Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Банкротство предприятия как объект моделирования 11
1. Экономическая сущность банкротства. Институт банкротства в России 11
2. Обзор литературы по проблемам прогнозирования банкротства 22
3. Постановка задачи прогнозирования банкротства предприятия 30
Глава 2. Разработка методики прогнозирования банкротства предприятия 36
1. Концептуальные подходы к моделированию банкротства 36
2. Анализ методического аппарата 42
3. Разработка методики прогнозирования банкротства 51
Отбор показателей, используемых при прогнозировании 52
Формирование признакового пространства 56
Снижение размерности признакового пространства 67
Глава 3. Модификация модели Альтмана для использования в российских условиях 74
1. Модификация Z-счета Альтмана для экономических условий России 75
2. Порядок применения математического аппарата 86
3. Эмпирический анализ на основе предложенной модели. Оценка точности модели. 95
Заключение 103
Список использованной литературы
- Обзор литературы по проблемам прогнозирования банкротства
- Постановка задачи прогнозирования банкротства предприятия
- Разработка методики прогнозирования банкротства
- Порядок применения математического аппарата
Введение к работе
Актуальность темы исследования. Динамика российского промышленного производства последних лет имеет отчетливо выраженный характер переходного процесса, который к настоящему времени еще далек от своего завершения. В нижней точке трансформационного спада (август-сентябрь 1998 г.) промышленное производство составляло всего 38% от уровня января 1990 г., т.е. оно сократилось в 2.6 раза .
На протяжении переходного периода имели место масштабное перераспределение ресурсов от реального сектора экономики в пользу финансового (стагнация реального сектора в российской переходной экономике сопровождалась некоторым развитием финансового), а также вывод ресурсов за пределы российской экономики (утечка капиталов, «утечка мозгов», рост процентных выплат, сопровождавший нарастание внешнего долга, кроме того, наблюдалась утрата или крайне неэффективное использование ресурсов внутри страны - военные конфликты, избыточное непроизводственное потребление, вызванное слабыми возможностями инвестирования, неопределенностью прав собственности, деградация человеческого капитала и т.п.). Все это привело к массовым банкротствам в производственной сфере.
Российский трансформационный спад протекал крайне неравномерно в отраслевом разрезе. Наименьшим спад был в топливно-энергетическом комплексе и в цветной металлургии, в которой уже с середины 1994 г. наблюдается тенденция
Сопоставляются уровни компоненты тренда и конъюнктуры временного ряда индекса ЦЭК. Среднегодовой уровень 1998 г. составил 41% от уровня 1990 г. В соответствии с официальными данными промышленное производство в 1998 г. составило 46% от уровня 1990 г.
интенсивного роста. Слабее, чем в среднем по промышленности, был спад в черной металлургии, а в химической и нефтехимической промышленности, где максимальная глубина снижения производства была несколько больше средней, восстановление идет опережающими темпами. Все эти отрасли на протяжении переходного периода в значительной мере сориентировались на экспорт. Отрасли же, в основном ориентированные на внутренний рынок, претерпели существенно более глубокий спад. Нижняя точка спада в машиностроительном комплексе, в лесной, деревообрабатывающей и целлюлозно-бумажной промышленности соответствовала от 1/4 до 1/3 исходного уровня, а производство в легкой промышленности в нижней точке спада сократилась более, чем на порядок. Наибольший спад претерпели отрасли, в большей мере производящие конечную продукцию и, соответственно, ориентированные на тесные межотраслевые связи, которые были существенно нарушены после распада СССР и стагнации производства практически во всех отраслях.
Все эти обстоятельства привели к существенному росту количества процедур банкротства. Общая тенденция статистики банкротств представлена в таблице (см. Приложение 1).
Анализ динамики банкротств, позволяет сделать вывод, что с принятием Федерального закона от 08.01.1998 г. № 6-ФЗ «О несостоятельности (банкротстве)», значительно упростившим условия, необходимые для возбуждения дела о банкротстве, количество заявлений о признании должников банкротами, поданных в арбитражные суды РФ, резко возросло. Впоследствии с принятием закона от 26.10.2002 г. № 127-ФЗ «О несостоятельности (банкротстве)» количество заявлений, напротив, существенно сократилось. Это во многом связано с тем, что налоговые
органы практически перестали подавать заявления о банкротстве отсутствующих должников. Таким образом проявилось действие норм закона о несостоятельности 2002 года, устанавливающих, что процедуры банкротства применяются в отношении отсутствующих должников только при наличии соответствующих средств в бюджете, однако, в бюджете на 2003 г. и последующие года такие средства не были предусмотрены.
Все это свидетельствует о том, что проблема потенциального банкротства является актуальной для многих российских предприятий и их партнеров.
Необходимость повышения уровня управляемости промышленным предприятием предполагает решение ряда сложных задач в области производственного и финансового менеджмента. На практике эти задачи сводятся к построению такой системы финансового управления предприятием, которая минимизирует издержки, формирующие себестоимость продукции. Сделать это достаточно сложно: как правило, на крупных предприятиях, имеющих разветвленную структуру и сеть филиалов, отсутствует четкая система сбора, обработки и учета финансовой информации, низка степень автоматизации этих процессов. Непрозрачность, неопределенность и фрагментарность данных о финансовых потоках, их временной привязке влекут слабую достоверность управленческой информации. В результате на таких предприятиях отсутствует не только система оперативного контроля над деятельностью структурных подразделений, но и затруднен выбор общей стратегии развития, адекватной сложившимся реалиям.
Улучшение качества управления требует развития и совершенствования методологического и методического обеспечения анализа финансового состояния предприятия и планирования его деятельности.
Все это, в свою очередь, обуславливает необходимость разработки относительно простых и точных методик прогнозирования кризисных ситуаций, и как частного случая таких кризисов - банкротства. Повысить их работоспособность призвано вовлечение в процесс прогнозирования инструментальных и математических методов.
Степень разработанности проблемы. В странах с развитой рыночной экономикой (где, собственно, институт банкротства имеет реальный экономический смысл) проблема прогнозирования банкротства на протяжении десятков лет находилась в центре внимания предпринимателей и ученых- экономистов. С середины XX века к решению задач прогнозирования банкротства начали привлекать математический аппарат.
Основоположником математического моделирования будущего финансового состояния предприятия и прогнозирования банкротства является зарубежный экономист Э. Альтман. Кроме того, ряд разработок и публикаций по данным проблемам принадлежат таким западным ученым, как: У. Бивер, Дж. Ольсон, А. Таффлер.
Модели западных ученых широко и достаточно успешно используются во всем мире. Основным препятствием их применению в современных российских условиях, является тот факт, что подбор ключевых показателей и расчет весовых коэффициентов производился на основании статистических данных о банкротствах в конкретных странах. Таким образом, все эти модели не учитывают специфику функционирования предприятий в разных странах и макроэкономические особенности этих стран.
Значительный вклад в разработку проблематики банкротства как экономического института внесли российские исследователи, такие как Г.К. Таль, М.А. Федотова, А.Д. Шеремет, Е.Н. Евстигнеев, СЕ. Кован, среди которых немало ученых школы Финансовой академии при Правительстве РФ. Крупный вклад в развитие моделирования финансового состояния предприятий внесли отечественные ученые Н.М. Вараксина, И.Я. Лукасевич, В.В. Ковалев, В.В. Патров, Р.С. Сайфуллин, Г.Г. Кадыков, О.П. Зайцева, М.А. Крейнина, Л.В. Донцова, Н.А. Никифорова и другие. Была создана база для проведения дальнейших исследований в области применения математического аппарата в целях прогнозирования кризисных ситуаций в финансовой сфере деятельности предприятий.
Цель исследования состоит в решении научной задачи адаптации существующих математических и инструментальных методов прогнозирования банкротства к условиям функционирования современных российских предприятий.
Для достижения этой цели были определены следующие задачи:
выявление основных недостатков существующих методик прогнозирования банкротства и возможных путей их устранения для успешного практического использования в российских условиях;
выбор прототипа модели, на основании анализа недостатков и преимуществ существующих моделей;
разработка методики обработки бухгалтерской отчетности, составляемой в соответствии с российскими стандартами учета, как основного источника информации при моделировании;
отбор комплекса показателей, наиболее точно отражающих финансовое состояние предприятия, с учетом положений нормативных документов в области банкротства;
разработка модели прогнозирования банкротства: расчет весовых коэффициентов на основе бухгалтерской отчетности российских предприятий. Объект и предмет исследования. Объектом исследования являются
предприятия сферы производства товаров народного потребления. Предметом исследования являются инструментальные средства моделирования финансового состояния предприятий.
Методологическая и теоретическая основа исследования. Теоретической и методологической основой исследования послужила действующая нормативно-правовая база, регламентирующая процедуру банкротства, труды зарубежных и отечественных ученых в области экономической природы банкротства, а также его моделирования с использованием методов системного, статистического, эконометрического и сравнительного анализа.
Методика исследования заключается в систематизации и обработке информации, полученной путем изучения данных бухгалтерской отчетности, объяснении и интерпретации полученных результатов, практической реализации полученных выводов.
Работа выполнена в рамках пункта 1.4 Паспорта специальности 08.00.13 -Математические и инструментальные методы экономики.
Информационную базу диссертации составляют теоретические разработки отечественных и зарубежных ученых в исследуемой области, их диссертационные и
аналитические исследования, а также практические материалы, собранные автором в результате проведения самостоятельных исследований по данному направлению.
Научная новизна исследования состоит в разработке методики адаптации существующей модели прогнозирования банкротства к использованию на отечественных предприятиях путем выбора наиболее значимых в существующих российских условиях показателей и расчета весовых коэффициентов при них.
В результате диссертационного исследования получены следующие результаты, содержащие элементы научной новизны:
выявлены основные препятствия в практическом использовании моделей прогнозирования банкротства в условиях современной российской экономики, определены возможные пути их устранения;
разработана классификация моделей прогнозирования банкротства, научно обоснован выбор прототипа модели для дальнейшей разработки;
определены критерии отбора наиболее важных показателей функционирования предприятия, разработана методика предварительной обработки данных отчетности;
разработана методика расчета весовых коэффициентов модели;
предложен метод снижения размерности признакового пространства, используемого при моделировании;
с учетом достигнутых ранее результатов идентифицирована модель прогнозирования банкротства на основании данных бухгалтерской отчетности ряда российских предприятий за несколько лет.
Практическая значимость исследования заключается в возможности широкого применения основных положений работы при создании инструментальных методов
прогнозирования банкротства предприятий. Использование полученной автором методики позволяет при наличии необходимой статистики разрабатывать модели для предприятий отдельных отраслей с учетом присущих им особенностей функционирования.
Самостоятельное практическое значение имеют:
рекомендации по методике отбора показателей, позволяющих проводить анализ с наибольшей точностью в существующих российских условиях;
методика расчета весовых коэффициентов модели на базе данных бухгалтерской отчетности ряда предприятий определенной отрасли (производство товаров народного потребления).
Апробация и внедрение результатов исследования проводилась в аудиторской компании «Делойт и Туш СНГ». Разработанные в диссертации положения апробированы и нашли применение в рамках ряда проектов как по годовому аудиту отчетности предприятий, так и ежеквартальных обзоров. Разработанная методика применения инструментальных методов прогнозирования банкротства предприятий была внедрена в стандартные рабочие бумаги и применялась к отчетности ряда предприятий в течение нескольких последовательных периодов.
Работа выполнена в рамках комплексной темы «Финансово-экономические основы устойчивого и безопасного развития России в XXI веке» (№ гос.рег. 0120.0 410682), разрабатываемой в соответствии с планом научно-исследовательских работ Финансовой академии при Правительстве РФ.
Обзор литературы по проблемам прогнозирования банкротства
Проблема прогнозирования банкротства на коммерческих предприятиях приобретает все большее значение с развитием в России рыночной экономики. Банкротство, по сути, является тем инструментом, с помощью которого силы конкуренции определяют и выводят с рынка слабейшие предприятия, позволяя экономике развиваться динамично и эффективно, избавляясь от убыточных предприятий. При этом владельцы каждого конкретного предприятия, его партнеры заинтересованы в обратном - эффективном и как можно более длительном функционировании предприятия. И возможность прогнозировать наступление кризисных ситуаций и банкротства позволяет не только повысить информированность при принятии решений, но и способствовать предотвращению кризиса. Таким образом, заинтересованность в инструментах моделирования банкротства со стороны предпринимателей существует постоянно. Это в свою очередь, вызвало появление множества моделей, основывающихся на различных данных, выдвигающих множество критериев. Начиная с 60-х годов прошлого века, зарубежными учеными разработаны десятки различных методик. Проведение подобных исследований в условиях командно-административной экономики СССР не имело ни научного, ни практического смысла. Таким образом, в ситуации перехода к рыночным формам хозяйствования, когда потребность в методах прогнозирования банкротства проявилось во всей остроте, адаптация разработанных экономики явилась по сути одним из наиболее верных, если не единственным путем (учитывая отсутствие собственных как методологических, так и статистических наработок), позволяющим российским предприятиям получить в свое распоряжение инструмент прогнозирования и предотвращения банкротствазападными учеными методик к реалиям российской.
Очевидно, что существующие западные методики сами по себе не идеальны и имеют определенные недостатки, касающиеся как ограничений, накладываемых на характер исходной информации, так и точности прогнозирования, их внедрение в отечественных условиях лишь добавляет проблем. Мы попытаемся вкратце определить недостатки основных существующих моделей, выявить наиболее существенные препятствия на пути их адаптации к российским условиям и определить возможные пути устранения этих недостатков.
Следует отметить, что, несмотря на наличие большого количества всевозможных методов и методик, позволяющих прогнозировать наступление банкротства предприятия с той или иной степенью вероятности, в этой области чрезвычайно много проблем. Мы попробуем вкратце обозначить проблемы прогнозирования банкротства в России и недостатки основных наиболее распространенных методик. В Российской Федерации пока еще отсутствует статистика банкротств предприятий по причине молодости института банкротства в нашей стране, что затрудняет собственные разработки, основанные на реалиях нашей экономики и направленные на достоверное прогнозирование возможного банкротства предприятий. Существует также проблема достоверности информации о состоянии дел на конкретных предприятиях и трудности ее получения. Основным публичным источником информации о функционировании предприятия является бухгалтерская отчетность. Большинство предприятий составляет её только на основе российского законодательства в области бухгалтерского учета. И такая отчетность имеет ряд существенных недостатков, которые будут рассмотрены далее в работе. Перейдем к анализу недостатков конкретных методик прогнозирования банкротства.
Широкие научные круги активно исследовали проблему прогнозирования банкротства с момента появления работ Бивера (1966) и Альтмана (1968) [67,58]. За небольшими исключениями все работы основывались на бухгалтерских показателях и использовали соответствующие переменные. Более поздние исследования принимали саму вероятность банкротства за независимую переменную, а не за зависимый показатель. Сами данные о вероятности банкротства зачастую были взяты из предыдущих исследований, таким образом, опять-таки исходной информацией для прогнозирования становились данные бухгалтерской отчетности. Многие исследования комбинировали отдельные финансовые показатели деятельности предприятия со Z-счетом Альтмана или О-счетом Ольсона, которые являются наиболее популярными из всех моделей.
В данном разделе мы попытаемся дать оценку эффективности моделей, основанных на бухгалтерских данных, в прогнозировании банкротства.
Постановка задачи прогнозирования банкротства предприятия
В практике финансового анализа хорошо известен ряд показателей, характеризующих отдельные стороны текущего финансового положения предприятия. Сюда относятся показатели ликвидности, рентабельности, устойчивости, оборачиваемости капитала, прибыльности и т.д. По ряду показателей известны некие нормативы, характеризующие их значение положительно или отрицательно. Например, когда собственные средства предприятия превышают половину всех пассивов, соответствующий этой пропорции коэффициент автономии больше 0.5, и это его значение считается "хорошим" (соответственно, когда оно меньше 0.5 - "плохим"). Но в большинстве случаев показатели, оцениваемые при анализе, однозначно нормировать невозможно. Это связано со спецификой отраслей экономики, с текущими особенностями действующих предприятий, с состоянием экономической среды, в которой они работают.
Тем не менее, любое заинтересованное положением предприятия лицо (лицо, принимающее решение - ЛПР), не довольствуется простой количественной оценкой показателей. Для ЛПР важно знать, приемлемы ли полученные значения, хороши ли они, и в какой степени. Кроме того, ЛПР стремится установить логическую связь количественных значений показателей выделенной группы с риском банкротства. То есть ЛПР не может быть удовлетворено бинарной оценкой "хорошо - плохо", его интересуют оттенки ситуации и экономическая интерпретация этих оттеночных значений. Задача осложняется тем, что показателей много, изменяются они зачастую разнонаправлено, и поэтому ЛПР стремится «свернуть» набор всех исследуемых частных финансовых показателей в один комплексный, по значению которого и можно будет судить о степени благополучия («живучести») фирмы и о том, насколько далеко или близко предприятие отстоит от банкротства [7].
Успешный анализ риска банкротства предприятия возможен лишь на основе следующих основных предпосылок:
1. В основу анализа ложатся результаты наблюдения предприятия за возможно более долгий период времени.
2. Учетные формы, используемые при анализе, должны достоверно отображать подлинное финансовое состояние предприятия.
3. Для анализа используются лишь те показатели, которые в наибольшей степени критичны с точки зрения их относимости к банкротству данного предприятия. А это возможно, когда ЛПР оценивает не только финансовое состояние предприятие, но и его отраслевое положение.
4. Лицо, производящее анализ, должно располагать представительной статистикой банкротств, которая также должна быть верифицирована на относимость к банкротству данного предприятия - с точки зрения отрасли, страны и периода времени, за который проводится анализ.
Все перечисленное говорит о том, что при разработке моделей необходимо в каждом конкретном случае составить представление о том, что является допустимым уровнем показателя или недопустимым в масштабе отрасли, к которой относится данное предприятие.
Главную роль в антикризисном управлении фирмой играет своевременное распознавание ее кризисного состояния с требуемым уровнем достоверности для своевременного принятия мер по предупреждению и предотвращению кризиса. В общем, виде можно полагать, что исследуемая фирма может принимать одно из двух взаимоисключающих состояний: Si — нормальное (бескризисное) и S2 — кризисное. Распознавание представляет собой отнесение наблюдаемого неизвестного состояния, заданного совокупностью Хп наблюдений над его признаками Хь Х2,..., Хр X,, X -Л.Л1 Yv 21 v22 п = к одному из двух взаимоисключающих состояний Si и S2
Каждый столбец матрицы Хп представляет собой р-мерный вектор наблюдаемых значений р признаков Хь Х2,..., Хр отражающих наиболее важные для распознавания свойства. Набор признаков р, как правило, является одинаковым для всех распознаваемых классов Sb S2. Если каждый класс Si и S2 описывается своим набором признаков, то задача распознавания становится тривиальной, поскольку однозначное отнесение имеющейся совокупности наблюдений к определенному классу легко осуществляется по набору составляющих ее признаков. Графически этот процесс можно представить в виде схемы принятия решения о потенциальном банкротстве фирмы (см. Приложение 2). Таким образом, рассматривается задача принадлежности наблюдаемого состояния к одному из двух классов Si, S2, описываемых одинаковым для всех классов набором признаков Хь Хг, ..., Хр. При этом различие между классами будет проявляться только в том, что у разных объектов одни и те же признаки будут иметь различные характеристики (количественные, качественные и др.), и для любого набора признаков Хь Х2, ..., Хр можно задать правила, согласно которым двум классам Si и S2 ставится в соответствие вектор d ,
Разработка методики прогнозирования банкротства
Определение набора признаков Xi, х2, ..., хр, т.е. формирование признакового пространства, является неотъемлемой составной частью процесса моделирования. С одной стороны, выбранная совокупность признаков должна в наибольшей степени отражать все те свойства состояний, которые важны для их распознавания, т.е. набор хь X2,..., хр должен быть наиболее полным. С другой стороны, с увеличением размерности р признакового пространства очень быстро возрастают вычислительная сложность процедур обучения и принятия решения, материальные и трудовые затраты на измерение необходимых характеристик объектов, т.е. на получение наблюдений на этапе обучения и принятия решений.
Основным показателем качества распознающей системы (или системы прогнозирования) является достоверность принимаемых ею решений. Если распознающая процедура допускает большой процент ошибочных решений, то она делает практически непригодной любую, пусть даже совершенную в других отношениях, систему, частью которой она является. Таким образом, практический интерес представляют только те системы, которые обеспечивают требуемый уровень достоверности распознавания.
Сокращение количества признаков уменьшает затраты на проведение измерений и вычислений, но может привести к снижению достоверности распознавания. Если время на обучение и принятие решения жестко ограничено, то повышение размерности признакового пространства может оказаться единственным средством увеличения достоверности. Таким образом, одновременное достижение минимума общей размерности признакового пространства и максимума достоверности распознавания оказывается, как правило, невозможным, и, следовательно, одной из основных задач синтеза распознающих систем является выбор из заданного множества признаков Х\, х2,..., хр оптимального набора хь х2,..., Хро из ро признаков, обеспечивающего требуемый по условиям решаемой задачи уровень достоверности распознавания и минимизирующего затраты на проведение измерений и вычислений.
Другой важной составной частью распознающего процесса является обучение, цель которого — восполнение недостатка априорных знаний о распознаваемых классах Si и S2 путем использования информации о них, содержащейся в обучающих наблюдениях:
Хотя методы и подходы, используемые при обучении, могут быть разнообразными, конечный результат их использования, как правило, неизменен — это эталонные описания состояний Si, S2. Увеличение продолжительности обучения повышает достоверность распознавания за счет увеличения количества информации о распознаваемых классах, содержащейся в обучающих выборках и позволяющей уточнять их эталонные описания Sb S2. В то же время увеличение времени обучения влечет за собой существенный рост затрат на измерения и вычисления и, что самое главное, увеличение общего времени, требуемого для решения задачи распознавания. Сокращение же времени обучения может повлиять на качество эталонных описаний и в конечном итоге привести к снижению достоверности распознавания. Следовательно, определение минимального времени обучения, обеспечивающего заданный уровень достоверности распознавания, является одной из важных задач, возникающих при синтезе распознающих систем. Реализация информации о распознаваемых классах, содержащейся в их эталонных описаниях Si, S2 и в совокупности наблюдений, осуществляется в процедуре принятия решений, занимающей центральное место в распознающем процессе. Процедура сводится к сопоставлению неклассифицированных наблюдений с эталонными описаниями и указанием номера класса / из множества 1, 2 номеров классов, к которому принадлежит рассматриваемая совокупность наблюдений. Таким образом, решающая процедура осуществляет отображение наблюдений на конечное множество натуральных чисел 1, 2 с использованием информации о классах, содержащейся в обучающих наблюдениях и отражаемой в эталонных описаниях классов Si, S2.
Увеличение продолжительности процедуры принятия решения, в принципе, повышает достоверность распознавания за счет вовлечения и процесс принятия решения большего количества информации о состоянии фирмы, содержащейся в описывающей совокупности наблюдений, которую в дальнейшем будем именовать контрольной выборкой. Однако для подавляющего большинства распознающих систем естественными являются требования минимальной продолжительности процедуры принятия решения как с точки зрения быстроты решения задач, так и с позиций минимизации затрат на измерения и вычисления. Таким образом, определение минимального времени принятия решения, обеспечивающего заданный уровень достоверности распознавания, также является одной из важных задач синтеза распознающих систем.
Порядок применения математического аппарата
Пусть задана (р х п) - матрица наблюдений случайной векторной переменной X = [Xj, ..., Хр] с вектором средних //х = \jiij, ..., /ир] и ковариационной матрицей Кх определяющей структуру зависимости между переменными Xjt j = 1, ..., р. Необходимо найти линейное преобразование, которое позволило бы получить сжатое представление исходных данных меньшим числом переменных без существенной потери информации, содержащейся в исходной матрице. Преобразуем эти наблюдения (р х « ортогональной матрицей вида: Ф = [ф{,... ,фр]т (3.4) где $j =[ф ,..., фд)] ,j = 1,..., р -система р-мерных ортонормированных векторов, то есть для скалярного произведения ( , ) справедливо: ($,... , f j) = U = j [V j. (3-5) Тогда получаем случайную векторную переменную Y с некоррелированными компонентами: У = [Ух,...Ур]г=ФХ (3.6) где Yj есть линейная комбинация координат признаков Xj, j =1,.., р: Yj =Фи л +-+ fiPjxpl,j = K ,P (3.7) Из (3.5) следует, что ФФТ = ФТФ = I и Фт = Ф"1, поэтому: Х = ФТУ (3.8) Ковариационная матрица данных X (по определению) равна: KX=M{(X-MX)(X-JUX)T }. (3.9) Определитель КХ ковариационной матрицы Кх называют обобщенной дисперсией матрицы данных X.
Ковариационная матрица KY случайной векторной переменной Y определяется выражением: KY=M{(Y-MY)(Y-MY)T } = м{ф{Х-»х)(Х-Их)ТЦТ } = =Фм{(х-р.х)(х-Мх)Т }ФТ=ФКХФТ (ЗЛ0) Так как Кх и Ф являются квадратными матрицами, то определитель ковариационной матрицы KY равен: KY = ФАГ Ф ФФ7 хКх=Кх (3.11) то есть обобщенные дисперсии матриц X и Y равны.
Наилучшее ортогональное преобразование должно обеспечить наименьшую избыточность. Это означает, что матрица Y должна иметь некоррелированные компоненты Yj, j = 1,..., р. Другими словами, матрица Ку должна быть диагональной: KY = diag[a2Yt ,...,(72Yp ] (3.12) где o2Yj- дисперсия j-ой компоненты случайной векторной переменной Y. Обозначим: = о-2 w = 1,.../? (3.13) Тогда: N = rW (3.14) 7=1 Предположим, что дисперсии упорядочены Л] А.2 ... 0. Если не все А/ равны между собой, то матрицу Y можно сжать отбрасыванием компонент с пренебрежимо малыми дисперсиями. Пусть Yj - (п х 1) - вектор, являющийся первой главной компонентой матрицы X: Y = Z iixii- (3.15) У=1 Используя формулу (3.10), найдем дисперсию этой главной компоненты: а\ =ф1тКхф1 = фифг1м[(хг t)( i -Mi)T] (3.16)
Потребуем, чтобы первая компонента Y} имела наибольшую дисперсию при условии сохранения ортогональности векторов матрицы Ф. Тогда задача нахождения наилучшего преобразования фі сводится к нахождению максимума функции: Х = ф{тКхф{ (3.17) при условии: (ATKM ffxj=\ (3.18)
Чтобы решить эту задачу оптимизации, обычно используют функцию Лагранжа: \.{ф) = ф{тКхфх-Хх{фїтфх-\) (3.19) где Xj- множитель Лагранжа. Необходимое условие экстремума получим, приравняв к нулю частные производные dL/d фі: дЬ/дф1=2(Кхф1-Л1ф1) = 2(Кх-Лл1)ф1=0, (3.20) где І - единичная матрица. Поскольку нас интересуют только решения, при которых фі ф 0, то должно удовлетворяться условие на определитель: / -Л,/ = 0 (3.21) Отсюда следует, что Х\ есть собственное число матрицы К» а фі -Соответствующий этому числу собственный вектор. Выражение (3.20) может быть переписано в виде: Кхф{= Фі (3.22) Умножая левую часть равенства (3.22) на фіТ и учитывая соотношение (3.5), получаем: ф К ф Х, (3.23) у Левая часть равенства (3.23) есть а Уь a поскольку решалась задача максимизации, то Х\ есть максимальное собственное число матрицы Кх.
