Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Адаптивное моделирование экономических процессов 25
1.1. Процессы переходной экономики и проблемы их моделирования 25
1.2. Адаптивное моделирование и регулирование экономических процессов 37
1.3. Простейшие адаптивные модели 46
1.3.1. Полиномиальные модели 46
1.3.2. Адаптивные модели сезонных явлений 59
1.3.3. Проблема выбора сглаживающего параметра 66
Глава 2. Многофакторный анализ процессов с неустойчивым характером динамики 77
2.1. Экспоненциальное сглаживание в многофакторном моделировании 78
2.2. Эквивалентнось обобщенного метода наименьших квадратов и фильтра Калмана 92
2.3 Адаптивные модели в задачах факторного анализа динамики 104
Глава 3. Прогнозные модели с настраиваемой структурой адаптивного механизма 124
3.1. Многофакторные модели с настраиваемой структурой адаптивного механизма 125
3.2. Модели с многошаговой структурой адаптивного механизма 146
3.3. Модели с адаптвным матричным мультипликатором 164
3.3.1. Детерменированный матричный мультипликатор 165
3.3.2. Мультипликатор с настраиваемым параметром 172
3.3.3. Адаптивный матричный мультипликатор 179
3.4. Выбор начальных значений и оптимальная настройка параметров адаптации 189
Глава 4. Адаптивный эконометрический анализ стабильности 199
4.1. Адаптивный подход в анализе стабильности экономичес-кихпроцессов 200
4.2. Анализ стабильности и авторегрессионные модели 221
4.3. Анализ динамических эффектов развития экономической системы 240
Глава 5. Адаптивно-имитаодонные модели и их при менение в перспективном анализе 257
5.1 Основные принципы построения адаптивно-имитаци онных моделей 259
5.2. Свойства имитационной модели с настраиваемой структурой многошагового адаптивного механизма 272
5.3. Адаптивные микроимитационные модели 282
5.4. Прогнозные оценки риска и их расчет с помощью адаптивно-имитационной модели 291
Заключение 311
Литература 315
Приложение
- Адаптивное моделирование и регулирование экономических процессов
- Эквивалентнось обобщенного метода наименьших квадратов и фильтра Калмана
- Модели с многошаговой структурой адаптивного механизма
- Анализ динамических эффектов развития экономической системы
Введение к работе
Работа посвящена проблеме адаптивного прогнозирования экономических процессов с неустойчивым характером динамики. Роль прогнозирования и масштабы его практического применения в современной экономике значительно выросли. Несмотря на это, вопросов "что будет" становится все больше и больше, а уверенных ответов - меньше и меньше. Затянувшееся реформирование порождает такие процессы, закономерности развития которых мало известны отечественной экономической науке. Недостаточно четкое представление о внутренних механизмах развития этих процессов и отсутствие устойчивых закономерностей в функционировании экономики страны, делают проблематичным применение старого багажа знаний для построения адекватных моделей и получения с их помощью надежных прогнозных оценок.
В тоже время общие принципы и логика подготовки решений в рыночной экономике предусматривают анализ ожидаемых событий и прогнозных вариантов возможного развития. Возникающие при этом задачи исследования ретроспективного периода, поиска устойчивых закономерностей и тенденций, многовариантных прогнозных расчетов, выбора рациональных вариантов развития, оценки перспективы и ряд других принято относить к перспективному экономическому анализу. Основным инструментом этого анализа является экономико-математическое моделирование и, прежде всего, те его разделы, которые используются при решении задач прогнозного характера.
Математическая теория прогнозирования получила свое развитие в основополагающих работах А. Колмогорова, Н. Винера, Б. Гнеденко, Ю. Прохорова, В. Пугачева, И. Гихмана, А. Скорохода, Ю. Розанова, А. Ширяева и других. Идеи и методологические принципы математической
теории стали тем фундаментом, на базе которого был построен аппарат прогнозирования характеристик стационарных случайных процессов.
Возможность применения этого аппарата в перспективном анализе экономики была открыта исследованиями В. Немчинова, А. Аганбе-гяна, А. Анчишкина, В. Макарова, А. Гранберга, Р. Петракова и других. Большой вклад в разработку методов ориентированных на прогнозирование экономических процессов был сделан С. Айвазяном, А. Боярским, С. Вишневым, П. Ватником, Н. Дружининым, И. Елисеевой, В. Лисичкиным, С. Саркисяном, Дж. Джонстоном, Э. Маленво, Г. Тейлом, Я. Тинбергеном, Г. Тинтнером, Э. Янчем и другими.
Созданное усилиями многих исследователей разнообразие методов и моделей, традиционно применяемых в практике перспективного анализа, достаточно богато. Но происходящие в современной экономике перемены резко ограничивают возможность применения тех из них, которые основаны на идее экстраполяции стационарных процессов. Все чаще требуется, чтобы прогнозные модели отражали качественные изменения, происходящие в закономерностях развития изучаемых процессов. Ситуация усугубляется отсутствием априорной информации о характере подобных изменений. В этом случае требуемый уровень точности прогнозных оценок можно получить только с помощью моделей, обладающих адаптивными свойствами. В отличие от других, адаптивные модели при отражении текущего состояния исследуемого объекта способны учитывать эволюцию его динамических характеристик. Это превращает их в эффективный инструмент для прогнозирования и анализа процессов, характеризующих экономическую систему на этапе ее реформирования.
Исследования В. Пугачева, Я. Ципкина, Р. Калмана, Р. Бьюси, В. Сарговича, Дж. Саридиса, В. Фомина, А. Фрадкова, В. Якубовича и других стали фундаментом для построения методов адаптивного управления и фильтрации. Однако, эти методы, предназначенные в основном
для технических приложений, не могли в полном объеме корректно применяться в экономических задачах перспективного анализа. Работа по созданию аппарата для адаптивного моделирования экономических процессов была начата Р. Брауном, Р. Майером, И. Перельманом и продолжена Н. Райбманом, В. Чадеевым, В. Бородюком, Э. Лёцким, Ю. Лу-кашиным, Е. Левицким, А. Корхиным и другими.
В экономических исследованиях наибольшее распространение получили модели, в адаптивном механизме которых используется процедура экспоненциального сглаживания. И это не случайно. С помощью экспоненциального сглаживания удается построить адаптивные модели в типичных для прогнозирования экономических процессов условиях, когда отсутствует информация о характере изменений их динамических характеристик. Отсутствие информации вынуждает использовать единственно разумное в такой ситуации предположение о медленном дрейфа этих характеристик. В самой модели это предположение реализуется с помощью процедуры экспоненциального сглаживания.
Развитие адаптивного прогнозирования экономических процессов в настоящее время осуществляется в двух направлениях. Первое направление связано с усложнением структурных характеристик прогнозных моделей, а второе - с совершенствованием их адаптивного механизма. Каждое из направлений получило достаточное развитие в моделях прогнозирования по одномерным временным рядам. В меньшей мере это относится к моделям, используемым в аналитических целях. И совсем не разработаны вопросы, связанные с проблемой расширения сферы применения принципов адаптации при решении современных задач перспективного анализа процессов экономики переходного периода.
Это определяет актуальность диссертационной работы. Объектом диссертационной работы является динамика процессов переходной экономики, ее характерные свойства и эффекты нестабильного функционирования.
Предметом диссертационного исследования является разработка модельных средств адекватного отражения опережающих событий нестабильно функционирующей экономической системы.
Целью работы является разработка целостной концепции применения принципа адаптации в задачах перспективного анализа экономических процессов переходной экономики.
Достижение поставленной цели связано с исследованием динамических эффектов современных экономических процессов, созданием общих принципов построения и методических основ практического использования адаптивных моделей в перспективном анализе. Рассмотрение этих проблем потребовало постановки и решения в рамках диссертационной работы следующих задач. Задачи диссертационной работы:
1. Анализ основных характеристик динамики экономических про-цессов переходного периода и принципов их адекватного отражения.
2. Обобщение современной теории и практики адаптивного прогнозирования и определение направлений их дальнейшего развития.
3. Выбор и обоснование базового метода для построения адаптивных моделей экономической динамики.
4. Создание критерия для проверки адекватности адаптивных моделей.
5. Разработка методики применения адаптивных моделей в многофакторном анализе экономических процессов со сложной структурой динамики.
6. Разработка теории построения адаптивных моделей с настраиваемой структурой одношагового и многошагового адаптивных механизмов.
7. Построение моделей с адаптивным матричным мультипликатором.
8. Применение адаптивных моделей в анализе стабильности экономических процессов.
9. Разработка принципов адаптивно-имитационного моделирования.
10. Создание аппарата для решения прикладных задач микроимитационного моделирования.
Научная новизна исследования подтверждается результатами, полученными при решении каждой из поставленных задач. Сформулируем важнейшие из них.
1. Проведен анализ факторов, определяющих характер динамики экономических процессов переходного периода и сформулированы основные требования к моделям, свойства которых должны обеспечивать адекватное отражение реальной действительности.
2. По результатам обзора современной теории и практики адаптивного моделирования определены направления в развитии методов, ориентированных на технические и экономические приложения. Проведено обобщение результатов, лежащих в основе развития теории адаптивного прогнозирования экономических процессов. щ
3. На основе доказательства эквивалентности процедур обобщенного метода наименьших квадратов и фильтра Калмана обоснован выбор базового метода для построения адаптивных моделей экономической динамики.
4. Введена процедура проверки адекватности многофакторных адаптивных моделей, позволяющая отличать результат факторного влияния от результата, полученного за счет реакции адаптивного механизма. Установление адекватности позволяет использовать адаптивные модели в аналитических целях.
5.Разработана методика факторного анализа экономических показателей, позволяющая по результатам адаптивного моделирования устанавливать характер изменений, происходящих в их динамике.
6. Разработана теория построения адаптивных моделей с настраиваемой структурой адаптивного механизма. В соответствии с этой теорией адаптивные модели наследуют свойства целевых функционалов, повышающие их экстраполяционную точность.
7. Для прогнозирования системы взаимосвязанных показателей разработаны модели с детерминированным и адаптивным матричными мультипликаторами. Адаптивный механизм мультипликатора сконструирован в виде двух систем рекуррентных соотношений, обеспечивающих одновременную корректировку текущих значений прямой и обратной матриц.
8. Получены результаты, обеспечивающие корректное применение адаптивных моделей в упрощенной схеме анализа динамических эффектов экономических процессов.
9. Разработаны принципы построения и описаны свойства адаптивно-имитационных моделей.
10. На базе принципов адаптивно-имитационного моделирования создан аппарат адаптивного микроимитационного моделирования. Решена проблема адекватного отражения изменений в динамике поведения микрообъектов.
Проведенные исследования заложили основы регулярного применения принципов адаптации в математическом аппарате перспективного анализа процессов, характеризующих экономическую систему на этапе изменения ориентиров ее развития.
Комбинирование разработанного аппарата адаптивного моделирования с идеями имитационного моделирования, позволяющее конкретные модели наделять механизмом воспроизведения свойств реальных процессов, являются новым вкладом в методологию применения математических средств для исследования экономической динамики в условиях частичной или полной неопределенности.
Практическая значимость работы. Полученные в диссертационной работе теоретические результаты представляют собой совокупность знаний, лежащих в основе методологической базы построения прикладных моделей для исследования динамических эффектов в развитии современных экономических процессов. Эта база обеспечивает формализацию и решение новых прикладных задач, ранее не интересовавших отечественную экономическую науку. Прежде всего, это задачи по исследованию стабильности экономических процессов, имитационному моделированию динамики поведения микрообъектов в рыночной экономике, обоснованию надежности экономических регуляторов.
Разработанные методологические подходы были использованы при решении задач по перспективному анализу структурных изменений в экономике региона в условиях развития рыночных отношений и прогнозу социально-экономического развития Воронежской области на среднесрочную и долгосрочную перспективу. Полученные результаты были использованы Главным экономическим управлением областной; администрации при разработке комплексной схемы территориального экономического и социального развития Воронежской области на период до 2005 года.
Материалы диссертации включены в учебные программы ряда дисциплин, читаемых при обучении бакалавров и магистров на экономическом факультете Воронежского госуниверситета.
Апробаиия. Основные результаты диссертационной работы докладывались на международных, общероссийских и региональных научных и научно-практических конференциях, общегородских семинарах и научных сессиях Воронежского госуниверситета.
Публикаиии. По теме диссертации в открытой печати опубликована 31 работа (в том числе монография) общим объемом более 28 п. л.
Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения,
пяти глав, заключения, списка литературы и четырех приложений. Общий объем работы 331 страница.
Содержание работы
Во введении обосновывается актуальность избранной темы, определяются объект, предмет, цель и задачи исследования, раскрывается научная новизна и практическая значимость полученных результатов, дается краткое изложение основных положений диссертационной работы.
В первой главе "Принципы моделирования процессов переходной экономики" выявлены характерные особенности динамики развития экономической системы в период зарождения рыночных условий хозяйствования и на их основе определены свойства, которыми должна обладать прогнозная модель для адекватного отражения динамических эффектов, порождаемых изменениями в механизме функционирования самой экономической системы.
Показано, что в моделях, обладающих этими свойствами, должны использоваться принципы адаптации. Необходимость применения принципов адаптации связана с объективными и субъективными причинами, создающими среду, в которой деформируется стационарный режим функционирования экономики и повышается уровень неопределенности. Создается такая среда, прежде всего, самой природой функционирования экономики переходного периода. В силу целенаправленных действий в реформируемой экономике формируется внутренний механизм поступательного развития. Происходящее благодаря этому механизму постоянное стремление системы к развитию снижает эффекты ее инерционности и изменяет или полностью заменяет действующие тенденции
новыми. Все это приводит к различного рода нарушениям стационарности временных рядов, характеризующих экономические процессы, и делает некорректным применение классических методов теории вероятностей и математической статистики.
Одновременное стремление реформируемой системы и к изменению, и к сохранению своего текущего состояния порождает двойственность в характере ее развития и, естественно, требует специальных подходов при моделировании процессов этого развития. Непосредственно из двойственного характера развития экономических систем вытекают требования к адаптивному механизму прогнозных моделей. Адаптивный механизм, отвечающий этим требованиям должен, сохраняя в определенной степени старые тенденции, оперативно реагировать на все изменения в моделируемых процессах, происходящие в результате поступательного развития системы, и в зависимости от характера реакции производить соответствующую корректировку модели.
В принципе, отразить в прогнозной модели изменения, происходящие в структуре взаимосвязей реально протекающих процессов развития экономики, можно было бы и без привлечения адаптивного подхода, но при условии, что сами изменения обладают устойчивыми закономерностями. Устойчивость закономерностей наблюдается только в тех случаях, когда развитие экономической системы представляет собой детерминированный процесс, в котором преобладают количественные изменения. В условиях радикального реформирования экономики под влиянием ранее действовавших и вновь нарождающихся факторов в поведении системы проявляется неопределенность. В условиях неопределенности только применение адаптивных принципов обеспечивает требуемый уровень адекватности прогнозных моделей.
Включение принципов адаптации в прогнозные модели должно быть ориентировано на специфику экономической динамики, порождаемую сложностью и высоким уровнем неопределенности процессов,
характеризующих экономику переходного периода. В наибольшей степени экономической специфике отвечают модели, адаптивный механизм которых построен на основе процедуры экспоненциального сглаживания. Идеи адаптивного экспоненциального сглаживания находят применение, как при решении прикладных задач, так и в теоретических построениях. Столь широкий спектр применения объясняется полной корреспонденцией свойств адаптивного механизма, построенного на базе этой процедуры, с двойственным характером развития экономических процессов.
Аналитический обзор современной теории и практики адаптивного прогнозирования выявил различия в развитии принципов адаптивного моделирования технических и экономических систем. В методах, ориентированных на технические приложения, улучшаются параметры, характеризующие быстродействие и скорость сходимости. В ориентированных на экономические приложения уточняется структура модельного представления прогнозируемых процессов с целью получения содержательно интерпретируемых результатов. Обобщение фактов, характеризующих развитие современной теории адаптивного прогнозирования экономических процессов, определило направление дальнейших исследований.
Во второй главе "Многофакторный анализ процессов с неустойчивым характером динамики" обоснован выбор метода для построения адаптивных моделей экономической динамики и разработана методика применения этих моделей в перспективном факторном анализе экономических показателей. Показано, как с помощью аппарата адаптивного моделирования можно раскрыть природу эффектов, порождаемых неустойчивым характером динамики экономических процессов. Обоснована корректность применения этой методики.
Накладываемая на динамику экономических процессов сложная структура их взаимосвязей требует многофакторного подхода к реше нию задач перспективного анализа. Специфика многомерности касается
не только алгоритмов и методов адаптивного многофакторного моделирования, но и вопросов, связанных с содержательной интерпретацией результатов этого моделирования. К сожалению, большинство процедур адаптивной фильтрации и адаптивного прогнозирования процессов с несколькими входами и одним выходом (случай многофакторной регрессии) разработаны с ориентацией на технические приложения и не могут корректно применяться в экономике. Учитывая эти обстоятельства, а также необходимость сохранения хотя бы части того богатого опыта, который накоплен экономико-статистическими исследованиями, особое внимание уделяется рекуррентной процедуре обобщенного метода наименьших квадратов (ОМНК).
Обобщенная схема МНК поддерживает возможность экспоненци-альн
ого взвешивания наблюдений, вводя тем самым механизм адекватного отражения двойственности в развитии экономических процессов, а рекуррентное оценивание создает контур обратной связи, столь необходимый для наделения моделей адаптивными свойствами. По сут%этот метод можно считать основным инструментом, с помощью которого строятся регрессионные зависимости между экономическими показателями с неустойчивым характером динамики. Попытка применение конкурирующих с МНК процедур рекуррентного оценивания в экономических приложениях наталкивается на проблему корректности. Более того, показано, что если весь состав условий, необходимый для корректного применения, например, фильтра Калмана выполняется, то вычислительные процедуры рекуррентной схемы ОМНК и фильтра Калмана эквивалентны, т. е. задаются одной и той же системой рекуррентных формул.
Адаптивная регрессия, отражающая динамику взаимодействия факторов с моделируемым процессом, содержит в себе гораздо больше полезной информации об изучаемом явлении, чем соответствующая стати ческая регрессия. Для перевода в практическую плоскость перспективного анализа аналитических возможностей многофакторного адаптивного моделирования нужно решить две проблемы. Первая проблема связана с введением понятия адекватности адаптивной модели, а вторая - с разработкой технических приемов факторного анализа, основанного на результатах адаптивного моделирования.
Как правило, адаптивные модели имеют очень высокую точность аппроксимации фактически наблюдаемых значений, а так как точность и адекватность в определенной степени взаимосвязанные понятия, то и необходимость в проверке адекватности не стояла остро. Такое представление об адекватности было вполне допустимым при рассмотрении адаптивных моделей прогнозирования по одному временному ряду, но не выдерживает критики для многофакторных моделей, так как в них реализуется более сложный механизм повышения точности. В этом механизме взаимодействуют эффекты, получаемые за счет адаптивной корректировки коэффициентов модели и за счет включения «в модель объясняющих факторов. Чтобы гарантировать достоверность результатов факторного анализа, нужно при определении адекватности модели оценивать истинное влияние факторов без учета эффекта адаптивной корректировки. Это достигается введением специального критерия проверки адекватности.
Наличие критерия, устанавливающего адекватность адаптивных моделей, дает основание для их использования в практике перспективного анализа. В отличие от обычных регрессионных зависимостей, адаптивные не только оценивают степень влияния факторов на формирование уровня показателя, но и позволяют разделить это влияние на две составляющие, одну из которых связывают с количественными изменениями факторов, а вторую с изменением их эффективности. Методика выделения этих составляющих строится либо на использовании разностной аппроксимации полного дифференциала регрессионной функции,
либо на использовании интегрального метода, обычно применяемого для анализа влияния факторов на результирующий показатель.
Третья глава "Прогнозные модели с настраиваемой структурой адаптивного механизма" посвящена созданию моделей с целенаправленно формируемыми свойствами адаптивного механизма.
Используемые в настоящее время адаптивные модели прогнозирования, как правило, имеют жесткую структуру адаптивного механизма. Это ограничивает область их практического применения, так как настроенный на высокую точность краткосрочных прогнозов жестко устроенный адаптивный механизм не позволяет с достаточной адекватностью отражать характер того многообразия изменений, которые происходят в современных экономических процессах. Желание расширить круг прогнозных задач, эффективно решаемых с помощью адаптивного подхода, приводит к необходимости создания моделей с более тонким механизмом настройки адаптивного механизма.
В основе построения таких моделей лежит идея, в соответствии с которой, структура и свойства адаптивного механизма, являющегося, по сути, рекуррентным алгоритмом оптимизации некоторого функционала, определяются структурой и свойствами этого функционала. Этот факт является ключевым в построении моделей с заданными свойствами адаптивного механизма, так как свидетельствует о том, что любые изменения целевого функционала, получаемые путем введением в его структуру новых элементов, вызывают адекватные изменения в структуре и свойствах адаптивного механизма. Разумная целенаправленность в формировании этих изменений наследуется адаптивным механизмом прогнозной модели, повышая тем самым ее экстраполяционные свойства.
Практическая реализация этого подхода возможна лишь в том случае, когда заранее известно какими свойствами должен обладать адаптивный механизм. Многообразие свойств реальной экономической динамики исключает этот случай. Неопределенность с выбором свойств
заставляет обратиться к принципам адаптации при формировании адаптивного механизма. В результате получается методика, в которой дважды используется принцип адаптации: в процессе построения модели и в процессе проведения вычислительных экспериментов.
Построенные средствами этой методики модели имеют адаптивный механизм, структура которого не фиксируется заранее, а выбирается автоматически из допустимого множества вариантов в процессе настройки параметров адаптации по критерию минимизации суммарной прогнозной ошибки. Такие модели, обладая более тонким механизмом подгонки к конкретным данным, обеспечивают и более высокий уровень надежности прогнозных расчетов.
Практически без изменений эта методика применяется в тех случаях, когда для корректировки коэффициентов используется многошаговая процедура. Адаптивный механизм с настраиваемой структурой и многошаговой корректировкой коэффициентов обладает повышенной скоростью сходимости, умеренной реакцией на единичные выбросы в исходных данных и низкой чувствительностью к эффектам мультикол- линеарности. . ,
В обобщенном виде идея построения адаптивного механизма с настраиваемой структурой оказалась полезной и в моделях с матричным мультипликатором. В структуре детерминированного мультипликатора с помощью настраиваемого параметра определяется оптимальное соотношение прямых и косвенных темпов прироста. Введение дополнительного настраиваемого параметра в векторное конечно разностное уравнение превращает его в модель с настраиваемой структурой адаптивного мультипликатора. В данной модели могут использоваться два типа настраиваемых параметров: определяющие структуру рекуррентных формул адаптивного механизма и определяющие структуру самого мультипликатора. Параметры первого типа при построении модели могут быть опущены. В этом случае модель имеет настраиваемую структуру муль типликатора с жестко устроенным адаптивным механизмом. Если включены оба типа параметров, то модель имеет настраиваемую структуру мультипликатора с настраиваемой структурой адаптивного механизма.
Во всех моделях с настраиваемой структурой адаптивного механизма увеличивается число настраиваемых параметров. Это создает определенные трудности вычислительного характера, преодоление которых потребовало разработки специальных критериев и процедур оптимального выбора параметров адаптивного сглаживания и структурной настройки.
Главной темой четвертой главы "Адаптивный эконометрический анализ стабильности" является анализ динамических эффектов, характеризующих стабильность функционирования экономики на этапе радикального реформирования. Резкий переход от директивного управления к рыночному регулированию и неблагоприятные факторьгтекущего мо- , ft мента создали ситуацию, которая мировой экономической наукой не изучена. Отсутствие готовых рецептов и теоретически обоснованных іл ц рекомендаций ориентируют экономику на функционирование в экспериментальном режиме. Это требует детального изученшц динамики тех процессов, от которых в наибольшей степени зависит стабильное развитие экономики.
Ключевым понятием в изучении стабильности является понятие равновесия, а его математическая модель в виде системы уравнений является отправным пунктом для создания математического аппарата исследования стабильности. Из простейшей модели частичного равновесия легко получается неоднородное конечно-разностное уравнение первого порядка, анализ параметров которого позволяет установить динамические эффекты и эффекты обратной связи, наблюдаемые в поведении изучаемого процесса. Эконометрический вариант этого уравнения открывает возможность использования этих результатов в прикладных исследованиях стабильности. В свою очередь адаптивный вариант эконо метрической модели наряду с повышением точности открывает возможность использования идей адаптивного факторного анализа в исследованиях стабильности экономических процессов. Это позволяет не только определять характер динамики изучаемого процесса (стабильный или нестабильный), но и предоставляет возможность обнаруживать тенденции наметившегося перехода из одного состояния в другое.
Отказ от гипотез, упрощающих представление о процессе движения рынка к равновесному состоянию, приводит к более сложным моделям, отражающим это явление. Исследование стабильности с помощью более сложных моделей требует адекватного усложнения применяемого математического аппарата. Так при описании динамика процесса неоднородным конечно-разностным уравнением порядка выше первого для анализа динамических эффектов используется общее решение однородного уравнения, к которому приводится неоднородное. Построение общего решения требует вычисления собственных значений и определения соответствующих констант. Легко решаемая для уравнений второго порядка, эта задача трудно разрешима для уравнений более высоких порядков. Кроме того, возникает проблема использования принципов адаптации в анализе динамических эффектов.
Данная проблема снимается результатами, полученными в этой главе. Доказано, что характер динамических эффектов можно идентифицировать величиной алгебраической суммы коэффициентов конечно-разностного уравнения. Этот факт лежит в основе упрощенной схемы анализа стабильности. Более того, в этой схеме, в отличии от схемы, в которой задействован аппарат построения обобщенных решений, поддерживается анализ эффектов обратной связи. А самое главное, упрощенная схема не исключает возможность использования в анализе стабильности результатов адаптивного моделирования. С их помощью удается уточнить отдельные детали динамических эффектов и обнаружить
новые, например, эффект встречного движения текущей и равновесной
цены.
Для анализа смешанных динамических эффектов, характеризующих взаимодействие экономических процессов всей системы, применяются матричные конечно-разностные уравнения первого порядка. Как и в случае одномерных процессов под стабильностью понимается сходимость текущих цен к равновесной системе цен. Исследование этой сходимости опирается на аппарат собственных значений и собственных векторов. Доминирующим в определении характера динамических эффектов является максимальный по абсолютной величине характеристический корень матрицы конечно-разностного уравнения. Это упрощает проблему прикладных исследований стабильности, так как сводит задачу к поиску только одного собственного значения.
Обобщение этих результатов на случай динамической системы, в которой учитывается влияние запаздывающих переменных до к - го периода, приводит к исследованию матричных конечно-разностйых уравнений к - го порядка. Преобразование уравнения к - го порядка в уравнение первого порядка с блочной матричной структурой открывает возможность и в этом случае использовать аппарат собственных значений и собственных векторов для анализа динамических эффектов нестабильного поведения системы.
Пятая глава "Адаптивно-имитационные модели и их применение в перспективном анализе" посвящена исследованию теоретических и практических вопросов построения моделей на основе применения адаптивных принципов в имитационном моделировании. Совместное комбинирование адаптивного и имитационного подходов приводит к созданию нового класса моделей, называемых адаптивно-имитационными. Их специфические свойства расширяют прикладные возможности математического моделирования.
Общий принцип построения адаптивно-имитационных моделей
предусматривает применение методологии имитационного моделирования в адаптивном механизме прогнозных моделей. Показано, в силу каких свойств достигается совместимость этой методологии с адаптивным прогнозированием, и какими дополнительными возможностями обладают модели, построенные на совместных принципах.
Детально описана методика построения адаптивно-имитационных моделей и схема имитационных расчетов с ними. В соответствии с этой схемой в контур обратной связи адаптивного механизма включается датчик случайных чисел и для текущей корректировки коэффициентов модели используется не реально измеренная ошибка предсказания, а сгенерированная по определенному закону случайная величина. Изменения в модели и моделируемом процессе происходят одновременно, но несогласованно, так как адаптивный механизм ориентирован на снижение уровня имитируемого рассогласования, а не фактического. За счет синхронности повышается степень подражания, но, как правило, снижается точность аппроксимации. Однако это не ухудшение, а изменение свойств модели, приводящее к изменению ее назначения. От модели требуется, чтобы при однократной имитации она обеспечивала не точность предсказания, а генерировала правдоподобный вариант одной из возможных траекторий развития моделируемого процесса.
Особый интерес представляет имитационная модель с настраиваемой структурой многошагового адаптивного механизма. Многошаго-вость и настраиваемая структура требуют уточнения общей схемы построения адаптивно-имитационных моделей. Уточнения касаются не только рекуррентных формул, но и организации вычислительного процесса проведения имитационных экспериментов. Их необходимость вызвана тем, что наличие в многошаговом адаптивном алгоритме нескольких контуров обратной связи позволяет комбинировать в корректирующем механизме модели реальную и имитируемую рассогласованность.
А дополнительные настраиваемые параметры, регулирующие в адаптивной модели уровень реакции, в адаптивно-имитационной снижают влияние выбросных случайных величин. В целом это приводит к снижению дисперсии, являющейся важным показателем качества имитационных расчетов, и исключает формирование нереальных вариантов.
Интересное развитие идеи адаптивно-имитационного моделирования получают в задачах перспективного анализа процессов, характеризующих поведение экономической системы на микроуровне. С одной стороны адаптивные свойства имитационной модели, обеспечивая перенастройку ее параметров, снимают проблему отражения изменений динамики в микроимитационных моделях. А с другой, задачи микроимитационного моделирования требуют изменения вычислительной схемы имитационных экспериментов. В результате получается адаптивная микроимитационная модель со свойствами, обеспечивающими, ей высокие прикладные возможности.
Реализованная в адаптивно-имитационных моделях многократность воспроизведения прогнозных траекторий, имитирующих варианты потенциального развития исследуемого объекта, позволяет использовать их для решения специфических задач перспективного анализа. Такой специфической задачей является обоснование экономических регуляторов длительного действия. Так как действие экономических регуляторов ориентировано на перспективный период, то и проверка его "пригодности" должна осуществляться в условиях перспективного периода, эффективным аппаратом для имитирования которых является адаптивно-имитационная модель. С помощью модифицированного варианта этой модели рассчитывается прогнозная оценка риска, характеризующая долгосрочную степень надежности встраиваемого в хозяйственный механизм экономического регулятора.
В Заключении сформулированы основные результаты диссертационного исследования, выносимые на защиту.
В Приложениях к диссертации представлены материалы, в которых приводятся детали математических преобразований, опущенных в самой работе, и алгоритмы вычислительных экспериментов в среде табличного процессора.
В Приложении 1 приведены выводы рекуррентных соотношений, формирующих структуру адаптивного механизма в соответствии со структурой целевого функционала. В основу выводов положены идеи рекуррентной схемы обобщенного метода наименьших квадратов. Показано, что эта схема применима к модифицированной форме квадратичного целевого функционала. Отдельно рассмотрены случаи, предусматривающие применение одношаговой и многошаговой процедур обработки вновь поступающих наблюдений. Выводы приведены для всех типов моделей, рассматриваемых в работе.
Приложение 2 содержит доказательство лемм, которые используются при обосновании эквивалентности рекуррентных соотношений вычислительной схемы обобщенного метода наименьших квадратов и вычислительной схемы фильтра Калмана.
В Приложении 3 излагается материал по применению матричных функций табличного процессора Excel в адаптивном моделировании. В реализованной в среде табличного процессора вычислительной схеме предусмотрено три этапа: расчет начальных значений для адаптивной регресси и обратной матрицы системы нормальных уравнений; настройка параметров адаптации; проведение вычислительных экспериментов с адаптивной регрессионной моделью.
В Приложении 4 дано описание вычислительной схемы проведения имитационных расчетов в среде табличного процессора. Вычислительная схема реализована с помощью матричных функций пакета Excel. В ней предусмотрен этап построения адаптивной модели и этап имтаци-онных экспериментов с построенной моделью.
Адаптивное моделирование и регулирование экономических процессов
Сложность и динамичность, а также высокий уровень неопределенности, являясь характерными свойствами экономических процессов, порождают специфические условия, которые необходимо учитывать при разработке прогнозных моделей. Эта специфичность должна быть определяющей как при выборе адаптивных моделей и алгоритмов для проведения конкретных прогнозных расчетов, так и в работе по дальнейшему совершенствованию подходов, основанных на применении принципов адаптации в экономических исследованиях. Поэтому, среди большого разнообразия методов адаптивного управления и предсказания, широкое распространение в экономических приложениях получили только те, которые в наибольшей мере удается приспособить к требованиям этой специфики.
В настоящее время, как показывает анализ публикаций, наибольшей популярностью у специалистов пользуются модели, адаптивный механизм которых построен на основе использования процедуры экспоненциального сглаживания. Модели с подобным механизмом находят применение как при решении прикладных задач, так и в теоретических построениях. И дело здесь не только и не столько в простоте идеи и удобстве вычислительной схемы, хотя и это играет определенную роль. Скорее, успех объясняется тем, что с ее помощью удается построить эффективный механизм корректировки коэффициентов прогнозной модели в ситуациях, когда специфичность условий экономического развития проявляется отсутствием информации, по которой можно было бы определить закономерность, лежащую в основе структурных изменений модели. Конечно, с подобной ситуацией приходится сталкиваться и в технических приложениях, но все же характерной, а практика решения задач перспективного анализа не оставляет места сомнениям по этому поводу, она является для приложений экономического плана.
Отсутствие информации может быть компенсировано только использованием правдоподобных предположений о характере поведения модели в ответ на качественные изменения в развитии моделируемых процессов. Пожалуй самой простой и вполне естественной для экономических процессов является гипотеза, в основу которой положено предположение о том, что в моделях, отражающих эти закономерности, с течением времени происходит сравнительно медленное изменение структурных коэффициентов. Фактически это предположение непосредственно вытекает из анализа результатов одновременного проявления динамичности и инерционности экономических систем, т.к. именно одновременное действие ограничивает яркое проявление только одного из этих свойств, исключая тем самым применение как моделей с постоянными коэффициентами, так и моделей с резко изменяющимися свойствами. Удобным инструментом для практической реализации этой гипотезы как раз и явился метод экспоненциального сглаживания.
Применение метода экспоненциального сглаживания в краткосрочном прогнозировании получило широкое распространение после выхода работ Р.Винтерса [193], Р.Брауна, Р.Майера [138] и Р.Брауна [137], в которых дано его обоснование для случая моделей полиномиального типа. Учитывая этот факт в истории развития методов адаптивного прогнозирования экономических процессов, рассмотрим основные принципы их построения на примере модели, представляющей собой полином нулевого порядка где xt - значение показателя, характеризующего уровень прогнозируемого процесса в момент времени t; at- изменяющийся во времени параметр, характеризующий средний уровень прогнозируемого процесса в момент временив; Et- случайные независимые отклонения фактических значений от текущего среднего, имеющие нулевое математическое ожидание и конечную дисперсию СТ. Согласно этой модели расчетная величина прогнозного значения xt+l полагается равной оценке параметра а,, т.е. В свою очередь за оценку текущего значения параметра at принимается экспоненциальная средняя St, рассчитываемая по рекуррентной формуле где 5, - значение экспоненциальной средней в момент t; а - параметр сглаживания, 0 а 1.
Фактически схема расчета прогнозной величины xt+l задается рекуррентной формулой (1.3), в которой при определении текущей средней используется механизм старения данных по экспоненциальному закону, позволяющий построить прогнозную траекторию с преобладанием тенденций последнего периода. Причем степень этого преобладания может регулироваться параметром а. Чем ближе а к 1, тем меньше прогнозная оценка отличается от последнего наблюдения.
Для экономических процессов такой механизм хорошо согласуется с интуитивным представлением о характере взаимосвязи будущего их состояния с достигнутыми уровнями предшествующих периодов и по сути является адаптивным. Чтобы выяснить сущность принципов, положенных в основу адаптивного механизма рассматриваемой модели, перепишем (1.3) в виде
Если теперь 5,_! рассматривать как величину прогнозного значения для момента if, то в выражении (1.4) разность (xt — 5,_j) представляет собой погрешность прогноза. Эта погрешность учитывается в качестве корректирующего слагаемого при расчете нового прогнозного значения jc,+1 = 5
Эквивалентнось обобщенного метода наименьших квадратов и фильтра Калмана
Для оценивания текущих коэффициентов динамической модели (2.1) может использоваться не только рекуррентная схема обобщенного МНК, но и ряд других методов [41, 60, 91, 169, 175, 192]. Особый интерес в этом плане вызывает широко применяемый в технических приложениях фильтр Калмана. Нужно отметить, что при выполнении определенных условий фильтр Калмана, действительно, может успешно использоваться в качестве вычислительной процедуры для построения динамических регрессий. Однако, состав этих условий шире, чем обычно требуется для корректного применения обобщенного МНК. Это, конечно, затрудняет использование фильтра Калмана для статистического моделирования экономических процессов, так как в практике построения этих моделей вся система необходимых условий выполняется весьма редко. В тоже время не получили достаточной известности факты, утверждающие, что если весь состав условий выполняется, то вычисли- тельные процедуры рекуррентной схемы обобщенного МНК и фильтра Калмана эквивалентны. Подтверждение этого можно найти в [183]. Для доказательства формальной эквивалентности между фильтром Калмана и обобщенным МНК введем в рассмотрение модель с изменяющимися во времени коэффициентами где, как и в предыдущей модели, yt — значение зависимой переменной в момент t; \t—m-мерная вектор-строка значений факторных переменных в момент t. Кроме того, предполагается, что т -мерный вектор-столбец Щ = (Ьу Ьці " bmt) изменяется в соответствии со структурой Относительно ненаблюдаемых скалярной 6t и векторной U, случайных величин предполагается, что их математические ожидания равны нулю и что они удовлетворяют следующим ковариационным соотношениям В записанных соотношениях 8 ц символ Кронекера а матрица Р предполагается известной. Как нетрудно понять, ковариационная матрица первого соотношения имеет диагональную структуру, второго - блочно-диагональную. При выполнении условий (2.22), (2.25) фильтр Калмана позволяет А получить оценки В,, основанные на конечном числе наблюдений, причем их расчет осуществляется по рекуррентным формулам, устанавливающим взаимосвязь текущих оценок с оценками предшествующих пе- риодов. ЕСЛИ обозначить через ВД/ — 1) оценку вектора В, , получен- ную по t—\ наблюдению, а через cr R,(f) — ковариационную матри- цу В, (0, то вычислительную схему фильтра Калмана можно записать в виде следующих рекуррентных соотношений При условии, что соотношения (2.22) - (2.25) выполняются, докажем полное совпадение рекуррентной процедуры обобщенного МНК с расчетными формулами фильтра Калмана (2.26) - (2.30). Доказательства опираются на леммы приложения 2. Прежде чем перейти к доказательству этого факта, все исходные данные запишем в виде, удобном для применения обобщенного МНК.
С этой целью введем следующие обозначения Ковариационная матрица ошибок Е, — А ДІ, векторного уравнения (2.31) при выполнении соотношений (2.22) - (2.25) определяется выражением Для компактной записи здесь было использовано прямое произведение, результатом которого является блочная матрица Если обозначить то окончательно можно записать Теперь, зная, что ковариационная матрица ошибок уравнения (2.31) не диагональная, и, следовательно, обычная схема МНК не применима, будем использовать для расчета вектора оценок В,(0 коэффициентов регрессии по t первым наблюдениям обобщенную процедуру МНК, приводящую в рассматриваемом случае к выражению Как известно, (XjfiX,)- является ковариационной матрицей оце-нок В,(/). Поэтому сразу можем записать, что Аналогично можно записать векторное регрессионное уравнение для первых t — 1 наблюдений Оценки обобщенного МНК коэффициентов этого уравнения задаются выражением с ковариационной матрицей После того, как были записаны выражения для текущей Вг() и Л предшествующей В/_1( — 1) оценок, доказательство эквивалентности будет состоять в том, чтобы получить соотношения (2.26) - (2.30), задающие фильтр Калмана, из соотношений, определяющих оценки обобщенного МНК. Для проведения дальнейших преобразований, связанных с этим доказательством, потребуется вспомогательная матрица G,, имеющая размерность {t -1) х t и представляющая собой единичную матрицу с присоединенным нулевым столбцом, т.е.
Модели с многошаговой структурой адаптивного механизма
Рассмотренный в предыдущем параграфе подход, основанный на комбинировании критериев с целенаправленно подобранными свойствами, обеспечивает построение адаптивных прогнозных моделей с более широким набором возможностей. Особого внимания заслуживает модель, адаптивный механизм которой имеет настраиваемую структуру, что позволяет концентрировать в ней оптимальные для конкретной ситуации свойства, обеспечивающие высокую надежность прогнозных расчетов. Однако, сохранившийся в этих моделях одношаговый (по одному наблюдению) принцип обработки вновь поступающей информации не позволяет избавиться от чрезмерного влияния последнего наблюдения на формирование величины прогнозного значения. Как показывает опыт, эффект последнего наблюдения негативно проявляется в тех случаях, когда упреждение прогнозных расчетов Т превосходит единицу. Этот нежелательный факт объясняется тем, что в каждом отдельном наблюдении текущего момента, по которому осуществляется корректировка модели, доля полезной информации о будущем по мере роста упреждающего периода снижается. Попытка усложнения адаптивного механизма хотя и приводит к некоторому снижению этого.эффекта, но полного решения этой проблемы не дает. Очевидно, что одношаговый принцип является ограничивающим фактором в расширении круга прогнозных задач, решаемых в рамках адаптивного подхода. В связи с этим возникает необходимость рассмотрения моделей, в которых используются другие принципы обработки вновь поступающих наблюдений. Разумный шаг в решении этой проблемы заключается в том, чтобы построить алгоритмы, позволяющие для корректировки коэффициентов модели использовать вместо одного несколько наблюдений.
Алгоритмы, в которых для корректировки коэффициентов модели используется более одного наблюдения, в отличие от одношаговых, принято называть многошаговыми. Принципы построения таких алгоритмов были рассмотрены в работах (1, 58, 59, 82, 92). Основное внимание в этих работах было уделено изучению отдельных статистических свойств и ускорению сходимости оценок, получаемых с помощью многошаговых алгоритмов. Вопросы применения многошаговых алгоритмов непосредственно для создания адаптивных моделей с расширенным диапазоном упреждающих расчетов не рассматривались. Цель настоящего параграфа как раз и заключается в изучении возможностей дальнейшего улучшения прогнозных свойств моделей за счет использования адаптивного механизма с настраиваемой структурой, построенного на базе многошагового алгоритма.
Сначала познакомимся с особенностями построения адаптивной прогнозной модели на основе многошаговой рекуррентной схемы оценивания. В качестве базовой, сохраняя преемственность предыдущего параграфа, будем использовать рекуррентную схему МНК. Варианты конкретной реализации этой схемы могут отличаться с одной стороны количеством вновь поступающих на обработку наблюдений, а с другой -способом формирования этих наблюдений в группу, которая принимается за порцию одновременно обрабатываемой информации. Ситуации, когда порция состояла всего из одного элемента, были уже рассмотрены ранее, теперь нас будут интересовать порции из нескольких элементов. Учитывая, что в реальных ситуациях обновление динамических рядов, как правило, осуществляется периодическим добавлением одного наблюдения (годового, квартального, месячного и т.п.) построим вычислительную процедуру многошагового адаптивного алгоритма с использованием способа формирования порции из группы наблюдений по принципу скользящего среднего. Согласно этого принципа вновь поступившее наблюдение добавляется в конец группы, а хронологически самое раннее исключается из нее, т.е. группа из последовательности наблюдений (ук,xk), (yk+i,Хк+1),... ,{yt,\t) заменяется соответственно на (Л+і»хЛ+1), (Л+2 х +2) О +і Хг+і)- Такой способ формирования порции особенно удобен тогда, когда для получения прогнозных оценок используются короткие временные ряды. Число наблюдений в группе может быть произвольным, но, как правило, его стремятся выбирать, исходя из объема выборки, периода упреждения и, как станет ясно из дальнейшего изложения, в зависимости от получаемой точности прогнозных расчетов.
Для случая, когда вектор поправок определяется по группе из YI на-с блюдений, сформированной по вышеописанному принципу, экстремальная задача вычисления оценок вектора коэффициентов модели (3.1) с использованием экспоненциально взвешенного квадратичного критерия может быть записана следующим образом
Как и в базовой задаче (3.2) здесь минимизируется экспоненциально взвешенная сумма квадратов отклонений, но в отличие от базовой одно и то же значение весового коэффициента одновременно приписывается п различным отклонениям. Фактически взвешивается не отдельно каждое наблюдение, а сразу вся группа одновременно обрабатываемых наблюдений. Правда, если вспомнить принцип формирования такой группы, то станет ясно, что не все наблюдения одной и той же группы должны иметь равные весовые коэффициенты.
Изменение размера группы (величины ri) приводит к соответствующему перераспределению весовых коэффициентов между отдельными наблюдениями. А это значит, что коэффициенты регрессионной модели зависят еще от одного параметра, принимающего значения натурального ряда п = 1,2,... . Чтобы подчеркнуть это обстоятельство, в записи коэффициента В(/, a, ri) присутствует параметр п, который также как и параметр а можно настраивать.
Анализ динамических эффектов развития экономической системы
При изучении экономических явлений часто приходится иметь дело не только с отдельными процессами, но и с целыми комплексами таких процессов, которые, взаимодействуя, оказывают друг на друга определенное влияние. Результатом такого взаимодействия является появление смешанных динамических эффектов, которые, накладываясь на чистые, значительно усложняют характер поведения каждого из этих процессов. В подобной ситуации для построения адекватной модели одного уравнения уже не достаточно. В связи с этим возникает необходимость в построении моделей, представляющих собой систему взаимосвязанных уравнений. Построение таких систем - обычная практика эконометриче-ского моделирования. Сначала рассмотрим матричный аналог конечно-разностного уравнения первого порядка Р, = (/5,,/2/, » РПЇУ" вектор-столбец размера п, с компонентами, равными значению цен в момент времени t (незапаздывающие эндогенные переменные); У" вектор-столбец размера n, с компонентами, равными значению цен в момент времени / — 1 (запаздывающие эндогенные переменные); b = (bl9b2,..., ЬпУ- вектор-столбец значений, учитывающих воздействие экзогенных факторов, размера /?; квадратная матрица размера п х п, отражающая структу- ру влияния запаздывающей эндогенной переменной на динамику цен. Если систему уравнений (4.60), записанную в матричном виде, сравнивать с конечно-разностным уравнением (4.12), то в ней роль коэффициента Ь0 отводится вектору b, а роль Ьх - матрице А, т.е. имеет место явная аналогия. Это позволяет, действуя таким же образом, как и в случае конечно-разностного уравнения первого порядка, представить вектор Р, в виде следующей суммы:
Здесь через Р обозначен вектор, получаемый как особое решение неоднородного уравнения, описывающего равновесное состояние а через ut - отклонение текущей цены от равновесной Р, — Р . Из (4.61) следует, что сходимость вектора текущих цен Р, к вектору равновесных цен Р зависит от свойств матрицы А. Действительно, если (4.61) представить в виде то из A U0 — О при / — оо ,будет следовать, что Р, — Р . Сходимость последовательности (4.64) зависит от собственных значений матрицы А, которыми являются корни детерминантного уравнения Используя известные правила вычисления определителя, это уравнение можно записать в виде многочлена от Л степени п Многочлен (4.66) называется характеристическим уравнением, а его корни, т.е. числа, для которых выполняется равенство, называются характеристическими корнями или собственными значениями матрицы А С каждым характеристическим корнем Я связан характеристический вектор gy {g\j,g2j9 » Sn/У Дл которго выполняется соотношение или Векторное уравнение (4.68) представляет собой систему однородных линейных уравнений и имеет решение, отличное от нулевого, в том случае, если матрица А-ЯІ вырождена [5], т.е. ее определитель А — ЯІ равен нулю. Обозначая через Gматрицу (gj,g2 »8Я)» столбцы которой являются собственными векторами матрицы А, а через D; диагональную матрицу с элементами на главной диагонали, равными характеристическим корням Я этой же матрицы, можно в соответствии с (4.67) записать Исключая из рассмотрения случай многократных корней, для которых матрица G вырождена, умножим матричное равенство (4.69) слева и справа на G" . После перемножения получаем представление матрицы А в следующем виде Полученное представление позволяет проанализировать сходимость степеней матрицы к нулевой матрице. Используя (4.70), можно записать выражение для квадрата матрицы
