Введение к работе
Актуальность темы
Простейшими алгебраическими многообразиями являются проективные пространства Р", а их ближайшими родственниками — рациональные и унирациональные многообразия Многообразие уни-рационально над полем, если оно содержит открытое плотное подмножество, параметризуемое открытым подмножеством проективного пространства над этим полем, и рационально, если существует взаимно однозначная параметризация такого вида Ввиду простоты определения и богатства внутренней геометрии, рациональные и унирациональные многообразия всегда были в центре внимания алгебраических геометров и доставляли интересные примеры во многих областях математики В то же время, вопрос определения рациональности и унирациональности данного алгебраического многообразия, которому посвящена настоящая диссертация, все еще является очень мало изученным
Уже в 19 веке было известно, что всякое бирациональное отображение между (полными) неособыми кривыми продолжается до изоморфизма, поэтому алгебраическая кривая является рациональной (унирациональной) над алгебраически замкнутым полем тогда и только тогда, когда ее нормализация изоморфна проективной прямой Р1 Если же основное поле к не является алгебраически замкнутым, то гладкая кривая рациональна (унирациональна) над этим полем тогда и только тогда, когда на ней есть точка и она рациональна над алгебраическим замыканием поля к Действительно, антиканоническое вложение отображает такую кривую в плоскую конику с точкой, проекция из которой обеспечивает искомую параметризацию
Из критерия рациональности Кастельнуово следует, что над алгебраически замкнутым полем классы рациональных и унира-циональных поверхностей совпадают между собой Классификация гладких рациональных поверхностей над алгебраически за-
мкнутым полем получена в классических работах итальянских геометров начала 20 века все они изоморфны раздутиям проективной плоскости Р2 или рациональных линейчатых поверхностей Fn = PPi(0 0(n)), п ^ 0, п ф 1 С современной точки зрения, согласно программе минимальных моделей, всякое гладкое алгебраическое многообразие бирационально изоморфно либо минимальной модели, либо расслоению Мори1, слоем которого является многообразие Фано, то есть многообразие с обильным антиканоническим дивизором — Кх Проективная плоскость и поверхности Fn являются расслоениями Мори на двумерное и одномерные многообразия Фано, соответственно Минимальные модели рациональных поверхностей над совершенными полями были классифицированы В А Исковских2 В отличие от случая кривых, неизвестно, является ли условие наличия k-точки достаточным для k-унирациональности гладкой унирациональной поверхности Гипотетическим контрпримером считается поверхность Дель Пеццо степени один, имеющая точку над полем Q рациональных чисел Рациональность над к форм проективной плоскости, равно как и форм произвольных проективных пространств Р хорошо известна при условии наличия точки (теорема Севери-Брауэра)
Бирациональная геометрия трехмерных многообразий гораздо богаче бирациональной геометрии поверхностей В частности для них перестает выполняться утверждение теоремы Люрота В работе Исковских и Манина3 методом максимальных особенностей доказывается, что гладкая трехмерная гиперповерхность четвертой степени не является рациональной, в то время как еще Б Се-гре4 привел примеры гладких унирациональных квартик Ираком [Matl] К Matsuki Introduction to the Mon program, Springer, 2002, 478 pp 2[Iskl] Исковских В А Минимальные модели рациональных поверхностей над произвольными полями // Известия академии наук, серия математическая, 1979, том 43, No 1, 19-43
3[ИМ] Исковских В А , Мапин Ю И Трехмерные квартики и контрпримеры к проблеме Люрота // Мат Сборник, 1971, том 86, No 1, 140-166
4 [Seg] В Segre Variazione continua ed omotopia m geometna algebnca // Ann mat pura ed appl, Ser IV, L, 1960, 149-186
тически в то же время Клеменс и Гриффите5 методом промежуточного якобиана доказали нерациональность гладкой трехмерной кубики (унирациональность кубик над произвольными полями при условии наличия точки хорошо известна6) Другие примеры унира-циональных, но не рациональных трехмерных многообразий приводятся в работе Артина и Мамфорда7
С развитием метода максимальных особенностей были получены многочисленные примеры нерациональных многообразий Фано8 и, в частности, гиперповерхностей степени N в N, N > 3, а также различных многомерных полных пересечений9 Тем не менее, до сих пор не известно, является ли рациональной общая многомерная кубика До недавнего времени примеры рациональных кубик в PN, N > 3 были известны лишь для нечетных N В 2006 году М Мелла10 привел примеры рациональных кубик в FN для всех N >1
В случае с унирациональностью ситуация еще более сложная До сих пор неизвестно ни одного примера неунирационального многообразия Фано В частности, неизвестно, существует ли неуни-рациональная гладкая трехмерная квартика Все известные нам примеры гладких унирациональных многообразий, не являющихся унирациональными над алгебраически незамкнутым полем к, доставляют многообразия, не имеющие к-точек11
5[CG] Н Clemens, Р Griffiths The intermediate Jacobian of the cubic threefold // Annals of Mathematics 95, 1972, 73-100
6[Koll] J Kollar Umrationahty of cubic hypersurfaces, preprint, alg-geom/0005146 7[AM] M Artm, D Mumford Some elementary examples of unirational varieties which are not rational И Proc London Math Soc 25, 1972, 75-95
8 Cm [Isk2] Псковских В А Бирациональные автоморфизмы трехмерных алгебраических многообразий // в сб "Итоги науки и техники современные проблемы математики", т 12, М ВИНИТИ, 1979 , 159-236,
[IPu] Псковских В А , Пухликое А В Бирациональные автоморфизмы многомерных алгебраических многообразий // в сб "Итоги науки и техники современные проблемы математики", т 19, М ВИНИТИ, Москва 2001 , 5-139
9См [Pu] Puhhhkov A Birationally rigid Fano complete intersections // J Reme Angew Math , 2001, ho 541 , 55-79 10[Mel] Mella M Rational cubic hypersurfaces, unpublished
uCm [HT] J Hams, Yu Tschmkel Rational points on quartics // Duke Math Journal 104, 2000, 477-500,
[MT] Ю И Манип, M А Цфасман Рациональные многообразия алгебра, геометрия,
В работе [НМР]12 доказывается унирациональность произвольных гладких гиперповерхностей Нд С Р степени d для достаточно большого п Поскольку соответствующие оценки на число п далеки от оптимальных, представляет интерес разработка других способов доказательства унирациональности гиперповерхностей Метод, используемый в [НМР], был впервые предложен У Морином13, использовавшим его для доказательства унирациональности общей гиперповерхности На С Рп степени d для достаточно большого п Этот метод состоит в нахождении линейного пространства Lm С Hd некоторой положительной размерности т и рассмотрении семейства гиперповерхностей Hd-} С Lm+l, полученных пересечением всевозможных подпространств Lm+1 D Lm с Hd
В нескольких работах М Маркизио14 развивается другой метод доказательства унирациональности квартик, предложенный Б Се-гре в [Seg] Этот метод использует существование рациональной кривой на многообразии Фано прямых на квартике
Цель работы
Цель работы — исследование рациональности и унирациональности форм многомерных многообразий Фано (в частности, форм многомерных квартик, многообразий Сегре и трехмерных многообразий Фано) над алгебраически незамкнутыми полями
Структура и объем диссертации
