойчивым. Реальная экономическая система никогда не находится ни в состоянии статического равновесия, ни в состоянии сбалансированного роста, о чём свидетельствуют экономические кризисы, регулярно возникающие в последнее время в различных странах мира.
Как отмечают А. А. Петров, И. Г. Поспелов и А. А. Шананин, «в любой экономической системе у людей достаточно свободы, чтобы действия их всех вместе выглядели хаотическими» [70, с. 34]. Экономика серьёзно подвержена влиянию случайных факторов — многие события, влияющие на макроэкономическую динамику, являются случайными: экономическая конъюнктура, производственная неопределённость, сбор большого или малого урожая, научные открытия и др. Поэтому стохастические математические модели являются наиболее адекватным отражением экономической реальности.
Любые решения об управлении экономикой страны должны приниматься на основе тщательного анализа имеющейся информации, с учётом оценок возможных последствий и рисков. Даже если модель построена точно, практические предсказания и управление соответствующей экономической системой могут оказаться невозможными, как из-за влияния экзогенных случайных факторов, так и вследствие не-
устранимых ошибок измерений.
В современной математической экономике распространены следующие типы моделей макроэкономической динамики: детерминированные модели с дискретным временем; детерминированные модели с непрерывным временем; стохастические модели с дискретным временем.
В последнее время при моделировании финансовых процессов появляются и стохастические модели с непрерывным временем, но такие модели практически не применяются при исследовании динамики макроэкономических систем в целом.
Вместе с тем, использование стохастических моделей с непрерывным временем при анализе макроэкономических процессов актуально, так как аналитическое исследование таких моделей технически проще, чем исследование аналогичных систем с дискретным временем (в силу так называемого «.проклятия размерности», впервые отмеченного Р. Беллманом).
Диссертация выполнена в рамках плановой госбюджетной научно-исследовательской работы Государственного университета управления по теме «Математические методы исследования экономики» [62], [63] (№ гос. регистрации 01.960.010838, код темы по ГРНТИ 06.35.51).
Цель исследования. Целью диссертационного исследования является разработка и анализ макромодели экономической динамики, учитывающей влияние на эту динамику случайных факторов.
Задачи исследования. Достижение поставленной цели проводится посредством последовательной реализации еле-
7 дующих основных задач:
анализ и обобщение современных подходов к учёту случайных факторов при анализе макроэкономических процессов;
выявление макроэкономических показателей, на которые случайные факторы оказывают существенное влияние;
разработка теоретических подходов к построению математической модели национальной экономики, учитывающей влияние случайных факторов;
построение односекторной стохастической динамической модели национальной экономики и её исследование;
проверка по статистическим данным гипотезы о применимости построенной модели к реальной экономической системе (экономике России);
проведение практических экспериментов с построенной моделью;
разработка индикатора экономических кризисов.
Объект исследования. Объектом исследования яв
ляется национальная экономическая система.
Предмет исследования. Предметом исследования выступают социально-экономические процессы, протекаюшие в национальной экономике.
Методология и методика исследования. Теоретической и методологической основой диссертационной работы послужили исследования в области математического моделирования макроэкономической динамики, теории случайных процессов и стохастического исчисления, а также теории вероятностей, математической статистики и эконометрики. В ходе исследования
были использованы труды отечественных и зарубежных экономистов
и математиков: В. И. Аркина, Л. Башелье (L. Bachelier), Ф. Блэка
(F. Black), Н. Винера (N. Wiener), К. Гардинера (К. Gardiner), А. Дик-
сита (A. Dixit), И. В. Евстигнеева, Ж. Жакода (J. Jacod), В.-Б. Занга
(W.-B. Zhang), К. Ито (К. ltd), М. Каца {М. Kaz), В. А. Колемаева,
А. Н. Колмогорова, Р. Ш. Липцера, Р. Мертона (R. Merton), А. А. Пет
рова, Р. Пиндайка (R. Pindyck), И. Г. Поспелова, Э. Л. Пресмана,
П. Самуэльсона (P. Samuelson), А. Д. Сластникова, А. Д. Смирнова,
% Р. Солоу (R. Solow), С Тариовского (S. Turnovsky), А. А. Шананина,
А. Н. Ширяева, М. Шоулза (М. Scholes) и других авторов.
Для расчётов были использованы программные средства Microsoft Visual C++ и Microsoft Excel.
Научная новизна. Автором получены и выносятся на защиту следующие новые научные результаты:
в основных предположениях модели Солоу построена одно-
секторная стохастическая динамическая модель экономики с непре
рывным временем;
Ь получено точное аналитическое решение этой модели, дока-
заны теоремы о поведении математических ожиданий и дисперсий макроэкономических показателей национальной экономики, описываемой этой моделью;
по статистическим данным об экономике Российской Федерации проведена параметрическая идентификация модели, сделаны практические выводы о динамике российской экономики;
проведён анализ макроэкономических показателей Российской Федерации по методу нормированного размаха (статистический TZ /S -анализ);
проведён энтропийный анализ макроэкономических показателей Российской Федерации с помощью метода падающих прямоугольников;
предложен метод прогнозирования валютных кризисов на основе анализа относительного изменения энтропии динамики обменных курсов валют.
Достоверность. Достоверность полученных результатов обеспечивается построением экономически обоснованных математических моделей, использованием для исследования этих моделей достоверных математических методов, совпадением частных случаев с известными результатами. Основные положения работы сформулированы в виде теорем с доказательствами.
В качестве материала, на котором оцениваются реальные параметры экономики Российской Федерации, используются исторические данные Госкомстата России и Центробанка России.
Практическая значимость. Предложенная одно-секторная стохастическая динамическая модель экономики позволяет получать своевременные качественные и количественные выводы не только об ожидаемых последствиях тех или иных экономических решений, но и о сопутствующих этим решениям рисках.
Анализ относительного изменения энтропии динамики обменных курсов позволяет получить сигнал о грядущем наступлении валютного кризиса заранее, за один или несколько месяцев до его наступления.
Результаты работы могут быть использованы:
государственными структурами как инструмент поддержки
принятия решений при макроэкономическом регулировании с целью
оценки возможных последствий и рисков;
финансовыми институтами как индикатор наступления валютных кризисов с целью своевременного страхования рисков;
учебными заведениями при обучении, переподготовке и консультировании работников соответствующих государственных регулирующих структур, государственных и коммерческих финансовых институтов.
Апробация результатов исследования. Ре-зультаты диссертационного исследования докладывались и обсуждались на: семинарах кафедры прикладной математики ГУУ (Москва, ГУУ, 1997-2000 гг.); семинаре «Математические методы исследования сложных систем, процессов и структур» (Москва, МГОПУ, 1999 г.); VI Международной научно-методической конференции «Современные информационные технологии в профессиональном образовании» (Москва, МГТА, 2000 г.); 15-й Всероссийской научной конференции молодых учёных и студентов «Реформы в России и проблемы управления-2000» (Москва, ГУУ, 2000 г.); научной конференции «Математические методы исследования экономики» кафедры прикладной математики ГУУ (Москва, ГУУ, 2000 г.); VII Всероссийской школе-коллоквиуме по стохастическим методам (Сочи, МИ РАН им. В.А. Стеклова, РостГСУ, Ростовское математическое общество, Редакция журнала «7Ш7», СочГУТКД, 2000 г.); Первом Всероссийском симпозиуме по прикладной и промышленной математике (Сочи, Редакция журнала «Обозрение прикладной и промышленной математики», РостГСУ, Ростовское математическое общество, СамГУ, СочГУТКД, 2000 г.); Международной научной конференции «Актуальные проблемы управления-2000» (Москва, ГУУ, ОЭ РАН, Мэрия Мо-
сквы, 2000 г.); Российском научном симпозиуме «Математическое и компьютерное моделирование социально-экономических процессов» (Нарофоминск, ГУУ, ЦЭМИ РАН, РФФИ, РАЕН, 2000 г.); Международной научной конференции по фундаментальным наукам «Ломоно-сов-2001» (Москва, МГУ им. М.В. Ломоносова, 2001 г.); Втором Всероссийском симпозиуме по прикладной и промышленной математике (Самара, СамГУ, Редакция журнала «Обозрение прикладной и промышленной математики», РостГЭА, 2001 г.).
Внедрение результатов исследования. Результаты исследования нашли отражение в практической деятельности Службы информатизации ВГТРК по определению объёмов государственной поддержки радио- и телевизионных передающих центров (акт о внедрении от 18.01.2001 г.).
Материалы исследования были использованы в научно-исследовательской работе ГУУ по теме «Математические методы исследования экономики» [62]-[63] (№. гос. регистрации 01.960.010838, код темы по ГРНТИ 06.35.51). В развитие идей, изложенных в третьей главе диссертации, студентом Е.С. Долматовым под руководством соискателя была выполнена работа, занявшая третье место на конкурсе студенческих научных работ ГУУ в 2000 г. Ряд подходов, разработанных в диссертационном исследовании, составил методологическую основу специализированных направлений учебного процесса в Институте информационных систем управления ГУУ. Эти подходы используются при преподавании дисциплины «Теория вероятностей и математическая статистика» студентам специальности «Математические методы в экономике» - 061800, а также в деятельности Студенческого научного кружка «Стохастические мо-
дели в математической экономике и финансовой математике», работающего при кафедре прикладной математики ГУУ. По материалам исследования опубликованы учебное пособие [93] и проблемная лекция [92] для студентов специальности «Математические методы в экономике» - 061800 (акт о внедрении от 08.06.2001 г.).
Публикации. Основной материал диссертационной работы опубликован в 17 печатных научных работах общим объёмом 224 с. (авторский объём 219 с.) [92]-[108] и двух рукописных научных отчётах [62]-[63]. Из совместных публикаций в диссертацию включён лишь тот материал, который непосредственно принадлежит соискателю.
Структура и объём работы. Работа состоит из введения, трёх глав, выводов, списка использованной литературы и приложений, содержит 138 страниц сквозной нумерации, в том числе 7 иллюстраций и 2 таблицы; список использованной литературы включает 125 наименований.
Нелинейные детерминированные модели макроэкономических процессов
Существующие теоретические подходы к построению математических моделей макроэкономических процессов с учётом фактора неопределённости можно условно разделить на несколько взаимно дополняющих направлений. Первое из них видит важнейший источник неопределённости макроэкономической динамики в принципиальной нелинейности макроэкономических процессов. В работах этого направления «миру в его техническом понимании приписывается нерегулярное движение, генерируемое нелинейными системами, чьи динамические законы однозначно определяют временную эволюцию системы от заданной предыстории к текущему состоянию» [28].. Ещё на рубеже XIX и XX вв. А. Пуанкаре заметил, что некоторые механические системы, эволюция которых подчинена детерминированным уравнениям Гамильтона, могут проявлять хаотическое поведение, однако этот факт до 60-х гг. XX в. считался лишь курьёзом. В 1963г. Е.Н.Лоренц обнаружил, что простая система 3 нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка может привести к полностью хаотическим траекториям, названным «странными аттракторами» [49]. В 70-х гг. XX в. хаотиче ское поведение было замечено в ещё более простых системах: нелинейных одномерных отображениях вида xt+l = f{xt). Эти результаты нашли широкое применение в различных областях науки (см, например, библиографию в работе [116] по естественным наукам, а в работе [28] — по экономическим). Приведём простейший пример, предложенный в работе М. Штутцера [124] (1980 г.) и основанный на макроэкономической модели роста Т. Хаавельмо [115] (1954 г.). В работе [115] предложена следующая модель: Здесь L — численность занятых, X — объём производства, а, А, /3 и а — константы. Подстановка второго уравнения системы (1.2.1) в первое приводит к уравнению 1 Динамика этой системы очень проста: при ДО) ( r Q численность занятых L и объём производства X монотонно уменьшаются до своих стационарных состояний і при L(0) ( )1_а численность занятых L и объём производства X монотонно увеличиваются до своих стационарных состояний L и М. Штутцер [124] перешёл в модели (1.2.2) к дискретному времени: и с помощью замены переписал (1.2.3) в виде
При иллюстрации результатов М. Штутцера положим для простоты выкладок а — \, оговорив, что качественные свойства модели (1.2.4) не зависят от выбора конкретного значения а є (0;1). Для каждого возможного значения параметра а модель (1.2.4) имеет две стационарных точки: х = 0 и х = (г ) Точка х является неустойчивой, устойчивость точки х определяется значением а: при 0 а 4 х является устойчивой стационарной точкой, при а = 4 она не является ни устойчивой, ни неустойчивой стационарной точкой, при 4 а ас (где точное пороговое значение ас неизвестно, но доказано, что ас 5,54) х является неустойчивой стационарной точкой, а аттракторами системы становятся последовательно при уве личении а устойчивые предельные циклы порядка 2к (к растёт вместе с а). Наконец, при ас а 5,75 в системе возникает апериодическое движение: поскольку можно локализовать предельный цикл длины 3, то согласно теореме Т. Ли и Й. Йорке [46] (1975 г.) должны также существовать предельные циклы всех периодов fceN и несчетное множество точек, образующих апериодическую траекторию. В работах Т. Пу [74]-[79] (1979-1997 гг.), М. Бекмана и Т. Пу[7] (1985 г.), Т. Пу и У. Вайдлиха [80] (1986 г.) исследуются пространственные модели экономических процессов, учитывающих миграцию занятых, межрегиональную торговлю как диффузионные слагаемые. В работах Дж.
Бенхабиба и Р. Дэя [9], [10] (1981-1982 гг.) построены модели денежных рынков с перекрывающимися поколениями, проявляющие хаотическую динамику. В работе Р. Дэя [22] (1983 г.) построена модель экономического роста, в которой скорость прироста занятых определяется уровнем производства, а уровень производства зависит от количества занятых, причём их взаимодействие может приводить к предельным циклам и хаосу. М. Болдрин и Л. Монтруччио [12] (1986 г.), Р. Денкерэ и С. Пеликан [18] (1986 г.), В.-Б. Занг [27] (1989 г.) обнаружили хаотическое поведение в неоклассической оптимальной модели роста. Х.В. Лоренц [50], [51] (1987-1993 гг.) обнаружил странный аттрактор в модели международной торговли, рассматривая международную торговлю трёх стран как систему трёх возмущённых замкнутых национальных экономик. В работах В.-Б. Занга [28] (1991 г.), А.А. Петрова, И.Г. Поспелова и А.А. Шананина [70] (1996 г.), В.А. Колемаева [36]-[42] (1997 2000 гг.), В.Н. Разжевайкина [81] (1999 г.) и других исследователей рассматриваются малосекторные нелинейные детерминированные динамические модели экономики. В.А. Колемаев, в частности, обнаружил, что различие предметов труда, используемых в одном производственном цикле, и средств труда, используемых во многих циклах, является принципиальным и построил трёхсекторную динамическую математическую модель национальной экономики, в которой экономика делится на материальный, фондосоздающий и потребительский секторы.
С помощью трёхсекторной модели исследовались налогообложение, технический прогресс, инфляция, регулирующее воздействия государства, внешняя торговля, другие экономические процессы. Основной вывод из анализа работ первого направления состоит в том, что даже если модель построена точно, практическое предсказание и управление соответствующей экономической системой могут оказаться невозможными вследствие неустранимых ошибок измерений. Поэтому важно рассчитывать не только ожидаемые (прогнозные) значения экономических показателей — математические ожидания, но и погрешности этих прогнозов — дисперсии.
Непрерывные стохастические модели финансового сектора экономики
Третье направление состоит в стохастическом анализе непрерывных моделей процессов, происходящих в макроэкономике. Пусть задано вероятностное пространство [43] (Q, , Р), где Q — пространство элементарных событий, Т — а-алгебра событий, Р — вероятностная мера, и фильтрация [20] {Tt)t Qi удовлетворяющая обычным условиям [24], определяет на этом вероятностном пространстве стохастический базис [24], [82], [121], [122] При этом о -алгебра Tt имеет смысл всей информации, доступной к моменту t (t 0). Многочисленные попытки детерминированного описания динамики стоимостей ценных бумаг успехом не увенчались. Как писал М. Кендалл в статье [34], поведение этих стоимостей наводит на мысли о «Демоне Случая, случайным, образом извлекающем число и добавляющем его к текущему значению стоимости для определения стоимости в следующий момент».
Первым, кто предпринял попытку стохастического описания эволюции стоимостей акций St, был Л. Башелье, который в 1900 г. в своей диссертации [6] предложил рас сматривать St как обобщённое броуновское движение (в современной терминологии): где Wt — стандартное броуновское движение [121]. При этом, по аналогии с (1.3.2), т. е. случайный процесс St является мартингалом [20], [47], [48], [121], [122]. Очевидный недостаток модели (1.4.1) заключается в том, что в её рамках цена акции St может принимать отрицательные значения, что не соответствует реальности. Несмотря на это, нельзя не оценить вклада работы [6] в становление стохастической математики. Именно в ней за 5 лет до А. Эйнштейна [125] был впервые введён математический объект, позже получивший название броуновского движения ([14], [24], [121], [122]), именно в ней была предпринята первая попытка стохастического описания рынка ценных бумаг. Следующий крупный шаг в применении стохастических методов к анализу стоимостей акций сделал в 1965 г. П. Самуэльсон [84]. В развитие работы М. Осборна [69] (1959 г.), в которой отмечалось, что не стоимости ценных бумаг, как в модели (1.4.1), предложенной Л. Башелье, а логарифмы этих стоимостей в каждый момент времени распределены по нормальному закону, П. Самуэльсон ввёл в рассмотрение геометрическое (или, в его терминологии, экономическое) броуновское движение St:
Предположим, что инвестор имеет возможность размещать средства на банковском счёте и брать с него в долг; покупать и продавать ценные бумаги. Тогда для этого инвестора на рынке существует один безрисковый актив (банковский счёт) В и п рисковых активов (ценных бумаг) 5(1),5(2),...,5(п). Считается, что проценты на банковский счёт начисляются непрерывно, так что Здесь Bt — сумма на счету в момент времени t, r(t) — процентная ставка в момент t. Стоимость г-й ценной бумаги в момент времени t составляет S[l\i = 1,п и описывается стохастическим дифференциальным уравнением Предполагается, что операционные издержки, связанные с переводом средств между активами, отсутствуют, а также что активы являются безгранично делимыми, т. е. можно купить и продать любую часть ценной бумаги, положить на счёт и снять с него любую его часть. Функционирующий по таким правилам рынок называется (В, S)-рынком. Опцион — это ценная бумага, представляющая собой соглашение, согласно которому одна из сторон (продавец) продаёт опцион за определённую премию, а другая (покупатель или владелец) получает право в течение срока, оговорённого в условиях опциона, либо купить определённую ценность по фиксированной цене, определяемой в момент заключения контракта (такой опцион называется опционом-колл), либо продать (такой опцион называется опционом-пут).
Первая математическая модель опциона была предложена в 1900 г. Л. Башелье в его знаменитой диссертации [6], современная же математическая теория опционов является наиболее продвинутой областью стохастической финансовой математики и получила начало в работах Ф. Блэка и М. Шоулза [11] и С. Мертона [64] в том же 1973 г., что и организованная торговля этими финансовыми инструментами. Пусть на (В, S) -рынке обращаются ценная бумага (для определённости, акция) и производный от неё инструмент, стоимость акции изменяется со временем в соответствии со стохастическим дифференциальным уравнением а банковский счёт эволюционирует по закону Рациональной считается такая стоимость финансового инструмента, которая исключает возможность арбитража без риска, иными словами, доходность безрискового финансового инструмента, имеющего рациональную стоимость, должна совпадать с доходностью банковского счёта.
Детерминированные характеристики показателей развития односекторной экономики
Предсказание кризисов на валютных рынках является одной из важнейших задач как с точки зрения государства, заинтересованного 1 Данные из источника [110] приведены в приложении 1. 2 Данные из источника [114] приведены в приложении 2. в прямом регулировании валютного рынка страны, так и с точки зрения инвесторов, заинтересованных в своевременном страховании валютных рисков.
В последние годы появилось много работ, предлагающих различные индикаторы надвигающихся валютных кризисов (см., например, библиографию в работах [21], [26], [70], [73], [112]). Все эти индикаторы основаны на определённых моделях валютного рынка, в силу чего не всегда адекватно отражают действительность, так как предположения, лежащие в основе соответствующих моделей, не всегда выполнены. Кроме того, расчёты этих индикаторов, как правило, весьма сложны. Более простым и адекватным индикатором кризисных явлений на валютном рынке представляется относительное изменение энтропии динамики обменных курсов валют как меры неопределённости этой динамики. как мера неопределённости различных процессов была введена в работе К. Шеннона [119] (1948 г.) и определялась на основе априорных оценок вероятностей. Априорный подход не позволяет оценить энтропию динамики обменных курсов: несмотря на то, что определённые меры регулирования динамики обменных курсов национальной валюты проводятся государством и являются детерминированными, оценить заранее последствия этих мер (или хотя бы их вероятности) не всегда представляется возможным. В связи с этим возникла проблема оценки энтропии временного ряда по статистическим данным. Ш.-К. Ма в статье [54] (1981 г.) был предложен метод расчёта энтропии с помощью физических аналогий, связанных с макро- и микросостояниями ансамбля частиц. Для расчёта энтропии динамики обменных курсов этот метод непригоден из-за недостаточного объема реальных статистических данных. В работе [107] был предложен метод падающих прямоугольников для оценки энтропии по статистическим данным о реализациях временных рядов. Этот алгоритм реализован программно1, и по нему ведутся расчёты энтропии динамики обменных курсов.
Наряду с априорным понятием энтропии, базирующемся на вероятности, может быть введено понятие апостериорной (или статистической) энтропии, основанное на подсчете относительных частот событий, которые соответствуют обрабатываемым данным. Рассмотрим реализацию (S0,Sv...,Sn) некоторого временнбго ряда. Алгоритм метода падающих прямоугольников для расчета информационной энтропии такой кривой состоит из (п + 1) шага. Листинг программы приведён в приложении 3. Вначале на плоскости WS строится график кусочно-линейной функции, отвечающей реализации (SQ,Sv...,Sn) данного временного ряда (рис.3.2.1). Первый шаг алгоритма. Первый участок монотонности (0;50) - (1; ) построенной ломаной проецируется на ось ординат, и запоминаются значения S0iSl. На новом рисунке в координатах J OS строится прямоугольник с основанием SQSl и единичной высотой по оси О J. Второй шаг. Следующий участок монотонности (1; ) - (2;52) построенной ломаной проецируется на ось ординат, при этом фиксируются числа Sv S2. Над прямоугольником, полученным после первого шага, надстраивается новый прямоугольник с единичной высотой и основанием SlS2.
Если основание нового прямоугольника выходит за границы основания старого прямоугольника, то «излишки» опускаются на единицу вниз по оси О J (рис. 3.2.2). {к + \)-й шаг. (& + 1)-й участок монотонности (k;Sk) - (к+ l;Sk+1) ломаной, соответствующей временному ряду, проецируется на ось ординат, запоминаются числа Sk и Sk+1. Над прямоугольником, полученным после к-го шага, надстраивается новый прямоугольник с единичной высотой и основанием SkSk+l. Если основание нового прямоугольника выходит за границы основания какого-либо из прежде построенных прямоугольников, то «излишки» опускаются вниз по оси ординат OJ по правилу падающих прямоугольников, т. е. соответствующий участок нового прямоугольника «приземляется» на верхнее основание первого попавшегося по пути ранее построенного прямоугольника, и так до тех пор, пока не будет достигнут уровень самого нижнего ранее построенного прямоугольника или ось ординат.
Энтропийный анализ макроэкономических показателей Российской Федерации
В середине сентября 1994 г. ускорился рост курса RUR/USD на внутреннем валютном рынке, во вторник 11.10.1994 г. произошло резкое скачкообразное повышение курса. Курс держался на новой высокой отметке несколько дней, после чего вернулся к первоначальному уровню. Данный скачок курса RUR/USD отвечает краткосрочному качественному изменению характера развития экономики. 17.08.1998 г. произошло резкое скачкообразное увеличение обменного курса RUR/USD (примерно в 4 раза). Несколько дней происходили резкие колебания курса около нового среднего значения, после чего эти колебания стали затухать. Данная ситуация отвечает долгосрочному качественному изменению характера развития экономики.
Очевидно, кризисы на валютных рынках возникают при возрастании неопределённости ситуации, т. е. при возрастании энтропии. Поэтому в качестве индикатора возникновения кризиса была выбрана статистика где Ht — оценка энтропии динамики обменного курса St, полученная по методу падающих прямоугольников (3.2.1).
Эта статистика Vt имеет смысл относительного изменения неопределённости ситуации на валютном рынке.
В периоды стабильности Vt была много меньше 0,01. За некоторое время (за месяц или несколько месяцев) до наступления кризисов значение Vt увеличивалось до 0,05-0,07. Детали поведения статистики Vt в периоды, соответствующие рис. 3.2.4 и 3.2.5, приведены на рис. 3.2.6 и 3.2.7 соответственно (а конкретные рассчитанные значения статистики Vt — в приложении 2).
Видно, что до наступления кризисов происходят резкие скачки Vt, являясь сигналом для государства (принять меры по предотвращению последствий кризиса) и инвесторов (хеджировать валютные позиции):
Результаты свидетельствуют, что долгосрочное качественное изменение характера развития экономики предсказать легче, чем краткосрочное. Приведём объяснение этого факта.
Причиной кризиса 11.10.1994 г. была, как известно, резкая смена продаж валюты Центробанком РФ её покупками — паника среди инвесторов была посеяна за достаточно короткое время, но, оказавшись беспочвенной, так же быстро и рассеялась. Неопределённость быстро возросла и также быстро сошла на нет, поэтому предсказать кризис «чёрного вторника» с помощью расчёта энтропии по методу падающих прямоугольников возможно было бы лишь за 20-25 дней до его наступления. Вместе с тем, интересно отметить, что неопределённость возросла до смены Центробанком продаж валюты на покупки. Это говорит о том, что кризису способствовали как возрастание общей неопределённости экономической ситуации, так и действия Центробанка, и если бы последний повёл себя иначе, мы могли бы наблюдать совершенно иную ситуацию (например, в 1994 г. не произошло бы валютного кризиса).
В 1998 г. стратегия государства на рынке ГКО стала носить всё более и более ярко выраженный «пирамидальный» характер. К началу лета 1998 г. многим (интуитивно) стало казаться, что ситуация кардинально изменится. Это подтверждает и модель: уже в феврале 1998 г. произошла серия резких скачков статистики Vt. Кризис не замедлил наступить: 17.08.1998 г. был объявлен дефолт по операциям на рынке ГКО, в связи с чем, поскольку в 1994-1998 гг. наблюдалась тесная зависимость между политикой Центробанка на валютном рынке и рынке ГКО-ОФЗ, резко возросли обменные курсы, рубль был девальвирован в 4 раза.
Динамика статистики Vt с 17.08.1998 г. по настоящее время говорит о том, что степень неопределённости ситуации на валютном рынке РФ остаётся высокой, и в ближайшее время возможны резкие скачки обменного курса RUR/USD, хотя и не настолько большие, чтобы называть моменты этих скачков кризисами.
Вычисление энтропии по методу падающих прямоугольников для предсказания кризисных ситуаций на финансовых рынках представляется более удобным по сравнению с [21], [26], [70], [73], [112], поскольку алгоритм предсказания кризисов основывается только на официально публикуемых значениях обменных курсов валют. Практическое применение энтропийного анализа для предсказания кризисных ситуаций на финансовых рынках демонстрирует хорошее соответствие теоретических расчётов и практики.
Таким образом, появляется возможность предсказывать нестабильные ситуации на валютных рынках заблаговременно с целью принятия решений по предотвращению последствий кризисов.
