Предельные распределения чисел конфигураций, удовлетворяющих линейным соотношениям Круглов Василий Игоревич

Содержание к диссертации

Введение

I Предельные распределения для числа наборов, удовлетворяющих линейному соотношению 26

8 Постановка задачи 26

9 Комбинаторные свойства линейных соотношений 26

10 Вероятностные свойства линейных соотношений 29

11 Предельная пуассоновская теорема 31

12 Замечания и примеры 38

12.1 Группы вида Zf, где М — оо и d = const 39

12.2 Группы вида Zfj, где q - фиксированное простое число и d — оо . 41

12.3 Пример предельного сложного пуассоновского распределения 45

13 Теоремы о сходимости к сложному пуассоновскому распределению 49

14 Статистические критерии 61

II Параллелограммы: общая часть 65

15 Геометрическая интерпретация линейного соотношения

16 Ограничения, налагаемые на параллелограммы 68

17 Обозначения 70

18 Техническая лемма 73

19 Общие свойства 75

20 Предельная пуассоновская теорема 76

21 Лемма о распределении индикаторов 81

III Параллелограммы: ограничения на расстояния 85

22 Постановка задачи 85

23 Технические леммы 86

24 Метод Б.А. Севастьянова 88

24.1 Предельная пуассоновская теорема 88

25 Метод Чена-Стейна 91

25.1 Оценка скорости сходимости 91

26 Метод A.M. Зубкова 93

26.1 Технические леммы 93

26.2 Оценка скорости сходимости 98

IV Параллелограммы: ближайшие точки 100

27 Постановка задачи 100

28 Технические леммы 102

29 Доказательство предельной пуассоновской теоремы 116

Список литературы 125

• Комбинаторные свойства линейных соотношений
• Теоремы о сходимости к сложному пуассоновскому распределению
• Предельная пуассоновская теорема
• Доказательство предельной пуассоновской теоремы

Введение к работе

1 Пуассоновская аппроксимация

При решении вероятностных задач довольно часто возникает необходимость изучения сумм случайных индикаторов, то есть сумм случайных величин, каждая из которых принимает значения из множества {0,1}. Так, например, исследуя задачу о нагрузке па телефонную сеть, насчитывающую п абонентов, мы можем рассмотреть п случайных индикаторов, каждый из которых равен единице, если в данный момент соответствующий данному индикатору абонент пользуется телефонной сетью. Тогда общая нагрузка на сеть, т.е. общее количество активных в некий момент абонентов, будет равна сумме п введённых нами индикаторов.

Нахождение точного распределения суммы случайных индикаторов обычно представляет собоіі сложную задачу и, кроме того, точные формулы могут оказаться столь громоздкими, что это помешает сделать из них какие-либо выводы или применить их на практике. Поэтому практические задачи часто решают путём аппроксимации исследуемого распределения, то есть вычисляя такое распределение вероятностей, которое в том или ином смысле близко к распределению рассматриваемой суммы индикаторов и представляет собой более "простое" распределение вероятностей, например, нормальное распределение или распределение Пуассона. Правомерность данного подхода подтверждается не только работами в области теории вероятностей, но в том числе и исследованиями, проводимыми как в сфере прикладной математики (см., например, [24],[29]), так и в иных областях науки, таких как физика и биология ([33],[34],[20],[23]).

Самой известной теоремой о пуассоновской аппроксимации, по всей видимости, является классическая теорема Пуассона для схемы испытаний Бернулли (см., например, [15], т. 1, 6). Из данной теоремы следует в частности, что если телефонная сеть состоит из п абонентов, каждый из которых принимает решение воспользоваться телефоном независимо от остальных абонентов, и если для каждого абонента вероятность того, что он в данный момент использует телефонную сеть, фиксирована и равна р, причём число пр является сравнительно небольшим, то распределение на-

грузки на телефонную сеть может быть достаточно хорошо аппроксимировано распределением Пуассона с параметром Л = пр.

Следует отметить, что эта теорема применима только к суммам независимых одинаково распределённых индикаторов, в то время как при решении практических задач исследователь может столкнуться как с зависимостью рассматриваемых индикаторов, так и с тем, что они будут иметь разные распределения, в таких случаях требуются иные методы пуассоиовской аппроксимации, например, предложенные в работах Б.А.Севастьянова ([6],[14]), А.М.Зубкова ([2]), В.Г.Михайлова ([12]) или часто используемый в последнее время ([22],[31],[19],[21],[32]) метод Чена-Стейна (см., например, [17], [18]).

2 Рассматриваемые задачи

Среди объектов, рассмотрение которых может привести к изучению сумм индикаторов, можно выделить т.н. "спэйсинги" (англ. spacings) - понимаемые в том или ином смысле расстояния между элементами случайной выборки. В частности, спэйсинги могут применяться для проверки качества датчиков случайных чисел ([25], [26]). Для прикладных задач проверки датчиков случайных чисел разработаны комплексы статистических тестов, например предложенный Национальным институтом стандартов и технологий США (NIST) комплекс тестов для проверки датчиков случайных чисел, выдающих 0 и 1 с равной вероятностью (см. [28]), а также разработанный Дж. Мар-сальей комплекс тестов DIEHARD ([27]).

Так, например, одна из предложенных Марсальей статистик, предназначенных для проверки качества датчиков псевдослучайных чисел, строится следующим образом (см., например, [16], с. 110; [5], 3.3.2, пункт J). Пусть Х\,...,Хт — независимые случайные величины, имеющие равномерное распределение на множестве {1,...,Л^Г}, а Х(х) < Х(2) ^---^ Х(т) — построенный по ним вариационный ряд. Статистика (T,iV) — это число таких пар (i,j), 1 ^ і < j ^ Т, что X(j₊₁) — X(j) = ^0+1) ^— -^0?)- Сформулированное в [16] в виде задачи утверждение о том, что распределение (Т, А^Г) сходится к распределению Пуассона с параметром Л при Т, N —> со, T³/(4N) —» Л, было доказано в работе Н. В. Клыковой [4].

В настоящей работе рассматриваются аналогичные задачи.

Пусть Т независимых случайных величин Хі,...,хт равномерно распределены на G, конечной абелевой группе по сложению. Рассмотрим схему серий, в которой порядок группы G и размер выборки Т стремятся к бесконечности.

Расширим множество рассматриваемых линейных уравнений: будем рассматривать линейные соотношения вида x_3l — Xj₂ = xj^ — Xj₄ для всех состоящих из четырёх элементов подмножеств множества {х\,... ,хх} В первой главе рассмотрено обобщение данной задачи, а именно, для произвольных целочисленных коэффициентов ai,... ,а_к проведено исследование количества упорядоченных наборов (ji,... ,j_k) таких, что выполняются линейные соотношения

a_xx_h + ... + a_kx_jk — О,

где xi,... ,Хт — независимые случайные величины, имеющие равномерное распределение на произвольной конечной абелевой группе G.

При изучении распределения количества наборов (ji,-.-,j_k) таких, что задаваемые ими линейные соотношения оказались верными, возникает задача определения количества наборов, являющихся эквивалентными, то есть задающих соотношения, равносильные над множеством целых чисел. В настоящей работе данная задача решена для любых наборов коэффициентов cii,..., а_к, и, кроме того, для произвольной абелевой группы получена формула для вычисления вероятности выполнения линейного соотношения

aiXj_x + ... + a_kx_jk = 0.

Для абелевых групп произвольного порядка, имеющих структуру определенного рода, с использованием метода Б. А. Севастьянова доказана теорема о том, что при любых фиксированых ненулевых целочисленных коэффициентах ai,...,a_k количество таких неэквивалентных наборов (ji,. ,jk), что задаваемые ими линейные соотношения оказались верными, имеет предельное пуассоновское распределение.

Для более широкого класса абелевых групп доказано, что количество таких наборов имеет в пределе сложное пуассоновское распределение. В частности, для случая, когда порядок группы G взаимно прост с каждым из коэффициентов а.\,..., а_к,

доказано, что распределение количества таких наборов, что соответствующие им линейные соотношения оказались верными, сходится к сложному пуассоновскому распределению, и предложен способ вычисления параметров этого распределения.

Во второй, третьей и четвертой главах исследуются группы фиксированной структуры G = Zjy. Линейные соотношения х_п — Xj₂ = x,j₃ — Xj_t рассматриваются с точки зрения их геометрической интерпретации, а именно:

группы G = Ъ'н понимаются как ^-мерные дискретные торы,

величины Xj₁,Xj₂,Xj₃,Xj₄ рассматриваются как точки в соответствующем торе, а разности Xj_x — Xj₂ и Xj₃ — ж,-,, понимаются как векторы с началами в Xj₂ и x_J4 и концами в ж₇₁ и Xj₃ соответственно,

считается, что величины х_3і,х₃₂,х_3з,х_3і образлчот параллелограмм, если образованные ВеКТОрЫ раВНЫ, ТО ЄСТЬ ВЫПОЛНЯетСЯ СООТНОШеНИе Х^ —Xj₂ = Xj₃—Xj_t.

Если в первой главе рассматриваются упорядоченные наборы х^,..., Xj_k, то во второй, третьей и четвёртой главах наборы Xj_ltXj₂,Xj₃,Xj₄ считаются неупорядоченными и изучаются события, заключающиеся в том, что хотя бы для одной перестановки а : {1,2,3,4} -» {1,2,3,4} упорядоченный набор x_jaW,x_ja{2),x_j,x_jiT(4) задаёт параллелограмм.

Кроме того, в третьей и четвёртой главах на параллелограммы накладываются дополнительные условия. В третьей главе требуется, чтобы расстояния между точками х_3а{1) и Xj_a{2) и между 0Cj, и Xj . одновременно не превышали некоторого значения, которое представляет собой дополнительный стремящийся к бесконечности параметр. Для количества таких параллелограммов, помимо предельной пуассонов-ской теоремы, с использованием методов A.M. Зубкова и Чеиа-Стсйна выведены оценки скорости сходимости к предельному пуассоновскому распределению. В четвертой главе для количества параллелограммов, в которых точка Zj_a,₂₎ оказывается ближайшей к Xj_a(1) точкой случайного множества {х\,... ,xt}\{xj_oW}, a Xj, — ближайшей к Xj_a$) точкой {.ті,... ,xt}\{xj„₍₃₎}, доказана предельная пуассоновская теорема.

В третьей и четвёртой главах для доказательства сходимости распределения количества параллелограммов к пуассоновскому применяется метод Б. А. Севастьянова. Общая часть доказательств вынесена во вторую главу.

Для удобства читателя в 6 приведены формулировки всех применяемых в данной работе методов пуассоповской аппроксимации.

3 Апробация работы и публикации

Изложенные в данной диссертации результаты докладывались на Тринадцатой Всероссийской школе-коллоквиуме но стохастическим методам(2006, [8]). Четырнадцатой Всероссийской школе-коллоквиуме по стохастическим методам(2007, [9]), заседаниях Отдела дискретной математики Математического института им. В. А. Стеклова РАН.

Основные результаты работы опубликованы в [8], [9], [10].

4 Структура работы

Диссертация состоит из оглавления, введения, четырёх глав и списка литературы. Нумерация параграфов, теорем, лемм и утверждений сквозная.

5 Обозначения

Если мы составляем не содержащую повторений выборку, выбирая к элементов из некоторого содержащего п различных элементов множества, будем обозначать через С% число способов составить неупорядоченную выборку, а через А^ - число способов составить упорядоченную выборку. Напомним, что

^с» = щгщ>^А»=^пЩ="<" - v ^(п - *^+г) = <0Щ = ^кЮ«-

Если a, b Є Z и а нацело делится на Ь, будем писать а:Ь.

Множество перестановок а : {1,..., к} —> {1,..., к} будем обозначать S^. Через Sk(a\,... ,a,k) будем обозначать множество перестановок о : {11,...,(} —>

{ai,..., a_k}.

Под 7г(Л) будем понимать случайную величину, распределённую по пуассоновско-му закону с параметром Л Є (0, оо).

В настоящей работе рассматриваются суммы одинаково распределённых индикаторов, С = Yl/Vi- Через р будем обозначать вероятность того, что произвольно

зафиксированный индикатор равен единице, т.е.

V = Р{т = 1} Vi.

Пусть х\,... ,Х[ —у оо так, что f(xi,... ,Х[) = g(xi,... ,xi) (1 4- о(1)). В этом случае будем использовать краткое обозначение f(xi,..., х{) ~ д{х\,..., х{).

В тех случаях, когда для f(x\,... ,xi) и g(xi,... ,х{) существует такая функция h(xi,...,xi), что f{xi,...,x_t) ^ h(xi,...,xi) и Н{х_1г...,хі) = д{х_и.. .,хі) (1 + о(1)), будем писать f(x_l7...,Xi) > д{х_ъ... ,х{). Соотношение f(xi,...,x_L) < д(х₁,...,х₁) определим аналогичным образом.

Если для f(xi,... ,xi) и g(xi,... ,Х[) существуют такие ненулевые константы с_ь...,с₄, что

cig(xi,...,xi) 5 f(x_u...,xi) = c₂g(x_1:...,xi),

сз/(хі,...,хі) ^ д(х_л,...,хі) ^ c₄f(xi,...,xi).

будем писать f(xi,... ,xi) ~ g(xi,... ,xi) и говорить, что величины f{x\,... ,xi) и g(xi,..., xi) имеют одинаковый порядок.

6 Используемые методы

Процитируем формулировки всех используемых в настоящей работе методов доказательств предельных пуассоновских теорем и выведения оценки скорости сходимости к предельному распределению.

Поскольку в данной работе рассматриваются суммы одинаково распределённых индикаторов, методы Б.А.Севастьянова и Чена-Стейна, наряду с прямым цитированием, приводятся с соответствующим упрощением формулировок.

6.1 Теорема Б. А. Севастьянова

Цитируется по [6].

Утверждение 1. ([6], глава III, 2, стр. 117, теорема 1)

Пусть в схеме серий случайная величина представима в виде = щ + ... + Т]_п, где г]і принимают значения 0 и 1. Пусть Ь_ІІІ2_і_г = Р(т/_гі = rji₂ = ... — r)_ir = 1), где индексы 1 ^ i_k = п попарно не равны друг другу и г = 1, 2,..., п. Если вероятности Ьі^і-i..Ar ^пР^{и п} ~* удовлетворяют условиям

max bi — 0, Hm > Ьі = Л,

І=Х

для любых r = 2,3,... и п = 2, 3,... существуют состоящие из упорядоченных наборов (гі,гг, - - - ,«г) исключительные множества 1_г(п) такие, что

lim V" Ь_{ІІІ2шшЛг} = lim У] b_h ...b_ir = 0

ті—»nn * n—*no *

П—*00 ' ' n—»oo

(u,2₂,...,i_r)6 I_r(n) (іі,І2,—,іг)Є I_r(n)

lim max

п-юо(гі,г2,...,іг) M")

ОІ1І2-І

Ьі,..- Ь:

o,

lim P(f = k) = TT^e~^X, A; = 0,1,2,....

В данной работе рассматриваются суммы одинаково распределённых индикаторов, что позволяет упростить проверку условий, сформулированных Б. А. Севастьяновым.

Итак, пусть индикаторы 7/,- имеют одинаковое распределение: Р(т/,- = 1) = р Vi = 1,... ,п. Покажем, что если Е^->Аи |/_r(n)| = o(n^r) Vr ^ 2, то условия

п—»оо '

г=1

bi — 0, lim > bi = А

п.—*ж *»<'" ^

lim Y] &_h ... bi_r = О

п—юо *—*

п—юо

(І1.І2,—,v)e /_r(n)

выполняются.

Условие lim J^ 6_г = Л является записанным в иной форме соотношением Е — Л. Поскольку

п \ п

ЕЄ = Е 5^»й =^р = пр = 0(1),

г=1 ТО

max >_г- = max р = О ( — ] —» 0.

И, наконец,

J] ^...^ = J2 Р^г = |/г(п)|р^г = о(прГ = о(1Г-0.

(»1і*2,...,Іг)Є /r(n) (ii.ia,—і»г)Є /r(n)

Таким образом, в дальнейшем при доказательстве предельных пуассоновских теорем с помощью метода Севастьянова мы будем доказывать лишь, что Е —* Л, а также для всех г ^ 2 выполняются соотношения

|/_г(п)| = оК), (А)

lim V Ьм₂...іг=0 (Б)

(U,i₂,...,v)e Л-(") И

lim max

n-*oo (ii,i₂,...,ir)0 Іт{п)

г₂...г_г

b_h... Ьі

= о- (В)

6.2 Метод Чена-Стейна

Приводится по [17].

Пусть /j, - закон распределения некоторой суммы индикаторов, Г - конечное множество индексов, по которым производится суммирование. В большинстве случаев множество Г имеет вид Г = {1,... ,п}. Пусть {Хі, і Є Г} - случайные индикаторы, Pi — ЕХ_г- для каждого г є Г. Пусть W = ^2_ієГХ_{, А = Ш\ /л = C(W) - закон распределения W и /^ = Ро(Л) - пуассоновский закон распределения с параметром Л. Введём обозначение

d_TV(fi,no) = sup \fi(A) - /л₀(А)\.

AC.Z+

Утверждение 2. ([17], глава 2, 2.3, стр. 70, теореліа 2.5)

Пусть W = ^2_іеГХі, где {Xj, і Є Г} - индикаторы. Для каждого г 6 Г разобьём множество Г\{г} на два подмножества, Г| и Г, таким образом, что, говоря неформально,

Г| = {j Є Г\{г}; Xj "сильно" зависит от X,-}.

Пусть Zi — X^_jer^s Xj и Wi — Y^jerv Xj- Тогда d_TV(C(W), Po(X)) ^ fca(A) J^ {_PiE{Xi + Z^ + ЕХ_гг_г) + ^(A) ^E|_Pi - E(X,-|W0|,

гЄГ ІЄГ

где An(A) = (l Л у/Щ и к₂(Х) = 1=±.

В настоящей работе будут рассматриваться лишь суммы одинаково распределённых индикаторов, ~Р(г)і = 1) = р \/г Є Г. Кроме того, для каждого і Є Г входящие в множество Г\" индексы будут выбираться таким образом, чтобы случайные величины ці и W{ были независимы. Благодаря этим двум факторам мы сможем применять более простые оценки для скорости сходимости распределения рассматриваемых сумм к предельным пуассоновским распределениям.

Лемма 1. Пусть — ^ щ, где Г - множество индексов, и случайные индикаторы

»ег rji имеют одинаковое распределение. Обозначим р = P{?7i = 1}. Для любого г Є Г,

разбив множество Г\{г} на непересекающиеся подмножества Т\ и Г, обозначим

7 = sup |Г||, Zi = Yl r]j₁ Wi = Y2 7]j. Пусть 7г(А) - случайная величина, имеющая

пуассоновское распределение с параметром А. Расстоянием полной вариации будем называть

рпг(С,т(ЕО) = sup |Р(С Є А) - Р(тг(ЕС) Є А)\.

ACZ+

1. Если случайные величины r\i и Wi независимы для любого г Є Г, то p_TV(C, тг(ЕС)) ^ НЩ) J2 №(Vi + Zi) + EmZi).

2. Если, кроме того, j —* со и существует равномерная по всем і Є Г, j Є Г| оценка Ег\іЩ = 0(р²), то

р_Ту(С,ж(ЕС)) = 0(\Т\р²₁).

Доказательство. Согласно [17] (см. главу 2: 2.1, стр. 66, формула 2.2; 2.3, стр. 70, теорема 2.5), имеет место оценка

Ptv(C, тг(ЕО) < k₂ Y, {P^E(Vi + Zi) + E_ViZi) + к_г ^ Е\р - Е{щ\W_{) |,

ієГ ІЄГ

где к, = ^(БС) = 1 Л ^/Х _к2 = А;₂(ЕС) = ^⁶^.

Так как по первому условию леммы для любого г Є Г случайные величины щ и Wi независимы, то

E|p-E(77i|Wi)| =0 Vz Є Г

prviC, тг(ЕО) ^ к₂ J2 (p(Vi + Zi) + ErnZi).

Далее, равномерно по всем г Є Г

Е(гц + Z_{) - E(_Vi + J^ m) = p(i + |r-1) < vii +1)- 0{n)

jer? и при выполнении второго условия леммы

ErhZi = Е ( щ Y, % ) = Е ^Е^' = (Р²)1П1 = 0(р²₇), V jerf / ІЄГ?

следовательно,

рту (С, тг(ЕО) < к₂ J^ (рЧч + Zi) + ErjiZi) ^ к₂ 0(р²₇) = О (|Г>²₇)

и лемма 1 доказана.

В [17] (см. стр. 84, 3.1; стр. 88, формула 3.7; стр. 91, теорема 3.6) также получена оценка скорости сходимости к сложному пуассоновскому распределению.

Утверждение 3. Пусть = Ylvti ^г^^е Г — некое множество индексов, и щ —

случайные величины, принимающие значения из множества N₊ = {0,1,2,...}. Для

любого г Є Г, разбив множество Г\{г} на непересекающиеся подмножества Г?³, Г

и Г, обозначим Zi = Yl Vji Wi = Y2 rjj, Ui = ^ Vj-

ієіг ієг- _jerb

Пусть случайная величина n имеет сложное пуассоновское распределение, а

именно, 7Г распределена как сумма J2 kCk, где & независимы и каждая случайная

fe=i величина Cfc распределена по пуассоновскому закону с параметром

^Хк = k Y, ^ЕЫ(Пг + Zi = к)).

Тогда для расстояния полной вариации между С, и к справедлива оценка

рМС k)^J2 (^Ег}гЩт + z_t + Ui) + E_ViUi)+

oo oo

+ Y, Y Yl J^E|^POfc = J. Vi + Zi = m} - P(rji = j, rji + Zi^ m\Wi)\.

ІЄГ j=l m=l

Замечание 1. В связи с тем, что выводимые в настоящей работе оценки будут зависеть от коэффициента к₂(Х), следует отметить, что для всех Л > 0 справедливо очевидное неравенство к₂(Х) = —|— < 1. С более подробным исследованием коэффициентов ki(\) и к₂(Х) можно ознакомиться, например, в [30].

6.3 Метод A.M. Зубкова

Цитируется по [2].

Пусть случайная величина = щ + ... + tjn представлена в виде

п п
S ⁼ / j /ti,...,г_г VSii; ) Si₇J ⁼ / j Vh «V-

ti,...,i_r=l ii,...,i_r=l

Будем использовать обозначения I — (її,... ,i_r) и Д — (ik,i, ,ik,r) Для упорядоченных наборов из г натуральных чисел от 1 до п. Множество всех п^г различных значений / обозначим буквой Y. Символом {/} будем обозначать неупорядоченное множество, состоящее из тех же элементов, что и упорядоченный набор /.

Положим при любом к — 1,2,...

^Jh,-Jk

р{% = = т_к = і},

если /і,... ,/ Є У и попарно различны, и bj_l^._ij_k = 0 в противном случае. Тогда, в частности,

Для каждого множества D С {1,..., п} положим Лд = J2 ^bi, где R(D) = {/ є

JeR(D)

Y : {/} П D ф 0}. Пусть a_z = max X_D.

Пусть Y^k = {(/і,..., I_k) : Ij Є Y}n Y₀^k = {(Д,..., 4) Є Y^k : {/,} ПВД = 0 {і ф j)}. Положим

V₀^m IeR(h 7m)

^{Lm =} Yl X ^bh---^bu^bJ,

V₀^m lR(h I_m)

R[I₁,...,I_m) = {IeY:{l}f]{I_j}^0, j = 1,...,m},

и /-о = /a/2. Так как /2(/i, -.., /_m) = 0, если (Д,..., /_m) Є У₀^т и m > г, то m = L_m = О при тп> г.

В формулировках и доказательствах лемм и теорем используются величины

то—1 т '

а_т — air(\ + г + т), С(т) = 1 + а_т + ... + а.

^s_k^{W = ±q?^,L}_k^{(x) = ±c?^,}

m=\

m=l

k=Q m=l m=l

Получим теперь оценки для расстояния по вариации

Ж,0 = 8и_Р|Р(сєЛ)-Р(СєА)|

между распределением случайной величины и распределением "аппроксимирующей" случайной величины '. Рассмотрим случай, когда функции /^,...,^ принимают только значения 0 и 1; тогда С будет иметь распределение Пуассона с параметром Л = ЕСи

₁ оо

^{р(с = л)}"^е I

fc=0

Утверждение 4. f/jg/, теорема 2)

Если т - такое натуральное число, что L₀ + C(m)S < 1, mo при D(m) = С(т?г) +

„A^m

fc=0

^{Р(С = А:)}-^Є_Л

L₀ + 2D(m){S + L) l-L₀-C(m)S '

Пусть

^xi = i^x — {^хи > ^хг) ' fifa, ...,х_г) = 1},

^pi(^k> ^х) = ^2 ^P{Vh = 1|6і = ж_ь ..., &_r = ж_Г}.

h : |{/і}ПШІ=*

Если

[r/2]

sup V^Pi(l,x) = a < oo,

/ЄУ, іЄА-f ^

Замечание 2. Оценки, получаемые методом А. М. Зубкова, выраженные в терминах графов зависимостей, доказаны В. Г. Михайловым в [12].

7 Полученные результаты

В первой главе диссертации доказываются предельные пуассоновские теоремы для количества упорядоченных наборов, удовлетворяющих линейным соотношениям с целыми коэффициентами, в выборке независимых случайных величин, имеющих равномерное распределение на конечной абелевой группе.

Пусть G — конечная абелева группа по сложению и случайные величины Жі,... ,Хт независимы и имеют равномерное распределение на G. Пусть к — фиксированное натуральное число и а±,..., а_к — ненулевые целые числа. Обозначим через J множество всех упорядоченных наборов (ji,..., j_k) из к попарно различных элементов множества {1,...,Т}, \J~\ = А^ = ₍₇Р_ку- Поставим в соответствие каждому набору (j\,... ,j_k) Є J линейное соотношение

a_xx_jl + ... + a_kXj_k = 0. Доказано, что

Р(а₁ж_і1 + ... + a_kx_jk = 0) = /(аі,..., a_k,G) V(j_b ..., j_k) Є J,

где f(G) = f(a_u...,a_k,G) = нод(_аь...^^|)_;._;._:нод(_аі „»,|_g||) _{ц g =} ^ _{x x g|} __

разложение группы G в произведение примарных циклических групп.

Обозначим через w(a\,..., а_к) количество таких перестановок а Є S_k, что уравнение

aij/i + Огї/2 + + &кУк = 0 равносильно уравнению

а<г(і)Уі + а>а{2)У2 + - + a_aWy_k = 0, то есть множества их целочисленных решений совпадают. Лемма 2. Пусть уравнение

а\У\ + а₂у2 + + а_кук = 0 представлено в виде

а'іУі + .-. + a[y_kl + a'₂y_kl+1 + ... + a'₂y_kl+k2 + ... + a{y_fcl+..._+fcl = 0,

где к\ + ... + k_t = к и а'_и^ a'_v при и ^ v.

Если существует такая перестановка сг₀ Є S_k, что

(-аг,..., -a_k) = (a₀(i), , Oa₀(fc)) ,

то ги(аі,... ,a_k) = 2 ki\ - /с₂! -. - - - kj, иначе и>(аг,..., а_к) = k±\ fc₂! ... &*!.

С использованием метода Б. А. Севастьянова доказана предельная пуассоновская теорема.

Теорема 1. Пусть ненулевые целые числа aj,... ,а_к фиксированы, независимые случайные величины Хг, , Хт имеют равномерное распределение на конечной абелевой группе (по сложению) G и

^С=га(а₁,¹..,а_к) 1(агх_к + ... + a_kx_jk = 0).

Пусть число Т и группа G изменяются так, что

1. \G\ = N ^оо,

2. Т -> оо, 3)

^J Алл любых фиксированных 5 Є N. є > 0, имеющей равномерное распределение на группе G случайной величины у

P(fy ₌ 0)=_о^—

л m

lira Р (Г = тп) = —_Ге^-А. та = 0,1. 2....

Показано, что последовательность групп Ъ^А_М1 где d фиксировано и М —> оо, удовлетворяет условиям данной теоремы. С использованием метода Чена-Стейна получена предельная пуассоновская теорема для последовательности групп Z^, где q — фиксированное простое число и d — оо, а также доказано, что для последовательностей групп Ъ^а_м и Zg расстояние полной вариации

p_TV(C,7r(EC)) = sup |Р(С Є А)- Р(*-(ЕС) Є А)\

ACZ+

между распределением случайной величины и пуассоновским распределением с параметром, равным ЕС, убывает как О (Т~^л).

Доказано, что случайная величина , соответствующая последовательности групп Z₄ х (Z₂)^d_2, где d —» со, и линейным соотношениям вида —х^ + х_п + Xj₃, имеет в пределе сложное пуассоновское распределение, причём скорость сходимости и в этом случае есть О (Г^-1).

Сформулирована и доказана теорема о сходимости к сложному пуассоновскому распределению для распределения количества упорядоченных наборов, удовлетворяющих линейным соотношениям с целыми коэффициентами, в выборке независимых случайных величин, имеющих равномерное распределение на абелевых группах более широкого класса.

Теорема 2.

1. Пусть независимые случайные величины Xi,...,x_T имеют равномерное рас
пределение на G и

С= ^2 ^/(^ai^arii + ... + =0).

Тогда

EC = ^/(ai,...,a_fc,G).

2. Пусть \G\ —» оо и Т — оо так, что Е — А, где 0 < А < сю. Обозначим

P(ju---,3^= {h---,k}f){ji,...,j_k}

Пусть для всех (ji,... ,jk) Є J таких, что 0 < p(ji, ,jk) < k, справедлива равномерная оценка

Р(аіЖі + -.. + akXk = 0, a₁x_jl + ... + a_kx_jk = 0)

Тр(іь-л)+і(р(_аіЖі + ... + a_kx_k = О))² причём h(G,T) = o(l) при \G\,T —> оо. Введём обозначения

С = 53 ⁷(^а^(1)^Ж1 + + 0,a{k)^Xk = 0), aS_k

J\rp

A_r = —P(a₁x₁ + ... + a_kx_k = 0,C' = r), r = 1,2,...,

и пусть к = Yl ^rCr, где случайные величины Q_r независимы и каждая слу-чайная величина Сг распределена по пуассоповскому закону с параметром Х_г. Тогда

Ptv(Ck) = 0(Т-¹) + О (h(G,T)) = о(1).

Доказано, что второе условие теоремы 2 выполняется, если все коэффициенты 0,1,...,0 взаимно просты с порядком группы G. Для этого случая выведена более точная оценка скорости сходимости распределения случайной величины С к сложному пуассоновскому распределению.

Теорема 3.

1. Пусть НОД(а_т, \G\) = 1 для всех т — 1...., к. Тогда ЕС = Ц.

2. Пусть \G\ —* со и Т —> со так, что ЕС —> Л, где 0 < Л < оо. Тогда выполняются условия п. 2 теоремы 2 и

РтИСтг) < (ЕС)² (f^ + ^-)= ^р-(1 + о(1)) = О(Г-) = о(1).

На основе полученных результатов предложен статистический критерий проверки гипотезы Я₀ о том. что выборка Х\,... ,х? элементов конечной абелевой группы G состоит из независимых реализаций случайной величины, имеющей равномерное распределение на группе G.

Критерий 1.

Зафиксируем некоторое число І Є N.

Вычислим статистику С — Yl I(^xji + - + %j_k = 0) для выборки

l^h<..._k^T Xi,...,X_T.

Будем принимать гипотезу Hq, если С ^ I, и будем данную гипотезу отвергать, если С > I-

Доказано, что для вероятности ошибки первого рода при применении данного критерия справедлива оценка

+

^ к₂ (А) Л²

Т-к + 1