Введение к работе
Актуальность темы диссертации. В теории чисел важную роль играет распределение простых чисел в арифметических прогрессиях.
Пусть при (/, D) = 1 7г(Х, D,l) означает число простых чисел, не превосходящих X и сравнимых с / по модулю D. Не доказанная к настоящему времени расширенная гипотеза Римана привела бы к следующему асимптотическому закону1:
.(хдо^(1 + о(е-—)),
где D ^ Хї~є} є > 0 произвольно малое число.
Без допущения расширенной гипотезы Римана и наложения каких-либо ограничений на D, асимптотическая формула для 7г(Х, D, /) получена при весьма «малых» D. Например, при D ^ (1пХ)А, где Л >0 — константа, с = с(А) > 0, справедлива формула:
^D'/) = S+(Xe"c,/IS)-
которая известна в литературе как формула Зигеля—Вальфиша1.
Но в случае, когда D = р[^, ро ^ 3 — фиксированное простое число, можно получить асимптотическую формулу для 7г(Х, D, /) при гораздо больших D.
В 1955 году А. Г. Постников2 обнаружил, что сумма значений неглавного характера по модулю D, равному степени нечетного простого числа, представляет собой сумму Вейля специального вида. Это открытие замечательно тем, что суммы Вейля, даже очень короткие (а вместе с ними и очень короткие суммы значений характера), допускают нетривиальные оценки.
Идея А. Г. Постникова позволила решить некоторые проблемы теории чисел, к которым в общем случае не было никаких подходов.
К таким задачам относится получение асимптотической формулы для 7г(Х, D, /) при возможно большем значении D.
В 1964 году Ю. В. Линник, М. Б. Барбан и Н. Г. Чудаков3 доказали следующий асимптотический закон, справедливый при
1Карацуба А.А. Основы аналитической теории чисел. — М.: Наука, 1983.
2Постников А. Г. О сумме характеров по модулю, равному степени простого числа//Изв. АН СССР, сер. Матем. -1955. - Т. 19, № 1. - С. 11-16.
3Линник Ю. В., Барбан М. Б., Чудаков Н. Г. О простых числах в арифметической прогрессии с разностью, равной степени простого числа//Айа arithm. J. —1964. — vol.9, № 4. — P. 375-390.
D = p^1 ^ Xs є (є > 0 — произвольно малое число, М > 0 произвольно большое число):
7r(X'D-;) = S(1 + 0(ln"Mx))'
Доказательство этой теоремы основано на плотностной технике, и поэтому для него требуется информация о распределении нулей L функции Дирихле в критической полосе.
Другая задача, в которой исследования А. Г. Постникова нашли свое применение, — это проблема делителей Дирихле в арифметических прогрессиях.
Пусть Tk(n) — число решений в целых положительных числах пі,... , rik уравнения
П\ . . . Tlk = п .
Рассмотрим сумму
Е т^п)- (і)
n=l (mod D)
В работе А. Ф. Лаврика4 получена асимптотическая формула для суммы (1) при к ^ 4 с произвольной разностью D. Эта формула нетривиальна при D ^ Xfc, а > 0 — константа.
Г. Иванец5 на основе модулярной техники получил асимптотиче-скую формулу в случае к = 2, справедливую при D^X3~(e>0 произвольно мало), и совместно с Дж. Фридлендером6 — для к = 3, справедливую при D ^ Х2+230.
В 1979 году М. М. Петечук7 усилил результат Лаврика и получил асимптотическую формулу для суммы (1) при фиксированном к ^ 2
4Лаврик А. Ф. Функциональное уравнение для L-функций Дирихле и задача делителей в арифметических прогрессиях//Изв. АН СССР, сер. Матем. —1966. — Т. 30. — С. 433-448.
5Iwaniec Н., Kowalsky Е. Analytic number theory. —American Mathematical Society, Colloquium Publications. — Volume 53, 2004.
6Friedlander J., Iwaniec H. Incomplete Kloosterman sums and divisor problem//Ann. Math. — 1985. -121. - P. 319-350.
7Петечук M. M. Сумма значений функции делителей в арифметических прогрессиях с разностью, равной степени простого нечетного числа//Изв. АН СССР, сер. Матем. —1979. — Т. 43, № 4. - С. 892-908.
и D = p^ ^Xt
є.
5 Ып)=^щ-+0(ш
n=/ (mod _D)
где (l,D) = 1, Pfc_i(lnX) — многочлен степени А; — 1 с коэффициен-
тами, зависящими от fc и po, ж = min ^-,t^v,/^>0 — константа,
є (3
16'F зависящая от ро-
Формула остаточного члена (2) получена с применением оценки короткой суммы значений характера по модулю D = р^7 основанной на работе А. Г. Постникова. Доказательство (2) проводится без применения средств комплексного анализа. Оно опирается на метод работы А. А. Карацубы8, позволяющий оценивать остаточный член асимптотической формулы по схеме решения тернарной аддитивной задачи.
С помощью этого метода 3. X. Рахмонов9 решил задачу распределения чисел Харди — Литтлвуда в арифметических прогрессиях с растущей разностью. В его работе получена асимптотическая формула для числа решений сравнения
р + п =1 (mod D), р ^ X, п ^ vX,
где D — достаточно большое простое число, 1^/^D —1,Х^ D3/2+e, и найдена следующая граница наименьшего числа Харди — Литтлвуда в арифметической прогрессии:
H(D,l) <>3/2
+ Є
В данной диссертации получена асимптотическая формула для 7г(Х, D, I) при D = Pq1 ^ J» e-(ininX) ^ а также рассматривается проблема делителей Дирихле в арифметических прогрессиях.
8Карацуба А. А. Распределение произведений сдвинутых простых чисел в арифметических прогрессиях//ДАН СССР. -1970. - Т. 192, №4. - С. 724-727.
9 Рахмонов 3. X. Распределение чисел Харди — Литтлвуда в арифметических прогресси-ях//Изв. АН СССР, сер. Матем. -1989. - Т. 53, №1. - С. 211-224.
Цель работы.
-
Вывести приближенные формулы для сумм значений функции делителей в арифметических прогрессиях.
-
Получить асимптотическую формулу для 7г(Х, D,l) при D=ptf ^Xe-(lnlnX)2.
Методы исследования. Работа выполнена на основе методов мультипликативной теории чисел, метода тригонометрических сумм И. М. Виноградова и метода контурного интегрирования.
Научная новизна работы.
В диссертации представлены доказательства асимптотических формул для сумм значений функции делителей по числам, лежащим в арифметической прогрессии. Получен асимптотический закон распределения простых чисел в арифметической прогрессии с разностью D = Pq1 ^ J» e-(ininX) ^ gce результаты работы являются новыми.
Положения, выносимые на защиту:
1. Доказательство асимптотических формул при произвольных D
для суммы
1-м,
n=l (mod D)
где D ^ J2_i (є\ > 0 — сколь угодно малое число) и для суммы
n=l (mod D)
где D ^ Х$~Є2 [є2 > 0 — сколь угодно малое число).
2. Получение приближенной формулы для суммы значений функ
ции Tk(n) с равномерной по к оценкой остаточного члена, где п лежит
в арифметической прогрессии с разностью D = р'^ ^ X» ~є, ро ^ 3 — фиксированное простое число.
3. Вывод асимптотической формулы для7г(Х, D, Ї) — числа простых чисел, не превосходящих X лежащих в арифметической прогрессии с разностью D = Pq1 ^ J» e-(ininX) ^ р0 ^ 3 — фиксированное простое число.
Практическая и теоретическая ценность. Работа носит теоретический характер. Ее результаты и методы могут быть использованы в дальнейших исследованиях, посвященных аддитивным задачам с простыми числами, а также при разработке специальных курсов по теории чисел.
Апробация результатов. Основные результаты работы были представлены на следующих конференциях:
Международная научная конференция студентов, аспирантов и молодых ученых «Ломоносов — 2011», Москва, 2011 г.
Международная научная конференция «Комплексный анализ и его приложения к дифференциальным уравнениям и теории чисел», Белгород, 2011 г.
Всероссийская конференция по математике, информатике и методике их преподавания, Москва, 2011 г.
Публикации. Все результаты диссертации опубликованы в работах автора [1]—[7]. Из них статьи [1], [2], [3] опубликованы в журналах из списка ВАК РФ. Список публикаций автора приведен в конце автореферата.
Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав и списка литературы. Список литературы содержит 26 наименований. Общий объем диссертации — 85 страниц машинописного текста.
