Введение к работе
Актуальность темы. Настоящая диссертация является исследованием в области аналитической теории чисел. Основным предметом исследований, составляющих содержание диссертации, является изучение поведения коротких тригонометрических сумм, в том числе сумм с простыми числами, переменное суммирование которых, принимает значение из коротких интервалов и вывод асимптотической формулы для числа решений одного диофантового уравнений с простыми числами.
М. Виноградов1'2 в 1937 году создал метод оценок тригонометрических сумм с простыми числами, основу которого составляют решето Виноградова и метод сглаживания двойных сумм. Пользуясь этим методом, он впервые получил нетривиальную оценку линейной тригонометрической суммы
S(a}x) =}^ е(ар)} а = —1-А, |А| <—, l
Полученная оценка для S(a, х) в соединение с теоремами о распределении простых чисел в арифметических прогрессиях, позволила вывести асимптотическую формулу для числа представлений нечетного N в виде N = р\ + р2 + рз, следствием которого является тернарная проблема Гольдбаха о представлении нечетного натурального числа как суммы трех простых чисел.
Ю.В. Линник3 с помощью идей Г. Харди и Д. Литтлвуда, применявшихся ранее в проблеме Гольдбаха и плотностых теоремах для нулей L - рядов Дирихле, дал новый вариант нетривиальной оценки тригонометрической суммы S(a,x). Тем самым Ю.В. Линником было дано новое доказательство теоремы И.М. Виноградова о трех простых числах (проблема Гольдбаха).
Н.Г. Чудаков4 также предложил подобный метод исследования тригонометрических сумм S(a, х) с помощью оценки средних значений функций Чебышева, получение которой в свою очередь основывается на распределении нулей L-рядов Дирихле в критической полосе.
И.М.Виноградов1 впервые оценил линейную тригонометрическую сумму с простыми числами, переменное суммирование которых, принимает
Виноградов И.М. Избранные труды. — М.: Изд-во АН СССР, 1952.
2Виноградов И.М. Особые варианты методов тригонометрических сумм. — М.: Наука, 1976. 3Линник Ю.В. Новое доказательство теоремы Гольдбаха-Виноградова // Мат. сборник, 1946, т. 19, вып. 1, стр. 3-8.
4Чудаков Н.Г. On Goldbach-Vinogradof's theorem // Ann of Math., 1947, 48, p.515-545.
значение из коротких интервалов, то есть сумм вида:
S(a;x,y) = У^ Л(п)е(ст), а = —1-А, |А| <—, l
х—у<п<х
Применяя свой метод оценок сумм с простыми числами, он доказал нетривиальную оценку при
ехр(с(1п1пж)2) < q < ж1/3, у > ж2/3+є.
И.М. Виноградов подчеркнул, что для малых q, (q < ехр(іпж)'5, 5 - правильная дробь, немногим превосходящая 0, 5) весьма точные оценки суммы S(a;x,y) являются непосредственным следствием известных теорем, относящихся к распределению простых чисел в арифметических прогрессиях, но только при условии, если у есть величина порядка близкого к х и а - рациональное число вида a/q: где (a,q) = 1. Для величин у7 порядок которых меньше порядка х и произвольных а, вопрос оставался открытым.
В 1951 г. СВ. Haselgrove5 получил нетривиальную оценку суммы S(a; ж, у) при произвольном а и
у > х^&А+.
Затем В. Статулявычус6 и Jia Chaohua7'8 получили нетривиальную оценку суммы S(a,x,y), у > хв, q — произвольное, соответственно при
0 = 63/64 + є, 279/308 + є, 2/3 + є.
Пан Чен-дон и Пан Чен-бьяо9 доказали, что если с > 0 произвольная постоянная, то существует q = q(c), і = 1, 2 такие, что для
ж2/3(1пж)С1 <2/<ж, (1пж)С2 l/\ \\\
l/\
справедлива оценка
S(a,x,y) <С у(1пх)~с.
Наилучший результат принадлежит Zhan Тао10. Он получил нетривиальную оценку суммы S(a;x,y) при произвольном а и
у > хъ'*+.
5Haselgrove СВ. Some theorems in the analitic theory of number // J.Lon. Math.Soc, 26(1951), 273-277.
6Статулявичус В. О представлении нечетных чисел суммою трех почти равных простых чисел // Вильнюс, Ученые труды университета, сер. мат., физ. и хим. н., 3 (1955), 5-23.
7Jia Chaohua, Three primes theorem in a short interval (II) // International symposium in memory of Hua Loo Keng, Science Press and Springer-Verlag, Berlin, 1991, 103-115.
8Jia Chaohua, Three primes theorem in a short interval (V) // Acta Math. Sin., New Series, 2(1991), 135-170.
9Pan Cheng-dong, Pan Cheng-biao, On estimations of trigonometric sums over primes in short intervals (III) If Chinese Ann. of Math., 2(1990), 138-147.
10Zhan Tao, On the Representation of large odd integer as a sum three almost equal primes // Acta Math Sinica, new ser., 1991, v.7, No 3, 135-170.
Г. Вейль11 построил метод, с помощью которого, впервые получил нетривиальную оценку тригонометрических сумм вида
Т(ат, am-!,..., аг) = ^2 е (Дп))' f(f) = а^т + ttm-itm~l + + att,
которые в его честь И.М.Виноградов1 назвал суммами Вейля. Основная идея метода Вейля состоит в сведении суммы T(a,k,ak-\,... ,а\) степени к к оценке суммы степени к — 1 и в конечном счете к использованию оценки линейной тригонометрической суммы. Из оценки Г.Вейля следует закон распределения дробных частей многочлена f(t) в отрезке [а, Ь] С [0,1), следствием которого является их равномерное распределение по модулю 1.
И.М. Виноградов1 занимаясь проблемой Варинга в 1934 г. создает новый метод оценок тригонометрических сумм, несравненно более точный, чем метод Г. Вейля. Этим новым методом И. М. Виноградов получает принципиально более сильные результаты в проблеме распределения дробных долей многочленов, в самой проблеме Варинга, в проблеме приближения вещественного числа дробной долей целого многочлена и др. Этот метод с успехом был применен в теории дзета-функции Римана — И. Г. Чудаковым12, в проблеме Гильберта - Камке — К. К. Марджанишвили13 и в разнообразных смешанных аддитивных проблемах.
Метод тригонометрических сумм И.М. Виноградова опирается на оценку величин типа \Т(ап,... ,а\, N)\2k. Позже И.М.Виноградов заменил сложную оценку сумм степеней \Т(ап,..., а\, N)\2k более простой оценкой интеграла
J{N;n,k)= ... \T(an,...,ahN)\2kdai...da
то есть оценкой этой суммы "в среднем" по всем а\,...ап и поэтому теорема об оценке J(N] п, к) носит название теоремы И.М.Виноградова о среднем значении. В дальнейшем И.М.Виноградов неоднократно улучшал и уточнял эту теорему. Он получил асимптотически точную оценку величины J(N] п, к) вида
о; п(п+1)
J(N;n,k)<^N2k-^^
nWeyl Н. Uber die Gleichverteilung von Zahlen mod. Eins // Math. Ann, 1916, 77, s.313-352. 12Чудаков Н.Г. О функциях (s) и тг(ж) // Докл. АН СССР, 1938, т. 21, с. 425-426. 13Марджанишвили К.К. Об одновременном представлении п чисел суммами полных первых, вторых,..., п - х степеней // Изв. АН СССР. Сер. мат., 1937, т. 1, с. 609 - 631.
Отметим, что оценками тригонометрических сумм по методу И.М. Виноградова занимался также Хуа Ло-ген14. В частности, он в явной форме выделил оценку среднего значения тригонометрической суммы из общего метода оценки индивидуальных тригонометрических сумм. В 1942 году Ю.В.Линником15 было найдено доказательство теоремы о среднем значении, использующее свойства сравнений по модулю степеней простого числа р. Другое р-адическое доказательство, т.е. использующее свойства сравнений по модулю простого числа р, теоремы о среднем значении было получено А.А.Карацубой на основе разработанного им в шестидесятых годах двадцатого века нового р-адического метода16. В дальнейшем его метод, помимо других приложений, позволил не только значительно прояснить и упростить доказательство теоремы о среднем значении, но и получить новые существенные результаты, в частности, вывести нетривиальные оценки величины J(N] п, к) при малых значениях к (см. рабо-
ты17,18,19,20,21,224
И.М.Виноградов23 поставил проблему оценки сверху кратных тригонометрических сумм. Данная задача была решена Г.И.Архиповым24 в начале 70-х годов прошлого века. Г.И.Архипов получил первые оценки двукратных сумм Вейля для многочленов общего вида. В 1975г. Г.И.Архипов и В.Н.Чубариков25'26 дали обобщение результатов Г.И.Архипова на кратный случай. В 1976 г. В.Н.Чубариков27'28 получил оценки кратных тригонометрических интегралов и кратных полных рациональных тригоно-
14Хуа Ло-ген, Метод тригонометрических сумм. — М.: Мир, 1964, -190с.
15Линник Ю В. Оценки сумм Вейля // ДАН СССР, 1942, Т.34, №7, с. 201-203.
16Карацуба А.А. Средние значения модуля тригонометрической суммы // Изв. АН СССР, Сер.матем., 1973, Т.36, №6, с.1203-1227.
17Стечкин СБ. О средних значениях модуля тригонометрический суммы // Труды МИАН им. В.А.Стеклова АН СССР, 1975, Т. 134, с.283-309.
18Архипов Г.И. О среднем значении сумм Г. Вейля // Мат. заметки, 1978, Т.23, №6, с.785-788.
19Архипов Г. И., Чубариков В.Н. О кратных тригонометрических суммах // ДАН СССР, 1975, Т. 222, №5, с.1017-1019.
20Архипов Г.И., Карацуба А.А. Новая оценка интеграла И.М. Виноградова // Изв. АН СССР, Сер.матем., 1978, Т.42, №4, с.751-762.
21Архипов Г.И., Карацуба А.А., Чубариков В.Н., Теория кратных тригонометрических сумм. —М.: Наука, 1987, 368 с.
22Тырина О. В. Новая оценка тригонометрического интеграла И. М. Виноградова // Изв. АН СССР, 1987, 51,№2, с.363-378.
23Виноградов И.М. Новый метод в аналитической теории чисел // Труды МИАН, 1937, Т.10, с.5-122.
24Архипов Г.И. Оценки двойных тригонометрических сумм // Труды МИАН им. В.А. Стеклова АН СССР, 1976, Т. 142, с. 46-66.
25Архипов Г. И., Чубариков В.Н. О кратных тригонометрических суммах // ДАН СССР, 1975, Т. 222, №5, с.1017-1019.
26Архипов Г. И., Чубариков В.Н. Кратные тригонометрические суммы // Изв.АН СССР.Сер.мат., 1976, Т.40, с.209-220.
27Чубариков В.Н. О кратных рациональных тригонометрических суммах и кратных интегралах // Мат.заметки, 1976, Т.20, №1, с.61-68
28Чубариков В.Н. Об одном кратном тригонометрическом интеграле //ДАН СССР, 1976, Т.227, с.1308-1310.
метрических сумм. В течение 80-х годов прошлого столетия Г.И.Архипов, А.А.Карацуба и В.Н.Чубариков29'30 продолжили исследования и получили первые оценки кратных тригонометрических сумм Вейля, равномерные по всем параметрам (по длинам интервалов изменения переменных суммирования, по степени осреднения и по степени многочлена). В 1987 г. результаты всех исследований по кратным тригонометрическим суммам Вейля составили содержание монографии21 "Теория кратных тригонометрических сумм". В середине 80-х годов прошлого века В.Н.Чубариков получил первые оценки кратных тригонометрических сумм с простыми числами с многочленом общего вида в экспоненте31'32.
Суммы Вейля при маленьких степенях т < 12 в множестве первого класса рассматривались отдельными математиками и наилучший результат принадлежит английскому математику Р.Вону33. Суммы вида
Y^ е(апт), у = хв, в<1
х—у<п<х
называются короткими тригонометрическими суммами Вейля. Короткие тригонометрические суммы Вейля при т = 2ит = 3в множестве первого класса рассматривались в работах34'35'36 при исследовании асимптотических формул с почти равными слагаемыми в тернарной проблеме Эстермана и в проблеме Варинга для девяти кубов.
Estermann37 доказал асимптотическую формулу для числа решений уравнения
Pi+P2+m2 = N} (1)
где pi, Р2 — простые числа, т — натуральное число. В работе34 эта задача исследована с более жесткими условиями, а именно, когда слагаемые почти равны, и выведена асимптотическая формула для числа решений
29Архипов Г. И.,Карацуба А.А., Чубариков В.Н. Равномерные оценки кратных тригонометрических суммах // ДАН СССР, 1980, Т. 252, №6, с. 1289-1291.
30Архипов Г. И.,Карацуба А.А., Чубариков В.Н. Кратные тригонометрические суммы и их приложения // Изв.АН СССР.Сер.мат., 1980, Т.44, с.723-781.
31Чубариков В.Н. Кратные тригонометрические суммы с простыми числами // ДАН СССР, 1984, Т.278, №2, с.302-304.
32Чубариков В.Н. Оценки кратных тригонометрических сумм с простыми числами // Изв. АН СССР, Сер. мат., 1985, Т.49, №5. с. 1031-1067.
33Vaughan R.C. Some remarks in Weyl sums // Coll. Math. Soc. Janos. Bolyani, Budapest 1981.
34Рахмонов 3.X. Тернарная задача Эстермана с почти равными слагаемыми // Мат.заметки, 2003, Т.74, Вып. 4, с.564-572.
35Рахмонов З.Х.,Шозиёева СП. Кубическая задача Эстермана с почти равными слагаемыми // ДАН РТ, 2002, Т. 44, №3-4, стр. 7-17.
36Рахмонов З.Х., Мирзоабдугафуров К.И. Об оценках коротких тригонометрических сумм Г.Вейля // ДАН РТ, 2008, Т.51,№1, с.5-15.
37Estermann Т. Proof that every large integer is the sum of two primes and square // Proc. London math.Soc, 11(1937), pp. 501-516.
(1) с условиями
N ~3~
~з~
1,2,
<Я; H>N3/4C\ C = lnN.
Цель работы. Целью работы является изучение поведения линейных тригонометрических сумм с простыми числами и квадратичных тригонометрических сумм Вейля, переменное суммирование которых, принимает значение из коротких интервалов, а также нахождение асимптотической формулы в проблеме Эстермана с почти равными слагаемыми
Методика исследований. В работе используются методы аналитической теории чисел, в том числе
методы L - рядов Дирихле, методы Ю.В. Линника и Н.Г.Чудакова, основанные на плотности нулей L - рядов Дирихле в критической полосе;
метод Ван дер Корпута об оценке специальных тригонометрических интегралов с применением формулы суммирования Пуассона;
круговой метод Г.Харди, Д.Литтлвуда и С.Рамануджана в форме тригонометрических сумм И.М.Виноградова.
Научная новизна. Основные результаты диссертации являются новыми и состоят в следующем:
изучено поведение линейных тригонометрических сумм с простыми числами, переменное суммирование которых, принимает значение из коротких интервалов в множестве первого класса и установлена их связь с плотностными теоремами для нулей L - рядов Дирихле в коротких прямоугольниках критической полосы;
исследовано поведение коротких квадратичных тригонометрических сумм Вейля в множестве первого класса;
получена асимптотическая формула в тернарной проблеме Эстермана с почти равными слагаемыми для более "равных" слагаемых;
Практическая и теоретическая ценность работы. Работа носит теоретический характер. Результаты диссертации и методика их получения могут быть применены при решении задач теории чисел, в том числе аддитивных проблем.
Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на общеинститутском семинаре, на семинаре по аналитической теории чисел
под руководством член-корреспондента АН РТ З.Х.Рахмонова в Института математики АН РТ, на международных научных конференциях "Актуальные вопросы математического анализа, дифференциальных уравнений и информатики"( 2007 г.), "Современные проблемы математического анализа и их приложений" (2010 г.), в Институте математики АН РТ; на научно-исследовательском семинаре кафедры алгебры и теории чисел и на ежегодных апрельских конференциях в Таджикском национальном университете (2006-2009 г.).
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 5 научных работах, список которых приведен в конце автореферата.
Структура и объём работы. Диссертация состоит из оглавления, списка обозначений, введения, трех глав и списка литературы, включающего 73 наименования. Объём диссертации составляет 63 страницы компьютерной вёрстки в редакторе математических формул DTfrjX.
