Геометрия симметрических тензорных полей на римановом многообразии Родионова Марина Владимировна

Содержание к диссертации

Введение

1 Фундаментальные дифференциальные операторы на симметрических тензорных полях 22

1 Обозначения и определения 22

2 Фундаментальные дифференциальные операторы первого порядка на симметрических тензорных полях 33

3 Фундаментальные дифференциальные операторы первого порядка на дифференциальных формах 50

2 Риманова геометрия тензоров Киллинга 62

1 Собственные функции тензоров Киллинга 62

2 Собственные функции тензоров Киллинга-Яно . 67

3 Тензоры Киллинга-Яно пониженного ранга 68

4 Моделирование тензора Киллинга с помощью проективной иммерсии 72

3 Обобщённо рекуррентное симметрическое тензорное поле 78

1 Понятие обобщённо рекуррентного симметрического тензорного поля на римановом многообразии 78

2 Обобщённо рекуррентное симметрическое тензорное поле на римановом многообразии знакоопределённой секционной кривизны 80

3 Обобщённо рекуррентное и обобщённо конциркулярно рекуррентное римановы многообразия 82

4 Обобщённо рекуррентное тензорное поле в евклидовом пространстве 84

5 Одно применение теории обобщённо рекуррентных симметрических тензорных полей 87

4 Геометрия гармонических симметрических тензоров 90

1 Гармонические симметрические тензоры на римановом многообразии 90

2 Теорема исчезновения для гармонических симметрических тензоров 94

3 Инфинитезимальные гармонические преобразования риманова многообразия 98

Литература 105

• Фундаментальные дифференциальные операторы первого порядка на симметрических тензорных полях
• Фундаментальные дифференциальные операторы первого порядка на дифференциальных формах
• Обобщённо рекуррентное симметрическое тензорное поле на римановом многообразии знакоопределённой секционной кривизны
• Инфинитезимальные гармонические преобразования риманова многообразия

Введение к работе

Диссертационная работа посвящена геометрии симметрических тензорных полей на римановых многообразиях. Теория симметрических тензорных полей развивалась параллельно с теорией дифференциальных форм, и ее результаты представлены в виде отдельных параграфов или разделов в целом ряде монографий (см. например, [3]; [4]; [23]; [34]; [40] и др.). Несмотря на это данная теория имеет более скромные позиции по сравнению с теорией дифференциальных форм, без изложения которой не обходится ни одна монография и даже учебник по современной дифференциальной геометрии. Достаточно напомнить такие классические разделы дифференциальной геометрии как когомологии де Рама, гармонические формы и теория Ходжа. Чего стоит один только метод внешних дифференциальных форм Э. Картана и его современная модификация, принадлежащая Г.Ф. Лаптеву, или техника С. Бохнера, которая первоначально возникла как аппарат по изучению геометрии дифференциальных форм в целом (см. [92]). Скажем больше: почти все известные в современной геометрии структуры на дифференцируемых многообразиях также связаны с дифференциальными формами (см., например, [11]; [14], стр. 139, 142, 345-349). Не говоря уже о физических приложениях, которые начинаются с исследований уравнений Максвелла, описываемых в терминах дифференциальных 2-форм, и заканчиваются современными результатами по построению операторов симметрии уравнений Дирака на основе киллинговых и конформно киллинговых дифференциальных форм (см., например, [45]).

Свидетельством некоторой завершенности теории служит также попытка проведения классификации дифференциальных форм на ри-мановом многообразии, которая опиралась на теорию дифференциальных операторов (см. [31]; [85]).

Если же обратиться к полям симметрических тензоров, то их теория не имеет подобного размаха. Наиболее изученными из них являются два: киллинговое и кодаццевое. Киллинговы симметрические тензоры, или, по другой терминологии, интегралы уравнений геодезических линий, известны еще с конца XIX века (см., например, [41], стр. 157-161). Локальная геометрия таких тензоров широко представлена как в зарубежной (см. [4], стр. 612-614; [52]; [68]; [88] и [90]), так и в отечественной литературе (см. [33]; [42] и [43]). Известность им принесли многочисленные приложения в геометрии и физике (см., там же и [17], стр. 340-342; [41], стр. 157-161). Кодаццевы тензоры по популярности не уступают киллинговым (см. [4], стр. 590-598; [23], стр. 169-170; [47]). Примером их служит вторая фундаментальная форма гиперповерхности в пространстве постоянной кривизны, которая подчиняется уравнениям Кодацци, что и породило такое определение тензоров. Известны также обобщения этих тензоров в виде геодезических тензоров (см. [33]), обобщённо кодаццевых тензоров (см. [23], стр. 176) и гармонических тензоров (см. [50]).

Из всех известных структур на псевдоримановых и римановых многообразиях, порождаемых симметрическими тензорными полями, можно назвать только римановы структуры почти произведения (см. [86]).

Справедливости ради следует упомянуть достаточно глубокие результаты по глобальной геометрии симметрических тензорных полей на римановых многообразиях (см., например, [31]; [34]; [46]). И тем ни менее всё сказанное выше позволяет заключить, что теория симметрических тензорных полей на псевдоримановых и римановых многообразиях находится ещё в стадии накопления фактов и далека от завершения; в частности, не было ещё попыток провести какую-либо классификацию подобного рода тензорных полей, что и позволяет говорить об актуальности темы диссертационной работы.

Цель диссертационной работы состояла в изучении геометрии симметрических тензорных полей на римановом многообразии.

Основные задачи диссертационной работы: на основе теории фундаментальных дифференциальных операторов, заданных на пространствах сечений расслоений симметрических тензорных полей, провести классификацию симметрических тензорных полей на многообразии с аффинной связностью и римановом многообразии; описать геометрию и построить примеры тензорных полей, принадлежащих выделенным классам; пополнить список известных в теории симметрических тензорных полей обобщённо рекуррентными и гармоническими тензорными полями, изучить их геометрию и указать возможные приложения.

Методика исследований опирается на классический тензорный анализ, теорию представлений групп, теорию дифференциальных операторов и включает в себя технику Бохнера.

Научная новизна работы. Все утверждения, доказанные в диссертации, являются новыми, обобщают и дополняют результаты, ставшие уже фактами теории: А. Грея, Мак Ленагана, И.Б. Мара-лабхави, М. Ратхнамма.

Практическая значимость работы. Диссертационная работа носит теоретический характер; ее результаты могут найти применение при дальнейших исследованиях тензорных полей на псевдорима-новых и римановых многообразиях, а также в тех разделах теоретической физики, где используется геометрия симметрических тензорных полей.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 9 статьях и 6 тезисах (см. [98]-[112]).

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на XI Международной летней школе-семинаре по современным проблемам теоретической и математической физики (г. Казань, 1999 г.), XXII конференции молодых учёных механико-математического факультета МРУ (г. Москва, 2000 г.), Международной конференции по дифференциальным уравнениям и динамическим системам (г. Суздаль, 2000 г.), IX международной конференции "Женщины-математики" (г. Чебоксары, 2001 г.), XIII Международной летней школы-семинара по современным проблемам теоретической и математической физики (г. Казань, 2001 г.), Международной конференции по дифференциальным уравнениям и динамическим системам (г. Суздаль, 2002 г.).

Основные результаты диссертации обсуждались на семинарах кафедры геометрии КГУ (рук. проф. Б.Н. Шапуков) и кафедры геометрии ВГПУ (рук. проф. СЕ. Степанов), на семинаре по дифференциальным уравнениям в ВГПУ (рук. проф. В.В. Жиков).

Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, четырёх глав, списка литературы, содержащего 112 наименований и занимающего 13 страниц печатного текста. Общий объем диссертационной работы 117 страниц печатного текста.

Краткое содержание диссертационной работы.

Во введении даётся небольшой обзор работ, непосредственно относящихся к теме исследования, кратко излагается содержание работы и формулируются полученные результаты.

В первой главе рассматривается n-мерное С-многообразие М с линейной связностью V без кручения и, в частности, риманово многообразие М со связностью Леви-Чивита V. СЛ - векторное пространство С-сечений подрасслоения А тензорного расслоения Т^^Р'^М, определяемое свойствами симметрии по индексам. В частности, в качестве СА во втором параграфе настоящей главы рассматриваются пространства сечений CS^PM расслоений симметрических р-тензоров S^PM для р > 0 и CSqM расслоений симметрических бесследовых 2-тензоров SqM, а в третьем параграфе СА^РМ расслоений внешних дифференциальных р-форм Л^РМ для 1 < р < п — 1.

Связность V представляется дифференциальным оператором первого порядка V : СА -> С(Т*М А) на пространстве СА. Предполагая, что Т*М^А_Х в каждой точке х риманова многообразия М допускает (З(п)-неприводимое разложение на q подпространств (см. [6]), инвариантных относительно действия ортогональной группы 0(п). В этом случае действие V на пространстве СА разлагается в сумму действий операторов D\, D₂, ..., D_q, каждый из которых определен на СА и принимает значение в соответствующем пространстве сечений поточечно О(гг)-неприводимого подрасслоения тензорного расслоения Т*М А. В этом случае операторы D\, Z>2, ..., D_q принято называть обобщёнными градиентами, или, точнее, - обобщёнными О(п)-градиентами. Теория обобщённых градиентов в последнее время интенсивно разрабатывалась (см., например, [48]; [60] и [80]).

В развитие понятия обобщённого градиента Ж.-П. Бургиньоном было введено определение фундаментального дифференциального оператора (см. [3], стр. 262-263), действующего на естественных расслоениях (см. [64]) над римановым многообразием М. А именно, дифференциальный оператор D порядка к, определённый на пространстве СА естественного риманова расслоения А и принимающий значения в пространстве сечений СВ естественного риманова расслоения В, называется фундаментальным, если последовательность его относительных символов (относительно связности V) состоит из 0(п)-эквариантных отображений относительно естественных представлений ортогональной группы в слоях S^aT*M А и В для а = 1,2,..., к.

В работах [29]; [83]; [84] и [85] решены задачи отыскания фундаментальных дифференциальных операторов первого порядка, действующих на пространствах C^hPM и CSqM сечений расслоений внешних дифференциальных р-форм к^рМ и симметрических бесследовых 2-тензоров SqM над псевдоримановым многообразием М. Был найден явный вид этих операторов, дано описание их ядер, указаны возможные приложения в релятивистской физике. Кроме того, были построены формулы Вейценбёка, связывающие найденные операторы с кривизной замкнутого риманова многообразия, и доказаны соответствующие vanishing theorems (см. об этом в [91]) для ядер операторов.

При этом непосредственно проверяется, что в силу своего определения каждый из найденных операторов является обобщённым градиентом на пространстве сечений соответствующего расслоения.

Во втором параграфе теория фундаментальных операторов рассматривается применительно к пространству сечений CS^PM расслоений симметрических тензорных полей S^PM для р > 1 и доказывается

Теорема 1.1 (см. [109]). Пусть М - многообразие п измерений с ли нейной связностью V без кручения и S^PM - расслоение симметри ческих р-тензоров над М для произвольного р>1. Существуют два фундаментальных дифференциальных оператора первого порядка на пространстве CS^PM сечений расслоения S^PM. Этими оператора ми будут D\ = ~h^5* и Di — V ~^6* для оператора симметри ческого дифференцирования 5* : CS^PM —» CS^p+lM. Ядром перво го служат киллинговые, а ядром второго - кодаццевы симметри ческие р-тензоры, составляющие два векторных подпространстваG^P(M,IR) и С^Р(М,Н) пространства симметрических р-тензоров Ф^Р(М, И) на многообразии М.

Из теоремы 1.1 для любого симметрического тензорного поля (р следует справедливость следующего GL(n, Ш,)-неприводимого разложения: Vy? = Diip + ДгУ?» из которого следует, что D\ip и D

Для многообразия с эквипроективной GL(n, Ш)-структурой известно (см. [30]) ограничение размерности векторного пространства симметрических киллинговых тензоров dimG^p(M,M) > ;^^Р~А; В следующей теореме удалось точно оценить размерность векторного пространства симметрических киллинговых тензорных полей, воспользовавшись результатами работ [4] и [63].

Теорема 1.3 (см. [109]). На n-мерном (п > 2) многообразии М с эквипроективной GL(n,lR)-структурой существует локальная система координат ж¹,...,х^п, в которой произвольный тензор Кил-линга (р порядка р имеет компоненты

У гі...г_р — С Z^-ⁿ-'4-ipji...j_q^ ...л , 9=0 где ^ii..ipji...j_g ~ симметричные по группам индексов г'і,...,г'_р и jii"-ijq постоянные такие, что симметризация их по индексам г'і,... ,i_Pf ji,... ,j_q-i для q = 1,... ,p даёт нуль и вследствие этого векторное пространство G^P(M, IR) тензоров Киллинга имеет

РІР + 1)²(Р + 2)² ... (га + р - 1)²{п + р) pl(p +1)! dimG^p(M,]R) =

Теория фундаментальных дифференциальных операторов первого порядка применительно к пространству СМ-сечений расслоения симметрических 2-тензоров S²M над римановым С-многообразием М позволяет доказать справедливость следующего утверждения.

Теорема 1.5 (см. [110]). Пусть М является n-мерным римановым многообразием с метрикой g и связностью Леви- Чивита V. Существуют два фундаментальных дифференциальных оператора первого порядка ^Dl = \⁶* ⁺ -~ТЪЗ о [25 - V trace)- о ТІ ~v D₂ = [V -g {6 + V trace)} - -[6* + -g о (6 + V trace)],

ТІ — 1 о ТІ 1 определенных на пространстве CS²M сечений расслоения симметрических 2-тензоров S²M над М.

Установлено, что для произвольного симметрического тензорного поля (р є CS²M справедливо разложение: Vy = Di

РМ, найти аналогичный базис пространства дифференциальных операторов на C^C>S²M, как это показано в теореме 1.5, не представляется возможным, а потому не возможно провести и классификацию симметрических тензорных полей на (М, д), как это сделано для дифференциальных р-форм (см. [31], [85]).

Ядром первого выделенного дифференциального оператора D\ служат конформно киллинговы, а ядром второго 2 - конформно кодаццевы симметрические 2-тензоры. Конформно киллинговы и конформно кодаццевы 2-тензоры образуют два подпространства пространства симметрических 2-тензоров Ф²(М, И) на М. Здесь же изучены свойства и приведены примеры конформно киллинговых и конформно кодаццевых 2-тензоров. В частности, установлено, что эти тензорные поля конформно инвариантны, то есть при поточечном конформном преобразовании д = е^2<7д метрического тензора рима-нова многообразия (М, д) тензор ф = гц) для конформно кодаццева 2-тензора <р и тензор ф = е^4аф для конформно киллингова 2-тензора ф будут соответственно конформно кодаццевым и конформно кил-линговым тензорами риманова многообразия (М,д).

В третьем параграфе рассматриваются фундаментальные операторы на пространстве сечений СА^РМ расслоения внешних дифференциальных р-форм АРМ, а в теореме 1.7 доказывается (см. также [109]) существование двух таких фундаментальных дифференциальных операторов первого порядка D\ = -^d и DРМ — СА^Р+1М. При этом ядром D\ служат замкнутые, а ядром 2 ^_ киллинговые р- формы или, по другой терминологии, тензоры Киллинга-Яно ранга Р (1 < Р < тг — 1), составляющие два подпространства D^P(M,]R) и К^Р(М, IR) векторного пространства дифференциальных р-форм О^р(М, И) на многообразии М.

Для любой внешней дифференциальной р-формы ш справедливо следующее (7(?г,Ш,)-неприводимое разложение: Vu = Diu+D₂u, из которого выводим, что Diu и D₂tu являются обобщёнными GL(n, IR)-градиентами.

Для n-мерного (п > 2) многообразия М с эквипроективной SL(n, Н)-структурой с локальной системой координат х¹,..., х^п в теореме 1.8 (см. также [109]) найден общий вид килинговой р-формы или, по другой терминологии, тензора Киллинга-Яно ш порядка р (1 < Р < тс — 1) в координатной форме и- = рСр+1)^ (A. . . _r'o J. R. А^шгі...г_р ^с I -^ioJi-.-V ^ ^гі...г_рІ ) где Ai_Qi_r...i_v и Вг_и..г_р ~ кососимметричные по всем индексам постоянные и ф = т^щ для существенной компоненты 7Г элемента объема SL(n,^-'структуры. В результате dimK^p(M,JR) = ^ff_р)|

Рассмотрение нами дифференциальных форм обосновано существованием взаимосвязи между тензорным полем Киллинга-Яно и с компонентами шу и симметрическим тензором Киллинга <р с компонентами щ = g^klu)ikUJiji которая была установлена Мак Ленаганом (см. [66]). В теореме 1.10 этот факт получил обобщение.

Теорема 1.10. Если на n-мерном римановом многообразии (М,д) р- форма ш для 1 < р < п — 1 является конформно шллинговой, то симметрическое тензорное поле ~ір)и){У,Єі₂,...,Єі_р) І2,.-,Ір=1 для ортонормированного базиса {е^,..., е*_п } и произвольных векторов X, Y є СТМ является симметрическим конформно киллин-говым.

В частности, если р-форма со козамкнутая, то есть d*co = 0 или, иначе, киллинговая, то симметрический 2-тензор <р будет киллинговым, то есть 6*<р = 0.

Вторая глава посвящена исследованию геометрии тензоров Киллинга и Киллинга-Яно.

В первом параграфе рассмотрена геометрия тензорных полей второй валентности с точки зрения наличия у них собственных функций определенной кратности и соответствующих им собственных распределений на римановом многообразии. В случае наличия у симметрического тензорного поля <р собственной функции Л = Х(х) формулируется и доказывается

Теорема 2.11 (см. [101]). Пусть ср - симметрическое тензорное поле на римановом многообразии {М,д), а \ = \{х) - его собственная функция постоянной кратности больше единицы, определённая на связной компоненте множества M_v С М. Тогда для обобщённо киллингова тензорного поля (р его собственное распределение V\ -омбилическое.

Для данной теоремы в случае киллингова тензорного поля <р на римановом многообразии (М,р), сформулировано следствие 2.2, в котором собственное распределение V\ тензорного поля ip омбилическое; для тензорного поля (р функция Л = А (ж) постоянна вдоль интегральных кривых распределения V\.

В случае же симметрического тензорного поля ср валентности 2, имеющего две различные собственные функции А = Х(х) и /л = ц(х), справедлива следующая

Теорема 2.12 (см. [101]). Пусть компактное риманово многообразие (М, д) несёт обобщённо киллинговое тензорное поле ip, имеющее ровно две различные собственные функции X и ц. Если в каждой точке х Є М смешанная секционная кривизна многообразия (М, д) удовлетворяет условию К-хц < 0, то при dimV\ > dimV^ > 1 (1) собственные распределения V\ и V^ - интегрируемые с вполне геодезическими интегральными многообразиями и М локально изо-метрично риманову произведению М\ х М_м интегральных многообразий V\ и У_ц; (2) функции А и // постоянны вдоль интегральных многообразий V\ и Уц соответственно.

Поскольку в 3 главы I описана взаимосвязь между тензорами Киллинга и Киллинга-Яно, то во втором и третьем параграфах мы посчитали необходимым частично описать геометрию тензоров Киллинга-Яно.

Во втором параграфе исследуется геометрия тензорных полей второй валентности Киллинга-Яно, имеющих собственных функций и соответствующих им собственных распределений на римановом многообразии. В случае одной собственной функции Л = Л(х) доказывается

Теорема 2.13 (см. [103]). Пусть и> - тензор Киллинга-Яно валентности 2 на римановом многообразии (М,д), а А = Х(х) - его собственная функция постоянной кратности к, определённая на связной компоненте множества M_w С М. Тогда на М_и определяется 2к-мерное омбилическое распределение V\, вдоль интегральных кривых которого функция А (ж) постоянна.

В случае же двух собственных функций Л = Л(х) и ц = ц{х) доказывается

Теорема 2.14 (см. [103]). Пусть на компактном римановом многообразии (М,д) 2-тензор Киллинга-Яно со имеет только две собственные функции А = Х(х) и fi = ц{х).

Если dimM = 2k и смешанная секционная кривизна /Сд_м < 0, то многообразие (М, д) локально изометрично риманову произведению М = М\ х М_д интегральных многообразий V\ и V^ с постоянными функциями А и /і вдоль М\ и М_м соответственно.

Если dimM = 2k + 1 и тензор Риччи Шсм < 0, то на (М, д) существует 2к-мерное вполне геодезическое слоение с постоянными вдоль его слоев А (для к-кратного X) или її (для k-кратного fi).

Причем, случай компактного риманова многообразия (п = 2/г), допускающего невырожденный 2-тензор Киллинга-Яно, и имеющего неположительную секционную кривизну многообразия и хотя бы в одной точке отрицательную, то есть келлерово многообразие, описан в работе [27].

В третьем параграфе изучается локальная и глобальная геометрии n-мерного риманова многообразия, несущего двухвалентный тензор Киллинга-Яно постоянного ранга 2т < п. Доказывается

Теорема 2.15. Задание на n-мерном римановом многообразии (М, д) поля тензоров Киллинга-Яно ранга 2т < п означает задание на (М, д) двух ортогональных дополнительных слоений размерностей 2т и п — 2т, из которых второе - вполне геодезическое.

Для полного риманова многообразия (М, д) неотрицательной секционной кривизны, несущего тензор Киллинга-Яно ранга 2т < тг, как это установлено в следствии 2.3, локально (М,

В четвёртом параграфе указан способ задания симметрических тензоров Киллинга на римановом многообразии (М, д) с помощью проективного отображения римановых многообразий (см. [21]; [58]; [72]).

Теорема 2.16 (см. [107]). Пусть для отображения f : М —> М' многообразие М' - риманово с метрическим тензором д'. Если отображение f - проективная иммерсия, то тензорное поле е~^Амд* для ц = ₂(п+1)1^п [det(g*)\ и g* = f*g' задаёт на М симметрический кил-лиговый 2-тензор.

Используя способ построения тензора Киллинга, описанный в теореме 2.16 удалось обобщить одну из основных теорем работы [67] о проективном диффеоморфизме / компактного риманова многообразия с краем.

Следствие 2.5 (см. [107]). Пусть / : М —» М' - проективная иммерсия компактного ориентированного риманова многообразия М с краем дМ в риманово многообразие М' такая, что в точках края f - конформное отображение. Если М имеет неположительную секционную кривизну, то либо локально М -многообразие риманова произведения и f - аффинное отображение, либо / - гомотетия; квазиотрицательную секционную кривизну, то f является гомотетией.

В третьей главе вводится понятие обобщённо рекуррентного симметрического тензорного поля, исследуется его геометрия, рассматривается одно приложение построенной теории.

В первом параграфе на римановом многообразии определяется понятие обобщённо рекуррентного симметрического тензорного ПОЛЯ (р Є CS²M уравнением вида Vy? = \g + 7i

для А є СМ и ту є СТ*М. В качестве примера обобщённо рекуррентного симметрического тензорного поля приводится бесследовая часть Ф= (р — ^(trace_ggRic будет обобщённо рекуррентным.

Во втором параграфе на основе обобщённо рекуррентного симметрического тензорного поля ср с локальными компонентами і = (VfciZ)rf ^— (4if^lk)fl ^и доказывается равенство divX = Щір^ікц?_к - Щы^Ф*¹ — 0, которое в произвольной точке х Є М для <р(ві,Єу) = XiSij в соответствующем ортонормиро- ванном базисе {ei,..., е„} пространства Т_ХМ принемает вид где R'ijtj = R(ei, ej, еь, е{). В результате анализа последнего доказывается теорема о строении обобщённо рекуррентного симметрического тензорного поля на римановом многообразии знакоопределённой секционной кривизны.

Теорема 3.17 (см. [105]). Если секционная кривизна риманова многообразия (М, д) знакоопределена, то обобщённо рекуррентное симметрическое тензорное поле (р Є CS²M будет пропорционально метрическому тензору д, то есть <р = Хд для А Є СМ.

В третьем параграфе рассматриваются обобщённо рекуррентное, обобщённо конциркулярно рекуррентное и обобщённо Риччи-рекуррентное римановы многообразия (см. [65]), каждое из которых несёт обобщённо рекуррентное симметрическое тензорное поле. Формулируются следствия З.б и 3.7 (см. [105]), согласно которым обобщённо рекуррентное, обобщённо конциркулярно рекуррентное или обобщённо Риччи-рекуррентное римановы многообразия (М,д) знакоопределённой секционной кривизны являются многообразиями Эйнштейна.

В евклидовом пространстве Е^п с ортогональной системой координат х¹,... ,х^п уравнения, определяющие обобщённо рекуррентное симметрическое тензорное поле второй валентности, имеют вид dkpij — Xk6ij + rjktfiij. Их анализ позволил в четвёртом параграфе найти вид обобщённо рекуррентого симметрического тензорного поля ір в евклидовом пространстве.

Теорема 3.18 (см. [105]). Обобщённо рекуррентное симметрическое тензорное поле (р второй валентности имеет в ортогональной си стеме координат евклидова пространства Е^п следующее строение ipij = fiSij + foCij для произвольных гладких функций /і, /2 U ПроиЗвОЛЬНЫХ ПОСтОЯННЫХ Cij.

Учитывая взаимосвязь между кососимметрическими 2-формами w и симметрическими тензорами <р с компонентами / = UikWj, в пятом параграфе доказан аналог одного результата П.А. Широкова [39], согласно которому риманово многообразие чётной размерности с ковариантно постоянной дифференциальной 2-формой является кел-леровым. В нашей формулировке это утверждение имеет вид

Теорема 3.19 (см. [99]). Если риманово многообразие чётной размерности со знакоопределённой секционной кривизной допускает рекуррентную невырожденную дифференциальную 2-форму, то оно келлерово.

Четвёртая глава посвящена геометрии гармонических симметрических тензоров и её приложению к теории инфинитезимальных гармонических преобразований.

В первом параграфе на компактном ориентированном рима-новом многообразии (М,д) по аналогии с известным оператором Ходжа-де Рама A = old* + d*d : СА^РМ -» СА^РМ, определяется (см. [104]) дифференциальный оператор второго порядка : CS^pM -> CS^PM следующим равенством = 65* - 6*5. По определению ядро оператора составляют гармонические симметрические р-тензоры, которыми, в частности, являются козамкну-тые киллинговы симметрические тензоры (dip = 6*(р = 0). Здесь же устанавливаются свойства дифференциального оператора , такие как самосопряжённость и эллиптичность. Следствием последнего является конечномерность векторного пространства гармонических симметрических р-тензоров. Найдено также, как и для оператора Ходжа-де-Рама Д, разложение Вейценбёка (см. [4], стр. 77) для оператора .

Во втором параграфе рассматривается вопрос существования гармонических симметрических тензоров на компактном ориентированном многообразии. На основе симметрического оператора кривизны второго рода R: S²M — S²M (см. [4], стр. 76) определена квад- ратичная форма Q вида Q{(p) = g(R (<р), ф) и доказана

Теорема 4.20. Пусть {М,д) компактное ориентированное римано-во многообразие. Если квадратичная форма Q принимает неотрицательные значение всюду на М, то каждый гармонический симметрический р-тензор параллелен (ковариантно постоянен) на этом многообразии. Если квадратичная форма Q положительно определена всюду на М, то на (М, д) не существует симметрических гармонических р-тензоров.

Риманово многообразие (М, д) с краем дМ называется выпуклым (см. [8], стр. 285), если вторая основная форма по отношению к полю внешних единичных нормалей неотрицательна вдоль края дМ. Для таких многообразий справедливо

Следствие 4.8 (см. [104]). Пусть (М,д) - n-мерное замкнутое выпуклое риманово многообразие квазиотрицательной секционной кривизны, тогда на (М, д) не существует симметрических гармонических 2-тензоров, касающихся его края.

В третьем параграфе вводится новое в научной литературе определение инфинитезимального гармонического преобразования, описываются его свойства и приводятся примеры. Инфинитезималь-ное гармоническое преобразование определяется как локальный гармонический диффеоморфизм многообразия (М,д) на себя, порождаемый векторным полем Є СТМ. Примерами инфинитези-мальных гармонических преобразований служат инфинитезималь-ное комформное преобразование двумерного риманова многообразия (М,д) и голоморфное векторное поле на келлеровом многообразии (М, д, J). Доказана

Теорема 4.23 (см. [111]). Инфинитезимальные гармонические преобразования в римаповом многообразии (М, д) и только они составляют ядро оператора = 66* — 6*6.

Учитывая теорему 4.23 и доказанное свойство эллиптичности оператора , заключаем, что справедлива

Теорема 4.24 (см. [111]). На компактном ориентированном рима-новом многообразии пространство инфинитезимальных гармонических преобразований конечномерно.

На основе классической интегральной формулы К. Яно (см. [42], стр. 45) доказана также

Теорема 4.25 (см. [111]). Компактное риманово многообразие {М,д) не допускает отличных от нуля инфинитезимальных гармонических преобразований, если кривизна Риччи этого многообразия отрицательная.

Сформулируем основные результаты работы.

На n-мерном римановом многообразии М с метрикой g и связностью Леви-Чивита V найдены два фундаментальных дифференциальных оператора первого порядка на пространстве CS²M, при этом определено, что ядром первого служат конформно киллинговы, а ядром второго - конформно кодаццевы симметрические 2-тензоры.

Описана геометрия киллинговых тензорных полей второй валентности с точки зрения наличия у них собственных функций определенной кратности и соответствующих им собственных распределений на римановом многообразии.

С помощью проективной иммерсии / : (М,#) —» (М',д') многообразий найден способ построения симметрического киллигова 2-тензора на римановом многообразии (М,д).

На римановом многообразии (М, д) введено обобщённо рекуррентное симметрическое тензорное поле, описано его строение в случае знакоопределённой секционной кривизны многообразия (М, д), а также в случае евклидова пространства. Доказано, что известные в научной литературе обобщённо рекуррентные, обобщённо концир-кулярно рекуррентные и обобщённо Риччи-рекуррентные римано-вы многообразия знакоопределённой секционной кривизны являются многообразиями Эйнштейна.

На компактном ориентированном римановом многообразии {М, д) введен дифференциальный оператор второго порядка = 55* — 5*5, ядро которого составляют гармонические симметрические р-тензоры. В виду доказанных свойств установлена конечномерность векторного пространства гармонических симметрических р-тензоров. Для n-мерного замкнутого выпуклого риманова многообразия квазиотрицательной секционной кривизны доказано, что не существует симметрических гармонических 2-тензоров, касающихся его края. 6) В качестве приложения теории гармонических симметрических тензоров доказано, что инфинитезимальные гармонические преобразования в римановом многообразии (М, д) составляют ядро оператора , а следовательно пространство этих преобразований конечномерно.

Фундаментальные дифференциальные операторы первого порядка на симметрических тензорных полях

Пусть М будет С-многообразием с линейной связностью V без кручения. Рассмотрим СМ-модуль Diff(SpM,T MSpM) линейных дифференциальных операторов первого порядка на пространстве СЖ-сечений CSPM расслоения симметрических р-тензоров SpM. Обозначим через Е SPE стандартный слой тензорного расслоения Т М 8 SPM, который является пространством представления полной линейной группы GL(n, Ж,), где Е = ТХМ для произвольной точки х Є М и Е - двойственное или сопряжённое к Е линейное пространство. При этом действие элемента А группы GL(n, Ж.) в слое задаётся формулой: для произвольных а , а\,..., а Є Е . Расслоение Т М g SPM является поточечно приводимым, поскольку допускает GL(n, Ш,)-инвариантные подрасслоения. Стандартный слой каждого из такого подрасслоения является инвариантным относительно преобразований А Є GL(n, Ж) подпространством из Т М g SPM, при этом в слое порождается своё представление группы GL(n, Ж) возможно и неприводимое. Линейный дифференциальный оператор первого порядка D на пространстве С М-сечений СМ назовём фундаментальным, если его символ (относительно связности V) является проектором на поточечно GL(n, Ш,)-неприводимое подрасслоение тензорного расслоения Т М 8 SPM. Справедлива следующая Доказательство. Рассмотрим над n-мерным многообразием М тензорное расслоение Т М 8 SPM.

Стандартным слоем последнего является тензорное пространство Е g SPE, а структурной группой - полная линейная группа GL(n, IR). Для тензорного пространства Т М g SPM список всех правильно заполненных схем Юнга имеет вид (см. [20], стр. 175) В результате приходим к поточечно GL(n, Ш)-неприводимому разложению расслоения Т М g SPM вида: При этом проекции на неприводимые подрасслоения задаются формулой где для произвольного К Є С(Т М g SPM) имеем \prs MK}(Xo, Хи Согласно определению оператора симметрического дифференцирования 6 : CSpM - CSp+1M значение на в Є СТ М его главного символа о{5 ) есть гомоморфизм СМ-модуля CSPM в СМ-модуль CSP+1M по следующему закону : для симметрического умножения о. Поэтому первым фундаментальным оператором будет нормированный симметрический дифференциал, то есть D\ = -тг[д . Если через сг( 2) обозначить теперь главный символ оператора первого порядка 1 2 = V 5 , то согласно основным свойствам символов (1.5) и (1.6) дифференциальных операторов будем иметь Следовательно, вторым фундаментальным оператором будет Ядром первого фундаментального оператора служат симметрические тензорные поля р є CSPM, такие, что для произвольного X Є СТМ. Подобные симметрические тензорные поля назовём шиллинговыми по аналогии с симметрическими киллинговыми тензорами на (псевдо)римановом многообразии (см. [17], стр. 339). Для каждого симметрического киллингова р-тензора р вдоль произвольной геодезической 7 на М, отнесённой к аффинному параметру t Є J С IR, имеем р(Х,..., X) = const для X = 5, поскольку VxX = V = 0, то Vx[ p(X,...,X)]

Для симметрических киллинговых / -тензоров ip и р" и чисел Л, її Є IR тензор Ф = \ р + jiip" будет симметрическим киллинговым поскольку Следовательно, множество симметрических киллинговых р-тензоров на многообразии М с линейной связностью V образует подпространство пространства ФР(М,Ш,) всех симметрических дифференциальных тензорных полей на М, обозначим его через GP(M, IR) и положим для оператора симметризации Sq и произвольных ip є CSPM и / є CSrM, то симметрическое умножение о превращает G (M) в подалгебру градуированной коммутативной ассоциативной алгебры симметрических тензорных полей Ф (М,И) = ф ФР(М,Ж). Ядро второго дифференциального оператора D2 = V — гту составляют симметрические тензорные поля ір є CSPM, подчиняющиеся дифференциальному уравнению (р + 1)V = 6 р или равносильному ему уравнению для всех X, У, Х2, , Хр СТМ. Назовём эти р-тензоры кодацце-выми, поскольку для р = 2 подобные уравнения на многообразии с линейной связностью (см. [23], стр. 169) и на римановом многообразии со связностью Леви-Чивита (см. [4], стр. 590-598) принято называть уравнениями Кодацци, а удовлетворяющие им симметрические тензорные поля - кодаццевыми. Поскольку для симметрических кодаццевых р-тензоров р и р" по определению V // и V p" симметрические (р + 1)-тензоры, то тензор Ф = \ р + ікр" для чисел Л, \х Є IR будет симметрическим (р + 1)-тензором. Следовательно, множество кодаццевых симметрических р-тензоров на М образует подпространство ФР(М,Н), обозначим его через СР(М,Ж). Наиболее общий пример симметрических кодаццевых р-тензоров можно построить в аффинном пространстве Ап, где нетрудно проверить, что -тензор р с компонентами для произвольной / є СМ в декартовой системе координат ж1, ж2,... ,хп произвольной точки х Є Ап является кодаццевой. Вследствие этого произвол существования симметрических кодаццевых тензоров в аффинном пространстве носит функциональный характер. Способ же построения симметрических кодаццевых 2-тензоров на многообразии с эквипроективной SL(n, Ш)-структурой описан А.П. Норденом (см. [23], стр. 169).

Фундаментальные дифференциальные операторы первого порядка на дифференциальных формах

Рассмотрим С-многообразие М с линейной связностью V без кручения.и СМ-модуль Diff(ApM,T M 0 АРМ) линейных дифференциальных операторов первого порядка на пространстве СМ-сечений САРМ расслоения внешних дифференциальных р-форм АРМ. Обозначим через Е g АРЕ стандартный слой тензорного расслоения Т М g АРМ который является пространством представления полной линейной группы GL(n, И), где Е — ТХМ для произвольной точки х М и Е - двойственное или сопряжённое к Е линейное пространство. При этом действие элемента Л группы GL(n, IR) в слое задаётся формулой: для произвольных a , al,..., а Є Е . Расслоение Т М 0 АРМ является поточечно приводимым, поскольку допускает GL(n, И)-инвариантные подрасслоения. Стандартный слой каждого из такого подрасслоения является инвариантным относительно преобразований А Є GL(n, Ж) подпространством из Т М 8 ЛРМ, при этом в слое порождается своё представление группы GL(n, IR) возможно и неприводимое. Линейный дифференциальный оператор первого порядка D на пространстве СМ-сечений САРМ назовём фундаментальным, если его символ (относительно связности V) является проектором на поточечно GL(n, И)-неприводимое подрасслоение тензорного расслоения Т М 0 АРМ. Справедлива следующая Теорема 1.7 Пусть М - многообразие п измерений с линейной связностью V без кручения и АРМ - расслоение внешних дифференциальных р-форм над М для произвольного 1 р п—1. Существуют два фундаментальных дифференциальных оператора первого порядка на пространстве САРМ сечений расслоения АРМ. Этими операторами будут D\ = -j-j-d и D2 = V — -p d для оператора внешнего дифференцирования d : САРМ САР+1М.

Причем ядром первого оператора D\ служат замкнутые, а ядром второго оператора D2 - киллинговые р-формы, составляющие два подпространства DP(M, IR) и Kp(Af, IR) векторного пространства дифференциальных р-форм ГІР(М, IR) на многообразии М. вок р +1 элемента. Поэтому существует только 2 неприводимых подпространства Si(T M g ApM) = ЛР+1М и S2(T M g ApM) = КегАр+\ сумма которых составляет всё пространство Т М 8 ЛРМ. В результате приходим к поточечно GL(n, 1Ы)-неприводимому разложению расслоения Т М 8 ЛРМ вида При этом проекции на неприводимые подрасслоения задаются формулой где для произвольных К є С(Т М 8 ЛРМ) и Х0,Хі,...,Хр СГМ имеем Известно, что значение на $ СТ М символа J(V) оператора ковариантного дифференцирования V : САРМ - С(Т М g ЛМ) есть линейное отображение СМ-модуля С-еечений АРМ в СМ-модуль С-сечений Т М 8 АРМ по следующему закону (см. [24], стр. 87): А значение на # Є СТ М символа a(d) оператора внешнего дифференцирования d : САРМ — САР+1М будет линейное отображение СМ-модуля САрМ в СМ-модуль САР+1М по следующему закону (см. [24], стр. 76-77): Поэтому в первом фундаментальном операторе легко узнать нормированный оператор внешнего дифференцирования, то есть Если теперь через a{D2) обозначить символ оператора первого порядка Дг = V — -A d, то согласно основным свойствам символов (1.5) и (1.6) дифференциальных операторов будем иметь Поэтому, вторым фундаментальным оператором будет Ядром первого фундаментального оператора являются замкнутые р-формы, множество которых на М образует подпространство пространства ПР(М, ГО,) внешних дифференциальных р-форм на М.

Обозначим его через DP(M, IR) тогда, как известно, D (M) = ф DP(M, ]R) является подалгеброй градуированной антикоммутативной ассоциативной алгебры Картана Л (М) = Є А?Ш,Ж). Для получения характеристики внешних дифференциальных р-форм UJ є САРМ, составляющих ядро второго фундаментального оператора, рассмотрим на М произвольную геодезическую j, отнесённую к аффинному параметру t Є J С IR (см. [13], стр. 135 ) и положим X = , тогда Vx- = 0. Введем следующее обозначение (да)(І2,---Др) = ш(Х,Х2,..-,Хр), тогда условие ковариантной постоянности дифференциальной (р — 1)-формы ixw вдоль геодезической 7 примет вид (Vxu)(X, Х2,..., Хр) = 0 для любых векторных полей Х2,..., Хр на М. В силу произвольности выбора геодезической 7 последнее возможно тогда и только тогда, когда dw = (р + l)Va , что, в свою очередь, означает, что со є kerD2- Это уравнение в случае (псевдо)риманова многообразия М со связностью Леви-Чивита V совпадает с уравнениями для киллинговых р-форм (см. [17], стр. 339-340 и [74]). По аналогии р-форму и G kerD на многообразии М с линейной связностью V назовём также киллинговой (см. также [30]). Непосредственно проверяется, что множество киллинговых р-форм на М образует подпространство в Г2Р(М, IR), которое обозначим через КР(М, Ж). Докажем, что векторное пространство КР(М, И) непусто, для чего построим пример киллинговой р-формы на многообразии с эквипроективной GL(n, И)-структурой (см. [30]). На таком многообразии всегда существует р линейно независимых специальных векторных полей i,..., р (1 р п) и можно определить (п — р)-форму и = rj(t;i.. .р) или в координатной форме где ї]гх..лп - компоненты п-формы объема rj. Ковариантным дифференцированием получаем

Обобщённо рекуррентное симметрическое тензорное поле на римановом многообразии знакоопределённой секционной кривизны

В локальной системе координат ж1,..., хп на (М, д) из компонент = ф(ш- Ь) обобщённо рекуррентного симметрического тензорного поля р с помощью оператора ковариантного дифференцирования Vi в направлении векторного поля - построим векторное поле X с компонентами Хг = (\7к Рг1) к — (Vif fl- Воспользуемся уравнениями (3.1), чтобы установить, что divX = \/іХг = 0. С одной стороны, Рассмотрим отдельно каждое из выделенных слагаемых. Преобразуем второе слагаемое Для преобразования первого слагаемого произведем замену индексов в выражении [(Vi Чк V Orf (V V/ f110) ]1 в первой части - / на к, а во второй - / на г и воспользуемся тождеством Риччи (1.3) (см. [41], стр. 42-43) где і? і - компоненты тензора кривизны R связности у Для выражения слагаемого yz Vi Vik - если в произвольной точке x є м положить (f(ei,ej) = \idij для соответствующего ортонормированного базиса {ei,... ,еп} пространства ТХМ, то, проведя соответствующие преобразования и переобозначения, получим: Анализируя уравнение (3.3), допустим, что секционная кривизна риманова многообразия (М,д) знакоопределена, то есть R ijij = R(ei,ej,ei,ej) О или R m = Л(ЄІ,Є,-,ЄІ,Є,-) О, тогда (3.3) будет верно, если А = Xj, следовательно справедлива Теорема 3.17 Если секционная кривизна риманова многообразия (М,д) знакоопределена, то обобщённо рекуррентное симметрическое тензорное поле р Є CS2M будет пропорционально метрическому тензору д, то есть (р = Хд для X Є СМ.

В работе [65] даны определения обобщённо рекуррентного и обобщённо конциркулярно рекуррентного многообразий и выписаны условия для тензора кривизны (i .fc) и тензора конциркулярной кривизны Qijki то есть Риманово многообразие (М, д) называется обобщённо рекуррентным [65], если его тензор кривизны R удовлетворяет уравнению для некоторых 77,/х Є СТ М. Риманово многообразие (М,д) называется обобщённо концирку-лярно рекуррентным многообразием [65], если тензор конциркуляр-ной кривизны Qyk подчиняется уравнению для некоторых f],fJ, Є CT M. В уравнениях (3.4) и (3.5) произведем свертку по h и jf, в результате чего R%hk = Rik - компоненты тензора Риччи, a Q hk = dk -компоненты тензора Эйнштейна, тогда получим уравнения для тензора Риччи: и тензора Эйнштейна: которые соответствуют определению (3.1) обобщённо рекуррентного тензорного поля для \m = (п — l)fim- Значит, тензор Риччи Ric и тензор Эйнштейна G = Ric — Sk д этого многообразия являются обобщённо рекуррентными симметрическими тензорными полями.

В работе [65] доказывается теорема, согласно которой обобщённо рекуррентное или обобщённо конциркулярно рекуррентное многообразие может быть либо рекуррентным римановым многообразием [78], либо многообразием Эйнштейна, то есть таким многообразием (М, д), где G = 0. Согласно доказанной теоремы 3.17 заключаем, что справедливо Следствие 3.6 Обобщённо рекуррентное или обобщённо конциркулярно рекуррентное риманово многообразие знакоопределённой секционной кривизны является многообразием Эйнштейна. Назовём (М,д) обобщённо Риччи-рекуррентным (ср. с [75]), если его тензор Риччи Шс удовлетворяет уравнениям (3.1), то есть Если многообразие (М, д) имеет знакоопределённую секционную кривизну, то есть выполняются условия теоремы 3.17, то Rij = Xgij и, следовательно, обобщённо Риччи-рекуррентное многообразие (М,д) является многообразием Эйнштейна [4]. Таким образом, справедливо Следствие 3.7 Обобщённо Риччи-рекуррентное риманово многообразие (М, д) знакоопределённой секционной кривизны является Эйнштейновым.

Инфинитезимальные гармонические преобразования риманова многообразия

Рассмотрим римановы многообразия (М, д) и (М, д) размерностей тип соответственно и гладкое отображение / : (М,д) — (М,д). Обозначим через ж1,... ,жт локальные координаты в окрестности U точки х Є М, а через ж1,... ,жп локальные координаты в окрестности 7 Э /(/) точки ж = /(ж) Є М. Далее полагаем Г - и fg7 для i, j, к,... — 1,2,..., т и а, /?, 7, = 1,2,..., п символами Кристоф-феля связностей Леви-Чивита V и V римановых многообразий (М, д) и (М,д) соответственно в выбранных системах локальных координат.

Тогда для того, чтобы гладкое отображение / : (М, д) — (М, д) римановых многообразий (М,д) и (М,д) было гармоническим (см., например; [9]; [54] и [55]) необходимо и достаточно выполнения уравнений Эйлера-Лагранжа для контравариантных компонент g%i метрического тензора д. В случае евклидова пространства уравнения (4.9) превращаются в систему уравнений Лапласа-Бельтрами Д/а = 9?/а = 0, что и объясняет происхождение термина гармоническое отображение. Если размерность многообразия М равна 1, то гармонические отображения / : (М,д) —- (М,д) являются геодезическими на М, параметризоваванные длиной дуги. Если же / : (М, ?) — (М,д) есть изометрическая иммерсия (/ д = д), то для многообразия (М, #) отображение / гармонично тогда и только тогда, когда оно является минимальной иммерсией ([9], стр. 13). Если dim М = dim М = п и отображение / : (М,д) — (М, д) является диффеоморфизмом, то локально отображение / будет осуществляться ([22], стр. 67) по принципу равенства координат x1 = x1,..., xn = xn соответствующих точек x = f(x). В этом случае уравнения Эйлера-Лагранжа (4.9) предстают в следующем виде: где T j = Г . — Tkj компоненты тензора деформации Т = V — V связности Леви-Чивита V многообразия (М,д) при отображении / на многообразие (М,д) ([25], стр. 71; [41], стр. 162). Отметим, что для произвольного диффеоморфизма f : М — М тензор деформации Т = V — V рассматривают (см. там же) как гладкое сечение расслоения ТМ g S2M. В случае же гармонического диффеоморфизма тензор деформации Т = V — V в силу условия (4.10) становится бесследовым симметрическим тензорным полем - сечением расслоения ТМ g SQM. Доказана следующая Лемма 4.3 Для того, чтобы диффеоморфизм f : М М рима-нова многообразия (М, д) на риманово многообразие (М, д) был гармоническим, необходимо и достаточно, чтобы тензор деформации Т = V—V связности Леви-Чивита V многообразия (М,д) при отображении f на многообразие (М, д) был сечением тензорного расслоения ТМ 8 S$M. Известно, что конформный диффеоморфизм / : (М, д) — (М, д) определяется условиями f g = е2еТд, из которых последует, что ([41], стр. 112-113) где Oi = Via и ak = дкгаі. Тогда требование гармоничности данного отображения приводит к условию Следовательно, каждый конформный диффеоморфизм 2-мерных ри-мановых многообразий является конформным отображением. Произвольное векторное поле е СТМ порождает в окрестности U каждой точки х риманова многообразия (М,д) локальную 1-параметрическую группу инфинитезимальных преобразований ipt : U — М, задаваемых формулами ft(%) = хк = хк -f Щк для локальной системы координат х1,... ,хш в окрестности С/, параметра t Є (-є,+є) сЯи( = Й ([4], стр. 39-41; [14], стр. 21-23). На этом основании векторное поле Є СТМ называют еще инфи-нигпезималъным преобразованием в {М,д). Локальные компоненты дц = р( т, fj) метрического тензора д и символы Кристоффеля Г - связности Леви-Чивита V в результате инфинитезимального преобразования предстанут в следующем виде ([42], стр. 40; 41): где Rkji - компоненты тензора кривизны R связности V, являются выражениями производных Ли ([13], стр. 37) компонент д тензора д и символов Кристоффеля Г - по отношению к векторному полю . В соответствие с общей теорией ([13], стр. 19; [15], стр. 9) гармонический диффеоморфизм / риманова многообразия (М,д) на себя назовём гармоническим преобразованием в многообразии (М,д).

Аналогично, векторное поле назовём инфинишезималъным гармоническим преобразованием в (М, д), если локальная однопараметрическая группа инфинитезимальных преобразований, порожденная векторным полем в окрестности U каждой точки х многообразия (М, д), состоит из инфинитезимальных гармонических преобразований. Согласно равенствам (4.11), заключаем, что определяющими для инфинитезимального гармонического преобразования будут уравнения: Докажем, что справедлива следующая Теорема 4.21 Для того, чтобы векторное поле є СТМ было инфинитезимальным гармоническим преобразованием в (М,д), необходимо и достаточно, чтобы его компоненты удовлетворяли дифференциальным уравнениям Ak = 2Rk3. Доказательство. Действие оператора Лапласа-Бельтрами А на произвольное векторное поле выражается ([15], стр. 203) следующей формулой: Afc = -gijViS7jk + Rkj, где Rtj = gikRk - компоненты тензора Риччи Ric многообразия (М, р). С другой стороны, на основании равенств (4.12) уравнениям (4.13) придадим следующий равносильный им вид:

Из этих двух систем уравнений выводим, что Afc = 2Rkt?. В случае евклидова пространства уравнения (4.14) в декартовой системе координат ж1,..., " предстают в виде системы уравнений Лапласа-Бельтрами что объясняет происхождение термина инфинитезималъное гармоническое преобразование. Рассмотрим примеры инфинитезимальных гармонических преобразований. Первым примером будет инфинитезималъное конформное преобразование в (М,д), под которым понимают ([13], стр. 284; [42], стр. 47) векторное поле , подчиняющееся условию При этом поле называют инфинитезимальной гомотетией (соответственно инфинитезимальной изометрией), если в дополнение к (4.15) выполняется условие Vkk = const (соответственно Vkk = 0). Локальная однопараметрическая группа инфинитезимальных преобразований, порождаемая полем , будет группой локальных конформных преобразований (соответственно группой локальных гомотетий или изометрий) тогда и только тогда, когда она состоит из ин-финитезимальных конформных преобразований (соответственно ин-финитезимальных гомотетий или инфинитезимальных изометрий). В случае конформного преобразования непосредственные расчеты показывают ([95], гл. 2, 5), что Д& = 2Rkjj + Vfc(V.,J ). А потому каждое инфинитезимальное конформное преобразование двумерного риманова многообразия (М, д) является гармоническим преобразованием. Для размерностей п 3 это возможно, только когда данное инфинитезимальное преобразование является либо гомотетией, либо изометрией. Обратимся теперь к келлерову многообразию (M,g,J), которое является римановым многообразием (М, д) чётной размерности т = 2п с почти комплексной структурой J, которая в каждой точке х Є М является эндоморфизмом касательного пространства ТХМ таким, что 3\ — —id, и при этом g{J,J) — д и V J = 0. Векторное поле , задающее инфинитезимальный автоморфизм почти комплексной структуры келлерова многообразия: L J = 0, называется (вещественным) голоморфным векторным полем ([4], стр. 120).

Похожие диссертации на Геометрия симметрических тензорных полей на римановом многообразии

Элементы дифференциальной геометрии ... многообразий в евклидовых пространствахКаланчук, Роман Иванович

Дифференциальная геометрия многообразия Вайсмана-ГреяЩипкова, Нина Николаевна

Эрмитовы метрики в алгебрах и их применение к геометрии многообразий прямых и плоскостей вещественных пространствВыплавина, Раиса Порфирьевна

Геометрия многообразий НиренбергаДокалюк Светлана Николаевна

Геометрия многообразий Кенмоцу и их обобщенийУмнова Светлана Викторовна

Геометрия многообразий с регулярным действием торовИзместьев Иван Вениаминович

Новые аспекты геометрии многообразий Вайсмана-ГреяИгнаточкина Лия Анатольевна

Геометрия многообразия направлений физического пространства Иванов Денис Владимирович

Геометрия открытых многообразий неотрицательной кривизныМаренич, Валерий Борисович

Геометрия римановых многообразий, кривизна которых ограничена снизу в интегральном смыслеАкбаров, Сайитали Аскарович