Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА 1. Экономико-математическое моделирание и его применение на транспорте 14
1.1. Содержание и методы экономико-математического моделирования на транспорте 15
1.2 Исторический опыт применения экономико- математического моделирования на транспорте 22
1.3. Проблемные вопросы использования математического моделирования на транспорте , 27
Выводы к Главе 42
ГЛАВА 2. Управление транспортными потоками 44
2.1. Классическая транспортная задача 44
2.2 Транспортная задача с возрастающими тарифами 50
2.3. Транспортная задача с убывающими тарифами 59
Выводы к главе 2 69
ГЛАВА 3. Управление финансовыми ресурсами на транспорте 71
3.1. Денежные потоки на транспорте и их рациональное использование 71
3.2. Денежные потоки и их дисконтирование 76
3.3. Денежные оценки при принятии решений о покупке и продаже транспортных средств 77
Выводы к главе 3 79
ГЛАВА 4. Модификации классических моделей и их использование в задачах экономики и управления на транспорте 80
4.1.Обобщенное уравнение Слуцкого 80
4.2. Модели Солоу с линейной функцией трудовых ресурсов для отрасли и предприятия 96
4.3. Модели сотрудничества и конкуренции предприятий на рынке транспортных услуг 111
Выводы к главе 4 123
ГЛАВА 5. Экстремизация с кусочно-линейными ограничениями и ее использование на транспорте 124
5.1. Концевые функции и возможность их использования в задачах экономики и управления на транспорте 124
5.2.Экстремизация концевых функций и их использование на транспорте 132
5.3.' Организация параллельных вычислений в компьютерных сетях141
5.4.Пример решения конкретной задачи. 141
Выводы к Главе 5 143
ГЛАВА 6. Экономико-математические аспекты стратегического управления на транспорте 145
1. Общие соображения об управлении временными проектами 2. Быстрый рост предприятия 149
3. Три метода стратегической оценки состояния компании 156
4. Переложение трех методов стратегического управления на транспорт 161
5. Стратегическое управление транспортной системой региона и эффект синергии 163
6. Стратегическое управление транспортом страны 165
Выводы к Главе 6 168
Заключение 169
Приложения 175
Приложение 1. Построение транспортных сетей по методике В.Яцыны 175
Приложение 2. Демонстрационная версия программы расчета инвестиций 207
Список литературы 215
- Проблемные вопросы использования математического моделирования на транспорте
- Транспортная задача с убывающими тарифами
- Денежные потоки и их дисконтирование
- Модели сотрудничества и конкуренции предприятий на рынке транспортных услуг
Проблемные вопросы использования математического моделирования на транспорте
В этом пункте, заключительном в Главе 1, остановимся на проблемных вопросах использования математического моделирования на транспорте. Это кажется уместным в настоящей работы, посвященной использованию математического моделирования на транспорте. Тем самым мы хотим подчеркнуть, что хорошо понимаем важность критического отношения к использованию математического моделирования на транспорте. Это тем более необходимо, что обычно эти вопросы не обсуждаются и, несмотря на их важность, даже не поднимаются. Однако многие выдающиеся специалисты транспортной науки давно осознали многие нюансы использования математического моделирования на транспорте. В нижеследующем мы широко используем неопубликованную рукопись В.А. Персианова [106], так как во многом разделяем его взгляды на указанную проблему (с естественной поправкой на сегодняшние дни), а также некоторые опубликованные заметки и статьи видных исследователей использования математического моделирования (например, заметку Р.Л. Акоффа [7]).
Происхождение метода транспортной науки и его эволюция на начальном этапе. Зарождение транспортной науки как самостоятельной отрасли знания следует отнести примерно к 20-м годам 19 века, когда, в ответ на требования жизни, появились многочисленные проекты строительства железных дорог и других путей сообщения. Поскольку из всех проблем транспорта на первом месте стояли проблемы строительства, то первыми учеными на транспорте, естественно, оказались строители. Так как зарождавшаяся транспортная наука еще не располагала собственными, выработанными ею, методами, то для решения транспортных проблем начали использовать уже существующие методы классической механики и, прежде всего, статики сооружений.
По мере складывания сети железных дорог, усложнения перевозочного процесса и усиления взаимодействия, отдельных дорог друг с другом и со смежными видами транспорта на первый план выдвигаются уже проблемы не строительства, а экономики транспорта, или, как обычно говорится, эксплуатации транспорта.
В связи с ростом масштаба и усиления роли транспорта в хозяйстве России в начале 20-го века стали расти и транспортные проблемы, разрешение которых требовало все больше средств и сил. Устаревшая форма организации перевозок, основные методы транспортной науки подвергались суровой критике прогрессивными учеными-транспортниками того времени - Б.Д. Воскресенским, Н.М. Хлебниковым, А.П. Бабаевым и другими. Так, в одной из работ Е.В.Казанского по существу впервые поставлен вопрос о необходимости системного рассмотрения всех элементов транспорта; далее, С.Г. Писарев высказался за целостный подход к расчету важнейшей транспортной характеристики - пропускной способности транспортных элементов и, что еще более важно, целых транспортных систем. Необходимость немеханистического, системного подхода к разрешению транспортных проблем достаточно отчетливо проявилась в исследованиях СВ. Земблинова, В.Д. Никитина, П.В. Бартенева.
Примерно к 30-м годам 20-го века транспортная наука вышла из зачаточного состояния и начала систематически использовать различные экономико-математические методы. Эта ситуация качественно изменилась примерно к 60-м годам 20-го века, когда в практику вошло широкое использование ЭВМ. Но с этого момента и по сей день ситуация в транспортной науке остается примерно неизменной, особенно в части использования экономико-математических методов.
Критика отдельных экономико-математических методов, используемых в транспортной науке. Одной из важнейших задач транспортной науки является так называемая транспортная задача, исследованию которой посвящена Глава 2 настоящей работы.
Одним из основных критических замечаний в адрес известного математического метода ее решения - метода потенциалов, было то, что тарифы на перевозки в классической постановке этой задачи считались постоянными, хотя на практике это не так: часто тарифы являются убывающими или, лучше сказать, ступенчато-убывающими, а иногда, не очень, впрочем, часто, ступенчато-возрастающими. В главе 2 это критическое замечание, в основном устраняется, именно, показывается, что классические алгоритмы (метод потенциалов) не могут решить транспортную задачу с убывающими тарифами. Более того, в диссертации высказывается обоснованное мнение, что, возможно, не существует никакого "хорошего" алгоритма решения транспортной задачи с убывающими тарифами.
Транспортная задача с убывающими тарифами
Часто они становятся менее эффективными, чем гораздо более грубые решения, на смену которым они пришли. Назовем эту точку пересечения моментом смерти решения. Многие исследователи убедительно показывают, что і время жизни решений по многим социальным и \ организационным проблемам короче, чем время их нахождения. Поэтому все больше якобы оптимальных решений оказываются мертворожденными. Вполне возможно, что с ускорением технологических и социальных изменений, ожидаемое время жизни оптимальных решений начнет расти даже в отрицательную сторону. Особенно остро ощущается это при исследовании динамических процессов и оптимальных решений для них. Отсюда возникает необходимость изменений в исследованиях и выработке оптимальных решений так, чтобы время их жизни не оказывалось слишком малым. Некоторый оптимизм внушает непрерывное возрастание быстродействия электронно-вычислительной техники. Те расчеты, на которые 10 лет назад затрачивалось то или иное время, сейчас могут быть реализованы в десятки-сотни-тысячи раз быстрее.
Отметим еще исключительно важное обстоятельство. В попытках увеличить время жизни решений можно и нужно применять все более быстродействующие электронно-вычислительные средства. Например, в рассмотренной в Главе 2 транспортной задаче вслед за изменением тарифов для сохранения оптимальности плана перевозок его - этот план, нужно менять. Однако соответствующие изменения нужно производить среди материальных условий задачи (а не только среди идеальных параметров задачи), а такие изменения весьма инерционны - их не произведешь мгновенно - тем самым, какие-либо сверхбыстродействующие электронно-вычислительные средства оказываются ненужными. 6. є - оптимальные решения. Так называются решения, может и не оптимальные, но весьма близкие к ним. Интерес к таким решениям обусловлен тем, что иногда найти такое решение очень легко, во всяком случае, для его нахождения можно использовать довольно грубые методы, иногда очень наглядные и вытекающие из самой сути критерия оптимизации. Например, если в транспортной задаче тарифы меняются не очень сильно, то, игнорируя их изменения, используя классический метод потенциалов, получим план перевозок, довольно близкий к оптимальному. Практики это прекрасно знают и используют этот метод (получения оптимальных решений) весьма охотно. Так, например, в целочисленном линейном программировании можно проигнорировать требование целочисленности и работая обычным симплекс-методом получить оптимальное решение (данной задачи без учета целочисленности), умело, округляя которое, получим- оптимальное решение исходной задачи (уже с требованием целочисленности). С ростом быстродействия вычислительной техники такой простой метод, как метод простого перебора, все чаще оказывается востребованным и при умелом его приспособлении дает оптимальное решение.
Разумеется, сама концепция 8 - оптимальных решений предполагает умелое упрощение при необходимости исходной задачи с целью получения оптимального решения возможно более простым методом, часто имеющим мало общего со сложным методом; который может дать оптимальное решение. 7. Критерии эффективного функционирования транспортных узлов, транспортных сетей регионов и транспорта страны вообще. Конечно, такие критерии имеет смысл рассматривать в данном параграфе, так как любой критерий предполагает его выражение в экономико-математической форме. Разумеется, это весьма сложная тема, но мы можем высказать по этому поводу следующее.
Все - таки ограничимся отраслью железных дорог. Имеет ли смысл разрабатывать критерий эффективности функционирования ж.-д. узла? Тут есть два взгляда на это. Первый - имеет. Второй - нет. Поскольку первый взгляд понятен, остановимся на втором. Почему нет? А потому, что ж.-д. отрасль оценивается правительством в масштабах всего народного хозяйства и если, например, в данном году оценка дана неудовлетворительная, то пусть ж.-д. ведомство само и начинает ревизию того, как успешно функционируют его составляющие. Так вообще обстоит дело в иерархических системах - система, получив оценку ее деятельности, сама организует ревизию функционирования своих подсистем, и, возможно, начинает уточнять критерии функционирования своих составляющих подсистем. Эта точка зрения не является общепринятой, но ее истинность несомненна. Таким образом, речь идет о выработке ведомственного критерия функционирования ж.-д. узла.
Денежные потоки и их дисконтирование
Уравнение, формально похожее на уравнение Слуцкого по математической структуре, назовем обобщенным уравнением Слуцкого. Такое уравнение и выводы, и следствия, аналогичные вышеприведенным А-Д), можно составить, если выполнены некоторые предпосылки об аналогах товаров и функции полезности. Сохраним уже используемые обозначения, тогда эти предпосылки таковы:
Очень важно отметить, что в самом уравнении Слуцкого функция полезности непосредственно не присутствует, только через функцию спроса. Для применимости уравнения Слуцкого нужно лишь предположение о том, что функция спроса находится для функции, обладающей свойствами, перечисленными выше - см. (3). Наиболее подходящей функцией, являющейся аналогом функции полезности и удовлетворяющей условиям (3), является функция вида: u(xb..., xn)=Ax!ai... xnttQ, где ab...,an 0, Ii=1" сц 1 и А 0 некоторый масштабный коэффициент. Для выяснения содержательного смысла показателей ai,..., an напомним определение эластичности.
Пусть У=у(х) - некоторая функция, тогда (dy/y):(dx/x)= (dy/dx):(y/x) называется эластичностью величины у по отношению к х в соответствующей точке и обозначается Еху. Эластичность выражает пропорцию относительных изменений величин у,х. Так, если Е/ =-2, то при увеличении х на 3%, величина у уменьшится на 6%. Если переменных несколько, то эластичность выражается с помощью частных производных.
Показатели он,..., an как раз и выражают эластичность функции и по отношению к переменным xi,..., хп. Таким образом, чем больше такой показатель, тем сильнее он влияет на функцию.
Выбор вида внутригородского транспорта. В силу ограниченности своего бюджета индивид оказывается перед необходимостью выбора вида транспорта для своих поездок. В течение некоторого периода времени, скажем, года индивид должен совершить некоторое количество поездок. Пусть речь идет о внутригородских поездках, скажем на работу. Он может выбрать автомобиль, пригородную электричку, автобус, троллейбус, метро, такси т.п.
Каждый вид транспорта характеризуется ценой поездки, удобствами т.д. Таким образом, в рассмотрение вводится функция полезности, оценивающая набор поездок с точки зрения индивида; сумма, ассигнуемая им на осуществление всех поездок, стоимость каждой поездки и т.д. Поскольку анализируемая ситуация очень схожа с ситуацией выбора потребителем набора товаров, то нет сомнения, что соответствующая функция полезности имеет свойства (3). При изменении цены какой-нибудь поездки приоритеты меняются: некоторые поездки учащаются, другие становятся более редкими.
Уравнение Слуцкого и выводы А-Д), см. выше, позволяют лучше понять эти изменения.
Так вывод А) показывает, что при повышении цены той или иной поездки индивид будет реже прибегать к соответствующему виду транспорта, даже если он добавит компенсирующую сумму на транспортные расходы.
Вывод Б) показывает, что обязательно есть ценные поездки, в перечислении вверху, это, видимо такси, хотя в условиях Москвы этот вывод спорен из-за перегруженности Москвы транспортом. Г) Есть ли в данном случае товары Гиффина? Т.е. такие виды поездок, при повышении цены которых они учащаются? В принипе могут быть, маневрируя в пределах выделенной суммы, индивид может учащать некоторые виды поездок для максимизации общей полезности даже при повышении цены на них. Содержательно это объяснить нетрудно: другие поездки рассматриваются как слишком комфортные и, если раньше индивид мог себе их позволить, то теперь он вынужден их сократить.
Было бы интересно как-то конкретизировать условия, при которых есть поездки Гиффина. Вывод Д) о наличии для каждого товара заменяющего его важен и с практической точки зрения. Этот вывод означает в данном случае, что при подорожании, скажем, метро, люди начинают больше пользоваться каким-то другим видом транспорта.
. Выбор вида междугородного транспорта. Здесь выбор проходит между тремя основными видами междугороднего транспорта: железнодорожным, междугородними автобусами и авиатранспортом. Эта ситуация похожа на предыдущую, но есть и отличия. В течение последних 10-12 постсоветских лет в этой ситуации произошли большие изменения.
В советское время авиатранспорт был доступным видом транспорта, а сейчас он стал недоступен для почти всего населения. Недавно было проведено подробное исследование выбора между ж.-д. транспортом, автомобильным транспортом и авиатранспортом [102].
Выбор вида места в ж.-д. транспорте. Как известно, в ж.-д. транспорте есть места общие, плацкартные, купейные и особо комфортабельные СВ-места. Соответственно, различаются и билеты.
Сколько надо иметь тех или иных мест - важная проблема ж.-д. транспорта. Обобщенное уравнение Слуцкого может помочь в принципиальном осмыслении этой проблемы. Так, скорее всего, купейные и СВ-места являются ценными товарами; общие места, скорее, малоценные и, возможно, товары Гиффина (для индивидуумов со специфической функцией полезности и определенным размером дохода). Для купейных мест заменяющие их, видимо, являются плацкартные места, а для плацкартных - общие и купейные, в зависимости от дохода: доход меньше - общие, доход больше - купейные; доход еще больше - СВ-места.
На воздушном транспорте категорий мест меньше, в силу чего использование обобщенного уравнения Слуцкого менее впечатляюще. Склад запчастей. Каждая запчасть имеет цену, на содержание запчастей ассигнуется некоторая сумма. Функцию полезности здесь можно отождествить с недопущенными убытками из-за отсутствия необходимой запчасти. Как здесь проявляются выводы А-Д)?
Модели сотрудничества и конкуренции предприятий на рынке транспортных услуг
Рассмотрим теперь второй случай: когда инфимум реализуется на бесконечности. Пусть предел последовательности {ХІ} есть со. Пусть z y. Найдется Xj, такой, что Xj у и f(y) f(xj). Тогда на отрезке [z, Xj] максимум f может быть только в z, так что f(z) f(y), так что f убывает на всей области- определения. Если же предел последовательности {xj} есть -со, то доказывается, что f возрастает на всей области определения.
Предложение 4. Среди функций одной переменной только монотонные функции являются одновременно и максконцевыми и миниконцевыми.
Доказательство. Ранее уже указывалось, что монотонная функция является и максконцевой и миниконцевой. Таким образом, осталось доказать только, что функция одной переменной, являющаяся и максконцевой и миниконцевой, является монотонной.
Рассмотрим такую функцию f. Если f есть константа, то доказывать нечего, так что пусть найдутся точки а Ь, такие что f(a) f(b), пусть, например, f(a) f(b). Пусть Ь с, тогда f(b) f(c), так как f максконцевая, пусть c d, тогда по той же причине f(c) f(d), следовательно, правее точки b функция f возрастает. Так как f миниконцевая, то левее точки а функция f убывает. Пусть теперь a p q b. Так как f(a) f(b) и f - максконцевая, то f(q) f(b), по той же причине f(p) f(q), а так как она миниконцевая, то f(a) g(p). Доказано, что f - возрастающая функция.
Концевые функции многих переменных. Следующее предложение 5 дает важные примеры концевых функций многих переменных.
Напомним, что функция f называется выпуклой, если ее область определения есть выпуклое подмножество (какого-то линейного пространства) и f(Xx+(l-A,)y) A,f(x)+(l-A,)f(y) для любых х,у из области определения и любого Л.є[0,1].
Предложение 5. Выпуклая функция является максконцевой. Доказательство. Пусть функция f выпукла и отрезок [х,у] лежит в области определения. Тогда f(Xx+(l-X)y) Xf(x)+(\-X)f(y) (X+(\-X))g=g, где g - максимальное из чисел f(x), f(y). Доказано, что f - максконцевая функция.
Линейная функция является и максконцевой и миниконцевой. Замечание. Однако выпуклые функции не покрывают весь объем класса максконцевых функций, даже для функций одной перемнной. Так, на рис. представлен график максконцевой функции
Доказательство. Перейдем к векторным обозначениям, пусть тогда X - вектор из области определения Dom(U) вектор-функции U(X), так что надо доказать, что функция F(X)=f(U(X)) есть концевая. Пусть 1={А+(1-А,)В} - отрезок в Dom(U) , тогда вектор-функцией U он переводится в отрезок U(I)={U(A)+(1- A.)U(B)}, причем концы отрезка I , очевидно переходят в концы отрезка U(I) (если U(A)=U(B), то отрезок U(I) вырождается в точку) и, следовательно, на отрезке I нужный экстремум достигается в одном из концов, что и требовалось доказать.
Концевые функции представляют значительное обобщение многих "хороших" функций. Скажем в задачах Линейного Программирования (ЛП), целевая функция может считаться всего лишь концевой. Действительно, Первая основная теорема ЛП остается верной при такой замене. В самом деле, эта теорема гласит, что задача ЛП имеет оптимальное решение, если допустимое множество не пусто (необходимое условие) и целевая функция задачи ограничена на допустимом множестве в направлении экстремума.. Но, как известно, в задаче ЛП угловых точек в допустимом множестве конечное число, следовательно, целевая (любая!) функция ограничена на множестве G угловых точек. Таким образом, можно сформулировать следующее
Пусть дана задача максимизации максконцевой функции на компактном выпуклом подмножестве. Тогда эта задача . имеет (оптимальное) решение, если и только если целевая функция ограничена сверху на этом подмножестве.
С учетом аналогичного предложения о миниконцевых функциях получаем следующее предложение, являющееся аналогом первой основной теоремы ЛП.
Пусть дана задача экстремизации концевой функции на компактном выпуклом подмножестве (т.е. максимизации максконцевой функции или минимизации миниконцевой). Тогда эта задача имеет (оптимальное) решение, если и только если целевая функция ограничена на этом подмножестве в направлении экстремума.
Вторая основная теорема ЛП утверждает, что если в задаче ЛП экстремум целевой функции достигается, то он достигается в некоторой угловой точке, так что следствие 1 есть аналог этой теоремы. Однако конструктивных алгоритмов по нахождению экстремумов концевых функций, наподобие знаменитого симплекс-метода, может и не оказаться.
