Содержание к диссертации
Введение
Глава 1: Коинтеграция и хеджирование в финансовом анализе 7
1.1 Коинтеграция 7
1.2 Методы использования коинтеграцин участниками рынка 16
1.3 Обзор методов хеджирования 23
1.4 Эконометрнческие исследования коинтеграция на валютном рынке 32
Глава 2: Развитие методов хеджирования при помощи коинтеграции 35
2.1 Постановка и решение задачи об оптимальном комбинировании коинтеграционных соотношений 35
2.2 Численный пример построения оптимальных комбинаций коинтеграционных соотношений 44
2.3 Некоторые особенности динамики валютных курсов, связанные со скоростями их изменения 52
2.4 Метод формирования модельной информации на основе деления динамики цен на «быстрые» и «медленные» периоды 72
Глава 3: Поиск коинтеграционных соотношений на рынке Forex и определение целесообразности их использования для хеджирования 75
3.1 Поиск коинтеграционных соотношений среди треугольных наборов валютных пар 76
3.2 Поиск коинтеграционных соотношений среди тех наборов валютных пар, которые могут быть использованы для хеджирования обязательств по поставке валюты 86
3.3 Целесообразность применения метода комбинирования коинтеграционных соотношений для хеджирования обязательств по поставке валюты 96
3.4 Описание авторских программ, использованных для расчётов 105
Заключение 106
Список литературы 109
- Методы использования коинтеграцин участниками рынка
- Численный пример построения оптимальных комбинаций коинтеграционных соотношений
- Метод формирования модельной информации на основе деления динамики цен на «быстрые» и «медленные» периоды
- Поиск коинтеграционных соотношений среди тех наборов валютных пар, которые могут быть использованы для хеджирования обязательств по поставке валюты
Введение к работе
Актуальность темы исследования.
Важной задачей, решаемой агентами, оперирующими на финансовых рынках, является хеджирование (буквально — страхование) различных обязательств. Оно подразумевает покупку такого портфеля финансовых инструментов (например, акций), колебания цены которого повторяют динамику стоимости финансового обязательства инвестора. Такой портфель называется хеджирующим или реплицирующим. Эффективность хеджирования тем выше, чем меньше отклонение стоимости реплицирующего портфеля от стоимости хеджируемого обязательства, измеряемое обычно среднеквадратическим отклонением или дисперсией.
Одним из основных видов обязательств, хеджируемых на валютных рынках, являются обязательства по поставке валюты. В последнее время получили распространение методы хеджирования, основанные на эконометрической оценке взаимосвязи валютных курсов. Они подразумевают построение хеджирующего портфеля при помощи выделяемого на основе предварительного исследования специального набора коинтегрированных валютных курсов. Специальный набор должен состоять из курса валюты, обязательство по поставке которой хеджируется, и курсов альтернативных валют к некоторой «базовой» валюте. Коинтегрированность такого набора означает, что суммарная стоимость альтернативных валют в единицах «базовой» отличается от стоимости хеджируемого валютного обязательства на стационарный ряд, малая дисперсия которого свидетельствует об эффективности хеджирования.
Стандартный метод построения валютного портфеля при помощи коинтегрированного набора валютных курсов ориентирован на случай существования ровно одного набора. Между тем известно, что по самой природе валютного рынка таких наборов может быть несколько, поскольку определённая взаимосвязь в динамиках валютных курсов должна иметь место, чтобы обеспечить отсутствие арбитражных возможностей. Развитие метода хеджирования на основе эконометрической оценки взаимосвязи валютных курсов на случай нескольких коинтегрированных наборов валютных курсов может обеспечить более эффективное (в смысле минимизации дисперсии отклонения) хеджирование и использоваться участниками финансовых рынков (например, банками), для получения прибыли или снижения затрат.
Результаты применения методов хеджирования зависят не только от самих методов, но
и от способа формирования модельной информации для них. Обычно используют либо цены закрытия какой-либо периодичности, то есть последние цены за каждую минуту, час или другой временной период, либо данные обо всех зарегистрированных изменениях цен (тиковые данные). Однако, в области формирования модельной информации, необходимой для эконометрическои оценки взаимосвязи валютных курсов, практически нет исследований. Создание метода построения модельной информации, очищенной от сиюминутных рыночных флуктуации, позволит получить более обоснованные оценки долгосрочных рыночных тенденций.
Таким образом, развитие существующих методов хеджирования на основе эконометрическои оценки взаимосвязи валютных курсов на случай нескольких коинтегрированных наборов валютных курсов, а также разработка принципов формирования необходимых для этого временных рядов, в большей мере, чем цены закрытия, отражающих долгосрочные рыночные тенденции, является актуальной задачей и представляет как теоретический, так и практический интерес.
Цель и задачи исследования.
Цель - разработка экономико-математического инструментария, позволяющего строить эффективные хеджирующие портфели на основе информационного обеспечения, учитывающего специфику валютного рынка.
Для достижения этой цели были поставлены следующие задачи:
-Разработать метод хеджирования на основе задачи нахождения оптимальной с точки зрения эффективности хеджирующего портфеля комбинации нескольких коинтегрированных наборов валютных курсов.
-Оценить, насколько хеджирование с использованием нескольких коинтегрированных наборов валютных курсов эффективней хеджирования с использованием одного набора коинтегрированных валютных курсов.
-Выявить валюты, наиболее подходящие на роль базовых, то есть тех, в которых измеряется стоимость валютных портфелей, используемых при хеджировании.
-Разработать компьютерную программу, позволяющую проводить расчёты по методу хеджирования на основе эконометрическои оценки взаимосвязи валютных курсов в случае нескольких коинтегрированных наборов валютных курсов на реальных данных.
-Выявить закономерности динамики валютных курсов, связанные с различной длительностью временных промежутков между последовательными изменениями цен.
-Предложить метод преобразования посекундных статистических данных в модельную информацию, учитывающий особенности скоростей изменения валютных курсов.
-Показать, что использование модельной информации позволяет получить статистически значимую эконометрическую оценку взаимосвязи валютных курсов в тех случаях, когда её нельзя получить по обычным ценам закрытия.
Объект и предмет исследования.
Объектом исследования является валютный рынок Forex. Предмет исследования -взаимосвязь валютных курсов с точки зрения её использования для построения хеджирующих валютных портфелей.
Теоретическая и методологическая основа исследования.
Теоретической и методологической основой исследования явились труды отечественных и зарубежных учёных, а также материалы научных конференций. Использовались модели и методы эконометрики (наиболее активно — метод Йохансена для оценки коинтеграционных соотношений и проверки соответствующих статистических гипотез) и теории экстремальных задач. Информационной базой исследования послужили данные о динамике валютных курсов на рынке Forex, доступные на . Обработка статистических данных проводилась с использованием стандартных подпрограмм статистического пакета «R», а также программ, написанных автором на языках «R», «С» и «Objective Caml».
Научная новизна работы.
Научная новизна работы состоит в следующем:
-Метод хеджирования на основе эконометрической оценки взаимосвязи валютных курсов развит на случай нескольких коинтегрированных наборов валютных курсов. В диссертации впервые поставлена специфическая для этого случая задача по поиску оптимальной (с точки зрения наименьшей дисперсии отклонения реплицирующего портфеля) комбинации таких наборов. Для случая двух коинтеграционных соотношений решение этой оптимизационной
задачи найдено в явном виде.
-Проверена эффективность разработанного метода хеджирования с использованием нескольких коинтеграционных соотношений. Анализ большого количества наборов валютных пар (около 1800 наборов из более чем 30 валютных пар) показал, что применение метода при построении хеджирующих портфелей даёт снижение дисперсии отклонения реплицирующего портфеля от хеджируемого обязательства до 0.55 — 0.7 дисперсии, получающейся при использовании одного коинтеграционного соотношения.
-Обоснован выбор базовых валют, в которых наиболее целесообразно сравнивать стоимости других валют при построении хеджирующего портфеля. В качестве базовых валют были проанализированы японская иена, американский доллар, евро, фунт стерлингов и австралийский доллар. Сравнение количеств коинтегрированных наборов и точностей реплицирования показало, что на роль базовых наиболее подходят американский доллар и австралийский доллар, а также, хотя и в меньшей степени, фунт стерлингов.
-Разработана компьютерная программа, позволяющая проводить расчёты по предложенному в диссертации методу снижения дисперсии отклонения реплицирующего портфеля на реальных данных. В качестве входных параметров программа получает файл, содержащий временные ряды валютных пар, название базовой валюты и валюты, обязательство по поставке которой будет хеджироваться, а также требуемый для оценки коинтеграционных соотношений уровень значимости. В расчётах программа использует метод Йохансена.
-На основе предложенного разделения динамики цен на «быстрые» и «медленные» периоды, то есть периоды, состоящие соответственно из подряд идущих коротко и долгоживущих (с точки зрения экзогенно заданного порогового значения, имеющего порядок в десятки секунд) цен, выявлены следующие закономерности: корреляция «быстрых», но не «медленных», приростов цен с недельными приростами; значительно большее, по сравнению с «медленными», количество экстремальных значений среди «быстрых» приростов. Показано, что эти закономерности сохраняются при выборе порогового значения времени в определённом диапазоне, и предложены подходы к определению этого диапазона.
-Предложен метод формирования модельной информации: каждый промежуток времени следует характеризовать не последней ценой (ценой закрытия), а ценой закрытия последнего за этот промежуток «быстрого» периода. Автором был разработан ряд компьютерных программ, производящих выборку этой модельной информации из посекундных
статистических данных в зависимости от заданного порогового значения времени.
-Обосновано использование модельной информации, основанной на ценах закрытия «быстрых» периодов вместо обычных цен закрытия при получении эконометрической оценки взаимосвязи валютных курсов. Сравнение динамики статистической значимости коинтеграционных соотношений показало, что у коинтеграционных соотношений, оценённых по модельной информации, статистическая значимость существенно выше, а характер изменения этой значимости со временем для обоих типов данных одинаков. Кроме того, количество коинтегрированных наборов при использовании модельной информации существенно меньше зависит от частоты данных, то есть модельная информация в этом смысле даёт более устойчивые результаты.
Теоретическая и практическая значимость работы.
Теоретическая значимость работы состоит в развитии с использованием аппарата экстремальных задач методики хеджирования на основе эконометрической оценки взаимосвязи валютных курсов на случай нескольких коинтеграционных соотношений, что позволяет, используя специфику этого случая, строить более эффективные хеджирующие стратегии. Теоретическое значение имеет предложенное в диссертации разделение динамики цен на «быстрые» и «медленные» периоды, основанием для которого служат выявленные в работе существенные отличия в их статистических свойствах. Такое разделение позволяет получать модельную информацию, использование которой повышает статистическую значимость эконометрической оценки взаимосвязи валютных курсов по сравнению с использованием обычных цен закрытия.
Практическая значимость работы состоит в том, что предложенный в ней метод снижения дисперсии отклонения реплицирующего портфеля от хеджируемого обязательства может быть использован при хеджировании обязательств по поставке валюты на валютном рынке Forex. Предложенный в работе подход по разделению динамики цен на «быстрые» и «медленные» периоды также имеет практическое значение, поскольку позволяет оценивать коинтеграционые соотношения по менее частотным данным, снижая, тем самым, вычислительные затраты.
Апробация работы.
Основные результаты работы неоднократно докладывались на научном семинаре
"Динамические модели экономики" кафедры "Математические методы анализа экономики" экономического факультета МГУ имени М.В. Ломоносова (последний доклад в марте 2009 года). Основные результаты были представлены на международной научной конференции студентов, аспирантов и молодых учёных "Ломоносов-2009" (Москва, МГУ имени М.В. Ломоносова, апрель 2009) и на межфакультетском научно-исследовательском семинаре «Финансовая Эконометрика» (Москва, МГУ имени М.В. Ломоносова, март 2009).
Структура диссертации.
Работа объёмом 135 стр. состоит из введения, трёх глав, заключения, списка используемой литературы и трёх приложений.
Публикации.
Основные положения и результаты работы изложены в четырёх опубликованных статьях общим объёмом 2.1 п.л., в том числе в журнале, входящем в перечень ВАК — 1.3 п.л. Все работы написаны без соавторов.
Оглавление диссертации.
Введение.
Методы использования коинтеграцин участниками рынка
Применение концепции коинтеграции к финансовым рынкам связано с тем, что факт коинтегрированности нескольких активов (или валютных пар) может быть использован при построении так называемых нейтральных к рынку стратегий, то есть построении таких портфелей, стоимость которых с точностью до стационарной компоненты постоянна во времени. Существует два основных способа использования подобных стратегий участниками рынка: получение спекулятивной прибыли (при использовании так называемой торговли парами) и хеджирование различных обязательств.
Идея использования коинтеграции для решения задачи хеджирования была впервые предложена в (Alexander, С. О., 1999). Суть этой идеи заключается в том, что коинтеграционное соотношение по сути, говорит о том, что разница в стоимости актива хш и портфеля alxn+... + anxnt представляет собой стационарный ряд. Следовательно, портфель a1xlt+.„+anxm является реплицирующим (повторяющим стоимость) актива x0t, и может быть использован для хеджирования обязательства, стоимость которого привязана к этому активу.
Дальнейшие работы в этой области (Alexander, Dimitriu, 2004; Alexander, Dimitriu, 2005) были связаны со сравнением хеджирования, использующего коинтеграцию, с хеджированием, основанном на методе отслеживания ошибки (TEV — Tracking Error Variance). Коротко говоря, этот метод заключается в следующем (Prigent, 2007). Период, в течении которого нужен реплицирующий портфель, разбивается на N подпериодов. В первом подпериоде реплицирующий портфель выбирается из некоторого (экзогенно заданного) класса портфелей, а в каждом последующем подпериоде текущий реплицирующий портфель заменяется на такой (из того же класса), который в предыдущем подпериоде обладал наименьшей дисперсией отклонения изменений своей стоимости от изменений стоимости хеджируемого актива или портфеля, в качестве которого зачастую берут какой-либо рыночный индекс (среднерыночный портфель).
К числу современных и эффективных стратегий технического анализа можно отнести так называемую торговлю парами. Идею этого метода проще всего изложить на примере. Предположим имеется два актива х и у и пусть, кроме того, известно, что динамика этих активов такова, что их цены колеблются вокруг некоего общего среднего значения. Последнее предположение, по существу, означает, что за расхождением временных рядов xt и у, обязательно последует их сближение, и наоборот. Это обстоятельство делает возможным применение следующей торговой стратегии: 1)Следует дождаться момента максимального расхождения временных рядов х, и yt (то есть такого момента, в который маловероятен дальнейший рост выражения xf—yt ). 2)По наступлении такого момента следует занять длинную позицию по наиболее дешёвому из этих двух активов и короткую по наиболее дорогому. 3)Изложенные выше предположения о динамике активов дают основания предполагать, что более дешёвый актив будет расти в цене, а более дорогой — падать. Это означает, что для получения максимальной прибыли следует ждать момента, в который маловероятно дальнейшее уменьшение выражения xt—уt \. 4)По достижении этого момента следует продать тот актив, по которому была занята длинная позиция, и откупить тот, по которому была занята короткая позиция. Понятно, что для применения такой стратегии необходима сильная уверенность в том, что активы действительно колеблются вокруг общего среднего значения. Существует два основных подхода к поиску активов, пригодных для торговли парами. Первый подход заключается в поиске «фундаментально» недооценённых и «фундаментально» переоценённых активов. Второй подход основан на техническом анализе. Этот подход используется участниками рынка более активно чем первый, так как позволяет строить более краткосрочные торговые стратегии, что в настоящее время активно используется рыночными игроками для снижения риска. Технические стратегии торговли парами также можно разделить на два класса (Kargin, 2004). В первом торговое правило заключается в том, чтобы купить активы (один в короткую, другой в длинную) тогда, когда расхождение в их ценах превысит определённое экзогенно заданное (большое) пороговое значение и закрыть позиции когда расхождение в ценах станет меньше другого (малого) порогового значения. В данном типе стратегий основная задача заключается в выборе этих пороговых значений. Второй класс состоит из методов, использующих непрерывную перебалансировку долей активов (в сформированном портфеле) в зависимости от величины расхождения цен. Модели такого типа посвящены поиску оптимальных долей активов как функций от времени (Kargin, 2004). По-видимому, простейшим используемым на практике методом определения активов, подходящих для торговли парами, является использование тех активов, сумма квадратов разностей нормализованных цен для которых минимальна. Эмпирическая проверка этого метода (с критерием открытия/закрытия позиций в виде порога в два стандартных отклонения) была проведена в (Gatev, Goetzmann, Beinecke, Rouwenhorst, 2006). Проанализировав дневные данные для курсов акций из группы S&P 500 за период 1962 - 2002 авторы пришли к выводу, что прибыль от торговли парами превышает трансакционные издержки, то есть осуществление такой стратегии на этом рынке в исследуемый период было бы прибыльным. Более сложные методы поиска пригодных для использования в торговле парами активов основаны на том, что разница цен (или их отношение) для таких активов должна быть процессом, возвратным к среднему. Одним из наиболее простых методов такого рода поиска является тест Дики-Фуллера на стационарность. Другим методом, применяемым для поиска наборов активов, подходящих для использования в торговле парами является тест отношения дисперсии. Основная идея этого теста состоит в том, что для нестационарных рядов дисперсия должна расти со временем. Получить представление о скорости этого процесса можно оценив отношение дисперсии, посчитанной за более длинный временной промежуток, к дисперсии, посчитанной за более короткий временной промежуток:
Численный пример построения оптимальных комбинаций коинтеграционных соотношений
Обычно, при анализе динамики цен на финансовых рынках (будь то цены на акции или валютные курсы), используются цены открытия (закрытия) за какие-то одинаковые временные промежутки времени (обычно от минуты до недели) (Мантенья, Юджин, 2009). Фактически этот способ получения модельных данных подразумевает, что, к примеру, ряд цен, каждая из которых является последней для некоторой минуты (ряд цен закрытия), содержит все те же существенные особенности, что и исходный ряд цен.
С точки зрения доступности данных и вычислительных затрат на их анализ, переход от тиковых к поминутным, почасовым и так далее ценам весьма удобен для исследователей. При этом тиковые данные могут рассматриваться как своего рода «идеальные» данные, содержащие все имеющиеся особенности процесса цен.
Известно однако, что это не совсем так. В частности, при изучении финансовых кризисов, статистика просадок является гораздо более полезной, чем статистика приростов цен (Сорнеттс, 2003). Так происходит потому, что вероятности крахов (крупных просадок), оценённые по статистике приростов оказываются существенно (на порядки) заниженными. Этот пример наводит на мысль о том, что выбор способа преобразования исходных (тиковых) данных в модельные имеет очень большое значение и должен определяться существом решаемой задачи.
При визуальном просмотре файлов с данными о ценовой динамике бросается в глаза то, что «время жизни» цен может отличаться весьма сильно, как правило от нескольких секунд до нескольких десятков секунд. При исследовании, например, поминутных цен закрытия, информация о том, сколько секунд держалась последняя цена в данной минуте не используется. При изучении долгосрочных тенденций в ценовой динамике, к каковым относятся и поиск и оценка коинтеграционных соотношений, эта информация представляется важной, поскольку при долгосрочных прогнозах желательно использовать наиболее «типичные» (в некотором смысле) цены, а не цены, сформировавшиеся на волне сиюминутных (или даже сиюсекундных) флуктуации экономической среды.
В то же время, определение «типичности» цены представляет собой отдельную проблему, ибо не ясно, может ли «типичность» цены быть определена через её «время жизни». Ниже предлагается один из подходов к этой проблеме. Зададимся некоторым пороговым значением т и разделим с его помощью тиковые данные на периоды, в кочорых каждая цена «живёт» не дольше т (эти периоды будут в дальнейшем именоваться «быстрые») и периоды, в которых каждая цена живёт дольше т (эти периоды будут в дальнейшем именоваться «медленные»). Очевидно, что при таком разделении процесс цен состоит из последовательности строго чередующихся «быстрых» и «медленных» периодов. Рассмотрим, чем такой взгляд на ценовую динамику может быть интересен. Прежде всего покажем, что статистические свойства «быстрых» и «медленных» периодов существенно различны.
Первое отличие, о котором пойдёт речь, состоит в том, что влияние «быстрых» приростов на формирование приростов долгосрочных (относительно средней длительности быстрых периодов) существенно более ярко выражено, чем влияние «медленных» приростов. Для демонстрации этого эффекта в качестве относительно долгосрочного периода целесообразно выбрать торговую неделю, так как на рынке Forex торговля прерывается лишь на одни сутки в неделю, и, таким образом торговая неделя является наибольшим по длительности периодом непрерывной торговли. С другой стороны, относительно секунд и минут, которыми характеризуются масштабы длительностей типичных «быстрых» и «медленных» периодов, неделя является довольно долгосрочным периодом. Рассмотрим, как недельный прирост валютных курсов зависит от среднего (за эту неделю) «быстрого» и «медленного» прироста.
Нижеприведённый рисунок 2.3.1 иллюстрирует эту зависимость для валютного курса австралийского доллара к японской иене. На обоих графиках по вертикальной оси отложены недельные приросты. По горизонтальной — на левом графике — средний за соответствующую неделю «быстрый» прирост; на правом - «медленный». Каждый кружочек, изображённый на левом графике олицетворяет, таким образом, торговую неделю: вертикальная его координата — прирост за неделю, горизонтальная — средний за эту неделю «быстрый» прирост. Аналогично и для правого графика. Для разбиения на «быстрые» и «медленные» периоды использовались данные за 2008 год. В качестве граничного значения т было выбрано 15 секунд.
Характерной особенностью, проявляющейся на этом рисунке является то, что кружочки на графике «медленных» приростов распределены достаточно равномерно относительно горизонтальной оси (или даже относительно центра координат), в то время как распределение кружочков на графике «быстрых» приростов имеет вид эллипса, с большой осью на линии прямой пропорциональности. Это означает, что изменения валютного курса за неделю никак особенно не связано с изменением валютного курса за средний (за эту неделю) «медленный» период, поскольку отрицательным средним «медленным» приростам одинаково часто соответствуют как положительные, так и отрицательные недельные приросты; та же картина наблюдается и для положительных средних «медленных» приростов. Для «быстрых» же периодов просматривается явная зависимость: изменение валютного курса за неделю имеет тот же знак, что и изменение валютного курса за средний (за эту неделю) «быстрый» период, поскольку положительным средним «быстрым» приростам почти всегда соответствуют положительные недельные приросты, а отрицательным — отрицательные.
Напрашивается интерпретация в том духе, что основным «двигателем» изменения валютных курсов (за относительно длительный период времени, вроде недели или суток) являются «быстрые» приросты, изменения же валютных курсов за «медленные» периоды являются менее тенденциозными (более случайными) в том смысле, что за неделю, например, роста шанс встретить «медленньш» период с ростом примерно такой же, как и «медленный» период с падением. «Медленные» периоды, таким образом, являются как-бы нейтральным процессом, «разбавленным» явно тенденциозными «быстрыми» приростами.
Метод формирования модельной информации на основе деления динамики цен на «быстрые» и «медленные» периоды
Из этой серии рисунков видно, что разброс изменения валютных курсов за «медленные» периоды меньше зависит от времени, чем разброс изменения валютных курсов за «быстрые» периоды. Кроме того упомянутый разброс для «быстрых» периодов больше чем для «медленных» периодов (для одного и того же валютного курса). Эти особенности позволяют сделать вывод о том, что изменения валютных курсов за «медленные» периоды более стационарны и их распределение обладает меньшей дисперсией, чем изменения валютных курсов за «быстрые» периоды. Кроме того, изменения валютных курсов за «быстрые» периоды содержат существенно большее количество выбросов (экстремальных значений), что позволяет переложить ответственность за финансовые крахи именно на «быстрые» периоды. Аналогичные рисунки для других валютных курсов приведены в приложении 2.
Приведём ещё один аргумент в пользу существенной разницы в статистических свойствах «быстрых» и «медленных» периодов, представляющий особенный интерес при оценке рисков. На следующей серии рисунков проиллюстрированы зависимости дисперсии «быстрых» (левые графики) и «медленных» (правые графики) приращений от длительности соответствующих периодов (в секундах по горизонтальной оси). Каждый кружочек ни нижеприведённых графиках соответствует средней дисперсии для периодов, длительность которых находится в интервале +/- 10 секунд относительно абсциссы этого кружочка. Пороговое значение для разграничения периодов «быстрых» и «медленных» цен прежнее - 15 секунд.
Из этой серии рисунков видно, что дисперсия «быстрых» периодов зависит от времени их длительности совершенно не так, как дисперсия «медленных» периодов от их продолжительности. Именно, дисперсия «быстрых» периодов растёт с их длительностью гораздо быстрее, чем дисперсия «медленных» периодов.
Кроме того можно отметить, что зависимость роста дисперсии «медленных» периодов от их длительности отличается у разных валютных пар гораздо сильнее, чем зависимость роста дисперсии «быстрых» периодов от их длительности. Рисунки, иллюстрирующие это отличие приведены приложении 3.
Таким образом, можно говорить о двух принципиальных отличиях «быстрых» периодов от «медленных». Первое отличие заключается в том, что изменение валютного курса за период большой, относительно порога разграничения т, длительности определяются изменениями за «быстрые» периоды, а не медленные. С этой точки зрения можно сказать, что тенденциозные (устойчивые во времени) изменения валютного курса происходят именно во время «быстрых» периодов, в то время как «медленные» периоды дают довольно хаотический фон, на котором эти тенденции проявляются.
Второе принципиальное отличие «быстрых» периодов от «медленных» связано с различием в скорости роста дисперсии валютного курса в течение этих периодов: «быстрым» периодам соответствует гораздо более быстрый рост дисперсии с их длительностью, чем «медленным» - с их.
Если эти два отличия взять за эталон, руководствуясь которым можно относить тот или иной период торгов валютными парами к «быстрым» или «медленным», то по-видимому, для каждой валютной пары существует свой набор пороговых значений т, дающих такое разбиение, при котором «быстрые» и «медленные» периоды сохраняют свои свойства. Основанием для такого предположения служит тот факт, что для разных валютных пар среднее время «жизни» цены может отличаться довольно сильно, от нескольких секунд до нескольких десятков секунд. Рассмотрим, каким образом можно попытаться для каждого валютного курса определить то пороговое значение т, которому соответствуют «эталонные» «быстрые» и «медленные» периоды.
Вышеприведённые рисунки, иллюстрирующие отличия «быстрых» приростов от «медленных» в зависимости от порогового значения т позволяют говорить о том, что отличия «быстрых» периодов от «медленных» наиболее ярко проявляется не при всех т. Можно говорить о некоторых «эталонных» «быстрых» и «медленных» свойствах, которые смешиваются при одних т, и наглядно разграничиваются при других. Интерес представляет, естественно, поиск тех т, при которых характерные свойства «быстрых» и «медленных» периодов проявляются наиболее чётко. В качестве одного из методов поиска может стать поиск такого порогового значения, при котором хронологические последовательности (вроде изображённых на рисунках 2.3.21 - 2.3.23) «быстрых» приростов наиболее нестационарны, а «медленных» - наиболее стационарны. Анализ соответствующих данных показывает, что на самом деле обе эти последовательности стационарны (на уровне значимости 1%), но тестовая статистика (в тестах вроде расширенного теста Дики-Фуллера) для «быстрых» приростов обычно немного ближе к теоретическому значению (для уровня 1%). Следовательно, в качестве «эталонного» можно взять то пороговое значение т, при котором «быстрые» приросты наименее стационарны, а «медленные» - наиболее стационарны. В таблице 2.3.1 приведены результаты поиска «эталонного» порогового значения т из набора 5, 10, 15 ... 100. Использовались данные по тестовым статистикам Дики-Фуллера и Филлипса-Перрона для хронологических последовательностей «быстрых» и «медленных» приростов различных валютных курсов при различных пороговых значениях т за 2008 год. В последних двух столбцах таблицы приведены отношения тестовой статистики для «быстрых» приростов (менее стационарных) к тестовой статистике для «медленных» (более стационарных). Чем эти значения ближе к единице, тем меньше разница между быстрыми приростами и медленными.
Поиск коинтеграционных соотношений среди тех наборов валютных пар, которые могут быть использованы для хеджирования обязательств по поставке валюты
Значения теоретической статистики составляют 15.67 для уровня значимости 5% и 20.2 для уровня значимости 1 %. Из таблиц 3.1.14 и 3.1.15 видно, что хотя для коинтеграции логарифмов дневных данных дела обстоят значительно лучше (для всех наборов наличие ровно одного коинтеграционного соотношения значимо на уровне, значительно меньшем 1 %), тем не менее эта значимость значительно меньше той, что выявлена для часовых данных за тот же период.
Из приведённых таблиц видно, что результаты сравнения коинтерации логарифмов с коинтерацией самих курсов для периода 06.2007 — 06.2008 такие же, как и для периода 01.2008 — 12.2008: коинтерация логарифмов и более частотных данных более значима.
Что же касается сравнения самих этих периодов то можно отметить, возрастание статистической значимости коинтеграции со временем: за период 06.2007 — 06.2008 коинтеграционные соотношения существенно менее статистически значимы, чем за период 01.2008 — 12.2008. Это можно объяснить тем, что со временем растут возможности и распространённость технических (и не только) средств, используемых трейдерами как при принятии решений что и когда продавать, так и по собственно доступу к рынку (взять, к примеру, растущую популярность интернет-трейдинга). В результате этого трейдеры, помимо прочего, получают возможность учитывать при принятии решений большее количество валютных курсов, чем раньше, что, по идее, должно способствовать усилению взаимозависимости динамик этих валютных курсов.
Кроме того, важным является тот факт, что за последние годы неуклонно росла доля спекулятивных и краткосрочных операций. Таким способом инвесторы боролись за снижение уровня риска осуществляемых операций. Подобное «сокращение горизонта операций» хорошо видно на статистических данных: 5 лет назад нормальной скоростью изменения курса было несколько изменений за минуту, сейчас — курс меняется практически ежесекундно. Стоит также отметить, что по современным представлениям (Петере, 2004; Сорнетте, 2003) такое массовое сокращение «горизонта операций», по всей видимости и привело к финансовому краху конца 2008 года (или, по крайней мере, сделало финансовую систему достаточно хрупкой, чтобы толчком к краху могло послужить относительно малое событие).
Все эти соображения тем или иным способом объясняют усиление коинтегрированности валютных курсов на рынке Forex, которое можно видеть на проанализированных данных. Поиск коинтеграционных соотношений среди тех наборов валютных пар, которые могут быть использованы для хеджирования обязательств по поставке валюты. Как отмечалось ранее (глава 1, параграф 3), подходящим для реплицирования является такой набор валютных пар, который содержит курсы валют к некоторой базовой валюте. Изучим, насколько распространена коинтеграция среди именно таких наборов. Из соображений, связанных с имеющимися данными, в качестве «базовых» валют были выбраны японская иена, американский доллар и евро. Рассматривались следующие наборы валютных пар: Валютные пары с японской иеной: AUD/JPY (австралийский доллар к японской иене); CAD/JPY (канадский доллар к японской иене); CHF/JPY (швейцарский франк к японской иене); EUR/JPY (евро к японской иене); GBP/JPY (фунт стерлингов к японской иене); NZD/JPY (новозеландский доллар к японской иене); USD/JPY (американский доллар к японской иене) Валютные пары с американским долларом: AUD/USD ( австралийский доллар к американскому доллару); EUR/USD (евро к американскому доллару); GBP/USD (фунт стерлингов к американскому доллару); NZD/USD (новозеландский доллар к американскому доллару); USD/CAD (американский доллар к канадскому доллару); USD/CHF(aMepracaHCKHu доллар к швейцарскому франку); USD/JPY (американский доллар к японской иене) Валютные пары с евро; EUR/AUD (евро к австралийскому доллару); EUR/CAD (евро к канадскому доллару); EUR/CHF (евро к швейцарскому франку); EUR/GBP (евро к фунту стерлингов); EUR/JPY (евро к японской иене); EUR/USD (евро к американскому доллару) Из каждого такого набора выбирались всевозможные тройки валютных пар и для каждой такой тройки рассматривались значения статистик, получаемых по методу Йохансена для гипотезы об отсутствии коинтеграционных соотношений с учётом константы или тренда. Высокое значение этих статистик говорило о невозможности принять гипотезу об отсутствии в данной тройке коинтеграционных соотношений и (поскольку ни для одной, тройки гипотезу о наличии двух коинтеграционных соотношений принять было нельзя) о наличии ровно одного коинтеграционного соотношения. Каждая тройка валютных пар исследовалась таким образом за четыре периода (три годовых: 04.2007 — 03.2008, 01.2008 — 12.2008, 06.2008 — 05.2009 и двухлетний: 06.2007 — 05.2009) и для нескольких разных частот: почасовые данные, десятиминутные, минутные и двадцатисекундные. В нижеприведённых таблицах представлены данные о количестве тех наборов (в долях от общего их количества), для которых коинтеграция имеет приемлимую статистическую значимость (10%, 5% или 1%) для гипотезы о наличии в коинтеграционном соотношении константы или тренда. Случай отсутствия константы и тренда не рассматривался так как, с одной стороны — это частный случай константы (равной нулю), а с другой - теоретические статистики для этого случая не слишком отличаются от теоретических статистик для случая константы.
