Введение к работе
Актуальность темы
Работа посвящена исследованию производных категорий эквива-риантных когерентных пучков на алгебраическом многообразии с действием группы.
Всякое алгебраическое многообразие (или, вообще говоря, схема) X снабжено пучком колец Ох- Среди всех пучков Ох-модулей когерентные пучки - наименьший класс, содержащий векторные расслоения и замкнутый относительно взятия ядер и коядер. На абелевых категориях когерентных пучков определены функторы, такие как прямой и обратный образ при морфизме р, дуализация, внутренний 7Yom, тензорное умножение. Все эти функторы, вообще говоря, не точны. Контролировать их точность можно с помощью соответствующих производных функторов R%p*,Lip*,жг,ТоГг. Удобный способ говорить о неточных функторах на абелевой категории и производных от них функторов дают введённые А. Гротендиком понятия производной категории от абелевой категории и производного функтора от функтора между абелевыми категориями. В производных категориях уже нельзя говорить о точных последовательностях, ядрах и коядрах. Однако они обладают не менее замечательной структурой - структурой триангулированной категории, определённой Вердье. В отличие от абелевой ситуации, производные функторы Rp*, Lp*,ж, Tor, определённые на производной категории, точные, т.е. согласованы с триангулированной структурой.
Производная категория когерентных пучков - важный инвариант алгебраического многообразия, отражающий его когомологические свойства. Описание этих категорий - одна из задач, составляющих суть изучения алгебраических многообразий.
Хороший способ свести описание триангулированной категории к описанию некоторых её более просто устроенных подкате-
горий даёт понятие полуортогонального разложения, введённое А.И.Бондалом1. Это понятие - категорный аналог понятия разложения векторного пространства с несимметричной билинейной формой в прямую сумму полуортогональных подпространств: так, всякое полуортогональное разложение триангулированной категории Т индуцирует полуортогональное (относительно формы Эйлера) разложение векторного пространства Kq{T)
Первый пример полного исключительного набора был построен А.А.Бейлинсоном2, это набор из линейных расслоений (9, О(1),..., О(п) на п. Теми же методами М.М.Капрановым были построены полные исключительные наборы на многообразиях Грассмана и квадриках3. Известны примеры полных исключительных наборов на некоторых многообразиях Фано4.
Примеры полуортогональных разложений с более сложными компонентами были построены Д.О.Орловым5. Так, если X - про-ективизация векторного расслоения на базе 5, то производная категория пучков на X обладает полуортогональным разложением
^.И.Бондал, "Представления ассоциативных алгебр и когерентные пучки", Изв. АН СССР, Сер. машем., 53:1 (1989), 25-44.
2А. А. Бейлинсон, "Когерентные пучки на Р и проблемы линейной алгебры", Функц. анализ и его приложи., 12:3 (1978), 68-69.
3М. М. Kapranov, "On the derived categories of coherent sheaves on some homogeneous spaces", Invent, math., 92 (1988), 479-508.
4Д. О. Орлов, "Исключительный набор векторных расслоений на многообразии Vs", Вестник МГУ Сер. I Мат. Мех., 5 (1991), 69-71; А.Г.Кузнецов, "Исключительный набор векторных расслоений на многообразиях V22", Вестник МГУ Сер. I Мат. Мех., 3 (1996), 41-44; А. В. Самохин, "Производная категория когерентных пучков на LG%", УМН, 56:3(339) (2001), 177-178.
5Д. О. Орлов, "Проективные расслоения, моноидальные преобразования и производные категории когерентных пучков", Изв. РАН, Сер. матем., 56:4 (1992), 852-862
на компоненты, эквивалентные производным категориям пучков на , в количестве, равном рангу расслоения. Это разложение естественно считать относительной версией исключительного набора на Ри, построенного Бейлинсоном. Другой пример - производная категория раздутия неособого многообразия X в неособом подмногообразии Z коразмерности г. Она обладает полуортогональным разложением на компоненты, одна из которых эквивалентна производной категории X, а остальные г — 1 - производным категориям Z. Это полуортогональное разложение позволяет строить полные исключительные наборы на поверхностях дель Пеццо. Полуортогональные разложения пересечения квадрик были подробно изучены А.Г.Кузнецовым6.
В случае, если на многообразии действует алгебраическая группа, можно рассматривать эквивариантные векторные расслоения (они иногда также называются однородными), т.е. расслоения с заданным действием группы на их сечениях. Так же, как векторные расслоения порождают категорию когерентных пучков, эквивариантные векторные расслоения порождают категорию экви-вариантных когерентных пучков. В случае свободного действия она эквивалентна категории когерентных пучков на фактормно-гообразии, в случае тривиального действия на точке - категории представлений группы.
Производные категории эквивариантных когерентных пучков естественно возникают в разных конструкциях и при решении различных задач. Так, они позволяют строить примеры некоммутативного разрешения особенностей. На многообразии с факторо-собенностями можно рассмотреть т.н. орбифолдную структуру, и пучки на соответствующем орбифолде будут образовывать категорию, являющуюся "разрешением особенностей" категории пучков на особом многообразии. При этом категория пучков на ор-
6А. Kuznetsov, "Derived categories of quadric fibrations and intersections of quadrics", Adv. in Math., 218:5 (2008), 1340-1369
бифолде склеивается из подходящих категорий эквивариантных пучков, отвечающих картам атласа. Скажем также в этой связи о производной версии соответствия Маккея. Для X - фактора С2 по действию конечной подгруппы G в ^5 (С) - имеются два эквивалентных категорных разрешения особенностей. Это производная категория G-эквивариантных пучков на С2 и производная категория минимального разрешения особенности X —> X. Представляют интерес возможные обобщения такого соответствия на случай больших размерностей7.
Производные категории эквивариантных когерентных пучков относительно мало изучены. Диссертация призвана внести вклад в дело их исследования.
Цель работы
Цель работы — построение полуортогональных разложений производных категорий эквивариантных когерентных пучков на многообразиях с действием группы, как в общих предположениях, так и на примере конкретных многообразий.
Структура и объем диссертации
