Содержание к диссертации
Введение
2 Основные понятия 14
2.1 Обозначения и соглашения 14
2.2 Особенности 15
2.3 Расслоения Мори 18
2.4 Разложение бирациональных отображений 19
2.5 Метод максимальных особенностей 23
2.6 Q-факториальность 24
3 Двойное накрытие квадрики 27
3.1 Формулировка основных результатов 27
3.2 Исключение центров максимальных особенностей: точки . 30
3.3 Исключение центров максимальных особенностей: кривые . 32
3.4 Соотношения 36
3.5 Вспомогательные утверждения о точках на поверхностях . 38
3.6 Q-факториальность 40
4 Бирациональные автоморфизмы трёхмерных квартик 45
4.1 Группа Віг(Х) 45
4.2 Вспомогательные утверждения 48
4.3 Центры максимальных особенностей 53
5 Q-факториальные трёхмерные квартики 65
5.1 Формулировка основного результата 65
5.2 Q-факториальность 67
5.3 Некоторые конструкции 73
6 Расслоения на поверхности Дель Пеццо степени 4 79
6.1 Мотивировка 79
6.2 Основные результаты 80
6.3 Определения, обозначения и формулировки 81
6.4 Вспомогательные утверждения 85
6.5 Доказательство теоремы 6.3.2 89
6.5.1 Случай Bs|Di| = 0 89
6.5.2 Случай Bs|Z>i| = У5 90
6.5.3 Случай Bs|Z?i| = У4 91
6.5.4 Случай Bs|A| = Y3 94
6.6 Приложение к расслоением на поверхности Дель Пеццо степени 4 96
Публикации по теме диссертации 100
- Разложение бирациональных отображений
- Исключение центров максимальных особенностей: точки .
- Вспомогательные утверждения о точках на поверхностях .
- Центры максимальных особенностей
Введение к работе
1.1 История вопроса
Результаты диссертации тесно примыкают к классическим вопросам рациональности алгебраических многообразий и вычисления их групп бирацио-нальных автоморфизмов. Первый вопрос является одним из наиболее естественных и фундаментальных в бирациональной геометрии. Для кривых он был полностью решён ещё в 19 веке: любая кривая (как, впрочем, и любое алгебраическое многообразие) имеет неособую модель, а любое бираци-ональное отображение между (полными) неособыми кривыми продолжается до изоморфизма; в частности, любая неособая рациональная кривая изоморфна проективной прямой Р1. Случай поверхностей уже существенно более разнообразен и содержателен, однако тоже был полностью изучен классиками. От любой неособой поверхности S можно перейти к её минимальной модели Smin, последовательно стягивая (—1)-кривые на S. При этом Smin также является неособой поверхностью и бирационально эквивалентна S. На Smin возможна одна из следующих ситуаций: либо канонический класс Ksmin численно эффективен (то есть имеет неотрицательное
пересечение со всеми эффективными кривыми), и тогда поверхность Smin (а следовательно, и S) заведомо нерациональна; либо существует кривая С С Smin, такая что CKSmin < 0. Заметим, что CKSmin ф -1 по определению минимальной поверхности. По формуле присоединения CKsmin ^ —3, и если CKsmin = —3, то можно доказать, что Smin — Р2 (в частности, S в этом случае рациональна). Наконец, если СК$тіп = —2, то можно проверить, что Smin обладает структурой расслоения над некоторой кривой В, причём С является слоем этого расслоения. Поверхность Smin в этом случае рациональна тогда и только тогда, когда рациональна кривая В (то есть когда В = Р1), и все такие рациональные поверхности можно представить в виде п = Ррі(0 0(п)), п ^ 0, п ф 1 (поверхности Fn, включая также не минимальную поверхность Fi, называют рациональными линейчатыми поверхностями; также употребительно название поверхности Хирцебруха). Историю второго вопроса можно начать отсчитывать с 1871
года, когда М. Нётер (см. [44]) впервые доказал теорему о структуре группы Bir(P2) бирациональных автоморфизмов проективной плоскости Р2 над полем комплексных чисел (называемой также группой Кремоны). Оказалось, что Bir(P2) порождена подгруппой Aut(P2) = PGL^C) бирегуляр-ных автоморфизмов плоскости и одной бирациональной инволюцией, так называемым стандартным квадратичным преобразованием т, действие которого в некоторой однородной системе координат можно записать в виде
t(xq : xi : х2) = (х\х2 : xQx2 : х0х{).
Идея доказательства состояла в том, чтобы, выбрав бирациональное отображение х ' Р2 —* ^25 изучить особенности собственного прообраза
линейной системы прямых на Р2, то есть (неполной) линейной системы Л = х-1|0(1)|. Если х не является изоморфизмом, то Н имеет степень п = п(х) = п(Н) > 2, а также имеет базисные точки pi,... ,pk (среди которых, возможно, есть бесконечно близкие), кратности Н в которых равны vi,...,Vk соответственно; можно считать, что v\ ^ vi ^ ... ^ щ. Так, например, для описанного выше отображения т степень равна 2, и соответствующая линейная система имеет базисные точки (1 : 0 : 0), (0 : 1 : 0) и (0 : 0 : 1), причём все кратности равны 1. Если С\,С2 Є Н — общие кривые, то, так как вне базисного множества С\ и Сг трансверсально пересекаются в одной точке (ибо этим свойством обладают прямые на Р2),
индекс пересечения С\ и Сг равен
к П2 = СіС2=1 + 5>2. г=1
Так как кривые из системы Н рациональны и неособы вне точек pi,...,pk, то
(n-l)(n- 2) = 5^(1/,--1).
г=1
Отсюда следует, что
Ь>1 + ь>2 Л-vz > п. (1.1.1)
Если точки pi, р2 и рз лежат на Р2 (то есть не являются бесконечно близкими точками), то можно рассмотреть композицию х со стандартным квадратичным преобразованием т, связанным с этими тремя точками (заметим, что все такие преобразования сопряжены друг другу при помощи элементов подгруппы Aut(P2)):
х' = Хот:Р2— *Р2.
Заметим, что степень п(х') равна количеству точек пересечения вне точек Pi,P2,Pz общей кривой С Є Н с коникой Q, проходящей через pi, Р2 и рз, то есть
п(х') = 2п(х) -vi-v2-v3< п(х).
Таким образом, степень п(х') меньше степени п(х), и процесс можно продолжить но индукции, разложив % в композицию стандартных квадратичных преобразований.
К сожалению, на этом доказательство нельзя закончить — среди базисных точек системы Н могут быть бесконечно близкие. Эта трудность не была преодолена в работе [44] и была устранена лишь в работах Кастель-нуово и Александера; с другой стороны, приведённый выше набросок доказательства демонстрирует некоторые идеи, применимые также и в более сложных случаях, в частности, в высших размерностях.
В размерности 3 теория становится значительно богаче (отметим, например, что в размерности 3 перестаёт быть верной привычная в размерности 2 теорема Люрота об эквивалентности рациональности и унирациональности — см. [8]). Первопроходцем в области трёхмерной бирациональ-ной геометрии, возможно, следует считать Фано (см., например, [35], [36], [37], [38]). Он исследовал трёхмерные многообразия, кривые-сечения которых являются каноническими кривыми; в частности, антиканонический дивизор на таких многообразиях обилен (сейчас многообразия с обильным антиканоническим дивизором принято называть многообразиями Фано). Им были предсказаны многие глубокие результаты, которые удалось доказать на удовлетворительном уровне строгости лишь через много лет после появления его работ.
В размерности 3 становится крайне сложно проверять нерациональность различных многообразий. Первые существенные успехи в этом направлении были достигнуты в работах Исковских и Манина [8], Клеменса и Гриффитса [27] и Артина и Мамфорда [18]. В [27] был развит метод промежуточного якобиана, а в [8] — заложены основы того, что впоследствии стало называться методом максимальных особенностей. Впоследствии эти методы широко применялись к вопросам рациональности трёхмерных многообразий; во втором случае это стало возможным во многом благодаря появлению программы минимальных моделей1 в работах С. Мори (современное введение в эту теорию можно найти в [42]).
Метод максимальных особенностей можно рассматривать как один из способов доказательства нерациональности многообразий. На этом пути были доказаны нерациональность неособой трёхмерной квартики (см. [8]), а также некоторых других неособых трёхмерных многообразий Фано (см. [7] и [9]). Этим методом также доказана бирациональная сверхжёсткость2 (а следовательно, и нерациональность) гиперповерхностей степени N bn (см., например, [39]), а также разнообразных многомерных двойных накрытий и полных пересечений (см. [45]). В частности, метод максимальных особенностей остаётся одним из немногих (ср. [40]) способов доказательства нерациональности многообразий высших размерностей. (Так, например, теория промежуточного якобиана, возможно, более элегантная и эффективная в случае трёхмерных многообразий, на высшие размерности пока не обобщается.)
С другой стороны, метод максимальных особенностей применим к вы-
*В дальнейшем мы часто будем пользоваться сокращением ПММ. Определения см. в главе 2.
числению групп бирациональных автоморфизмов (и, опять же, к доказательству бирациональной жёсткости, и, как следствие, нерациональности) некоторых особых трёхмерных многообразий Фано. Достаточно хорошо изучены гиперповерхности во взвешенных проективных пространствах, удовлетворяющие некоторым условиям общности (см. [31]). С другой стороны, при изучении с этой точки зрения необщих многообразий часто ограничиваются нодальными многообразиями (об эффектах, связанных с более сложными особенностями, см., например, [30]). Отметим, что появление даже обыкновенных двойных особенностей как правило увеличивает группу бирациональных автоморфизмов многообразия. Так, например, неособая квартика бирационально сверхжёстка (см. [8]), в то время как наличие уже одной особенности нарушает сверхжёсткость (хотя и не нарушает бирациональной жёсткости), добавляя к группе бирациональных автоморфизмов 25 независимых образующих (см. [13]). Тем не менее, для многообразий малых степеней получено довольно много результатов в этом направлении: в [7] и [9] доказана бирациональная жёсткость и вычислены группы бирациональных автоморфизмов неособых трёхмерных многообразий Фано степеней 2, 4 и 6; в [24] доказана бирациональная сверхжёсткость Q-факториального многообразия Фано степени 2 с любым количеством обыкновенных двойных точек; в [13] разобран случай кварти-ки, а в [2] — случай двойного накрытия квадрики с ветвлением в дивизоре степени 4 с одной обыкновенной двойной точкой; в [43] доказана бирациональная жёсткость и найдены образующие группы бирациональных автоморфизмов Q-факториальной трёхмерной квартики с любым количеством
обыкновенных двойных точек .
1.2 Основные результаты диссертации
Диссертация в основном посвящена различным вопросам, связанным с би-рациональной геометрией трёхмерных многообразий Фано степени 4 с простейшими особенностями.
Общее трёхмерное многообразие Фано X (антиканонической) степени 4 является гиперповерхностью в Р4. С другой стороны, квартику X можно продеформировать в многообразие X', являющееся двойным накрытием трёхмерной квадрики с ветвлением в сечении дивизором степени 4; отметим, что общее многообразие X' является гладким, однако не вкладывается в Р4 в качестве неособой гиперповерхности. В главе 3 исследуется такая деформация X', имеющая лишь обыкновенные двойные особенности. Доказывается, что при условии Q-факториальности многообразие X' бирационально жёстко; вычисляется группа Bir(X'), которая оказывается полупрямым произведением своей подгруппы Aut(X') (которая для общего X' порождена инволюцией двойного накрытия) и подгруппы, свободно порождённой некоторыми явно выписанными бирациональными инволюциями.
Теорема (см. теорему 3.1.1). Предположим, что многообразие X' Q-факториалъно и имеет лишь обыкновенные двойные особенности. Тогда
Многообразие X' бирационально жёстко.
Пусть В С X' — прямая (то есть кривая антиканонической степени 1), не содержащаяся в дивизоре ветвления. Тогда с В связана би-
3Более подробные обзоры можно найти, например, в [46J или [16]
рациональная инволюция тв (явное описание см. в примере 3.3.2); эти инволюции вместе с подгруппой Aut(X') порождают группу Bir(X').
3. Инволюции Тв не связаны никакими соотношениями в группе Bir(Jf') (кроме, разумеется, тривиальных соотношений т\ = I). Другими словами, имеет место точная последовательность
1 — F{{tb}) — Bir(X') — AutpO — 1,
где F({tb}) обозначает свободную группу, порождённую инволюциями Тв для всех прямых, не содержащихся в дивизоре ветвления.
Группа бирациональных автоморфизмов трёхмерной нодальной квар-тики X устроена значительно сложнее. В работе [43] выписаны образующие группы Віг(Х). В отличие от группы Віт(Х'), в Bir(X) естественные образующие связаны некоторыми соотношениями (в случае, когда на X достаточно много особых точек), см. примеры 4.1.7 и 4.1.8. В главе 4 доказывается следующий результат:
Предложение (см. предложение 4.1.9). Пусть на X существует не меньше двух центров максимальных особенностей. Тогда их ровно два, и эти центры являются либо двумя точками, соединёнными прямой, лежащей на X, либо точкой и прямой, содержащей ещё ровно одну особую точку.
Это позволяет уточнить основной результат работы [43]:
Следствие (см. следствие 4.1.10). Группа Bir(X) порождена своей подгруппой Aut(X), бирациональными инволюциями тр для всех особых точек Р Є X, через которые проходит конечное число прямых, лежащих на
X, и бирационалъными инволюциями ті для всех прямых L С X, пересекающих конечное число прямых, лежащих на X. Все соотношения между образующими следуют из соотношений, описанных в примерах J^.l.l и 4-1.8.
Поскольку все конструкции метода максимальных особенностей действуют только при условии Q-факториальности, представляется интересным вопрос о том, при каких условиях на особенности данное многообразие Q-факториально. В главе 3 находится такое (достаточное) условие для описанного выше многообразия X': оказывается, X' обязательно Q-факториально, если количество его особых точек меньше 12, причём эта оценка точна.
Предложение (см. предложение 3.1.5). Если число особых точек X' не превосходит 11, то X' Q-факториально. С другой стороны, существуют He-Q-факториалъные многообразия такого типа с 12 особыми точками.
В главе 5 рассматривается аналогичная задача для квартик; доказывается, что если квартика X не содержит плоскостей и имеет s обыкновенных двойных особенностей, то X Q-факториальна при s < 12; если X не содержит плоскостей и s = 12, то X также Q-факториальна за исключением случая, когда X содержит двумерную квадрику.
Теорема (см. теорему 5.1.3). Пусть нодальная квартика X не содержит плоскостей и имеет не более 11 особых точек. Тогда X Q-факториальна. Если X имеет 12 особых точек, то X Q-факториальна, за исключением случая, когда X содержит квадрику.
Это утверждение является частным случаем гипотезы Ciliberto и di Gennaro о Q-факториальности нодальных гиперповерхностей в Р4.
Квартика X, содержащая двумерную квадрику, обладает рядом замечательных геометрических свойств. В главу 5 также помещены некоторые конструкции, связанные с этим многообразием.
В главе 6 рассматривается один вопрос, связанный с квартикой, содержащей (двумерное) пересечение двух квадрик. Такое многообразие обладает структурой расслоения на поверхности Дель Пеццо степени 4. Известна теорема В. А. Алексеева, дающая условие рациональности таких расслоений в терминах топологической эйлеровой характеристики х во всех случаях, когда х Ф —4. В главе б классифицируются все такие расслоения с X = — 4 и проверяется, что они рациональны; другими словами, доказывается следующее уточнение теоремы Алексеева.
Теорема (см. теорему 6.2.1). Всякое стандартное расслоение на поверхности Дель Пеццо степени 4 над Р1 с топологической эйлеровой характеристикой —4 рационально.
Результаты глав 3 и 4 содержатся в работе (А2) (см. приложение А), результаты главы 5 — в (A3), результаты главы 6 — в (А1).
Автор выражает глубокую благодарность своим научным руководителям В.А.Исковских и Ю.Г.Прохорову за постоянное внимание к его работе, И. А. Чельцову за многочисленные советы на всех этапах подготовки диссертации, а также С. С. Галкину, М. М. Гриненко, Н. Ф. Заку, Ф. Л. Заку, В. В. Пржиялковскому, Д. А. Степанову, A. Corti, В. Fu и F. Russo за полезные обсуждения.
Разложение бирациональных отображений
Нас будет интересовать следующий общий вопрос. Пусть дано расслоение Мори ф : X — S. Каковы всевозможные расслоения Мори, бирационально эквивалентные X? (Заметим, что сюда включается и вопрос рациональности, так как ф$ : Рп — pt является расслоением Мори.) Разумеется, в столь общей постановке явного ответа не существует. Однако имеется общий подход к этой проблеме (называемый программой Саркисова и развитый в основном в работах М. Рида и А. Корти — см., например, [28], [29] или [42, Chapter 13] — и в некотором смысле обобщающий идеи из [44] и [8]), философия которого состоит в том, что любое такое отображение \ можно разложить (но модулю ПММ) в последовательность элементарных отображений (так называемых линков типа I, II, III и IV). В каждой из этих диаграмм отображения ф : X — S и ф : X — S — расслоения Мори, отображения р : Z — X и р : Z — Xі — экстремальные дивизориальные стягивания, отображение 7 является последовательностью лог-флипов (быть может, тривиальной), а,ф яф — сюръективные морфизмы со связными слоями. Особенности многообразий X, X , Z и Z всегда предполагаются терминальными. Ниже мы кратко опишем основные этапы разложения. Мы будем предполагать, что dimX = 3, так как в этом случае корректность приводимых ниже конструкций доказана в полной общности.
Пусть дано бирациональное отображение между двумя расслоениями Мори. Рассмотрим очень обильную линейную систему Н на X , и положим % = x lW. Заметим, что система Н не имеет базисных компонент, хотя как правило имеет непустое базисное множество и не является полной. Пусть [І Є Q — такое число, что \іКх + Н = 0/5. Пусть с = с(Х,Н), А = К В случае, если А /z, то есть если особенности пары (X, Н) не канонические, определим также инвариант е как количество исключительных дивизоров с нулевыми дискрепантностями относительно пары (X, сН) (в случае А [І можно положить е = 0). Тройка deg(x) = (//, А,е) называется степенью х- Дальнейшие построения основаны на следующей важной теореме, обычно называемой неравенством Нётера-Фано (ввиду того, что она является обобщением неравенства 1.1.1). Теорема 2.4.2 (см. [7], [29], [42] или [46]). Если х we является изоморфизмом, то возможен один из следующих случаев: 1. дивизор Кх + -Н не численно эффективен, 2. пара (X, -Н) имеет неканонические особенности. Предположим, что х не является изоморфизмом, и реализуется первая альтернатива теоремы 2.4.2. Определение 2.4.3. Максимальной особенностью называется исключительный дивизор Е некоторого экстремального (в смысле обычной ПММ) дивизориального стягивания / : X —» X, такой что Кх + f lcH = f (Kx + сН) (заметим, что при условии А /х дискрепантность Е относительно пары (X, -Н) отрицательна). Подмногообразие СЕ = f(E) называется центром максимальных особенностей, а морфизм / — максимальным раздутием. Выполнено следующее утверждение.
Теорема 2.4.4 (см., например, [28]). Если (X, -Н) имеет неканонические особенности, то существует максимальное раздутие р : Z — X. Пусть Hz = p lTi. Применим к Z относительную лог-программу минимальных моделей над S с границей cHz- После нескольких лог-флипов процесс закончится либо дивизориальным стягиванием, либо стягиванием расслоенного типа; легко видеть, что в результате мы получим линк ф\ : X - Х\ типа I или II; подробности можно найти в [28] или в [42]. (Именно в этом месте важно предположение dimX = 3 — в размерности 3 установлена конечность цепочек лог-флипов (см., например, [42]), что гарантирует корректность данной конструкции.) Предположим теперь, что реализуется вторая альтернатива теоремы 2.4.2. Тогда существует стягивание a : S — Т, p(S/T) = 1, и относительная лог-программа минимальных моделей над Т с границей -Н приводит к линку ф\ : X -- Х\ типа III или IV так же, как и выше. В любом случае мы получаем отображение ф\ : X —» Х\ на некоторое расслоение Мори X. Пусть Х\ — Ф\1 Х %i 4 X . Можно доказать, что deg(x ) deg(x) в смысле лексикографического порядка (см., например, [42]). Кроме того, во множестве всевозможных троек (/2, А, е), которые могут быть степенями бирациональных отображений, нет бесконечных убывающих цепочек (см., например, [28] или [42]), так что описанный процесс рано или поздно завершится разложением отображения х в композицию элементарных. Описанную процедуру можно применять для нахождения всех расслоений Мори, бирационально эквивалентных данному. Наиболее простые ситуации, которые могут встретиться на этом пути, описываются следующими определениями. Определение 2.4.5. Говорят, что расслоение Мори ф : X — S бирационально жёстко, если для любого бирационального отображения X X — X на другое расслоение Мори ф : X — S существует би-рациональный автоморфизм 7 : X -- X и бирациональное отображение a : S —+ 5", включающиеся в коммутативную диаграмму
Исключение центров максимальных особенностей: точки .
Отсутствие точек, являющихся центрами максимальных особенностей, легко следует из достаточно стандартных утверждений. Из теоремы 2.5.1 моментально вытекает Следствие 3.2.1. Гладкая точка не может быть центром максимальных особенностей на многообразии X. Доказательство. Действительно, если гладкая точка х является центром максимальных особенностей, то для общих А, 2 Є 7Ї, имеем 4/і2 тиІігДД, KxDiD2 = tf degX = V, противоречие. Для исключения особых точек воспользуемся теоремой 2.5.2. Следствие 3.2.2. Особая точка не может быть центром максимальных особенностей на многообразии X. Доказательство. Предположим, что особая точка х Є X является центром максимальных особенностей; по условию х является обыкновенной двойной точкой. Пусть д : X —» X — раздутие точки х с исключительным дивизором Е, L С Q — общая прямая, проходящая через у?_.к-х(ж), U = ірГ}к ,(L), U — собственный прообраз кривой V при отображении д. Заметим, что 11 особа в х, и EU = 2. Пусть D Є -Н — общий дивизор, g {fiD) = g l(iiD) + vE. По теореме 2.5.2 выполнено неравенство v [і.
Следовательно, противоречие. Замечание 3.2.3. Аналогичные утверждения доказывались в [2], однако ссылки на 4п2-неравенство и теорему 2.5.2 позволяют сильно упростить доказательства. Согласно утверждению 2.5.3, степень максимальной кривой на многообразии X не превышает 3. Для работы с кривыми на X нам понадобится следующее несложное утверждение (напомним, что степени всех кривых вычисляются относительно антиканонической линейной системы). Лемма 3.3.1 (см., например, [7]). Пусть Z С X — кривая, не содержащаяся в дивизоре ветвления, degZ 3, /S _#x(Z) = Y С Q. Тогда имеет место одна из следующих возможностей. 1. degZ =\,Y — прямая, касающаяся S в двух (возможно, совпадающих) точках (возможно также, что в одной или в обеих этих точках Y просто проходит через особенности S), ip\_Kx\\z Z — Y — изоморфизм, rfKxl(Y) = Zu6(Z). 2. a) degZ = 2, Z — гладкая кривая, pa{Z) = 1, Y — прямая, пересекающая S в четырёх различных точках. б) degZ = 2, Z — кривая с одной двойной точкой, pa{Z) = 1, Y — прямая, касающаяся S в одной точке. в) deg Z = 2, Z — гладкая кривая, Y — коника, касающаяся S в четы рёх точках (некоторые из которых, возможно, совпадают), отображе ние _#XL : Z —» Y является изоморфизмом, рТ}к , = Z U S(Z). 3. deg Z = 3, Y — скрученная кубика, /?_#xL : Z — Y — изоморфизм. Опишем бирациональную инволюцию, связанную с прямой на X, не содержащейся в дивизоре ветвления. Пример 3.3.2 (см. [7], [2]). Пусть В С X — прямая, не содержащаяся в дивизоре ветвления (такая, как в пункте 1 леммы 3.3.1), В — 5(B). Линейная система — Кх — В — В \ задаёт рациональное отображение ф : X — Р2, общим слоем которого является эллиптическая кривая — прообраз общей прямой на Q, пересекающей прямую ір\_кх\(В).
Это отображение можно регуляризовать, перейдя к многообразию X, которое получается из X раздутием сначала кривой В, а затем собственного прообраза кривой В . При этом прообраз Е кривой В является сечением эллиптического расслоения ф : X — Р2. Отражение относительно этого сечения даёт бирегулярную инволюцию на открытой части X, продолжающуюся до бирегулярной инволюции X и опускающуюся до бирациональной инволюции X. Действие этой бирациональной инволюции на Ріс(Х) вычислено в [7]. Отметим, что в отличие от инволюций особой квартики инволюция тв строится одним и тем же способом, независимо от того, есть ли на В особые точки многообразия X и сколько их. С точки зрения программы Саркисова описанная выше инволюция является линком типа II, с которого начинается любое разложение отображения х, если только кривая В является центром максимальных особенностей для Н. Теперь мы докажем, что никакие другие кривые, кроме прямых, не содержащихся в дивизоре ветвления, не могут являться центрами максимальных особенностей на X. Так как ни гладкие, ни особые точки X не являются центрами максимальных особенностей (см. следствие 3.2.1 и следствие 3.2.2), то согласно сказанному в главе 2 из этого будет следовать, что не существует бирациональных отображений X на другие расслоения Мори, и что любое рациональное отображение х X — X представляется в виде композиции отображений, описанных в примере 3.3.2. Лемма 3.3.3. Пусть Z С X — кривая, не содержащаяся в дивизоре ветвления, deg Z 1. Тогда Z не является центром максимальных особенностей. Доказательство. Пусть кратность Н в кривой Z равна v. Предположим, что v /і. По утверждению 2.5.3 выполнено неравенство deg Z deg X = 4. Рассмотрим несколько возможностей для кривой Z, приходя в каждой из них к противоречию (нумерация случаев соответствует нумерации в лемме 3.3.1). Всюду далее Н обозначает элемент антиканонической линейной системы.
Вспомогательные утверждения о точках на поверхностях .
В этом разделе собраны вспомогательные утверждения, которые будут использоваться в разделе 3.6 и главе 5 при исследовании вопросов Q-факториальности. Нам понадобится несколько следствий из теоремы 2.6.3. Следствие 3.5.1. Пусть pi,.. .,рю, q Є FQ = Р1 х Р1 таковы, что никакие 4 из точек Pi,.. .,ріо не лежат на кривой бистепени (1,0) или (0,1); и никакие 7 не лежат на кривой бистепени (1,1). Тогда найдётся дивизор D бистепени (3,3), проходящий через pi,... ,pw и не проходящий через q. Доказательство. В обозначениях теоремы 2.6.3 имеем р = 35, h = 0, D2 = 18, так что условия (і) и (и) выполнены. Условие (ііі) требует, чтобы на кривой С бистепени (х,у) Ф (0,0), 0 х 5, 0 у 2, лежало не более точек из р\,... ,рю; это условие получается для каждой из пар (х, у) непосредственно из сделанных предположений. Следствие 3.5.2. Пусть pi,... ,рю, q Є F2 таковы, что ни одна из точек Pi,- Р10 не лежит на исключительном сечении, никакие 4 не лежат на слое, и никакие 7 не лежат на кривой бистепени (1,2). Тогда найдётся дивизор D бистепени (3,6), проходящий через pi,... ,рю и не проходящий через q. Доказательство.
В обозначениях теоремы 2.6.3 имеем р = 35, h = О, D2 = 18, откуда следуют условия (і) и (іі). Условие (ііі), требующее, чтобы на кривой С бистепени (х, у) ф (О,0), 0 х 5, 0 у 5, лежало не более 2х2 + Ьу — 2ху — 2 точек из pi,... ,рю, проверяется непосредственно для каждой пары (х,у) (отметим, что для (ж, у) = (1,0) условие (ііі) означает, что ни одна из точек рі не лежит на исключительном сечении). D Следствие 3.5.3. Пустьpi,...,P8,qE2 таковы, что ни одна из точек Рі,...,Р8 не лежит на исключительном сечении, никакие 3 не лежат на слое, и никакие 6 не лежат на кривой бистепени (1,2). Тогда найдётся дивизор D бистепени (2,5), проходящий черезpi,...,p$ и не проходящий через q. Доказательство. В обозначениях теоремы 2.6.3 имеем р = 29, h = 0, D2 = 12, откуда следуют условия (і) и (іі). Условие (ііі), требующее, чтобы на кривой С бистепени (х,у) Ф (0,0), 0 х 4, 0 у 4, лежало не более 2х2+х+4у—2ху—2 точек из pi,...,р, проверяется непосредственно для каждой пары (х, у). D Следствие 3.5.4. Пусть Y С Р3 — неприводимая квадрика, и точки Рь чРю, q Є Y таковы, что никакие 4 из точек Рі,....,ріо не лежат на прямой, и никакие 7 не лежат на конике. Тогда найдётся дивизор D Є I (9рз(3)у ; проходящий через pi,... ,рю и не проходящий через q. Доказательство. Если Y — гладкая квадрика, то утверждение вытекает из следствия 3.5.1. Если Y — конус над гладкой коникой, причём никакая из точек pi, q не является его вершиной, то утверждение получается применением следствия 3.5.2 к прообразам р±, q при проекции g : 2 —» Y. Если q является вершиной конуса, то применим следствие 3.5.2 к точкам g l{jpi) и произвольной точке q Є s с2 , это даст дивизор D 3s+6/, проходящий через g x{pi) и не содержащий s, а потому и не пересекающийся с s, так как Ds = 0. Дивизор D = g D — искомый. Осталось рассмотреть случай, когда какая-то из точек pi, например, рю, является вершиной конуса Y. Так как не все точки pi лежат на одной прямой, можно выбрать такую образующую конуса /, что q /, и одна из точек 1,..., 9 лежит на /. Более того, если существует коника, содержащая 6 точек изрі,... ,р9 т0 такая коника единственна, и можно выбрать I так, чтобы на неё попала одна из этих б точек (пусть это, например, рд). Заметим, что никакие 3 из точек р\,... ,р& не лежат на прямой, и никакие 6 не лежат на конике.
Применив следствие 3.5.3 к точкам g l{jp\),... ,Р-1(Р8) 0_1(?) найдём дивизор D 2s + 5/, проходящий через точки g l(pi),..., д 1{р%) и не проходящий через g l(q)- Дивизор D = g D U / — искомый. В этом разделе доказывается предложение 3.1.5. Приведём сначала пример He-Q-факториального многообразия X. где fi — (общая) форма степени і. Тогда прообраз при отображении р\-кх\ дивизора на Q, заданного уравнением /i = 0, распадается в объединение двух дивизоров степени 2, что даёт нефакториальность (а следовательно, He-Q-факториальность, так как для трёхмерных многообразий с обыкновенными двойными особенностями Q-факториальность эквивалентна фак-ториальности) многообразия X. Многообразие X имеет 12 особых точек — это прообразы 12 точек пересечения гиперповерхностей /і = 0, /2 = 0, /з = 0 и Q в Р4. Заметим, что это многообразие можно описать и другим способом. Рассмотрим конус К С Р5 с вершиной Р над гладкой трёхмерной квадрикой Q С Р4 и общую кубику С, проходящую через Р. Пусть X = К П С, 7г : X --- Q — проекция X из точки Р. Бирациональное отображение я7 даёт бирациональный морфизм 7г: X — Q, где X — раздутие точки Р, а он, в свою очередь, раскладывается в композицию X — X — Q: где 0 — стягивание прообразов 12 прямых, лежащих на X и проходящих через точку Р. Многообразие X имеет 12 обыкновенных двойных особенностей; так как ф — малое стягивание, то X не Q-факториально. Заметим также, что последнее описание является вырождением примера [23, Example 1.21] (см. также [43, Example 6]), связанного с квартикой с 12 особыми точками. Пусть теперь дивизор S особ в точках pi,...,ps, s 12. Для многообразий с обыкновенными двойными особенностями Q-факториальность равносильна факториальности. Для трёхмерных многообразий Фано факториальность эквивалентна топологическому условию rk#2(X,Z) = ikHA(X,Z) (в нашем случае vkH2(X,Z) = р{Х) = 1). Таким образом, для доказательства Q-факториальности многообразия X достаточно проверить, что для малого разрешения h : X — X выполнено р(Х) = 5 + 1. Для этого достаточно проверить, что, в терминологии работы [32], дефект многообразия X равен нулю (см. доказательство теоремы 2 в [32], а также [24]). Равенство нулю дефекта, в свою очередь, следует из того, что особые точки pi,...,ps накладывают независимые условия на гиперповерхности степени 3 в Р4, то есть для любой точки Pi, 1 і s, найдётся кубическая гиперповерхность Д С Р4, такая что pi . Di, и pj Є Di при j ф і. Оставшаяся часть раздела посвящена проверке последнего условия. Можно считать, что s = 11; для дальнейшего нам понадобятся две леммы о расположении точек р\,... ,рц.
Центры максимальных особенностей
Заметим, что на прямой L частные производные левой части уравнения 4.2.5 по хо, х\ и х2 обращаются в нуль тождественно, так что множество L П SingH совпадает с множеством нулей ограничения многочлена (?з на L. Кроме того, многочлен ( не обращается в нуль тождественно на L, так как в противном случае поверхность Я была бы особа вдоль L.
Отсюда следует второе утверждение леммы. Для доказательства третьего утверждения рассмотрим точку Р Є V. Можно считать, что Р = (1:0:0:0:0). Согласно первому утверждению леммы на для каждой точки Р Є \Singy можно выбрать гиперплоское сечение, неособое в Р \ так как гиперплоское сечение Я выбирается общим, то можно считать, что поверхность Я неособа во всех точках Р\ для которых Р Є (ЬГ\С) \Singy, то есть что Р не содержится в LOG, и, следовательно, многочлен F не представляется в виде F — X\F\ + x2F2. Так как многочлен ( не обращается в нуль тождественно на L, то ( не представляется в виде ( = X2G32 + з зз- Выберем аффинную окрестность V точки Р; пусть х, у, z — координаты в V, соответствующие (однородным) координатам xi,X2,x%. Таким образом, поверхность Н в окрестности точки Р задаётся уравнением где ordoF 1, ordoG3 2, сх, су и с2 — константы, причём сх 0. Легко видеть, что уравнение Цель данного раздела — доказать предложение 4.1.9. Лемма 4.3.1. Если точки Р\ и Р являются центрами максимальных особенностей, то прямая L = (Р\,Р2) содержится в X. Доказательство. Предположим, что L I. Пусть Н — общий элемент системы \Н — Р\ — Pi\. Тогда Н не содержит базисных кривых Н, и для общих элементов Di,D2 Є Н локальный индекс пересечения (D\D2H )pi 2/л2 по теореме 2.5.2. Таким образом, противоречие. Лемма 4.3.2. Если точки Р\, Р2 и Рз являются центрами максимальных особенностей, то они не коллинеарны. Доказательство. Предположим противное. По лемме 4.3.1 прямая L = (Pi, Р2, Рз) содержится в X. Пусть П — общая двумерная плоскость, проходящая через L, и Х\и = L U С. Так как С . BsH, то по теореме 2.5.2 для общего D ЄН противоречие. Пусть f : Н - Н — разрешение особенностей поверхности Н с исключительными дивизорами эти кратности равны /л. Доказательство.
Предположим сначала, что тиИьН /І. Тогда Кроме того, если multiW /і, то L является центром максимальных особенностей, и по теореме І=І t=i Тогда а\ fi при всех і и і; более того, для всех Д Є V \V и всех 1 і ТІ выполнено а\ /і. Пусть П — общая плоскость, содержащаяся в пространстве (Н) Р3 и проходящая через L, и X\u = L U С. Тогда degC = 3, и С f_ BsH. Оценим индекс пересечения общего дивизора D Є Н с С на Я. Пусть Р Є С П L. Тогда локальный индекс пересечения (Z) С)р /І, если Р V (независимо от того, особа точка Р на Я или нет), и (Z) С)р /г, если Р Є V. Так как в Pi,..., Рп поверхность Я имеет двойные особенности, и п 2, то Предположим теперь, что для некоторого к, 1 к г, выполнено mu\tpkH [і. Тогда mu\tpkH , и противоречие достигается аналогичным образом с учётом того, что кривая С должна проходить через точку Следующее утверждение будет одним из основных инструментов, с помощью которых будут исключаться конфигурации центров максимальных особенностей. Лемма 4.3.7. Пусть прямые Сі,...,Ск С X, О к 4, и точки Рі,...,Рі Є SingX, I 0, лежат в плоскости По; Х\и = d\C\ + dkCk + ... + dmCm, т 4, и П0 П SingX = {Pi,..., Pi, Pi+i,..., Pn}-Пусть H — общее гиперплоское сечение, проходящее через По, Sing# = {Pi,..., Рп, Pn+\i ---, Pr}, r -n (неравенство г n возможно только если в пересечении ХППо есть кратные компоненты — см. лемму 4- -4)-Пусть 7Г : X — X — последовательность раздутий с центрами, лежащими над точками Р\,...,РГ, такая что ограничение 7Г отображения тг на собственный прообраз Н поверхности Н является минимальным разрешением Н. Пусть Е\ — исключительные дивизоры отображения it, it(Ej) = Pi, 1 г г, 1 t ТІ; Е\ — исключительные дивизоры отображения і:, іг(Щ) = Pi, 1 і г, 1 t Т;; Cj — собственные прообразы кривых Cj, 1 j т.
