Содержание к диссертации
стр.
ВВЕДЕНИЕ 4
ГЛАВА I. ЕДИНИЦЫ ГЛОБАЛЬНЫЕ И ЛОКАЛЬНЫЕ 13
1.1. Единицы и расширения с ограниченным
ветвлением 3
1.2. Лемма Шапиро и модули Галуа Ї8
1.3. Ограничение и норма на индуцированных
модулях "
1.4. Гомоморфизм локализации 25
1.5. Мультипликативная группа циклического
29
расширения локального поля ^
1.6. Старшие члены локальных единиц и паралле
лограммы Валина
ГЛАВА 2. ЛОКАЛИЗАЦИЯ ЕДИНИЦ ЦИКЛИЧЕСКОГО РАСШИРЕНИЯ
ПОЛЯ CM-ТИПА 42
2.1. Локализация единиц bZ^, -расширениях ^2
hi
2.2. Единицы полей СМ-типа
51
2.3. Нормы единиц
53
2.4. Групповое кольцо группы диэдра
2.5. Модульная структура глобальных и локальных
СГГ7
единиц
62 2.6. Независимость гомоморфизмов локализации....
2.7. Старшие члены единиц 74
ГЛАВА 3. РАВНОМЕРНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ЕДИНИЦ ПРИ
ЛОКАЛИЗАЦИИ В Zf -РАСШИРЕНИЯХ 8I
3.1. Стабилизация норменного отображения 81
3.2. Устойчивая часть параллелограмма Валина.... ^5
3.2. Локальные нормы и асимптотика параллелог-
раммов Валина ^
3.4. Равномерное распределение старших членов
91
единиц ух
ЛИТЕРАТУРА І01
_ 4 -
Введение к работе
Группа единиц и группа классов идеалов - два основных инварианта числового поля, определяющие его арифметические свойства. Они характеризуют отклонение арифметики поля алгебраических чисел от арифметики рациональных чисел. К изучению этих групп сводятся многие задачи теории чисел и алгебраической геометрии (см. [40] ). Хотя структура группы единиц хорошо известна и задается классической теоремой Дирихле (см. [II]), практическое вычисление единиц конкретных числовых полей является чрезвычайно трудной задачей. Реализация существующих алгоритмов вычисления единиц (например [II ] ) наталкивается на колоссальный объем вычислений, приводящий к тому, что реально такими алгоритмами можно пользоваться только для полей, которые либо являются расширениями поля рациональных чисел маленьких степеней (2,3,4 -Г.Ф.Вороной, Б.М.Делоне, Д.К.Фаддеев, Х.Хассе и другие), либо принадлежат специфическим классам числовых полей (например, круговые поля: Куммер, абелевы расширения поля рациональных чисел: Х.Леопольдт). Такая же ситуация и с группой классов идеалов - хотя и существуют алгоритмы ее вычисления, но пользоваться Ими мокшо только в очень специальных случаях.
Поэтому особое значение имеют косвенные методы изучения указанных групп. Одним из таких методов является р-адический метод (см. [її"] » Ціб] ). Он заключается в том, что единицы числового поля вкладываются в более просто устроенное локальное поле -^адическое пополнение числового поля. Если *> -делитель f в поле К и х - единица поля К , то такое вложение осуществляется разложением ос в Ч? -адически сходящийся степенной ряд по степеням *р :
Целое число 't. будем называть степенью старшего члена единицы ОС , если
і= іяіп. [у; ^>0, а.у ФО]
Если <. > О » то единица ое удовлетворяет следующим сравнениям:
ое - а0 = 0 mod у ; ое- а0 ф. О ^nod Чрс+
Основная задача диссертации состоит в выяснении того, для каких
<. указанные сравнения тлеют решения в единицах поля К » или, другими словами, каковы старшие члены единиц.
При этом мы работаем не с самими единицами, а с теми расшире
ниями поля К , которые они задают. Если Я-рс К* , то еди
ница ос задает расширение , которое не раз
ветвлено вне делителей р в К Свойства единицы ос
проецируются в свойства такого расширения. Порядку старшего чле
на ОС соответствует по некоторым формулам скачок ветвления
локального расширения К(У^/но/^>*>
Из-за наличия неразветвленных расширений поля VC и существования S-единиц, не всякое расширения К степени р задается какой-либо единицей. Поэтому, изучая расширения поля
у , информацию о единицах можно получить только с точностью до подгрупп и факторгрупп, индекс которых ограничен числом делителей р в поле К и размерностью группы элементов периода р в группе -классов поля К ' ^^(К) р . Если мы предположим, что VC^ - Yl -ый этаж 21 р -расширения числово-
го поля, в котором ограничены указанные два числа, то полученная информация о единицах будет асимптотически точной. Итак, рассмотрим гомоморфизм локализации :
jb„ нЧ ksa„ , y.f) , нЧк».». >Р)
На образе pw введем фильтрацию, индуцированную фильтрацией группы главных единиц локального поля. Основным объектом изучения диссертации являются скачки полученной фильтрации
lv>x Ьуг. , которые С с учетом кратностей ) асимптотически совпадают с множеством степеней старших членов некоторого базиса ГРУППЫ еДИНИЦ ПОЛЯ К у\..
Перейдем к обзору содержания диссертации по главам. Первая глава содержит предварительные сведения, необходимые для доказательства основных результатов диссертации, которые содержатся в главах 2 и 3 . В I.I - 1.4 описывается связь между приведенной группой единиц числового поля
группой Я -классов дивизоров QJL~(К) и расширениями с ограниченным ветвлением. Приводится для удобства ссылок известная информация о группах Галуа таких расширений. Вводятся различные модульные структуры на группах когомологий Галуа и исследуются связи между ними. Описываются ядра и коядра гомоморфизмов ограничения и коограничения в когомологиях групп. Изучается гомоморфизм локализации в когомологиях Галуа в терминах индуцированных модулей, устанавливается связь между локализациями по различным продолжениям одного нормирования.
В 1.5.-1.6. изучается приведенная мультипликативная группа циклического расширения локального поля. Основным инструментом при этом является следующий результат Д.К.Фаддеева Г25І .
ПРЕДЛОЖЕНИЕ 1.5.1. Пусть VC/1& ~ расширение степени р локальных р-адических иррегулярных полей; А= Ж/?Ж ГЛП ;
A = Qa^(VC/fe);u=Lfe*QPl* Тогда Л -модули изоморфны :
- 'Vt слагаемых А и dim. М = Z .
В 1.6. строится канонический базис циклического расширения локального поля, обладающий хорошими модульными свойствами. Аналогичный базис использовался И.Р.Шафаревичем [27] при вычислении символа Гильберта. В [49] Валин, работая с базисом, который совпадает с нашим в старших членах, поставил в соответствие старшим членам главных единиц циклического вполне разветвленного расширения степени р иррегулярных локальных полей целые точки параллелограмма .Q» :
-С2. ~ і С*, у) : О ^ рх +тп^ <С р\ ; О L ty L р }
где Ъ- eCte/QP)/Cp"*0; /W=pt-0 J b -скачок ветвления расширения K/fe. . В 1,6. вычисляется действие группы Галуа, гомоморфизмов ограничения и нормы на параллелограмме _Ol .
Вторая глава посвящена описанию старших членов образа гомоморфизма локализации единиц циклического расширения поля СМ-ти-па. В 2.1. приведены известные результаты о Z« р -расширениях числовых полей, исследованы условия, при которых
~ 8 -
( <^/ означает квазиизоморфизм, т.е. гомоморфизм, ядро и коядро которого ограничены равномерно по п ), 1<^S - максимальное р-расширение \С » неразветвленное вне Л.
В 2.2 изложены результаты М.И.Башмакова и Р.А.Кештова [5] о локализации единиц: в полях СМ-типа. В 2,3 изучаются решения норменного уравнения на единицах :
где \C/\l - конечное р-расширение. Установлена квазиэпиморфность
j\C .еоли^с^и Иг0гЖо, 7L/? 7L ) = О .
Если К - циклическое расширение степени р поля СМ-типа
либо абелева группа и тогда VC тоже поле СМ-типа, либо является группой диэдра. В 2,4 изуча* ются представления группы диэдра, вводятся фильтрации, которые необходимы для описания структуры единиц.
В 2,5 описана модульная структура приведенной группы единиц циклического расширения поля СМ-типа. Выяснение модульной структуры группы единиц - интересная самостоятельная задача алгебраической теории чисел - см.рб], p8j,]43], ЇМ. Следующий результат, полученный в диссертации, является аналогом 1.5,1.
ПРЕДЛОЖЕНИЕ 2.5.1. Пусть fe, - числовое поле; ftp cfe; р -нечетное простое число; К, ~ циклическое расширение fe, степени р ; \^ 2, - расширение fe; Кс*> = К' &оо Ф & оо ;
А- 2/рЖ НА]; Д-Qci СКА) п^сть ТОЛ»Д>2>
= Q , где Я содержит все делители р. Тогда А. -мо-
дули квазиизоморфны :
В дальнейшем изучается действие на единицах диэдральной группы операторов. Здесь установлена:
ТЕОРЕМА 2.5.2. Пусть \l - числовое поле СМ-типа; р^2,; M-pCfe* Ь,+ - квадратичное вполне вещественное подполе; ^+ — круговое 2 -расширение fe* ; V - расширение поля \Ь степени р , не являющееся полем СМ-типа.
группа диэдра; <уР=: f **=("Г)г= 4 ; А= Ж/рЖ-АЗ . Предположим, что И CfeV^'oOj^/p'^)15^' Тогда TV -модули квазиизоморфны:
&(<>Л>(К*У ~[Aci*t>]
В этом случае приведенная группа единиц уже не квазисвободна, хотя локальные группы
остаются квазисвободными и для диэдральных операторов.
В 2.6 изучается независимость гомоморфизмов локализации по различным делителям Р . Гомоморфизмы ft (іг).*/М 0^-)-^ L (?*) называются квазинезависимыми, если
ТЕОРЕМА 2.6.1. Пусть \і - числовое поле СМ-типа; Jjl С fe, J Рф*^ te+ ~ квадратичное вполне вещественное подполе в fe \t+ca~ круговое 21 о -расширение \ъ* ; $,^- fe^o* ^ '* К -конечное р-расширение \^ ; \С<* = V^^q - К . Пусть { ТҐі } - все
неэквивалентные продолжения р-адического нормирования Q на fe"oO » ~^L " какое-либо продолжение ^ на КЛ . Предположим, что V\ (fc/te,^ Ж/рЖ) = О . Тогда гомоморфизмы локализации единиц:
квазинезависимы. Если "Ы\ является продолжением такого 7/^ который распадается при переходе в feoo * то 7- С^ ~ квазиэпиморфизм.
В 2.7 описываются старшие члены единиц. Основной является следующая
ТЕОРЕМА 2.7.2. Пусть fe, - числовое поле СМ-типа; р=^;
U.pC fe ^,^ - квадратичное вполне вещественное подполе;
^+txi ~ круговое 2р -расширение; К -расширение Ю степени р , не являющееся полем СМ-типа; Qa (\С/ fe+J ~ = QatOOoo/^oQ^ А - группа диэдра; Коо= VC ^ оо ; ^^=1^,-^4^ ^ V - один из делителей р в поле
\t*oQ , который вполне разветвлен в расширении К о/ ^ оо . Предположим, что И (Ry/feoQ» ^-/P^J ^ ^ ПУСТЬ сы - скачок ветвления VChlr/lR,nv J b =-am. СЫ . Тогда множество степеней старших членов образа локализации единиц:
асимптотически совпадает со следующими множествами:
I) если о - четное, то с множеством четных чисел из (О ; рХ I и) , не Делящихся на р , где ^«(к^/в^ИМ)
- II -
2) если о - нечетное, то с пересечением (0 р *сЛ и следующими РСр-4) арифметическими прогрессиями по модулю 2, р ;
О г. 2с,^4р ; -t . 2
Центральную роль в доказательстве 2.7.2 играют введенные в 1.6 параллелограммы
Если в главе 2 мы всегда работали с круговым Ж.р -расширением, то в главе 3 изучается образ гомоморфизма локализации
единиц произвольного 2 о -расширения.
В 3.1 устанавливается стабилизация норменного отображения на единицах ;
и равномерная по 1г и TKL ограниченность коядра Мь,***/**, изучается место стабилизации и его зависимость от "Ж р -расширения. В 3.2 в параллелограммах <^2.Qyi) , соответствующих расширениям ЛСуі+ітг/^п у выделяется область однозначной определенности старших членов решений локальных норменных уравнений. Показывается, что такая область асимптотически совпадает со всем -О. C'Yi). В 3.3 строятся аналоги параллелограммов Х2^ Для циклических расширений степени р и предель-ный"параллелограмм" для локального 2Lp -расширения. Изучается согласованность решений локальных норменных уравнений. 3.4 содержит основной результат третьей главы. Здесь рассматривается гомоморфизм локализации единиц:
kc*o-- u^ymj—K^A.Jv
где \<^ - числовое поле, содержащее Up * P Ф % * Ktfj -2D - расширение KJ , такое, что
V -один из делителей Р в Коо ; ^у^- пополнение VCw по ограничению V . Положим - множество скачков фильтрации Ічп. С^) > индуцированной естественной фильтрацией группы главных единиц локального поля, с учетом кратностей. Определим множество
Л (л) = /t/P**; i еСы)}; ь*=е(Кп,*/#р)/(р-і)
ТЕОРЕМА 3.4.2. Множество ^ (п*) распределено равномерно на отрезке Х.0 11 » т«е«
существует и не зависит от выбора (& о) С ПО, 1J
В основе доказательства лежит сравнение решений локальных
норменных уравнений с локализацией решений глобальных норменных
уравнений.
Основные результаты диссертации опубликованы в работах [7] -
В заключение автор выражает глубокую благодарность за постановку задачи и постоянную поддержку своему научному руководителю М.И.Башмакову. Автор также благодарен С.В.Востокову и В.М.Цветкову за полезные обсуждения.
- ІЗ -
