Содержание к диссертации
Введение
1. Решение многокритериальных задач методом линейного параметрического программирования
1.1. Многокритериальные задачи - основные понятия, этапы решения 12
1.2. Аппарат линейного параметрического программирования, его программная реализация и возможности применения 17
1.2.1. Параметр в целевой функции 21
1.2.2. Параметр в ограничениях 28
1.2.3. ЛПП на основе выпуклой комбинации векторов 34
1.2.4. ЛПП на основе критериального конуса 36
2. Динамическое распределение прибыли
2.1. Проблема оптимального распределения прибыли 42
2.2. Постановка задачи и применение метода ЛПП к ее решению 47
2.3. Программные расчеты, выводы 52
3. Оптимизация шкалы подоходного налога.
3.1. Проблемы оптимизации системы налогообложения 72
3.2. Постановка задачи 76
3.3. Выбор «представителя» 78
3.4. Программные расчеты 83
3.5. Получение различных шкал подоходного налога 99
3.6. Гистограммное распределение 103
3.7. Дополнительные условия на шкалу подоходного налога 108
3.8. Другие подходы. Метод компромисса ПО
3.9. Расчет критериев без «представителей» 1
3.10. Показательное распределение доходов 1
3.11. Двухступенчатая шкалам ее оптимизация 1
5.Заключение 1
6. Библиография
- Аппарат линейного параметрического программирования, его программная реализация и возможности применения
- ЛПП на основе выпуклой комбинации векторов
- Постановка задачи и применение метода ЛПП к ее решению
- Получение различных шкал подоходного налога
Введение к работе
На пороге третьего тысячелетия человечество, осознав возможности использования вычислительной техники и математики в решении как локальных, так и глобальных проблем во всех сферах жизнедеятельности, все больше и больше обращается к математическому исследованию и математическому моделированию различных процессов. Общепризнанно, что моделирование - один из наиболее эффективных методов познания. И справедливо утверждение, что «...развитие любой науки можно трактовать - в весьма общем, но вполне разумном смысле, - как «теоретическое моделирование»» [4].
Математическому моделированию экономических задач посвящено много работ, незначительная их часть приводится в приложенной к этой работе библиографии. Актуальность математического моделирования экономических задач подтверждается и тем фактом, что почти все нобелевские премии были присуждены работам, посвященным этой проблеме (например, в 1969 г. Я.Тинберген, Р.Фриш «Математические методы анализа экономики», в 1980 г. Л.Клейн «Экономические модели, политика и циклы», в 1994 г. Д.Неш, Д.Харсани, Р.Селтен «Теория игр в экономике»). Моделированию экономических задач посвящены книги Л.В.Канторовича [19], [20], М.Е.Салуквадзе [40], И.Бирмана [3], Э.М.Бравермана [5], К.Ланкастера [24], Дж.Бигеля [2], Н.И.Щедрина, А.Н.Кархова [48], А.А.Первозванского, Т.Н.Первозванской [39], и многие другие. В качестве учебных пособий по применению математического аппарата и использованию методов исследования качественных свойств решения оптимизационных задач экономической реальности можно назвать книги С.А.Ашманова [1], Е.С.Вентцель [6], Е.Г.Гольштейна, Д.Б.Юдина [9], С.Карлина [22], В.Г.Карманова [23], Р.Штойера [47], и ряд других авторов. В качестве популяризированных изданий по экономико-математическим методам можно назвать работы [43], [50].
И сегодня новые экономические отношения, финансовые операции в России, и создание эффективной системы налогообложения требуют тщательного математического анализа и исследования. Развивающееся частное предпринимательство, коммерческие банки, акционерные общества, которым необходимо уметь лавировать и эффективно работать в новых экономических отношениях, дают интереснейший материал для прикладного математического исследования. В частности, следует отметить вышедшую недавно книгу Жака СВ. «Математические модели менеджмента и маркетинга» [11], в которой изложены основные подходы к построению экономико-математических моделей, проведены вычислительные эксперименты, и имеется аннотация на комплекс прикладных программ, реализующих основные математические модели принятия решений предпринимателем, описанные в книге.
Создание адекватных экономико-математических моделей позволяет прогнозировать деятельность различных экономических структур, и тем самым эффективней планировать, принимать оптимальные решения. Опытная апробация модельных примеров может сэкономить время, трудовые и материальные ресурсы. Здесь нельзя не согласиться с Бирманом И., что "итог работы в этой области - в осознании возможности и абсолютной необходимости все большего расширения сферы использования в экономике количественных, математических методов, в осознании того, что экономические задачи надо решать не рассуждениями, а расчетом" [3]. Подтверждением тому является Постановление Правительства Российской Федерации «О финансировании прикладных экономических исследований» ], [38].
Развитие математического моделирования экономических задач, несомненно, вызвано и развитием компьютерной техники. Задачи оптимизации, как правило, имеют большую размерность (несмотря на то, что математическая модель всегда «беднее» реальной экономической системы), и поэтому требуют проведения огромного объема вычислений. Это сильно затрудняет вычисления вручную, и практически делает невозможным апробацию с различными данными. Решение многомерных задач на современных быстродействующих компьютерах не вызывает трудностей, и позволяет, не затрачивая дополнительного времени и трудовых затрат, проводить неограниченное число экспериментов с различными данными, и тем самым дает возможность проанализировать различные решения, сделать прогноз, и так далее. Следует отметить, что программирование различных прикладных задач, в свою очередь способствует развитию отдельных компонент компьютера, требуя то одно, то другое усовершенствование. Принцип открытой архитектуры современных компьютеров позволяет дополнять их различными устройствами.
С другой стороны расчет экономических задач на компьютере способствовал психологическим изменениям в сознании экономистов и хозяйственных руководителей, оценивших по достоинству возможности этих методов. Научная обоснованность и эффективность управления во многом зависит от степени использования экономико-математических моделей и методов их решений, и от степени использования в исследованиях вычислительной техники. Поэтому все последние публикации, посвященные проблемам экономико-математического моделирования, дополняются аннотациями на соответствующие комплексы программ (книга С.В.Жака [И],), или включают в себя тексты программ. Так книга японских авторов М.Кубонива, М.Табата, С.Табата, Ю.Хасэбэ [27] включает в себя не только описание математических моделей рыночной экономики, но и содержит пакет из 54 программ на Бейсике, реализующий эти модели. Недавно выпущен учебник «Экономическая информатика» [49], где рассматриваются основы компьютерных технологий, построения информационных систем, методы автоматизации экономических задач.
В существующем многообразии экономических процессов трудно подобрать даже два каких-либо экономических процесса, которые можно было бы полностью описать одной моделью, каждый процесс неповторим. И для того, чтобы компенсировать возникающую неполноту описания, и классифицировать задачи, в науке «исследование операций» в разделе «математическое программирование» разработано несколько типов моделей, каждый из которых отражает какую-то одну определенную сторону экономической действительности, с тем чтобы при решении конкретной задачи можно было бы подобрать лучшую для нее модель. По характеру используемых математических соотношений модели делятся на линейные, нелинейные, динамические, стохастические... Соответственно каждый класс моделей имеет свой метод решения.
Наиболее популярным (в силу большой размерности экономических задач) и широко проверенным на практике является линейное программирование. Практическое использование методов линейного программирования дало не плохие результаты в решении многих задач экономики. Следует отметить, что методы линейного программирования начали широко развиваться и применяться после опубликования работы Л.В.Канторовича [19]. В его работе [20] была сформулирована общая задача производственного планирования, которая была фактически первой линейной моделью экономического процесса. В качестве целевой функции рассматривалось составление оптимального производственного плана, при ограничениях - учет требуемого ассортимента продукции при определенной интенсивности применения соответствующих технологических способов. Эта задача и по сей день вызывает интерес исследователей. Также может рассматривается общая задача производственного планирования, где в качестве целевой функции рассматривается прибыль, которую дает совокупность некоторых технологических процессов, ограничения вводятся по ресурсам и по выпуску продукции. В работе [29] приводится ряд задач, к которым применяется линейное программирование и его модификации.
Но все эти задачи являются однокритериальными (нахождение экстремума функции на множестве допустимых решений) задачами линейного программирования. Выбор стратегий деятельности экономических систем (фирм, отраслей, акционерных обществ и т.п.), как правило, сводится к решению задач линейного программирования. Однако, очевидно, что в этих задачах нельзя ограничиться одним критерием (целевой функцией), а необходимо учитывать несколько критериев, требования которых - противоположны или, по крайней мере - разнонаправлены. Проблема оптимизации нескольких критериев возникла в связи с решением задач из сферы планирования и организации производства. Впервые это также было связано с работами Л.В.Канторовича, где выяснилось, что в общей задаче производственного планирования наряду с максимизацией прибыли (или минимизацией издержек) за счет выбора интенсивности используемых технологий (или способов производства) необходимо рассматривать максимизацию количества согласованных ассортиментных наборов производимых изделий.
С середины 50-х годов нынешнего столетия получила развитие теория оптимального управления (история развития этой теории подробно освещается у М.Е. Салуквадзе [40]). Одним из важнейших направлений в теории управления является развитие методов анализа качества процессов управления. Чтобы учесть все требования, необходимо исследовать некоторый вектор критериев качества. И здесь возникает проблема одновременной оптимизации совокупности критериев, каждый из которых оценивает определенное качество системы. Такие задачи называются многокритериальными или задачами векторной оптимизации. Первоначально исследовались такие многокритериальные задачи, как оптимальное управление реактивным движением летательных аппаратов, например, исследован режим расходования реактивной массы, при котором те или иные характеристики движения становятся экстремальными. Естественно, что и в экономике возникают подобные многокритериальные задачи, которые заслуживают не менее пристального внимания.
В работе [40] рассматривается задача планирования в металлургическом производстве. Это двухкритериальная задача. Первый критерий -максимизация прибыли от продажи сплава, второй - минимизация пробега транспортных средств при доставке руды из расположенных в разных местах рудников. При ограничениях: 1) выплавка запланированного количества сплава; 2) заданная возможность завода в переработке руды; 3) расход электроэнергии в допустимых пределах; 4) требуемое процентное содержание необходимого компонента в сплаве.
Решение задачи заключалось в расчете каждого критерия отдельно на области допустимых решений. Затем составляется некоторая функция, связывающая значения обоих критериев в оптимальных для каждого критерия точках. Находились значения переменных минимизирующих эту функцию, что по сути и являлось оптимальным решением. Этот способ, конечно, недостаточно эффективен, не всегда составленная линейная связка критериев может отвечать искомому оптимальному решению.
В данной диссертационной работе предлагается более эффективный метод решения многокритериальных задач - это метод линейного параметрического программирования (ЛПП). Обоснование возможности его применения при решении многокритериальных задач приводится в первой главе. Также в первой главе кратко приводятся основные вычислительные процедуры аппарата Jillil, доказывается связь множества Парето с решением задач линейного параметрического программирования, рассматриваются различные модификации метода ЛПП.
Во второй главе рассматривается многокритериальная задача из об ласти менеджмента. Это двухкритериальная задача распределения прибыли на нескольких последовательных временных этапах между фондами накопления и фондами потребления. В качестве критериев мі тут рассматриваться приведенные суммы дивидендных выплат и сто! хти акций (или фонды потребления и накопления). Задача с помощью преобразования приведена к линейному виду, что позволяв снять структуру множества Парето и полностью описать его /вменению процедур линейного параметрического программирования. \
В третьей главе рассматривается многокритериальная задача формирования системы налогообложения - оптимизация шкалы подоходного налога. Это двухкритериальная задача: один критерий - налоговый сбор, второй - некоторая мера достатка населения. Критерии и ограничения имеют линейный вид, и поэтому здесь не требуется дополнительная линеаризация задачи. Решение этой задачи также осуществляется методом линейного параметрического программирования, что позволяет без перебора всех вершин находить вершины множества Парето и диапазоны изменения весов критериев, при которых эти вершины оптимальны.
Для решения задач методом линейного параметрического программирования разработана программа - Lpp.exe ( Приложение 7.1). Для разработки алгоритма некоторых вычислительных процедур программы ис 10
пользовались материалы [9], [13], [23], [28], [41], [42], [47], [51], [54]. Программа состоит из двух основных частей, которые при необходимости могут быть отделены друг от друга и функционировать самостоятельно. Первая часть программы Lpp.exe решает задачи линейного параметрического программирования, включая несколько модификаций метода (основные процедуры которых кратко изложены в 1-ой главе) : при параметре в целевой функции; при параметре в ограничениях; при параметре в целевой функции и в ограничениях (в столбце свободных членов В); при нескольких параметрах в целевой функции на основе критериального конуса. Вторая часть программы посвящена решению конкретных многокритериальных задач экономики на основе метода линейного параметрического программирования, она включает задачу динамического распределения прибыли и задачу оптимизации шкалы подоходного налога. Эта часть программного обеспечения может быть использована любым экономическим объектом (банком, фирмой, акционерным обществом, отдельным предпринимателем) и государственной налоговой службой. Программа выдает несколько альтернативных вариантов с конкретными значениями оптимизируемых критериев, и выбор какого-либо варианта остается за лицом, принимающим решения (ЛПР). О возможностях применения программы для решения многокритериальных задач докладывалось на II Всероссийском симпозиуме проводившемся в Кисловодском институте экономики и права [45].
Во второй и в третьей главе в экспериментальной части для программного расчета использовались статистические данные индексов потребительских цен (коэффициентов инфляции) за различные периоды времени предоставленные Государственным комитетом Карачаево-Черкесской республики по статистике, отчетные данные сбора подоходного налога с физических лиц (без грифа ДСП) предоставленные Государственной налоговой службой по Карачаево-Черкесской республике, а также некоторые данные бухгалтерской отчетности ряда предприятий и фирм, действующих на территории Карачаево-Черкесской республики, с личного разрешения руководителей. Описание работы с программой Lpp.exe прилагается к диссертации (Приложение 1.1).
Данная диссертационная работа посвящена изложению основных вычислительных процедур линейного параметрического программирования, его связи с экономико-математическими моделями и с множеством Парето, моделированию многокритериальных задач экономики и их решению методом линейного параметрического программирования, разработке программного обеспечения, реализующего решение многокритериальных задач экономики, и широкого класса задач параметрического программирования.
Аппарат линейного параметрического программирования, его программная реализация и возможности применения
Первые публикации по линейному параметрическому программированию принадлежат Гассу С. и Саати Т. [52],[53] Немного позднее вышли публикации Гольштейна Е.Г., Юдина Д.Б. [9] . В [9] приводятся подробное описание процедур ЛПП и численное решение примеров. Изложение методов многопараметрического программирования и его связь с решением многокритериальных задач приведено у Штойера [47] -«...параметрическое линейное программирование может служить мостом между имеющимися на сегодня средствами решения задач ЛП с одним критерием и задачами многокритериального линейного программирования». Также этот метод рассматривался в публикациях Жака СВ., Лит-вераЕ.Л. [13], КарабеговаВ.-К.И [21].
Линейное параметрическое программирование включает в себя теорию и методы решения экстремальных задач, в которых линейные целевая функция (критерии) и ограничения зависят от одного или нескольких параметров. Рассмотрим кратко суть метода линейного параметрического программирования. Основной метод нахождения оптимального решения задач линейного программирования, вида: F(x) = cx — max, Ax b, x 0 (где с, х, b - векторы, А- матрица) - это симплекс-метод. Процесс вычисления сводится к такому движению по вершинам многогранника (от одного допустимого решения к другому), что новое значение целевой функции увеличивается до нахождения оптимальной вершины (оптимального решения), или до выявления неразрешимости задачи.
Предположим, что целевая функция зависит от некоторого параметра X, который, вообще говоря, может меняться от - 00 до + х.
С изменением параметра X изменяется направление градиента целевой функции, и оптимальное значение целевой функции может находиться в другой вершине. Если рассматривать решение многомерной задачи, гиперплоскость, отвечающая линиям уровня целевой функции, может быть параллельна грани многогранного множества условий и дальнейшее изменение параметра может привести в любую вершину на этой грани. Дальнейшее изменение X в определенном диапазоне оставит оптимальный план неизменным. Получение оптимальных решений или выявление ее неразрешимости для всех значений параметров (их диапазонов изменения) в задачах линейного программирования называется задачей линейного параметрического программирования. При этом параметры могут меняться не обязательно от - ю до + «, а в любом заданном диапазоне, например, то 0 до 1 ( в случае рассмотрения линейной свертки критериев с весами, нормированных по их сумме).
Следует отметить, что параметрическое программирование позволяет оценивать устойчивость решения задач линейного программирования по отношению к случайным погрешностям в исходных данных.
Проиллюстрируем линейное параметрическое программирование на двумерном случае (рис. 1.1). Пусть задана область допустимых решений OABCD и целевая функция достигает своего максимума в точке С. Изме нение коэффициентов целевой функции приводит к повороту ее линии уровня, потому что изменяется направление градиента. При незначительном изменении коэффициентов целевой функции (направлении градиента) точка оптимума не изменится, но как только линия уровня станет параллельной одной из границ ( ВС или CD), оптимальное решение переместится в новую точку (соответственно в В и D), а при дальнейшем изменении коэффициентов целевой функции точка оптимума обязательно переместится в точку А. Метод линейного параметрического программирования позволяет найти все вершины ломаной (ABCD).
Рис.1.1. Красная стрелка указывает на изменение направлений градиента, которое происходит с изменением значения параметра X. Зеленым цветом выделены линии уровня целевой функции, которые перпендикулярны градиенту целевой функции с таким значением параметра X, что оптимальное решение находится в точке С; синим ...- в точке В; фиолетовым...- в точке А; коричневым ...- в точке D.
Решая задачу линейного параметрического программирования, мы найдем все вершины множества R, в свою очередь эти вершины принадлежат множеству Парето.
Согласно теореме Карлина [22], если Rx- выпукло, a F(x) - вогнутая вектор-функция (в частности линейная), то для всякой х є П найдется вектор весов Х 0, такой что хдает максимум ф = Х(х), и, наоборот для всякого Х 0 максимум ф = XF(x) достигается в некоторой точке х єП.
То есть при выпуклости множества каждому набору весов аддитивной функции полезности отвечает некоторая точка множества Паре-то, максимизирующая функцию полезности и наоборот, каждой точке множества Парето (или его отображения ) отвечает набор весов, такой, что точка является точкой максимума взвешенного критерия. Следовательно, всякая эффективная точка может быть получена как точка максимума аддитивной функции полезности (1.2). В случае линейного программирования метод линейного параметрического программирования дает вершины многогранника, которые и порождают множество Парето. Согласно определению множество Парето - это множество эффективных (недоминируемых) точек, движение по которому приводит к возрастанию одного из критериев за счет уменьшения другого.
ЛПП на основе выпуклой комбинации векторов
При сведении двухкритериальной задачи к однокритериальному виду имеем два параметра в целевой функции (о возможности преобразования задачи (1.9) к виду (1.5) говорилось выше). В связи с возможностью раз личного ввода входных данных задачи (в случае, если рассматривается некоторая двухкритериальная задача, чтобы не проводить дополнительные преобразованием целевой функции), рассмотрим еще один алгоритм симплекс-метода, который приводится в [47] . В этом варианте параметрического программирования параметризованный градиент будет записываться в виде выпуклой комбинации векторов с1 и с2: Конец вектора с+ при изменении Х1 от 1 до 0 (и Х2 от 0 до 1) будет двигаться вдоль штриховой линии (рис. 1.2). Сначала решим задачу f(x) = с х — max до получения исходного параметрического оптимального базиса. Затем, заменяя градиент целевой функции на с+ = А,с + А2с2, определим все остальные параметрические оптимальные базисы, варьируя Х2 от 0 до 1. Здесь при решении могут возникнуть два случая . Г. Все Д2 0 (Д2- относительные оценки для f(x) = c2x—»max), при этом никакая выпуклая комбинация двух строк относительных оценок А, и А2 с Х2 Х2 (Х2 - соответственно фиксированный на данном этапе решения Х2) не может образовать положительный элемент в строке относительных оценок А+ (А+ =XjAj +Х2А2). Следовательно процесс решения задачи заканчивается в текущей параметрически оптимальной крайней точки. 2.
Существует положительный элемент в Д2, при этом найдется выпуклая комбинация двух строк относительных оценок А,иД2 с А,2 А,2, которая образует положительный элемент в А+, следовательно, определяя по правилу Х2 = min !—, мы определяем какую небазис ную переменную нужно ввести в базис, и которая будет соответствовать тому элементу Д+, который первым становится положительным при увеличении к2 сверх Х2 . Следует отметить, что те же результаты можно получить используя однопараметрическое программирование (задача 1.5), выразив Х2 =\-Х1, и исследуя задачу в интервале X, є (0,1). Этот факт подтверждается и расчетами программы Lpp.exe. В этом варианте параметрического программирования будем рассматривать «вращение» параметризованного градиента с+ от одного крайнего луча n-мерного критериального конуса у другому. Тогда последовательность параметрически оптимальных крайних точек и ребер рассчитывается так же, как и в задаче (1.9). На рис. 1.3 параметрически оптимальным множеством является ребро у(х ,х2). Критериальный конус порождается векторами с1 и с2, при этом, если вектор aj ортогонален ребру у(х ,х2), то справедливы следующие утверждения: а) Конус, порождаемый парой [с1 ,aJ соответствует точке х1. б) Конус порождаемый aJ, соответствует всем точкам ребра у(х ,х2), причем является единственным конусом, соответствующим лю бой точке х3 из относительной внутренности ребра у(х ,х2). в) Конус, порождаемый парой jaj,с21 соответствует точке х2. говорят, что конус «соответствует» точке х eS, если х является решением задачи maxc+x(x eSf для всех с+, которые могут быть получены с помощью умножения на положительный скаляр выпуклых комбинаций образующих конуса. Практическое решение задач осуществляется также, как описано выше в задаче (1.9), только в отличие от интервалов оптимальности, здесь выдаются системы неравенств из которых можно определить области изменения параметров. Если параметров не более трех, то можно построить параметрическую диаграмму - изобразить фафически подмножества значений параметров, соответствующие параметрически оптимальным крайним точкам. Рассмотрим m - мерную задачуF
Постановка задачи и применение метода ЛПП к ее решению
Если начальный капитал фирмы равен Ко, а число выпущенных акций М, то номинальная начальная стоимость акции равна К0 / М, Будем рассматривать суммарный капитал К, сумму дивидендных платежей D (приведенных к начальному моменту), а стоимость одной акции и сумма дивидендов на нее получается делением этих величин на число акций М. Рассмотрим две модели: d -модель и р - модель. 1. d-модель: Примем обозначения:
Pi - доля чистой прибыли. 1 +gj - коэффициент инфляции (дисконтирования) d, - доля дивидендных платежей. Будем рассматривать детерминированную задачу выбора d; на перспективу п периодов. В качестве единицы планируемого периода будем брать год. «Общество вправе ежеквартально, раз в полгода или раз в год принимать решение (объявлять) о выплате дивидендов по размещенным акциям...» [31 ст. 42 п.1], но «дивиденды выплачиваются из чистой прибыли общества за текущий год» [31 ст. 42 п.2]. То есть процент дивидендных выплат определяется в конце года из чистой прибыли на конец года, ежеквартальная или полугодовая выплата дивидендов в фиксированном размере, устанавливается дирекцией АО и не должна превышать годовой процент дивидендных выплат.
Для задачи распределения прибыли между фондом накопления и фондом потребления это может быть квартал.
Исходной информацией является список долей прибыли на каждый период р, и коэффициентов инфляции (дисконтирования ) gL і =1,...п. Изменение основного капитала за 1-й период с учетом выплаты дивидендов и приведением к предыдущему периоду равно
Последнее условие, описывающее множество допустимых вариантов, является следствием естественных ограничений на dj (0 dj р;), то есть дивиденды должны выплачиваться из прибыли, не должны затрагивать основной капитал. При этом q, = s. отвечает d;=pis qi=hj отвечает d,=0. Отображение (2.1), (2.2) переводит n-мерный полиэдр в двумерное множество F :
Где Пг - образ множества Парето в критериальном пространстве. Описание и построение этого множества и является целью данной задачи. Преобразуем задачу к линейному виду, полагая:
Ограничения (23) при этом сохраняют линейный вид: то есть множество вариантов в критериальном пространстве F=((Fi, F2)) является линейным отображением многогранника Rn: F : Rn - F 2) з ПР и поэтому также является многогранником, а Пр - "северо-восточной" частью его границы.
Рассмотрим метод построения множества Парето для этой задачи. Как уже приводилось в первой главе - при выпуклости множества каждому набору весов аддитивной функции полезности отвечает некоторая точка множества Парето, максимизирующая функцию полезности и наоборот, каждой точке множества Парето (или его отображения ) отвечает набор весов, такой, что точка является точкой максимума взвешенного критерия [22]. То есть, всякая эффективная точка может быть получена как точка максимума аддитивной функции полезности xeRn, 0 Х 1, при К меняющемся от нуля до единицы. Условия теоремы при линейности ограничений и критериев автоматически выполняются. Прямая Щ(х) + (1 - X )F2(x) при выборе параметра X коснетсяИ любой точке Пр.
Поэтому решая n-мерную задачу линейного параметрического программирования (с параметром X ): мы получим вершины, которые и будут являться соответственно вершинами множества ПР - что и является решением рассматриваемой задачи. В каждой вершине мы будем иметь некоторые значения F и F2. Где Fr отвечает уставному капиталу, F2 - отвечает дивидендным платежам, и ЛПР может выбрать удовлетворяющую его стратегию с соответствующей стоимостью акции и дивидендами на нее.
Рассмотрим другую постановку этой же задачи - выберем в качестве управляемых параметров не долю дивидендов dt, а долю имеющегося капитала pi.
Получение различных шкал подоходного налога
Увеличение границ до 8, вызвано дополнительными льготами [32], согласно которым, если совокупный доход в год (или в течение года) не превысил 5 тыс. руб., то из налогооблагаемой суммы вычитается по две минимальных зарплаты каждый месяц, следовательно необлагаемая сумма налога равна 2 тыс. руб. Свыше 5 тыс. руб. до 20 тыс. руб. из налогооблагаемой суммы вычитается одна минимальная зарплата каждый месяц. Эти же льготы распространяются и на иждивенцев [32]. Так как в модельном примере предполагается, что на каждого налогоплательщика приходится по одному иждивенцу, то в строку «льготы:» включим 2 тыс. руб., соответствующие границе до 5 тыс. руб., также включим 2 тыс. руб., соответствующие границе до 20 тыс. руб. ( 1 тыс. руб.(на плательщика) + 1 тыс. руб. (на иждивенца)). Доход и до 5 тыс. руб., и до 20 тыс. руб. облагается минимальной ставкой - 12 %. Доли налогоплательщиков взяты из модельного примера 1 и преобразованы, согласно новым границам, при помощи программы gist.exe (п. 3.6. Гистограммное распределение). Это позволяет утверждать, что модельный пример 2 рассчитывается на тех же предположительных доходах и приходящихся долях налогоплательщиков, что и в примере 1.
Множество Парето в этом примере также состоит из двух точек - все ставки максимальные и все ставки минимальные.
Приведем расчет функции полезности для вектора хсс= ( 0.12, 0.12, 0.15, 0.20, 0.25, 0.30, 0.35) (вектор существующих с 01.01.98 года ставок); для оптимальных векторов (множество Парето состоит из х их7): х=(0.35, 0.35, 0.35, 0.35, 0.35, 0.35, 0.35), х7= ( 0.12, 0.12, 0.12, 0.12, 0.12, 0.12, 0.12); для вектора, наиболее близкого по значениям функции полезности к существующей шкале: х= ( 0.12, 0.12, 0.12, 0.12, 0.35, 0.35, 0.35).
Самая близкая к существующей шкале альтернатива 4 - вектор ставок х4=(0-12, 0.12, 0.12, 0.12,0.35, 0.35, 0.35), что означает до 60 тыс. руб. ставка минимальная - 12 %, а свыше максимальная - 35%. При обсуждения новой шкалы подоходного налога предлагалась подобная шкала, но надо признать, что новая 6-ти ступенчатая шкала обеспечивает налогового сбора больше на 10.3 %, а меру достатка населения на 0.7 % меньше. Фактически, существующая шкала с 01.01.98 года может обеспечить больший налоговый сбор при той же мере достатка населения, чем 2-х ступенчатая шкала (вектор ставок х ).
Подробный расчет здесь приведен лишь для того, чтобы показать, что ситуация по сравнению с предыдущей 5-ти ступенчатой шкалой (пример 1) изменилась в пользу налогоплательщиков - мера достатка населения выросла на 55.4 %, хотя налоговый сбор уменьшился на 41.2 %. Правительство, принимая эту шкалу безусловно и преследовало подобные цели -снизить налоговое бремя со средних и малоимущих слоев населения, но налоговый сбор, согласно программным расчетам, надо признать существенно снизился. Но на практике (например по Карачаево-Черкесской республике) сбор подоходного налога за первый квартал 1998 года увеличился на 10.7 % по сравнению с первым кварталом 1997 года. И здесь нет никакого противоречия, так как, до принятия новой шкалы: во-первых, все старались показывать только минимум, чтобы не платить большие про центы, теперь же надо платить минимальный процент - 12 % до 20 тыс. руб., и всего лишь 15 % до 40 тыс. руб., а 12 %, 15 % с некоторой суммы это значительно больше, чем ничего(фактически получается, что доли налогоплательщиков (их совокупный доход) изменяются, а в примерах предполагается, что доход не изменяется); во-вторых со II - го квартала 1997 года существенно увеличилась заработная плата в некоторых бюджетных организациях; в-третьих сказывается плодотворная работа налоговых инспекторов (отчетные данные содержат общую сумму поступлений по подоходному налогу, независимо от даты начисления, то есть в 1-й квартал 1998 года могут попадать суммы начисленные в 1997 году) ; в-четвертых, психологически, новая 6-ти ступенчатая шкала кажется настолько лучше, что снижение или сокрытие доходов кажется не целесообразным, немаловажную роль сыграла и сложность исчисления подоходного налога. Таким образом, можно объяснить изменения за I -й квартал, но окончательные выводы пока рано делать, только в начале 1999 года можно будет судить о выгоде или невыгоде новой шкалы по первому критерию -налоговому сбору. Выгода по второму критерию - мере достатка населения, не вызывает сомнений.
Если предположить, что население будет богатеть, то разница между первыми критериями уменьшается, а между вторыми практически не изменяется. Если, к примеру взять доли налогоплательщиков в примере 2 равными 0.01 0.1 0.45 0.2 0.1 0.08 0.05 0.01 (соответственно в примере 1 доли будут равными 0.0025 0.3086 0.3598 0.0452 0.0889 0.185 ), то налоговый сбор меньше уже на 32.7 % . При 2-х ступенчатой шкале (12 % до 60 тыс. руб. и 35 % свыше) имеем налоговый сбор меньше, чем при новой 6-ти ступенчатой шкале на 7.2% ( таблица 10).
