Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА 1. Генезис задач управления рыночным риском банка 8
1.1. Традиционные подходы к решению задач управлення рыночным риском банка 8
1.1.1. Оптимизация валютного риска 8
1.1.2. Оценка и оптимизация процентного риска 15
1.1.3. Хеджирование ценового риска 19
1.2. Теоретические основы моделей «копула» 28
1.2.1. Двумерные копулы 29
1.2.2. Многомерные копулы 36
1.2.3. Способы оценки и проверки статистической значимости моделей «копула» 40
1.3. Неадекватность предпосылки о многомерном нормальном распределении 47
1.4. Применение моделей «копула» к задачам управления рыночным риском банка 52
1.4.1. Оптимизация валютного риска 52
1.4.2. Оценка процентного риска 54
1.4.3. Хеджирование ценового риска 55
1.5. Краткий обзор альтернативных моделей 56
ГЛАВА 2 Теоретико-методологические основы исследования 58
2.1. Оценка структурного сдвига в копулах 58
2.1.1. Постановка задачи и метод решения 59
2.1.2. Утверждение 1. Определение вероятности ошибки Iрода 62
2.1.3. Утверждение 2. Определение вероятности ошибки IIрода 63
2.1.4. Экспериментальное тестирование метода 64
2.2. Методология решения задач управления рыночным риском на основе копул 66
2.2.1. Статическая оптимизация валютного риска 67
2.2.2. Динамическая оптимизация процентного риска 71
2.2.3. Динамическое хеджирование ценового риска 76
2.3. Критерии выбора наилучшей модели 80
ГЛАВА 3 Эмпирическая реализация. сравнение с традиционными подходами 82
3.1. Статическая оптимизация валютного риска 82
3.2. Динамическая оптимизация процентного риска 97
3.3. Динамическое хеджирование ценового риска 121
Заключение 135
Библиография 138
Приложения 151
- Способы оценки и проверки статистической значимости моделей «копула»
- Краткий обзор альтернативных моделей
- Статическая оптимизация валютного риска
- Динамическая оптимизация процентного риска
Введение к работе
1. Актуальность темы исследования
В 2006 г. Базельский Комитет по банковскому надзору опубликовал документ Базель II, описывающий порядок оценки рисков для цели расчета достаточности капитала банков. Основным нововведением стала возможность использования вероятностных (внутрибанковских, IRB) моделей для оценки отдельных рисков банка.
По результатам событий кризисного периода 2008 - 2009 гг. Базельский Комитет опубликовал рекомендации по способам, которые более предпочтительны для целей расчета совокупного риска банка в рамках Базель П. Эксперты Базельского Комитета проранжировали все способы по возрастанию сложности, гибкости и одновременно предпочтительности при использовании риск-менеджерами. В сформированный список включены модели «копула», из чего следует, что им отдано предпочтение по сравнению с наиболее распространенными в банковской практике подходами (суммирование, простая диверсификация и дисперсионно-ковариационный подход). Это объясняется тем, что модели «копула» позволяют моделировать совместные многомерные распределения (включая асимметричные), которые не являются гауссовскими.
К настоящему времени (октябрь 2010 г.) в документе Базельского Комитета «Развитие подходов к моделированию агрегирования рисков» обобщены основные наблюдения по вопросам агрегирования рисков, позволившие выделить преимущества, получаемые от применения моделей «копула». Необходимо отметить, что в настоящее время Центральный Банк Российской Федерации ведет активную работу по внедрению соглашения Базель II в банковской системе России.
21 июля 2010 г. Банк России опубликовал аналитический документ о степени соответствия внутрибанковских подходов к управлению кредитным риском банков - участников проекта «Банковское регулирование и надзор (Базель II)» Программы сотрудничества Евросистемы с Банком России минимальным требованиям IRB-подхода Базеля II (см. ).
Учитывая преимущества, которые представляют модели «копула» при моделировании совместных многомерных распределений, для возможности их корректного использования в практике управления риском (включая рыночный) российских банков необходимо проработать вопросы, которые мало или недостаточно рассмотрены в части приложения моделей «копула» к управлению рыночным риском российских банков, включая вопросы поиска момента структурного сдвига в копуле, порядок выбора наилучшей модели «копула», а также определение семейств копул, позволяющих наилучшим образом смоделировать динамику экономических показателей, влияющих на уровень рыночного риска российских банков. Степень научной разработанности проблемы
После того, как в конце 1990-х годов в монографиях Джое X. и Нельсена Р. появились первые систематизированные обобщения теоретических оснований моделей «копула», модели «копула» стали активно применяться в решении задач управления рисками, поскольку позволяли моделировать асимметричные совместные распределения случайных величин, а также разделять этапы оценки предельных (маржинальных) распределений и характера связки (параметра копулы). Хотя вопросы управления рисками получили широкое освещение в российском научном сообществе (работы Алескерова Ф.Т., Смирнова С.Н., Шоломицкого А.Г.), вопросам приложения моделей «копул» в задачах управления рисками российских банков уделено явно недостаточное внимание. В этой связи можно отметить работы Алексеева В.В., Соложенцева Е.Д., Шоколова В.В., Фантаццини Д.
Несмотря на активное использование моделей «копула» в исследованиях отечественных и зарубежных авторов (работы Вальдеза Е., Джиниуса М., Дэ Мишеле К., Женеста К., Муралидхара К., Парсы Р., Ремийярда Б., Сарати Р., Скайллет О., Смита М., Старццеры Е., Фавре А.-К., Фриза Э., Черубини У.),
31 января 2011 г. Банк России опубликовал Консультативный документ о перспективах применения российскими банками IRB-подхода Компонента I Базеля II в надзорных целях и необходимых для этого мероприятиях (действиях) (см. ).
можно выделить три категории вопросов, которые не были рассмотрены в достаточной степени.
Во-первых, ряд исследований, основанных на моделях «копула», предполагает неизменность копулы в течение времени (работы Анэ Т., Алексеева В.В., Лая Й., Натале Ф., Соложенцева Е.Д., Фантаццини Д., Хсу Ч.-Ч., Черубини У., Шоколова В.В.). Тем не менее, возможность изменения копулы, или наличия структурного сдвига в копуле, нельзя отрицать на теоретическом уровне. Это явление подтвердили и факты совместной динамики экономических показателей во время мирового финансового кризиса 2008-2009 гг., что требует разработки инструментария поиска момента структурного сдвига в копуле.
Во-вторых, в ходе проведения исследования с применением моделей «копула» перед каждым ученым возникал вопрос выбора наилучшей модели «копула», т.е. наилучшим образом соответствующей исходному совместному распределению случайных величин. Многие исследователи решали этот вопрос путем использования единого критерия, характеризующего качество модели на множестве обучающей выборки данных (работы Берга Д., Женеста К., Ремийярда Б., Саву К., Треде М., Черубини У.). Тем не менее, задачи управления рисками направлены на получение таких оптимальных параметров управления, которые не приведут к превышению уровня риска в будущем. Это требует высокой прогнозной, но не объясняющей силы модели «копула». При этом различие постановок задач управления рисками (например, оптимизация и хеджирование рисков) требуют использования дифференцированных критериев выбора модели «копула» для решения конкретной задачи, что в вышеприведенных работах учтено не было.
В-третьих, решение задачи управления рыночным риском российских банков требует использования моделей «копула», наилучшим образом характеризующих совместную динамику российских риск-факторов (обменных курсов, процентных ставок, котировок ценных бумаг и фьючерсов для
2 тт
Данные подтверждения приводятся далее в результатах исследования.
российской экономики). Однако, существующие исследования имели своим объектом либо риск-факторы экономик иностранных стран (работы Паттона А., Юнкера М., Хсу Ч.-Ч., Лая Й.), либо только риск-факторы ценового риска (работы Алексеева В.В., Соложенцева Е.Д., Фантаццини Д., Шоколова В.В.). Таким образом, можно сделать вывод, что в более ранних работах не было рассмотрено восстановление с помощью моделей «копула» совместных распределений риск-факторов российской экономики (обменные курсы, процентные ставки, котировки ценных бумаг и фьючерсов) в рамках решения задач управления рыночным риском российских банков.
Поэтому данное диссертационное исследование направлено на восполнение пробела в трех вышеобозначенных вопросах приложения моделей «копула» к решению задач управления рыночным риском российских банков: разработка инструментария оценки момента структурного сдвига в копуле и методологии выбора наилучшей модели «копула» (две задачи решены во второй главе); а также выбор семейств моделей «копула» для восстановления совместного распределения факторов рыночного риска российской экономики (данная задача решена в третье главе). Объект и предмет исследования
Объектом исследования выбраны рыночные риски российских банков, т.е. вероятные убытки (прибыли) от изменения таких рыночных факторов риска («риск-факторов»), как обменные курсы валют (валютный риск), процентные ставки (процентный риск), котировки ценных бумаг (ценовой, или фондовый, риск).
Предметом исследования выступают способы моделирования многомерных распределений доходностей (приростов значений за период) для факторов риска в трех задачах управления ими (оптимизация валютного и процентного рисков; хеджирование ценового риска). Цель и задачи исследования
Цель исследования состоит в разработке инструмента управления рыночными рисками российского банка на основе использования моделей
«копула», позволяющего по сравнению с традиционно используемыми подходами дать более точную оценку рисков при восстановлении совместных распределений доходностей риск-факторов. Задачи исследования включают в себя:
Анализ литературы для систематизации существующих подходов к приложению моделей «копула» в задачах управления рыночным риском.
Разработка алгоритма поиска момента структурного сдвига в копуле, разделяющего выборку на две части, однородные в терминах копулы совместного распределения.
Разработка методологии, позволяющей на основе ограниченного набора критериев выбрать наилучшую модель «копула» для каждой из трех вышеперечисленных задач управления рыночным риском российского банка.
Моделирование совместного распределения доходностей риск-факторов российской экономики для корректного решения выбранных задач управления рыночным риском российских банков.
Методологическая и теоретическая основы исследования
Методологическая основа исследования включает следующие методы:
Методы многомерного статистического анализа построения и оценки моделей «копула» (монографии Джое X., Нельсена Р., Черубини У.);
Метод имитационного моделирования Монте-Карло при восстановлении многомерных распределений на основе моделей «копула» (работы Алексеева В.В., Женеста К., Паттона А., Соложенцева Е.Д., Фантаццини Д., Шоколова В.В.);
Методы параметрической и непараметрической оценки моделей «копула» (работы Кима Дж., Ремийярда Б., Силвапюлле М., Силвапюлле П., Скайллет О.);
Методы тестирования статистической значимости моделей «копула» (работы Берга Д., Женеста К., Саву К., Треде М., Тсукахара X.);
Теоретическая основа исследования включает следующие модели и теоретические наработки, полученные в работах как отечественных, так и зарубежных авторов:
Модель оценки рыночного риска (работы Алескерова Ф.Т., Анэ Т., Вальдеза Е., Каруби К., Смирнова С.Н., Шоломицкого А.Г.);
Модели портфельной оптимизации (работы Линтнера Дж., Марковитца X., Мертона Р., Моссина Дж., Самюэльсона П.);
Модели управления рыночными рисками на основе моделей «копула» (работы Алексеева В.В., Лая Й., Натале Ф., Соложенцева Е.Д., Шоколова В.В.,ХсуЧ.-Ч.);
Модели «копула» в приложении к российским данным (работы Алексеева В.В., Соложенцева Е.Д., Фантаццини Д., Шоколова В.В.);
Информационная база исследования
В основе исследования лежат данные, собранные за период, максимально доступный, однородный (т.е. после кризиса 1998 года) и достаточный для проведения оценки модели «копула» в рамках решения задач управления рыночным риском российских банков.
Источником данных о динамике факторов валютного риска (об обменных курсах валют) стали информационные ресурсы Банка России; процентного риска (о процентных ставках) - ресурсы Банка России и системы Bloomberg; ценового риска (котировки ценных бумаг и фьючерсов) - ресурсы Российской Торговой Системы (биржа РТС). Научная новизна
Научная новизна исследования состоит в разработке инструмента управления рыночными рисками российского банка на основе использования моделей «копула», позволяющего по сравнению с традиционно используемыми подходами дать более точную оценку рисков при восстановлении совместных распределений доходностей риск-факторов, что основано на следующих существенных результатах, полученных автором и выносимых на защиту:
Проведена систематизация существующих подходов по приложению моделей «копула» в задачах управления рыночным риском российских банков. В результате анализа определены преимущества и недостатки существующих подходов.
Разработан алгоритм поиска момента структурного сдвига в копуле совместного распределения. Разработанный алгоритм был успешно апробирован при исследовании совместных распределений факторов рыночного риска российской экономики. Обнаруженные даты структурных сдвигов в копуле многомерного распределения риск-факторов полностью согласуются с датами принятия ключевых решений об изменении ставок рефинансирования Центральными Банками соответствующих валютных зон.
Предложена новая постановка задачи хеджирования, основанная на минимизации уровня ценового риска хеджируемого портфеля, оцененного с помощью модели «копула». Предложенная модель показала свою эффективность в терминах увеличения доходности и снижения стандартного отклонения стоимости захеджированного портфеля в задачах прямого хеджирования ценового риска в сравнении с традиционным способом хеджирования.
Определен перечень критериев, которые необходимо использовать для выбора наилучшей модели «копула». Данные критерии учитывают точность оценки величины рыночного риска и результат решения трех задач управления рыночным риском российского банка (оптимизация валютного и процентного риска; хеджирование ценового риска).
Разработана методология выбора модели «копула», наилучшей в терминах достижения оптимальных значений решаемых задач управления рыночным риском российских банков. Заданный набор критериев формирует иерархическую систему, позволяющую путем последовательного сопоставления значений критериев, оцененных на периоде ретроспективного прогноза, выбрать наилучшую модель «копула».
6. Определены семейства моделей «копула», которые необходимо использовать для восстановления совместных распределений риск-факторов рыночного риска российских банков. Для управления процентным риском российских банков необходимо использовать копулу Гумбеля; для управления валютным риском российских банков - копулу Гумбеля; для прямого хеджирования ценового риска российского банка -экстремальные копулы Копій, Галамбоса и Хайслера-Райса; для перекрестного хеджирования ценового риска российского банка - копулу Плаке.
Теоретическая и практическая значимость диссертационного
исследования
Теоретическая значимость исследования включает следующее:
Разработан инструментальный метод оценки момента структурного сдвига в эмпирической копуле совместного распределения;
Предложена новая постановка задачи хеджирования, основанная на принципе минимизации ценового риска;
Разработана методология выбора копулы из однопараметрического семейства, наилучшей с точки зрения прогноза величины рыночного риска российского банка;
Практическая значимость исследования состоит в следующем:
Выявлены даты структурных сдвигов в копуле совместного распределения доходностей риск-факторов рыночного риска для рассмотренной выборки наблюдений;
Определены семейства копул, позволяющие смоделировать совместную динамику риск-факторов российской экономики;
Разработан программный код для программной среды R, реализующий алгоритм поиска структурного сдвига в копуле совместного распределения;
Разработаны программные коды для программной среды R, решающие задачи управления рыночным риском российского банка (оптимизация
валютного и процентного рисков; хеджирование ценового риска) с
использованием моделей «копула»;
Теоретические результаты исследования включены в учебный курс «Многомерный статистический анализ» для студентов магистратуры факультета экономики Государственного университета - Высшая школа экономики.
Практические результаты исследования были апробированы в ОАО Альфа-Банк и легли в основу внутренних документов, регламентирующих порядок управления рыночными рисками ОАО Альфа-Банк, что соответствует как требованиям Банка России, так и рекомендациям Базельского Комитета по банковскому надзору. Структура диссертации
Диссертационное исследование включает в себя введение, три главы, заключение, библиографию, четыре приложения общим объемом 166 стр. Апробация результатов исследования
Результаты диссертационного исследования были представлены на следующих конференциях и научных семинарах.
Семинар «Банки и предприятия: модели и рейтинги» (23 ноября 2010 г.; РЭШ; Москва).
Научный семинар кафедры «Математика» под руководством профессора СЕ. Степанова (10 ноября 2010 г.; Финансовый Университет при Правительстве Российской Федерации; Москва).
Большой научно-исследовательский семинар кафедры теории вероятностей механико-математического факультета (29 сентября 2010 г.; Московский Государственный Университет им. Ломоносова; Москва).
IX Международная конференция «Применение многомерного статистического анализа в экономике и оценке качества» (25 августа 2010 г.; ЦЭМИ, ГУ-ВШЭ; Москва).
Конференция "Прогнозирование финансовых рынков" (28 мая 2010 г.; Кафедра международных валютно-финансовых отношений ГУ-ВШЭ; Москва).
Конференция «3rd Financial Risks International Foram», совместный доклад с Б.Бродским, И.Сафарян (26 марта 2010 г.; Insitute Louis Bachelier, Europlace Institute of Finance; Париж, Франция).
Научный семинар "Многомерный статистический анализ и вероятностное моделирование реальных процессов" (17 февраля 2010 г.; ЦЭМИ; Москва).
Первый российский экономический конгресс (12 декабря 2009 г.; Новая Экономическая Ассоциация; Москва).
Научный семинар лаборатории по финансовой инженерии и риск-менеджменту под руководством С.Н. Смирнова (17 ноября 2009 г.; ГУ-ВШЭ; Москва).
Конференция «International Risk Management Conference», совместный доклад с Ю. Титовой, В. Симаковой (22 - 24 июня 2009 г.; Finanza Firenze Research Centre; Венеция, Италия).
Международная юбилейная сессия научного семинара "Многомерный статистический анализ и вероятностное моделирование реальных процессов" (24 июня 2009 г.; ЦЭМИ; Звенигород).
VII-ая Международная школа-семинар "Многомерный статистический анализ и эконометрика" (24 сентября 2008 г.; ЦЭМИ, МШЭ МГУ, Российско-Армянский (Славянский) государственный университет, Армянский государственный экономический университет; Цахкадзор, Республика Армения).
Способы оценки и проверки статистической значимости моделей «копула»
При использовании моделей «копула» необходимо иметь инструментарий для обоснования выбора одной модели перед другой. Данной цели удовлетворяет две группы тестов: на качество подгонки (goodness-of-fit) и на качество прогноза (goodness-of-forecast). Среди первой группы выделяют критерии Акаики, Шварца; на основе трансформации Розенблатта, непараметрические тесты (на основе оценки дистанции до эмпирической копулы и на основе метода бутстрэп). Критерии для выбора копулы в рамках второй группы тестов будут предложены в конце главы 2.
Прежде чем перейти к проверке качества инференции конкретной модели «копула», Берг (см. [39], р. 16) предлагает воспользоваться результатами Хуффера и Парка [88], которые предложили тест для проверки многомерной эллипсообразности распределения. Одним из приложений исследования Хуффера и Парка является проверка многомерной нормальности распределения. Таким образом, проверив исходное распределение на эллипсообразность, становится возможным ответить на вопрос, принадлежит ли искомая копула к классу эллипсообразных или нет.
Тем не менее, мне не доводилось пока встретить работы, применявшие тест на эллипсообразную симметричность при работе с копулами. Наиболее распространенными же являются критерии на основе значения функции максимального правдоподобия - критерии Акаики (АІС) и Шварца (ВІС). Вторыми по частоте применения являются тесты оценки дистанции до эмпирической копулы. Третьими - тесты на основе трансформации Розенблатта.
Многие работы по приложению копул основывают выбор модели на критериях Акаики и Шварца (например, Саву и Нг [143], Патель и Перейра [131] и др.). Тем не менее, будучи самым простым и интуитивным, данный подход является методологически некорректным, потому что критерии Акаики (АІС) и Шварца (ВІС) предполагают одинаковую функциональную форму моделей, отличающихся количеством переменных (см. статьи Канторовича [16], с. 252). Поэтому единственное что возможно, так это на основе критериев АІС и ВІС сравнить копулы Стьюдента с разным числом степеней свободы. Выбирать же между копулами разных семейств и, как следствие, разных функциональных форм методологически некорректно. В подтверждение в работе (см. статью Аас и др. [29], р. 194) авторы отмечают, что, сравнение копул Стьюдента и Клэйтона по критерию максимума функции правдоподобия невозможно (фактически, сравнение по критериям АІС и ВІС), так как они не имеют единой функциональной формы, будучи невложенными (non-nested). Поэтому для моделей «копула» показатели АІС и ВІС не будут рассчитаны в данном исследовании.
В работе Женеста и Ремийярда [77] предлагается тест для анализа качества подгонки копулы к фактическому совместному распределению и проверяющий, не является ли исходное многомерное распределение связкой независимых случайных величин. В таком случае, если нулевая гипотеза оказывается верной, то совместное распределение моделируется копулой произведения. Сам тест предполагает выделение подмножеств из исходного распределения согласно декомпозиции Мёбиуса. В работе [77] предлагалось две модификации теста. Первый вариант теста проверяет на независимость всевозможные комбинации случайных величин. Для каждой комбинации рассчитывается статистика и сравнивается с критическим значением (графическим представлением результатов данного теста является «диаграмма зависимости», или от англ. dependogram; название графика депеидограммы аналогично коррелограмме, как и принцип его анализа - если статистика превышает критический порог, гипотеза независимости отвергается). Второй вариант теста основан на сравнении суммы уровней значимости распределения Фишера. Авторы показывают, что второй подход в целом является более мощным.
В работе Ремийярда и Скайллет [136] авторы ставят целью сравнение структур зависимости пар двумерных наборов данных. Для этого оцениваются уровни значимости для теста Крамера-фон-Мизеса, основанного на сопоставлении значений двух эмпирических копул. Авторы подчеркивают, что поскольку метод бутстрэпа не применим в случае теста Крамера-фон-Мизеса, оценка уровней значимости проводится на основе метода Монте-Карло.
В 1952 г. Мюрраем Розенблаттом [139] впервые была предложена трансформация многомерного случайного вектора в равномерно распределенный единичный куб, по размерности совпадающий с первоначальным вектором. Приложение подхода трансформации Розенблатта к оценке качества инференции было дано в статье Добрика и Шмида [62]. Фактически оценивается дистанция от преобразованного случайного вектора до копулы произведения. Существенная удаленность от копулы произведения не позволяет принять нулевую гипотезу о том, что независимая копула лежит в основе исследуемых данных. В качестве завершения обзора тестов на качество инференции моделей «копула» интересно проанализировать три работы, посвященные детальному сравнению разных тестов: Женеста и коллег [76], Саву и Треде [145], Берга [39]. Прежде всего, все три группы исследователей согласны в том, что мощность любого теста растет с ростом числа наблюдений, ростом размерности распределения и ростом степени взаимосвязи исследуемых переменных. При этом в статьях Женеста и коллег [76] и Берга [39] подчеркивается важная роль нулевой и альтернативной гипотез. В частности, Берг отмечает, что проводить статистические тесты, где нулевой гипотезой является предположение о том, что исследуемая копула является архимедовой, получается эффективнее, чем в случаях, когда нулевая гипотеза предполагает эллипсообразную копулу. Все авторы сходятся в том, что наилучшим тестом может являться в общем случае оценка дистанции до эмпирической копулы. Но расхождение возникает в используемой мере дистанции. Так Берг предпочитает использовать тест на основе статистики Андерсона-Дарлина [32]. Женест же с коллегами
Краткий обзор альтернативных моделей
Новым направлением развития портфельной теории (решения оптимизационных задач портфеля активов) является приложении копул к моделированию многомерных распределений в задачах портфельной оптимизации. Здесь стоит отметить работы Хеннеси и Лапана [84], Натале [124], Алексеева и др. [9]. В частности, Хеннесси и Лапан [84] рассматривают архимедовы копулы для моделирования многомерного распределения, лежащего в основе задачи оптимизации портфеля при максимизации функции ожидаемой полезности.
Если работа Хеннесси и Лапана [84] носила теоретический характер, то исследование Натале [124] является эмпирическим и построено на основе одиннадцатимерного распределения месячных доходностей акций. Натале использует копулу Клэйтона для моделирования связки совместного распределения и теорию экстремальных значений для восстановления частных распределений. Существенным упущением работы является отсутствие обоснования выбора копулы.
Несмотря на выбор Натале [124] в пользу копулы Клэйтона, в исследовании Алексеева и др. [9] отказались от копулы Клэйтона в пользу копулы Али-Микаэля-Хака при оптимизации портфеля акций на основе данных о ежедневных котировках. Алексеев и др. отвергают копулу Клэйтона из-за того, что она, по их мнению, характеризуется зависимостью верхних хвостов. В действительности авторы взяли «копулу дожития» Клэйтона, которая, как и вероятность дожития в страховании, равна единице за вычетом значения обычной копулы Клэйтона с зависимостью нижних хвостов. Несмотря на использование аппарата копул, авторы не проводят сопоставления полученных результатов с иными методами восстановления многомерного распределения или иными способами решения оптимизационной задачи.
Стоит отметить работу, в которой анализируется влияние выбора разных мер риска на оптимальную структуру инвестиционного портфеля и в которой отмечается, что многомерное распределение доходностей не соответствует гауссовской копуле (см. статью Адама и др. [30], р. 11-12).
Несмотря на то, что работа Паттона [132] не имеет дело с решением оптимизационной задачи, ее рассмотрение в контексте оптимизации валютного риска на основе моделей «копула» уместно, поскольку Паттон моделирует асимметричное движение валютных курсов с помощью модели «копула». Исследуя двумерные распределения доходностей обменных курсов немецкой марки и японской йены к доллару США за период 1991-2001 гг., в работе [132] вводится понятие условных копул, параметры которых зависят от своих значений в предыдущие моменты времени. Для построения совместного распределения автор сравнивает эффективность приложения гауссовской и асимметричной копулы Джо-Клэйтона. Не строя ретроспективного прогноза, автор находит симметричную копулу Джо-Клэйтона с переменным параметром наилучшим образом приближающей данные, чем гауссовская.
Обобщая проведенный обзор литературы в части решения задачи портфельной оптимизации валютного риска, целесообразно отметить место данного исследования, а именно указать и обосновать, какие шаги будут в нем предприняты (подробнее см. главу 2).
Во-первых, данное исследование не опирается на функцию полезности инвестора, выбирающего размер открытой валютной позиции. Поэтому целевой функцией будет ожидаемая доходность, а не ожидаемая полезность.
Во-вторых, результат оптимизации будет сопоставлен с альтернативными решениями. Поскольку основные работы Марковитца, Лиитнера и других предполагали многомерный гауссовскии закон распределения, решение на основе восстановленного с помощью копулы распределения будет сопоставлено с аналитическим решением, полученным в предположении многомерной нормальности распределения логарифмических доходностей.
В-третьих, для обоснования выбора всегда будет использован ретроспективный прогноз на данных (2008-2009 гг.), не входивших в обучающую выборку (2000 - 2007 гг.). Так выбор копулы будет обоснован визуальным анализом данных и результатами статистической верификации моделей на данных 2008 года. Сравнение эффективности подходов к оптимизации в предположении многомерной нормальности и при ее отсутствии будет выявлено на данных за 2009 год.
Для всех вышеперечисленных работ по прогнозированию кривой доходности и оценке процентного риска характерно предположение о симметричном характере движения процентных ставок, т.е. принимается предпосылка о наличии многомерного нормального совместного распределения для приростов процентных ставок. Отказ от данной предпосылки открыл направление прогнозирования кривой доходности через применение моделей «копула». Так Юнкер, Сцимайер и Вагнер [92] отказались от данной предпосылки и постарались спрогнозировать кривую доходности через применение копулы к моделированию инноваций, т.е. компоненты шума в модели временного ряда.
В основе их исследования лежат ежемесячные котировки доходностей американских казначейских облигаций с 1982 по 2001 гг.
Юнкер с коллегами рассматривают аффинную модель срочной структуры процентных ставок, в которой рассматривается два фактора — доходности для облигаций на срок один и два года. Копула используется для генерирования соответствующих остатков модели при помощи метода Монте-Карло. Для построения кривой доходности в рамках аффинной модели также применяется фильтр Калмана, хотя одновременно комментируются его недостатки, поскольку нарушается его базовая предпосылка о нормальном характере распределения исходных инноваций.
Для проверки годности полученных моделей используется семь индикаторов: тесты Андерсона-Дарлинга, Колмогорова-Смирнова, АІС, ВІС, относительное отклонение плотности вероятности нижнего и верхнего хвостов распределений и общий критерий согласия.
Статическая оптимизация валютного риска
Использование многомерного нормального закона распределения имеет то преимущество, что приводимую выше постановку задачи (61) можно записать в терминах математического ожидания и дисперсии. Употребляя выше введенные обозначения, ниже приводится постановка задачи из статьи Марковитца (см. [110], р. 81). где j - коэффициент ковариации логарифмических доходностей обменных курсов і-ой п j-ой валют. Отметим, что расчет дисперсии многомерного распределения (вторая строка системы (62)) является известным результатом в многомерном статистическом анализе (см., например, монографию Андерсона [11]). В частности известно, что если многомерная случайная величина г] = (rj1, ... ,i]m) подчиняется закону совместного нормального распределения с вектором средних значений а и ковариационной матрицей Е, т.е. 7] Nm(a;Y), то новая случайная величина , В-г\, являющаяся линейной комбинацией компонент вектора г/ с весами B = (BV ... ,Bm), будет подчинена нормальному закону распределения с параметрами среднего Е(%) -В-а и дисперсии Е - В Вт , т.е. Необходимо прокомментировать, почему в данном исследовании не была использована первоначальная постановка задачи Марковитца (62). Его постановка более жесткая, чем (61), что даст заведомо меньшую доходность, чем постановка (61). Это объясняется мультипликативным характером случайной величины, для которой ограничение дисперсии к минимуму ведет и к занижению доходности. Предлагаемая в работе оптимизационная постановка задачи (61) в предположении совместной нормальности вектора логарифмических доходностей т} = {т]х, ... ,//т) с учетом (63) без ограничения на неотрицательность может быть записана в форме: где S - ковариационная матрица вектора логарифмических доходностей 77, а щ_а - квантиль стандартного нормального закона распределения уровня 1-а (или процентная точка этого распределения уровня а). Двухэтапный ретроспективный прогноз Для решения оптимизационной задачи будет использован следующий алгоритм анализа данных. Вначале все данные делятся на три части: А, В, С. Целью данного разбиения является формирование обучающих и экзаменующих выборок, необходимых для проведения следующих этапов исследования: 1. На первом этапе часть А используется как обучающая выборка для предварительной оценки параметров каждого из рассматриваемых типов копул и многомерного нормального распределения; 2. На втором этапе часть В является экзаменующей выборкой, позволяющей выбрать тип (семейство) копулы; 3. На третьем этапе формируется обучающая выборка из частей А+В, которая позволяет провести окончательную оценку параметра выбранного типа копулы и многомерного нормального закона распределения вероятностей; 4. На завершающем четвертом этапе часть С используется для сравнения эффективности решения рассматриваемой оптимизационной задачи в рамках двух подходов: одного -основанного на применении копул; и второго - в предположении многомерной нормальности.
Динамическая оптимизация процентного риска Вначале будет рассмотрена методология динамической (поэтапной) оценки процентного риска, затем - порядок решения оптимизационной задачи. Для оценки процентного риска используется метод оценки изменения приведенной стоимости собственных средств (капитала) банка, описанный в статье Пеникаса и Симаковой [20]. Приведенная стоимость определяется как собственные средства банка определенной срочности, дисконтированные по соответствующей процентной ставке. Копулы позволяют сгенерировать совместное распределение ставок разных сроков, которые выступают дисконтирующими множителями.
Данное исследование состоит из трех принципиальных этапов. Первым является оценка моделей условной гетероскедастичности для прогнозирования кривой доходности. Вторым - поиск оптимальной копулы для описания распределения остатков оцененной модели. Третий -расчет ретроспективного прогноза величины процентного риска (EVEaR) по полученным прогнозам кривой доходности.
Несмотря на высокую популярность подхода аффинных моделей с включенным в них фильтром Калмана (подход фильтрации впервые предложенный в статье Калмана [93]), авторы считают более важным учет волн волатильности. К выводу о большей точности прогнозов по моделям GARCH по сравнению с фильтром Калмана также приходят Чудри и By [51].
В работе Поотера и др. [134] было показано, что использование комбинированных прогнозов позволяет повысить среднюю точность прогнозов модели GARCH. Тем не менее, данный подход все-таки не позволяет уловить асимметричный характер совместного распределения остатков модели. Поэтому для полного временного ряда были оценены методом максимального правдоподобия семь копул (гауссовская, Клэйтона, Гумбеля, Франка и Стьюдента с одной, тремя и десятью степенями свободы). Для каждой из них был рассчитан параметр копулы, а также значения индекса зависимости верхних ( Лу ) и нижних (XL) хвостов,
Динамическая оптимизация процентного риска
Далее следует обобщение результатов, отвечающих третьей задаче исследования выбора критерия наилучшей модели «копула» для применения их в задачах управления рыночным риском банка.
Чтобы выбрать наилучшую модель «копула», необходимо разделить выборку на две части: обучающую и экзаменующую. Далее в части обучающей выборки необходимо проверить отсутствие ярко выраженного структурного сдвига в копуле. При его наличии оставляются данные после даты сдвига при условии сохранения достаточного числа наблюдений в обучающей выборке (как минимум, равном числу наблюдений в экзаменующей выборке).
Затем на данных обучающей выборки после даты сдвига в копуле оцениваются модели «копула» разных семейств, на их основе решаются задачи управления риском российского банка. Далее с расширяющимся окном наблюдения на экзаменационной выборке строится ретроспективный прогноз реализовавшегося финансового результата и рыночного риска. На периоде ретроспективного прогноза далее измеряются следующие критерии, полученные в рамках последовательного (для каждого наблюдения экзаменующей выборки) решения задачи управления рыночным риском на основе моделей «копула»:
Количество пробоев границы потерь рыночного риска; Величина максимального пробоя границы потерь рыночного риска; ? Среднеквадратическая ошибка ретроспективного прогноза величины рыночного риска; ? Кумулятивная доходность рыночного риска; Стандартного отклонение реализованного рыночного риска; Все вышеперечисленные критерии формируют иерархическую систему, позволяющую путем последовательного анализа выбрать наилучшую модель «копула»: (І)Вначале предпочтение отдается модели, не имеющей пробоев границы потерь; (2) При отсутствии моделей, удовлетворяющих условию 1, выбирается модель с наименьшей максимальной величиной пробоя границы потерь; (З)При наличии нескольких моделей, удовлетворяющих условию 1 или условию 2 (при невыполнении условия 1), выбирается модель с наименьшей среднеквадратической ошибкой ретроспективного прогноза; (4) При наличии нескольких моделей со статистически равной среднеквадратической ошибкой ретроспективного прогноза предпочтение отдается модели в зависимости от решаемой задачи управления рыночным рисков: a. Для задачи оптимизации риска предпочтение отдается модели с наибольшей доходностью на периоде ретроспективного прогноза; b. Для задачи хеджирования риска выбор отдается в пользу модели, дающей минимальное стандартное отклонение доходности на ретроспективном горизонте; При наличии нескольких моделей со статистически равными стандартными отклонениями доходностей предпочтение отдается модели с максимальной кумулятивной доходностью на периоде ретроспективного прогноза. Данная глава посвящена апробации подходов предложенных во второй главе, а также решению четвертой задачи исследования по моделированию совместных распределений риск-факторов российской экономики с помощью моделей «копула». В рамках каждой из задач управления рыночным риском российских банков моделей «копула» вначале приводится описание использованных данных; и далее - основные результаты эконометрического исследования. В конце раздела обобщаются выводы, формирующие положения для защиты и подчеркивающие предпочтение моделей «копула» перед моделями, основанными на предпосылке о многомерном нормальном законе распределения, в рамках выбранных критериев сравнения. Развитие подхода будет иллюстрировано переходом от модели статической оптимизации (в части валютного риска), когда параметры управления выбираются единственный раз, к моделям динамической оптимизации (для процентного риска и хеджирования), когда пересмотр проводится на ежедневной основе. В качестве первичных данных были использованы недельные котировки-3 трех валют (на конец каждой рабочей недели, т.е. на пятницу): швейцарского франка (CHF; j = 1), фунта соединенного королевства Великобритании (GBP; у = 2) и японской йены (JPY; у = 3). Эти валюты были выбраны, поскольку реже всего рассматривались в исследованиях. Как следствие, их совместная динамика мало изучена. Хотя основную долю валютных активов и пассивов банки имеют в долларах США и евро, Источником первичных данных был сайт Банка России: эти две валюты представляют меньший интерес, так как являются объектами валютного таргетированпя Центрального Банка РФ. Основным стилизованным фактом поведения этих обменных курсов по отношению к рублю является сильная обратная зависимость. Далее представлены результаты апробации алгоритма оптимизации валютного риска, отраженные в работе Пеникаса [18]. Для решения оптимизационной задачи (61) вначале определим рассматриваемое совместное распределение, которое задано многомерным случайным вектором логарифмическая доходность j-oro курса Jh иностранной валюты к рублю РФ за одну неделю. Итак, исследуется поведение трехмерной случайной величины (?]i,rj2,Tj3), где г\х,щ,щ - это недельные валютные курсы швейцарского франка, английского фунта и японской йены к рублю РФ, соответственно. Для решения оптимизационных задач целесообразно использовать данные, соответствующие горизонту планирования инвестора. Так Марковитц в своей нобелевской лекции рассматривает годовые и месячные приросты котировок ценных бумаг (см. [109], р. 283). Натале [124] тоже использовала месячные данные. Алексеев с коллегами [9] брали дневные данные. Использование месячных данных по валютным курсам существенно снижает исходный набор данных, учитывая, что курсы до 1999 года соответствуют иной экономической конъюнктуре. Дневной горизонт не является реалистичным с практической точки зрения управления валютной позицией банка, на существенное изменение которой требуется в среднем неделя. Именно поэтому предпочтение было отдано в пользу недельных данных, которые соответствуют реальному горизонту управления валютной позицией банка и представляют достаточное количество данных для дальнейшего анализа.
