Содержание к диссертации
Введение
1 Вопросы аналитического продолжения рядов Дирихле 17
1.1. Метод редукции к степенным рядам в задаче аналитического продолжения рядов Дирихле целым образом на комплексную плоскость 17
1.2. Аппроксимационный критерий целостности рядов Дирихле 21
2 Вопросы аналитического продолжения рядов Дирихле с вполне мультипликативными коэффициентами 27
2.1 О граничном поведении степенных рядов с вполне мульти пликативными коэффициентами 27
2.1.1 Ограниченная полугруппа операторов и вопросы полиномиального приближения степенных рядов с вполне мультипликативными коэффициентами 28
2.1.2 Оценки скорости приближения полиномами степенных рядов с вполне мультипликативными коэффициентами 36
2.2 О граничном поведении степенных рядов с обобщенными характерами 45
3 Аппроксимационный подход к гипотезе Н.Г.Чудакова 51
3.1 Аппроксимационная характеристика L - функций Дирихле . 51
3.2 Распределение значений обобщенных характеров 62
Добавление 1 72
Литература 78
- Метод редукции к степенным рядам в задаче аналитического продолжения рядов Дирихле целым образом на комплексную плоскость
- Ограниченная полугруппа операторов и вопросы полиномиального приближения степенных рядов с вполне мультипликативными коэффициентами
- Оценки скорости приближения полиномами степенных рядов с вполне мультипликативными коэффициентами
- Аппроксимационная характеристика L - функций Дирихле
Введение к работе
Краткий исторический обзор по теме диссертации.
В различных задачах аналитической теории чисел важную роль играет изучение характеров мультипликативной полугруппы натуральных чисел. Характером называется теоретико-числовая функция h(n) обладающая следующими свойствами:
h(n)~ отлична от тождественного нуля,
/і(піП2) = h(ni)h(ri2) для любых натуральных п\ и пі (вполне мультипликативность) ,
\h(n)\ = 0,1 (нормированность).
Если к условиям 1,2,3 добавить требование периодичности h(n), то получим определение характера Дирихле. Важность характеров Дирихле в теории чисел хорошо известна.
Из условия 2 вытекает, важное свойство: характер полностью и однозначно определяется значениями, которые он принимает на простых числах.
Базой характера h(n) называется множество всех простых, для которых h{p) ф 0. База называется конечной если она содержит конечное число простых, и бесконечной в противном случае. Базу называют полной, если в нее не входит лишь конечное число простых.
Важной характеристикой числового характера h(n) является сумма-торная функция
S(x,h) = 7/1(71).
В частности, если h(n) = х(п> к)- характер Дирихле основного модуля к, то хорошо известно
V^ ( ».ч J 0j если х~~неглавный,
J~ ' 1 ф(к), если х-главный,
и следовательно легко получаем, что
S(jc,x) = скс+ 0(1)
_ J 0, если х-неглавный, 1 jp-t если х-главный.
В 1950 году Н.Г.Чудаков /40//39/ поставил задачу изучения характеров с ограниченной сумматорной функцией, которые были названы обобщенными характерами. Как и для характеров Дирихле, вводится понятие главного обобщенного характера: пусть
S(x,h) = ax + 0(1)
при я->оо; тогда при а ф 0 характер h называется главным обобщенным характером, а при а = 0 характер h называется неглавным обобщенным характером или просто обобщенным характером.
Характер Дирихле является частным случаем обобщенного характера.
Свойства обобщенных характеров во многом схожи со свойствами характеров Дирихле. В частности из ограниченности сумматорной функции следует, что
*—; 71
п=1
можно аналитически продолжить в полуплоскость а > 0.
В работе /39/ показано, что если h(n)- действительный неглавный обобщенный характер, то его L-функция положительна при s = 1, т.е. L(l,/і) > 0, что является аналогом теоремы Пейджа для характеров Дирихле. В этой же работе для неглавных действительных обобщенных характеров получен аналог теоремы Зигеля.
Естественно возник вопрос о том, насколько класс обобщенных характеров шире, чем класс характеров Дирихле.
Имеется один очевидный пример обобщенного характера, не являющегося характером Дирихле. Пусть база характера h(ri) состоит из одного простого р, причем h(p) = , ф I, || = 1, тогда
S(*,/0 = -I4y = O(l),
где т = [Ь|].
Привести другие примеры долго не удавалось. Появились работы, в которых доказывалась неограниченность сумматорных функций некоторых классов характеров, заведомо не являющихся характерами Дирихле. В
работе Н.Г.Чудакова и Ю.В.Линника 1950 г./40/, доказано, что сумматор-ная функция характера с конечной базой, состоящей более чем из одного элемента, неограничена. В доказательстве использовалось представление L - функции в эйлеровское произведение, которое позволило связать сум-маторную функцию с рядом по вычетам L - функции, а также результаты И.М. Виноградова и О.А. Гельфонда.
Дальнейшее развитие метода Чудакова-Линника происходило в двух направлениях: во-первых, рассматривались характеры с редкой базой, то есть когда число простых, для которых h(p) ф 0, в интервале (1,6*) не превосходит /(#): при
,, ч 1-2М, , , , л w 1
f[x) = ——~~ In In In In ж, где 0 < М < -,
неограниченность сумматорной функции доказали Б.М. Бредихин, Н.Г. Чудаков /42/, /3/. Во-вторых, стали рассматривать не только мультипликативную полугруппу натуральных чисел, но и общие полугруппы. В этом направление Б.М. Бредихин /17/ доказал прямые и обратные теоремы связывающие распределение элементов полугрупп и их образующих.
В 1954 г. Б.С. Бронштейн /5/ рассмотрел характеры, названные испорченными или возмущенными характерами Дирихле . Это такой характер h(n), для которого существует неглавный характер Дирихле x(n>k) такой, что h(p) ф х(р, к) при р Є Р и h(p) = х(р, к) при р $. Р.
В случае конечного множества Р, в /5/ доказано, что сумматорная функция является неограниченной.
Метод Бронштейна, который является элементарным и основан на применении системы счисления с подходящим основанием, получил развитие в работах Н.Г. Чудакова, Б.М. Бредихина и В.В. Глазкова. Так В.В. Глазков /11/,/12/,/13/ доказал, что если множество Р является редким, то есть 52 ^ < со, то возмущенный характер имеет неограниченную сум-
маторную функцию, то есть не является обобщенным; и если характер является конечнозначным и главным, то он является характером Дирихле.
Кроме того В.В. Глазков изучал теоремы о распределении значений характеров, которые имеют аналог для характеров Дирихле: им был построен пример характера, реализующего любую последовательность своих значений, а именно, была доказана.
Теорема. Пусть h(n)-возмущенный на бесконечном множестве простых характер с полной базой, принимающий р различных значений в множестве корней из единицы степени р; i,2? }s любая последовательность корней степени р из единицы. Тогда существует натуральное п такое, что
h(n + i)=i (і = 1,..., s).
В 1953 г. Н.Г. Чудаков /43/ построил пример нетривиального обобщенного характера, не являющегося характером Дирихле. Пусть
h{n) = х(п)пи,
где х(п)~ неглавный характер Дирихле, a t ф 0 действительное число, то 5(я?,Л) = 0(1).
Отметим, что в этом примере характер h(n) принимает бесконечное число значений.
Приведенные выше результаты позволили уточнить определение обобщенного характера.
Определение. Обобщенным характером называется теоретико - числовая функция h(n) удовлетворяющая следующим условиям
h{n) - вполне мультипликативна;
имеет полную базу (т.е. число простых р, при которых h(p) = О конечно);
h(n) - конечнозначная функция;
сумматорная функция ограничена.
Относительно обобщенных характеров Н.Г. Чудаков выдвинул следующую гипотезу /44/, /40/.
Гипотеза Чудакова. Обобщенный характер является характером Дирихле.
В период с начала 50-х по 70-е годы работы, связанные с проблемой обобщенных характеров, были в основном посвящены проверке тех или иных свойств, имеющих место для характеров Дирихле.
С начала 70-х годов появились работы Н.Г. Чудакова и его учеников, в которых решение проблемы обобщенных характеров сводилось к проверке определенных граничных свойств степенного ряда
9{x) = ^/h(n)xnJ
71=1
где h(n)— обобщенный характер /44/, /45/, /19/.
Это связано с тем, что для степенных рядов с конечнозначными коэффициентами имеют место известные теоремы Сеге и Даффина—Шеффера, где условие периодичности коэффициентов (начиная с некоторого номера) связано с граничными свойствами таких рядов. Приведем эти теоремы:
Пусть
g(z) = J2*nZn (1)
п=0
степенной ряд с конечным числом различных коэффициентов. Имеет место /2/:
Теорема. (Сеге) Коэффициенты степенного ряда (1) являются частично периодическими, т.е. существуют щ и d такие, что ап = an+d при п ^ по, тогда и только тогда, когда ряд (1) аналитически продолжим за пределы единичного круга.
Теорема. (Даффин-Шеффер) Коэффициенты степенного ряда (1) частично периодичны тогда и только тогда, когда g(z) является ограниченной в некотором секторе единичного круга.
В работах /44/, /45/ получены результаты так или иначе связаные с теоремой Даффина-Шеффера.
Приведем один из результатов Н.Г.Чудакова /45/. Пусть /і(п)-конечнозначная функция натурального п,
М ((р) = sup
J2 кп)е^{
для х > 0, имеет место следующий результат.
Теорема. h(n)-4acmu4H0 периодична тогда и только тогда, когда М(<р) суммируема на некотором интервале (<>ъ2)-
Работа В.Н. Кузнецова /19/ посвящена получению аналога теоремы Сеге для рядов Дирихле; при этом была получена новая аналитическая характеристика L-функций Дирихле как мероморфных функций с единственно возможным полюсом в точке s — 1 и удовлетворяющих определенному условию роста модуля вдоль действительной оси. А именно, доказана
Теорема. Для рядов Дирихле
/« = s = a + it (2)
П=1
с конечнозначными коэффициентами следующие условия эквивалентны:
коэффициенты ап частично периодичны;
функция f(s) является мероморфной с единственно возможным простым полюсом в точке s = I, и удовлетворяет следующему условию роста модуля
\f(s)(s-l)\
где А - неотрицательная константа.
Результаты работ /44/, /45/, /19/ позволили более широко взглянуть на проблему обобщенных характеров и понимать ее как получение различных условий, в том числе и аналитических, при которых конечнозначная, вполне мультипликативная функция натурального аргумента с полной базой является периодической функцией.
Позднее, в работах /20/, /21/, /22/ В.Н. Кузнецова был разработан метод аналитического продолжения рядов Дирихле — метод редукции к степенным рядам, где в частности, показано, что ряд Дирихле тогда и только тогда определяет целую функцию, когда соответствующий (с теми же коэффициентами) степенной ряд имеет конечные радиальные производные любого порядка в точке z = 1, то есть существуют пределы вида
lim g{n)(x) = а„, п = 0,1,2,...
Отметим, что в теории приближений функций, непрерывных на отрезке, алгебраическими полиномами известно /14/, что степенной ряд
g(x) = ^2 апхп тогда и только тогда будет иметь производные любого
п=1
порядка в точке х = 1 , когда для величины п(д) наилучшего приближения функции д(х) алгебраическими полиномами степени ^ п выполняются
оценки
/ 1 \
при любом к.
Более того, точка z = 1 будет регулярной для функции g(z) тогда и только тогда, когда для Еп(д) (на отрезке [0; 1]) имеют место оценки
п{д) = ОІ— J, где д>1.
С этой точки зрения работы /20/, /21/, /22/ явились основой для аппроксимационного подхода в задаче аналитического продолжения рядов Дирихле, а также в проблеме обобщенных характеров.
Постановка задачи.
Настоящая диссертация посвящена развитию аппроксимационного подхода к проблеме обобщенных характеров и приложениям в теории L-функций, а именно, в работе рассматриваются следующие вопросы:
Изучение величины п(д) для степенных рядов с обобщенными характерами.
Получение критерия периодичности обобщенных характеров выраженного в терминах рядов Дирихле, аналогичного критерию имеющему место для степенных рядов в виде п(д) = О ( рг ], где Q > 1.
Применение аппроксимационного подхода к изучению аналитических свойств L-функций Дирихле.
Все, сказанное выше, позволяет говорить об актуальности темы диссертации.
Содержание работы.
Диссертация состоит из трех глав.
В первой главе изучается задача аналитического продолжения рядов Дирихле. Доказан критерий аналитического продолжения рядов Дирихле целым образом на комплексную плоскость в терминах аппроксима-ционных свойств функций, определяемых этим рядом в области сходимости. Этот критерий является аналогом известного критерия, выраженного в терминах аппроксимационных свойств функций, определяемых соответствующими степенными рядами, речь о котором шла выше.
Изучение свойств прямого и обратного преобразования Меллина позволило доказать следующий результат.
Теорема 1.2.1. Следующие условия эквивалентны:
f(s)- продолжима целым образом на всю комплексную плоскость;
существует последовательность полиномов Дирихле {Tn(s)}} которая при а\ > а > сто > J равномерно сходится к f(s) со скоростью о(^), для любого натурального к.
Отметим, что в теореме 1.2.1 утверждается существование полиномов Дирихле {Tn(s)} с хорошими аппроксимационными свойствами, но не удается указать вид полиномов Дирихле {Tn(s)}.
Во второй главе диссертации изучается задача аналитического продолжения рядов Дирихле с вполне мультипликативными коэффициентами для этого исследуется поведение степенных рядов с вполне мультипликативными коэффициентами при подходе к точке х = 1. В основе этих исследований лежит аппроксимационный подход, использующий аппарат сильно непрерывных, ограниченных полугрупп операторов (С.Н.О.П.О.). Известно /30/, /33/, что наличие С.Н.О.П.О. {V(t),t > 0}, действующих в банаховом пространстве, обеспечивает прямые и обратные теоремы теории приближения по собственным подпространствам аналогичные классическим, т.е. прямым и обратным теоремам приближения периодических функций тригонометрическими полиномами, но выраженные в терминах оператора, порождающего С.Н.О.П.О. и модулей функций к-го порядка. Все необходимые сведения относительно основных понятий, связанных с С.Н.О.П.О. вынесены в "Дополнение 1" настоящей диссертации.
В нашем случае построение соответствующей С.Н.О.П.О. позволило сравнить величину наилучшего приближения степенного ряда с вполне мультипликативными коэффициентами алгебраическими полиномами степени < п (Sn(g)) с величиной наилучшего приближения этого ряда алгебраическими полиномами с вполне мультипликативными коэффициентами степени < п („(#)) сначала на отрезке [0,1 — є], а затем в результате предельного перехода при є -» 0 и на отрезке [0,1]. В результате сравнения мы получили некоторую информацию о модуле непрерывности функции д(х) на отрезке [0,1].
Реализация этой схемы заключалась в следующем. Прежде всего сравнивались модули функций к-го порядка u)k(^,g{x), {V"()}) и
і "ІУ W})> гДе 9(х) = X) йпХп, 9i{x) = S apxp, и где {V(t), t >
п=\ р
0} определялась следующим образом :
V(t)xn = e"nV . В результате этого сравнения была доказана
Теорема 2.1.7.Пусть д{х) Є С[0,1], а д\(х) = 0(1) гари а; Є [0,1]. Тогда для величин Sn{g) имеет место оценка
п(д) = о(сь In"*(п)) ,
при п -> оо, где &- любое натуральное и, где Сп- некоторые константы, зависящие от п.
Замечание 1. Теорема 2.1.7 имеет место для степенных рядов не обязательно с вполне мультипликативными коэффициентами.
Замечание 2. Из теоремы 2.1.7 на основе общих результатов относительно приближения функций из пространства С[0,1] алгебраическими полиномами следует, для модулей непрерывности и^(^, д(х)) для любого к имеет место оценка
w*(—j 9ІХ)) — о(сп ln"*(n)) при n -* сю,
где Сп- некоторые константы, зависящие от п.
Далее исследуются условия теоремы в случае, когда коэффициенты ап = -|— где h(n)~ обобщенный характер. Дело в том, что в этом случае функция
" h{n)
ь(М =
п=1
как и в случае L-функций Дирихле, не имеет нулей в некоторой окрестности точки s = l. Этот факт позволил доказать следующий результат.
Теорема 2.2.1. Пусть h(n)- обобщенный характер и в комплексном случае h2(n) - также обобщенный характер. Тогда
1) g*(x) = J] рХр ограничена на отрезке [0; 1]; р
2)д(х)=Е^хпеС10'А];
n=l
3) п(д) = о{сп\п-кп)
где к- любое натуральное и Сп- некоторые константы, зависящие от п.
К сожалению, результаты теоремы 2.2.1 не позволяют сделать вывод относительно аналитического продолжения ряда Дирихле
00 h(n)
L(h,s) = J2
даже за ось сходимости. Но, по мнению автора, описанный выше подход исследования степенного ряда д(х) при подходе к точке х = 1 нуждается в дальнейшем совершенствование; он может привести к более сильным результатам.
В третьей главе работы получена важная аппроксимационная характеристика L-функций Дирихле. Доказана
Теорема 3.1.1. Следующие условия эквивалентны:
h(n)- периодическая функция начиная с некоторого номера;
существует последовательность полиномов Дирихле {Tn(s)}, которая для любого а в полуплоскости а > а$ > \ равномерно сходится к f(s) со скоростью 0(-^), где q > 1 и где константа не зависит от gq.
В этой теореме полиномы Дирихле {Tn(s)} имеют специальный вид. Они находятся по схеме по Бернштейна из полиномов Чебышева. Изучение полиномов Чебышева позволило доказать следующий результат.
Теорема 3.1.4. Пусть
т=Е
п=1
L-функция Дирихле, где х(п)~ неглавный характер Дирихле модуля т = 3,4,5, б, 8,10. Тогда существует последовательность полиномов Дирихле {Tn(s)}, которая в полуплоскости g >\ равномерно сходится к L(s) со
скоростью 0(-^), где q > 1 и где константа не зависит от а. Более того, для любой замкнутой ограниченной области D комплексной плоскости существует такая подпоследовательность {Tnk(s)} полиномов Дирихле, которая равномерно в области D сходится к L- функции Дирихле.
Теоремы 3.1.1 и 3.1.4 могут иметь важное применение при изучение
свойств L— функций. Во-первых, используя полиномы {Tnk(s)}, можно
получить приближенное функциональное уравнение для L-функции, во-
вторых, по теореме Гурвица /35/ нули L- функций приближаются нулями
щ полиномов {Tnk(s)}.
Как демонстрация возможности применения теорем 3.1.1 и 3.1.4 в работе доказана
Теорема 3.1.5. Пусть h- неглавный характер Дирихле модуля т = 3,4,5,6,8,10 , тогда
\L(h, a + it)\ = 0(1), при а > 1/2.
ф Далее в этой главе изучаются вопросы, связанные с распределе-
нием значений обобщенных характеров, и их взаимосвязь с гипотезой Н.Г.Чудакова. Как и в случае характеров Дирихле множество ненулевых значений обобщенного характера является некоторая группа корней &-ой степени из единицы. Поэтому рассматривается класс обобщенных характеров h(n), допускающих аппроксимацию характерами Дирихле в том смысле, что для любого натурального п существует характер Дирихле Хп такой, что
Ml) = Xn(l), М2)=Хп(2), ... ,h(n)=Xn(n). (3)
Оказывается для обобщенных характеров, допускающих аппроксимацию характерами Дирихле Хп с медленно растущими модулями тп, степенной ряд
gh(x) = Y, Кт)хт
m=l
в некоторой окрестности единицы допускает аппроксимацию рациональными функциями
9xn(x) = Y,Xn(rn)xm .
т=1
А именно, имеет место
Теорема 3.2.1 Пусть h(n)- неглавный обобщенный характер, удовлетворяющий следующим условиям:
1) последовательность
5(1) + 5(2) + ... + S{n)
&п = ,
где S(k) = ^2 Мп)> сходится;
2) модули тп характеров Хп> определенных условиями (3), удовле
творяют следующему условию медленного роста
4 ?7Г
- ->- 0 при п -»со. (4)
Тогда для любого є > О существует такая S - окрестность точки х = 1 и такое щ, что для некоторого п^ щ
\9п(х) -дХп{х)\ < є, х Є [1-М]. (5)
Казалось бы, что аппроксимация степенного ряда дн{х) рациональными функциями дХп{х) в окрестности х = 1 позволит получить необходимую информацию о поведении ряда ди{х) при подходе к точке х — 1. Но, к сожалению, как показано в работе, такая аппроксимация не обеспечивает достаточной гладкости дн{х) в точке х = 1.
Несмотря на этот факт, возможность аппроксимации функции дн{х) в окрестности единицы рациональными функциями дХп{х) ПРИ некоторых дополнительных ограничениях позволяет получить периодичность характера h(n). С этой целью рассматривают степенные ряды вида
9п(х) = gh(x)[l + X + . . . + Xти"-1] - Pmn-l(x), (6)
( \ Pmn-l(x)
где <7у„(я) = г-
Отметим, что для дп{х) выполняется следующее условие, для любого є > О существует такое по, что для некоторого п > щ существует такая 5п - окрестность точки х = 1, что имеет место оценка
\дп(х)\<, хе[1-6п,1]. (7)
В терминах рядов дп(х) доказана
Теорема 3.2.3. Пусть обобщенный характер h(n) удовлетворяет условиям теоремы 3.2.1 и дополнительно условию
—- —> 0 при п —> со , п
и пусть для функций дп(х) вида (6), частичные суммы ряда Sn>k(x) также удовлетворяют условию (7) в некоторой окрестности точки х — 1, начиная с некоторого номера, то есть при k ^ ко
\Sn>k{x)\
Тогда h(n) - характер Дирихле.
Замечание 3. Условие (8) имеет место для любого характера Дирихле.
Более того доказан один упрощенный аналог теоремы Даффина и Шеффера /2/, имеющей место для степенных рядов с конечнозначными коэффициентами. В отличии от этой теоремы мы не требуем ограниченности степенного ряда в некотором секторе единичного круга, а накладываем ограничение на поведение функции дп(х) в действительном направлении. Имеет место
Теорема 3.2.4. Пусть при некотором п степенной ряд
9n(x) = ^2a(^)xk
k=0
в некоторой окрестности точки х = 1 имеет ограниченные в совокупности частичные суммы Зм(дп(х)). Тогда h(n) - характер Дирихле.
Научная новизна работы заключается в следующем:
Получен аппроксимационный критерий целостности ряда Дирихле, выраженный в терминах скорости убывания величин наилучшего приближения ряда Дирихле полиномами Дирихле в полосе, принадлежащей области сходимости ряда.
Предложен подход исследования граничного поведения степенных рядов с вполне мультипликативными коэффициентами, использующий аппарат ограниченных полугрупп операторов; предложенный подход увязан с задачей о вещественных нулях соответствующих рядов Дирихле.
Получен аппроксимационный критерий периодичности обобщенных характеров, выраженный в терминах скорости убывания величин наилучшего приближения ряда Дирихле полиномами Дирихле в области сходимости ряда Дирихле.
Как приложение аппроксимационного критерия периодичности обобщенных характеров для L-функций Дирихле с характерами малых модулей доказано существование последовательности полиномов Дирихле специального вида которая сходится к соответствующей L-функции в некоторой области, содержащей полуплоскость сходимости L-функции.
В ряде случаев выявлена связь между распределением значений обобщенных характеров и их периодичностью: получены условия периодичности для обобщенных характеров, значения которых допускают аппроксимацию значениями характеров Дирихле с медленно растущими модулями.
Теоретическая и практическая значимость.Диссертационная работа носит теоретический характер. Методы и результаты работы могут быть полезны специалистам работающим в теории L- функций. Результаты работы могут быть использованы в учебном процессе при чтении специальных курсов студентам Саратовского государственного университета, Самарского государственного университета, Московского педагогического государственного университета.
Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на семинаре кафедры алгебры и теории чисел СГУ, на научных конференциях на механико-математическом факультете СГУ (2000-2003), на 11-ой Саратовской зимней школе по теории функций (2002), на международной алгебраической конференции, посвященной памяти З.И.Боревича (Санкт-Петербург, 2002) , на V международной конференции "Алгебра и теория чисел: современные проблемы и приложения" (Тула, 2003).
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 8 работах, /7/, /8/, /9/, /10/, /24/, /25/, /27/, /28/.
Метод редукции к степенным рядам в задаче аналитического продолжения рядов Дирихле целым образом на комплексную плоскость
Получен аппроксимационный критерий целостности ряда Дирихле, выраженный в терминах скорости убывания величин наилучшего приближения ряда Дирихле полиномами Дирихле в полосе, принадлежащей области сходимости ряда.
Предложен подход исследования граничного поведения степенных рядов с вполне мультипликативными коэффициентами, использующий аппарат ограниченных полугрупп операторов; предложенный подход увязан с задачей о вещественных нулях соответствующих рядов Дирихле.
Получен аппроксимационный критерий периодичности обобщенных характеров, выраженный в терминах скорости убывания величин наилучшего приближения ряда Дирихле полиномами Дирихле в области сходимости ряда Дирихле.
Как приложение аппроксимационного критерия периодичности обобщенных характеров для L-функций Дирихле с характерами малых модулей доказано существование последовательности полиномов Дирихле специального вида которая сходится к соответствующей L-функции в некоторой области, содержащей полуплоскость сходимости L-функции. В ряде случаев выявлена связь между распределением значений обобщенных характеров и их периодичностью: получены условия периодичности для обобщенных характеров, значения которых допускают аппроксимацию значениями характеров Дирихле с медленно растущими модулями. Теоретическая и практическая значимость.Диссертационная работа носит теоретический характер. Методы и результаты работы могут быть полезны специалистам работающим в теории L- функций. Результаты работы могут быть использованы в учебном процессе при чтении специальных курсов студентам Саратовского государственного университета, Самарского государственного университета, Московского педагогического государственного университета. Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на семинаре кафедры алгебры и теории чисел СГУ, на научных конференциях на механико-математическом факультете СГУ (2000-2003), на 11-ой Саратовской зимней школе по теории функций (2002), на международной алгебраической конференции, посвященной памяти З.И.Боревича (Санкт-Петербург, 2002) , на V международной конференции "Алгебра и теория чисел: современные проблемы и приложения" (Тула, 2003). Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 8 работах, /7/, /8/, /9/, /10/, /24/, /25/, /27/, /28/. Как известно, в аналитической теории чисел решение теоретико - числовых задач связано с изучением аналитических свойств соответствующих рядов Дирихле. Так, ассимптотический закон распределения простых чисел, непосредственно связан с отсутствием нулей у дзета-функции Римана на прямой а — 1. Задача распределения простых в арифметических прогрессиях связана с расположением нулей L - функции Дирихле и т.д. Важным вопросом при применении аналитических методов является задача аналитического продолжения соответствующих рядов Дирихле за пределы оси сходимости, в частности, на всю комплексную плоскость. Эта задача является важной при окончательном решении проблемы обобщенных характеров. Действительно, в работе /19/ показано, что проблема обобщенных характеров имеет положительное решение, если ряд Дирихле с неглавным обобщенным характером можно продолжить целым образом на комплексную плоскость с определенным ограничением на порядок роста модуля вдоль действительной оси. Нужно отметить, что основным подходом при решении задачи аналитического продолжения рядов Дирихле, связанных с решением числовых задач, является получение функциональных уравнений, которые отражают арифметические свойства этих рядов. Но, к сожалению, свойств обобщенных характеров не достаточно для получения соответствующих функциональных уравнений, и здесь автору кажется наиболее эффективным метод аналитического продолжения рядов Дирихле - метод редукции к степенным рядам, разработанный в работах В.Н. Кузнецова /19/, /20/, /21/, /23/. Суть этого метода заключается в том, что задача аналитического продолжения рядов Дирихле сводится к проверке выполнения определенных свойств на границе сходимости для степенного ряда с теми же самыми коэффициентами, что и у ряда Дирихле (1). В основе метода редукции к степенным рядам лежит изучение свойств прямого и обратного преобразования Меллина Эти преобразования явно указывают на взаимо связь между аналитическими свойствами функций, определенных рядами Дирихле и поведением соответствующего степенного ряда. Примером такого рода утверждений может служить следующий результат, полученный в работах /20/, /23/.
Теорема 1.1.1. Ряд Дирихле (1) с условием lim v/a„ = 1 тогда и только тогда продолжим целым образом на комплексную плоскость, когда степенной ряд (2) имеет конечные радиальные производные в точке z = 1, то есть существуют пределы вида
Замечание 1. Степенные ряды и ранее привлекались при решении задачи аналитического продолжения рядов Дирихле (например, /44/, /46/). Но при этом рассматривался случай, когда соответствующий степенной ряд определял функцию, имеющую на границе сходимости только изолированные особенности. В нашем случае утверждение теоремы 1.1.1 имеет место и тогда, когда степенной ряд непродолжим за границу сходимости.
Ограниченная полугруппа операторов и вопросы полиномиального приближения степенных рядов с вполне мультипликативными коэффициентами
Таким образом встает задача изучить поведение величины п(д) для степенных рядов с вполне мультипликативными коэффициентами. С этой целью используется аппарат сильно непрерывной ограниченной полугруппы операторов (С.Н.О.П.О.). Известно /33/,/30/, что наличие С.Н.О.П.О. {V(t),t 0}, действующих в банаховом пространстве, обеспечивает прямые и обратные теоремы приближения по собственным подпространствам, аналогичные классическим, т.е. прямым и обратным теоремам приближения периодических функций тригонометрическими полиномами, но выраженные в терминах оператора, порождающего С.Н.О.П.О., и модулей функции к-го порядка. Необходимые сведения относительно С.Н.О.П.О. приведены в "Дополнениеі" настоящей диссертации.
В нашем случае построение соответствующих С.Н.О.П.О. позволило сравнить величину наилучшего приближения функции (2) алгебраическими полиномами степени п Sn(g) с величиной наилучшего приближения функции (2) алгебраическими полиномами с вполне мультипликативными коэффициентами S {g) сначала на отрезке [0,1 — є], а затем в результате предельного перехода при є —» 0 и на отрезке [0,1].
Рассмотрим пространство С[0; 1 — є] = Н. Отображение определяет изоморфизм пространства четных 27г-периодических функций С [0;27г], на пространство Нє. В пространстве С [0;27г] действует ограниченная полугруппа операторов, порожденная квадратом оператора дифференцирования. Определенный выше изоморфизм индуцирует С.Н.О.П.О. {V(t),t 0}, действующих в пространстве Не. Собственными функциями оператора Ає, порождающего полугруппу {14()}, являются полиномы вида где Т (ж)-полиномы Чебышева для отрезка [—1;1]. Собственное подпространство Яп, порожденное полиномами вида (3) степени не выше п, совпадает с подпространством полиномов, степень которых не превосходит п. Пусть п{д) величина наилучшего приближения функции д{х) полиномами из подпространства Нп; u k(5, д, {V(t)})- модуль функции д(х) к-го порядка: 4k Как уже отмечалось выше в данном случае имеют место прямые и обрат ные теоремы приближения функции д Є Нє алгебраическими полиномами, аналогичные классическим теоремам приближения 2п - периодических функций тригонометрическими полиномами, но выраженные в терминах оператора Ає и модулей функции к-го порядка шь{5,д, {V(t)}). В частности, имеет место Пусть Н- обозначает линейное пространство степенных рядов, коэф фициенты которых ап удовлетворяют условию: lim-y/an = 1. Обозначим Н замыкание пространства Н в пространстве С[0,1-е]. Пусть, далее Нр пространство степенных рядов, коэффициенты которых ап удовлетворяют условию: Ншд/оп = 1, ап = 0 если п ф р (р- простое). "Нре - замыкание пространства Нр в пространстве С[0,1 — є]. Пусть далее Н обозначает подмножество полиномов степени п с вполне мультипликативными коэффициентами. Определим в этом подмножестве операцию "сложение" следующим образом. Под суммой двух таких полиномов будем понимать полином с мультипликативными коэффициентами, у которого коэффициенты при простых степенях х определяются как сумма соответствующих коэффициентов слагаемых. Аналогично определяется "умножение на число". В итоге Н становится линейным пространством той же размерности, что и Щ. Обозначим через Н замыкание линейной оболочки "подпространств" {Н } в Не. Как уже отмечалось выше в пространстве Н действует С.Н.О.П.О. { еСО} Кроме того, в пространстве Нє действует еще одна С.Н.О.П.О. W(1)( )}; Действительно, так как {хп}, п = 0,1,..., безусловный базис в пространстве Н С С[0,1-е], то, как показано в /29/ {Ve (t)} ограниченная полугруппа операторов. Ясно, что полугруппа {V} (t)} действует и на пространстве Не. При этом, ее порождающий оператор является квадратом оператора, порождающего ограниченную группу операторов, и поэтому действие полугруппы операторов {V} (t)} на пространствах Н и Щ. обеспечивает наличие прямых и обратных теорем теории приближения функций из этих пространств алгебраическими полиномами степени не выше п (в случае Н полиномами по простым степеням), аналогичные классическим теоремам в случае 27г-периодических функций тригонометрическими полиномами, но выраженными в терминах модулей к-го порядка u k(5,g,{V} (t)}) Покажем, что наличие С.Н.О.П.О. {V{1\t)}, действующей в пространстве Щ определяет С.Н.О.П.О. {VJ (t)} действующую в пространстве Н . Рассмотрим линейное отображение которое на плотном множестве многочленов с вполне мультипликативными коэффициентами определяется следующим образом.
Оценки скорости приближения полиномами степенных рядов с вполне мультипликативными коэффициентами
Функция г г непрерывна при т 1 и стремится к нулю при m — -Ьоо, значит ограниченна константой, зависящей только от а. В ре-зультате мы получим, что при а сг0 —со полиномы Pn(s) равномерно ограниченны где константа с зависит только от сто По теореме 3.1.1 полиномы Дирихле Pn(s) равномерно сходятся к L(h,s) при а ао "J со скоростью О( ). Множество функций {Pn(s)} является равномерно ограниченным в любой ограниченной замкнутой области D комплексной плоскости, и , следовательно, по теореме Монтеля /32/ является компактным множеством. Тогда существует подпоследова-тельность полиномов Дирихле {Рщ(з)}, равномерно сходящаяся внутри D к некоторой регулярной функции. Ясно, что при о % последовательность {Рщ(х)} сходится к L-функции. Для завершения доказательства теоремы 3.1.4. достаточно расмотреть область D\, котороя содержит область D и подобласть с усло вием а Л. Что доказывает теорему 3.1.4. Замечание. Результаты теоремы 3.1.1 и 3.1.4 могут быть полезными при изучении вопросов связанных с нулями L-функций Дирихле. Так теорема Гурвица /35/ , утверждает, следующие. Теорема.Пусть /i(z), /2(2),... -последовательность функций, аналитических в некоторой области D, ограниченной простым замкнутым контуром, и пусть равномерно в D. Предположим, что функция f(z) не равна тождественно нулю. Тогда точка ZQ, лежащая внутри D, в том и только в том случае есть нуль функции f{z), если она является предельной для множества нулей функций fn(z); при этом к предельным причисляются все точки, служащие нулями бесконечного числа функций fn{z). Результаты этой теоремы и теоремы 3.1.4 сводят задачу изучения нулей L-функций Дирихле к задаче изучения нулей полиномов Дирихле Pn{s) приближающих L(h,s). Коэффициенты полиномов Pn{s) конструктивно находятся, как коэффициенты Фурье по системе полиномов Чебы-шева Tn(z) для степенного ряда g(z) соответствующего L(h,s), который является рациональной функцией. Кроме того, в процессе доказательства теоремы 3.1.4 мы получили, что в случае маленьких модулей сами полиномы Pn(s) обладают хорошими свойствами. Используя полиномы Дирихле Pn(s) можно получить приближенное функциональное уравнение для L-функции Дирихле и сравнить его с известным /6/, /36/. Можно, также получить соотношения симметрии относительно оси сг = для полиномов Дирихле Pn(s). Приведем теорему демонстрирующую возможность приложения теорем 3.1.1 и 3.1.4. в теории L-функций. Теорема 3.1.5. Пусть h- неглавный характер Дирихле модуля т = 3,4,5, б, 8,10 , тогда Доказательство. Из теоремы 3.1.4 следует, что существует последователь-ность полиномов Дирихле Pn{s), которая приближает L(h,s), т.е. имеет место следующие соотношение равномерно в полуплоскости а ао 0, с константой независящей от а. Более того, полиномы Pn(s) равномерно ограниченны в этой полуплоскости, значит и константа абсолютна при а 1/2. В данном параграфе изучаются вопросы распределения значений обобщенных характеров и их взаимосвязь с гипотезой Н.Г. Чудакова.
Как и в случае характера Дирихле множеством ненулевых значений обобщенного характера является некоторая группа корней к-ой степени из единице. Поэтому рассмотрим класс таких обобщенных характеров, для значений которых выполняются следующие условия:
Аппроксимационная характеристика L - функций Дирихле
Во всех классических теоремах обязательно присутствует модуль непрерывности, построение которого осуществляется с помощью операции сдвига, причем, было выяснено, что для получения прямых теорем принципиальным оказывается следующие условия операции сдвига.
Операторы сдвигов образуют группу операторов на пространстве непрерывных 27г-периодических функций с равномерной нормой, причем порождающий оператор (определение группы и порождающего оператора дано ниже) является оператором дифференцирования и гладкость функции выражается в принадлежности области определения степени порождающего оператора, а приближения осуществляются по подпространствам тригонометрических полиномов степени не выше п, которые являются инвариантными подпространствами порождающего оператора.
В силу этих замечаний, для построения теории приближения в банаховом пространстве рассматривают ограниченную полугруппу операторов, и ее порождающий оператор, которые являются аналогами группы сдвигов и оператора дифференцирования, действующих в пространстве 27г-периодических функций с равномерной нормой. Наличие такой полугруппы операторов позволяет получать прямые и обратные теоремы приближения по собственным подпространствам, аналогичные классическим теоремам теории приближения тригонометрическими полиномами.
Впервые такие теоремы приближения были получены в работе Н.П.Купцова /30/. При этом Н.П.Купцов рассматривал ограниченные полугруппы операторов с дискретным спектром, что связанно с резольвентным методом теории операторов при получении прямых и обратных теорем.
Подход более близкий по духу к конструктивной теории функций был рассмотрен в работе А.П.Терехина /33/, где были получены прямые и обратные теоремы приближения, аналогичные классическим, структурные свойства элементов в которых были выражены в терминах ограниченной полугруппы и ее производящего оператора. Позже этот подход получения прямых и обратных теорем теории приближения в банаховом пространстве получил развитие в работах других авторов. Определение 1. Семейство V(t) (О t со) определенных всюду в В (комплексном банаховом пространстве) ограниченных линейных операторов называется сильно непрерывной ограниченной полугруппой операторов (С.Н.О.П.О.), если 1) Если для семейства V(t), условия 1), 3), 4) выполнены на всей оси (—со, со), то V(t) называется сильно непрерывной ограниченной группой операторов (С.Н.О.Г.О.). t Определение 2. Линейный оператор Q с областью определения DQ С В называется порождающим (производящим) для С.И.О.П.О. V(t) если 1) для всякого f Є DQ 2) для некоторого f Є В предел (по норме В) при t — 0 выражения \{V(t) — E)f существует и равен g, то f Є DQ и Qf = g. Оператор Q является замкнутым оператором область определения которого DQ плотна в В. Значение группы (полугруппы) V(t)f для всякого элемента / Є В является абстрактной функцией действительного переменного t. Определение 3. Ва-множество тех элементов да Є В, для которых абстрактная функция V{t)ga является целой функцией (экспоненциального типа) конечной степени а, то есть V(t)ga продолжима на комплексную плоскость до целой функции и для всякого є 0 выполняется неравенство с некоторой постоянной А — Л(є). В работе /33/ доказана Теорема 1. Для того, что бы да Є Ва необходимо и достаточно, чтобы для всякого натурального г выполнялось неравенство (аналог неравенства Бернштейна) Множество Ва есть инвариантное подпространство производящего оператора. В случае если имеется С.Н.О.Г.О в /33/ доказаны прямые и обратные теоремы теории приближений по подпространствам Ва, аналогичные прямым и обратным теоремам теории приближений целыми функциями конечной степени. Там же (в /33/) показано, что прямые и обратные теоремы имеют место и в случае полугруппы операторов если ее порождающий оператор Р удовлетворяет следующим условиям: где s- некоторое натуральное число, 0 в 27Г, a Q порождает ограниченную группу операторов. На основе прямых и обратных неравенств в конструктивной теории функций доказываются теоремы об О-отношениях и отношениях порядка для модулей непрерывности и наилучших приближений /34/. Эти теоремы полностью переносятся на общий случай. Аналогичные теоремы верны и для модулей, построенных по разным полугруппам.
![Характеры представлений квантовой тороидальной алгебры [hat hat gl_1]](/i/i/4718/570000.png "Характеры представлений квантовой тороидальной алгебры [hat hat gl_1] Мутафян Георгий Семенович")
