Содержание к диссертации
Введение
1. Общие вопросы осреднения слоистых структур
1.1. Осреднение периодических сред
1.2. Осреднение регулярных сред
1.3. Осреднение неоднородных сред с быстро осциллирующими параметрами
1.4. Осреднение однородных упругих систем с контактом проскальзывания на границах
1.5. Осреднение упруго-жидких однородных систем
2. Построение эффективных СРВД для идеально упругих анизотропных структур
2.1. Характеристическая матрица анизотропной упругой среды
2.2. Построение эффективной среды для системы с анизотропией общего вида
2.3. Эффективные среды для систем с частными видами анизотропии
3. Осреднение упруго-жидких систем и систем с контактом проскальзывания. исследование эффективных сред
3.1. Осреднение периодических изотропных упругих систем с контактом проскальзывания между периодами и упруго-жидких систем 65
3.2. Осреднение периодических анизотропных систем с контактом проскальзывания между ьпериодами и упруго-жидких систем 70
3.3. Исследование волновых процессов в некото рых эффективных средах 82
3.4. Построение и исследование многофазной эффективной среды 98
3.5. Осреднение периодических систем с неидеальным контактом 110
4. Эффективные среды для некоторых неидеалыюшругих систем 113
4.1. Осреднение вязко-упругих сред с упругим последействием 113
4.2. Влияние неидеальности контакта на вид определяющих уравнений эффективной среды 119
4.3. Осреднение термоупругих и теплопроводящих сред 122
5. Исследование области допустимых частот 129
5.1. Получение замкнутых выражений для главных членов погрешности допускаемой при осред нении 129-
5.2. Некоторые количественные результаты 136
Заключение
- Осреднение регулярных сред
- Построение эффективной среды для системы с анизотропией общего вида
- Осреднение периодических анизотропных систем с контактом проскальзывания между ьпериодами и упруго-жидких систем
- Построение и исследование многофазной эффективной среды
Введение к работе
История изучения волновых процессов в слоистых средах насчитывает много десятилетий, однако наибольшее значение данная проблема приобрела в последнее время в связи с прикладными задачами геофизики, акустики, строительной механики и механики композитов. Среди всех слоистых структур важное место занимают широко распространенные среды, физические свойства которых немонотонно изменяются в направлении перпендикулярном слоистости. Такие среды могут иметь как естественное (осадочные породы), так и искусственное (слоистые композиты) происхождение.
При исследовании распространения волн в слоистых средах естественно подразделять слои, входящие в эти среды на толстые и тонкие. Критерием такого разделения служит отношение толщины слоя к длине распространяющейся волны. Системы, состоящие из толстых слоев, могут успешно изучаться на базе весьма полно разработанных лучевых представлений / 4-6 /. Для тонкослоистых же систем, вследствие интерференции большого числа волн, задача существенно усложняется. Вместе с тем тот факт, что при падении достаточно длинных волн многие слои тонкослоистой системы деформируются совместно (т.е. волновые процессы в отдельном слое оказываются несущественными), позволяет рассчитывать, что тонкослоистую среду хотя бы в первом приближении можно характеризовать некоторыми интегральными осредневными параметрами и тем самым существенно упростить исходную задачу.
Переход от тонкослоистой среды с быстро осциллирующими параметрами к эквивалентной ей в длинноволновом приближении среде с медленно меняющимися характеристиками будем называть осреднением, а полученную при этом среду - осредненной или эффективной.
Перше работы, в которых было установлено, что длинные волны в периодической слоистой изотропной среде распространяются так же, как в некоторой однородной анизотропной среде, появились в конце ПХ-начале XX века. В этой связи следует упомянуть работу Н.П.Кастерина / 25 /, в которой на основании изучения дисперсионного соотношения вычислялись скорости длинных волн в периодической среде.
Значительно позднее, в работах Ю.В.Ризниченко, Р.Постмы и С.М.Рытова / 61-64, 99 / на основании некоторых гипотез о характере волнового поля в тонкослоистой среде была сделана попытка определения эффективных упругих параметров для среды, состоящей из двух чередующихся между собой слоев. К сожалению, в упомянутых работах удалось определить не все упругие параметры осредненной среды.
Впервые правильные выражения для всех пяти эффективных упругих параметров периодической изотропной среды, каждый период которой состоит из нескольких однородных слоев, были получены Г.Бейкусом в работе / 78 / (1962 г.). Затем, в 1967 году Э.Беренс /79, 80 / на основании несколько иного подхода смог записать формулы для определения эффективных параметров в случае, когда каждый период представляет собой неоднородный слой.
Вообще же вопросу осреднения периодических сред было посвящено в последние несколько десятков лет довольно боль - 7 -шое количество работ. В большинстве из них задача определения эффективных параметров для упругой и электромагнитной периодических сред решалась на основании более или менее физически оправданных предположений о волновом поле либо о способах усреднения скоростей распространения волн. В работах /67, 73 / приведены значения эффективных упругих постоянных не только для изотропных, но и для анизотропных периодических сред.
Несколько особняком стоит работа Л.Бриллюэна и М.Пароди / 20 /, в которой для исследования периодических структур использовалось так называемое борновское приближение решения волнового уравнения в периодической среде. Идея этого приближения состоит в разложении волнового поля в ряд по малому параметру, которым является относительное колебание скоростей. Недостаток упомянутого метода заключается в его неэффективности в наиболее интересном случае не малых колебаний скоростей.
В середине 70-х годов Н.С.Бахваловым был предложен новый весьма плодотворный подход к проблеме осреднения, названный асимптотическим анализом. Основные идеи этого метода, использующего в качестве малого параметра период неоднородности исходной среды / , изложены в работах / 7-II /. Общая схема асимптотического метода состоит в следующем.
Предполагается, что искомые решения и характеристики исходной среды зависят от двух групп аргументов - медленных г и быстрых z// , а также от параметра / . Производя разложение по малому параметру / можно свести рассматриваемую задачу к двум отдельным задачам, первая из которых зависит уже только от медленного аргумента г и является осреднен - 8 -ной задачей, а вторая называется задачей на ячейке периодичности.
Асимптотический анализ может быть применен для осреднения весьма широкого класса сред, в том числе и нелинейных.
В монографии Б.Е.Победри / 57 / методом асимптотического анализа получены выражения для эффективных параметров периодических и регулярных (т.е. периодических по быстрой переменной) сред, обладающих анизотропией как общего, так и некоторых частных видов.
Обоснованию метода асимптотического анализа посвящено довольно большое количество работ (например, /22, 51, 52, 81, 100 / ), в которых для многих задач доказывается сходимость по определенной норме точного решения к решению осред-ненной задачи при стремлении периода структуры к нулю.
Примерно в одно время с работами Н.С.Бахвалова появились работы В.Л.Бердичевского / 12-16 /, в которых проблемы осреднения решались на основании некоторых общих вариационных принципов.
Однако, несмотря на то, что решения осредненной задачи при достаточно малых значениях к могут быть как угодно близки к решениям исходной задачи, однородная эффективная среда обладает некоторыми качественными отличиями от периодической среды. Главным из этих отличий является отсутствие в однородной среде геометрической дисперсии, присущей неоднородной среде.
Это обстоятельство вызвало появление целого ряда теорий перехода от периодических сред к некоторым континуальным моделям, учитывающим геометрическую дисперсию исходной среды. Все эти теории можно разделить на теории конструктивного типа и аксиоматические теории.
К теориям конструктивного типа относятся, в частности, теория эффективных жесткостей и дискретно-континуальная теория. Теория эффективных жесткостей, базирующаяся на работах / 3, 65, 85, 101 / предполагает, что смещение в каждом слое линейно зависит от нормальной координаты. Получающиеся в результате этого предположения определяющие уравнения эффектив-ной модели содержат величины порядка . При выводе же определяющих уравнений дискретно-континуальной теории каждый слой исходной среды описывается уравнениями теории оболочек, которые затем усредняются /17, 18, 24, 93 /.
К теориям аксиоматического типа принадлежит прежде всего теория смесей. Согласно этой теории, основы которой изложены в работах /72, 95 /, в каждой точке среды находятся частицы всех исходных компонентов и эффективная среда моделируется при помощи теории смесей. Силы взаимодействия между различными компонентами смеси вводятся при этом аксиоматически.
Теориями аксиоматического типа являются также микрополярная теория / 90 /, микроструктурная теория / 95 / и некоторые другие.
Осреднение регулярных сред
В. предыдущем параграфе было показано, что если характе-ристичеакая матрица ?(?/# // ) некоторой неоднородной среды является, периодичной по своему второму аргументу а периодом А - Я , то такую среду в области, ниаких частот можно заменить эффективной средой а характеристической матрицей 26 (?///) -Зё(г/#) t причем матрица &(&//) получается; из матрицы 2С(г///; г/А) усредненжем поз периоду. Однако, требование периодичности матрицы #&//, "?) по -$ является- слишком сильным и era можно значительно ослабить. Предположим, что характеристическая матрица некоторой неоднородной вдоль оси г среды, ограниченной плоскостями s o кг // , представляется в виде я?{г)-зе (г/#, /4) При этом малый параметр А = /I характеризует быстроту изменения свойств заданной среды. Кроме того, матрица я?(z/yv, z// ) предполагается непрерывной по первой переменной. В настоящем параграфе доказывается, что необходимым и достаточным условием возможности осреднения рассматриваемой среды является существование предела г//, для всех z [о, //] . Матрица ё{г///) , стоящая в правой части равенства (I.3.I), как раз и будет характеристической матрицей осредненой среды. Остановимся вначале на доказательстве достаточности условия (I.3.I). Введем некоторую матрицу &?0 ( в///, г/4) , определив ее соотношением очевидно, что Вновь, как и в параграфе 1.2, будем исследовать коэффициенты при последовательных степенях волнового числа в выражении для матрицы неоднородного слоя (1.2.4). Необходимо подчеркнуть, что использовать для определения осредненной матрицы Ё(г///) формулу (I.3.I) можно только тогда, когда зависимость исходной характеристической матрицы Є(2///, ?) от переменной -? задана в явном виде для всех є [о, ] На практике же матрица &Є(2//Ґ, ?} часто определена лишь на конечном промежутке с «г ft/4. В таком случае в качестве характеристической матрицы осредненной среды следует брать некоторую медленно меняющуюся матрицу - функцию Hi (&///J , являющуюся аппроксимацией матрицы (Очевидно, что матрица Л? {?///, г/% J является быстро осциллирующей с амплитудой осцилляции порядка .»{/() ). раграфах, мы рассматривали неоднородные среды, характеристические матрицы которых Я?(2/// //() быстро осциллировали с ростом координаты 2 . При этом предполагалось, что в исходной среде смещения /fx , Яг и напряжения , t??z являются непрерывными функциями от 2 . Откажемся теперь от требования непрерывности смещения #х в исходной системе, но зато предположим, что ее характеристическая матрица не зависит от 2 . Итак, рассмотрим систему, состоящую из h изотропных однородных слоев с плоско-параллельными границами, ограниченную плоскостями 2 -о и z- - // . Между слоями имеет место контакт с проскальзыванием, другими словами, на границе между і -ым и ( + ) -ым слоем выполняются следующие условия Каждый слой нашей системы имеет толщину так, что и описывается матрицей слоя Подчеркнем, что матрица слоя размера 4x4 характеризует упругий слой, находящийся в жестком контакте с окружающей средой, и непригодна для описания слоя, на границах которого имеет место контакт с проскальзыванием.
Поэтому, прежде, чем перейти к исследованию заданной системы, скажем несколько слов о матричном описании упругого слоя, находящегося в кон- Рассмотрим упругий слой толщины А , на границах которого выполняются условия вида (І.4.І). Так как поверхности, на которых имеет место контакт с проскальзыванием, свободны от касательных напряжений, то образы смещений и нормального напряжения на границах 2-о и J? связаны друг с другом соотношением На основании выражения (1.4.25) или (1.4.28) можно сделать вывод, что исходная система в области достаточно низких частот ( х/ f ) эквивалентна некоторой однородной среде, характеризующейся матрицей , причем погрешность, вызванная заменой исходной системы эффективной средой имеет порядок хг4г . Указанная эффективная среда описывается следующими уравнениями, связывающими образы нормальных смещений и напряжений Уравнениям (1.4.30) в свою очередь соответствуют уравнения движения и закона Гука для эффективной среды Следовательно, эффективной средой для рассматриваемой системы является однородная трансверсально-изотропная среда специального вида. Эффективные параметры этой среды % я , /&,/& ,/"" и f выражаются через параметры исходной системы по формулам Рассмотрим систему, состоящую из чередующихся упругих и жидких однородных изотропных слоев с плоско-параллельными границами. Толщины упругих и жидких слоев обозначим соответственно через Так как упругий слой, граничащий с жидкими средами, находится в контакте с проскальзыванием, то каждый упругий слой нашей системы будет описываться матрицей . , которая задается соотношением (1.4.15). В свою очередь, каждый жидкий слой будет описываться мат-рщей С , которая связана с характеристической матрицей жидкой среды X формулой При этом матрица Зв имеет вид Каждая же пара, состоящая из упругого и жидкого слоев, будет описываться матрицей Подставив в формулу (1.5.6) выражения (1.5.3) и (1.4.21), с точностью до величин порядка Xі4 получим или, обозначая Вся упруго-жидкая система будет описываться матрицей для. которой справедлива следующая асимптотическая формула а характеристическая матрица осредненной среды &?г}. ( ) и функции / t {г) , 4$ fej определяются путем задания их значений в /г точках следующим образом Таким образом, мы видим, что эффективная среда для рассматриваемой системы является, вообще говоря, неоднородной. Если же предположить, что жидкие и упругие компоненты распределены в исходной системе приблизительно равномерно, т.е. если для любых /,j - выполняются соотношения то в этом случае исходную систему в области низких частот можно заменить эффективной средой, которая является однородной и характеризуется матрицей Допускаемая при этом погрешность имеет порядок л . Попробуем теперь записать уравнения, которыми описывается эффективная среда.
При этом для простоты ограничимся случаем, когда указанная среда однородна. Используя равенства (1.4.9), (1.4.10), (1.5.4) и (1.5.5) на основании соотношения (1.5.16) мы можем выписать явное выражение для матрицы ( причем Таким образом, связь между образами нормальных смещений и напряжений в эффективной среде задается уравнениями С помощью закона іука и уравнений движения сплошной одно-компонентной среды не удается выполнить соотношения (1.5.19). Поэтому предположим, что эффективная среда состоит из двух компонент (жидкой и упругой) и снабдим напряжения и смещения в каждой компоненте соответствующими дополнительными значками I и s . Для смещений и напряжений вдоль оси г согласно граничным условиям справедливы соотношения соответствующие же величины вдоль оси X оказываются различными. Запишем уравнения движения и закон І гка для нашей среды в следующей форме После ряда преобразований уравнений (I.5.21) можно прийти к соотношениям аналогичным (1.5.19). Сравнение полученных соотношений с соотношениями (1.5.19) приводит к следующим формулам, определяющим эффективные параметры Если теперь обозначить то закон Гука для эффективной среды можно записать в виде который показывает, что данная среда является трансверсаль-но-изотропной. Равенство же выражает собой закон Паскаля. В заключение заметим, что при М - о , т.е. когда толщины всех жидких слоев в рассмотренной системе стремятся к нулю, эта система переходит в однородную упругую систему с контактом проскальзывания между слоями. Соответственно этому, полученная в настоящем параграфе эффективная среда переходит в однородную трансверсально-изотропную среду специального вида, рассмотренную в 1.4. Подход к осреднению упругих изотропных систем с быстро осциллирующими параметрами, предложенный в главе I, может быть обобщен на случай систем, обладающих анизотропией любого вида. Интерес к осреднению такого рода систем вызван возможностью объяснения физических причин анизотропии реальных сред, например, сред, состоящих из большого числа упорядоченно расположенных кристаллов.
Построение эффективной среды для системы с анизотропией общего вида
Подход к осреднению упругих изотропных систем с быстро осциллирующими параметрами, предложенный в главе I, может быть обобщен на случай систем, обладающих анизотропией любого вида. Интерес к осреднению такого рода систем вызван возможностью объяснения физических причин анизотропии реальных сред, например, сред, состоящих из большого числа упорядоченно расположенных кристаллов. Пусть в декартовой системе координат х, $, г задана анизотропная упругая среда о г s /S , неоднородная вдоль координаты 2 . Эта среда описывается уравнениями движения При этом - составляющие вектора смещений, г л - компоненты тензора напряжений ( ,/4 х,/, Х A-W ll - матрица упругих постоянных. Параметрами, характеризующими рассматриваемую среду, являются 2 4 элемент #tj (2) (/ Ы 6) симметричной матрицы А и плотность f (г) . Следует отметить, что величины Предположим, что характеристическая матрица неоднородной анизотропной среды #?(г) , введенная в предыдущем параграфе, является быстро осциллирующей и представляется в виде В главе I было показано, что исходную среду в области низких частот можно, как правило, заменять некоторой эффективной средой с медленно меняющейся характеристической матрицей д& (г//0 . Параметры этой эффективной среды определяются из матричного равенства При этом усредненная матрица яе (г///) « зе(г///, г/4) ш-ражается через исходную матрицу одной из формул, приведенных в главе I. Используя явные выражения (2.1.7) для характеристической матрицы анизотропной упругой среды, убеждаемся, что полученная при осреднении среда характеризуется усредненной плотностью С другой стороны, переход от формул (2.1.5), (2.1.6) к уравнениям сплошной среды показывает, что эффективная среда обладает анизотропией общего вида.
Эта среда описывается уравнениями (2.1.I) и (2.1.2), в которых матрица А и плотность р заменены соответственно на эффективную матрицу упругих постоянных А и эфз&ективную плотность f . Эффективные же параметры на основании равенств (2.1.9), (2.1.10) определяются соотношениями Отметим, что из равенств (2.2.4) вытекает симметричность матрицы упругих постоянных эффективной среды А . В 2.2 была построена эффективная среда для упругой системы, обладающей анизотропией самого общего вида. Однако, представляет интерес и построение аналогичных сред для наиболее распространенных частных случаев анизотропии. Рассмотрим следующие типичные виды анизотропии, приведенные в рабо- Как видно из вышеизложенного, если оси симметрии анизотропной системы ориентированы специальным образом, то при ее осреднении тип анизотропии, как правило, сохраняется. Исключение составляют лишь среды с кубической анизотропией. Рассмотрим теперь представляющий практический интерес случай осреднения гексагональной системы, ось симметрии которой не совпадает с осью г . Предположим, что в каждой точке рассматриваемой среды ось симметрии лежит в плоскости хОм и составляет угол if - (f (в) с осью z . В этом случае тензор упругих постоянных имеет вид Эффективная среда будет, вообще говоря, обладать моноклинной анизотропией даже если все упругие параметры исходной среды не зависят от координаты г . Однако, если дополнительно предположить, что ось симметрии исходной системы почти вертикальна, т.е. у (г) і при г 1 ,Я] так, что 4U, то в этом случае осредненная среда будет являться трансвер-сально-изотропной. Эффективные упругие постоянные 2, Ъ\/ Ґ и s " при этом совпадают с соотвествующими постоянными исходной среды. Подчеркнем, в заключение, тот факт, что все выводы о соответствии типов анизотропии исходной и эффективной сред сделаны в предположении специальной ориентации осей симметрии исходной среда. Если же эти оси ориентированы произвольным образом, то эффективная среда обладает, как правило, более сложным типом анизотропии. Это видно, хотя бы на примере осреднения трансверсально-изотропяой среды с наклонной осью. Как уже отмечалось, интерес к осреднению упруго-жидких систем и систем с контактом проскальзывания между слоями обусловлен тем, что эти системы являются моделями трещиноватых тнл.
Однако, значительная сложность такого рода систем позволяет производить осреднение и строить эффективные среды только в случаях, когда либо границы с проскальзыванием и жидкие слои расположены непериодически в однородной (или слабо неоднородной) среде, либо границы с проскальзыванием и жидкие слои расположены периодически в периодической неоднородной среде. Первый случай был рассмотрен в параграфах 1.4 и 1.5. В настоящей же главе рассматриваются вопросы осреднения периодических упругих систем с контактом проскальзывания как между периодами, так и внутри периодов и упруго-жидких периодических систем. Получающиеся при осреднении таких систем однофазные и многофазные упругие и упруго-жидкие среды отличаются от обычных упругих сред тем, что матрица эффективных упругих параметров является вырожденной. Это приводит к тому, что волновые процессы в эффективных средах обладают рядом существенных особенностей, исследование которых представляет значительный интерес. Остановимся вначале на осреднении упругой периодической системы с контактом проскальзывания между периодами и рассмотрим изотропную упругую среду 02 И , периодическую вдоль оси ? с периодом Ь , при этом число периодов h з H/t »{. Пусть между периодами имеет место контакт с проскальзыванием, т.е. выполняются граничные условия (I.4.I). Поля смещений и напряжений в заданной среде представим формулами (I.I.3).
Осреднение периодических анизотропных систем с контактом проскальзывания между ьпериодами и упруго-жидких систем
В предыдущем параграфе мы занимались осреднением систем, состоящих из изотропных упругих и жидких слоев. Для того, чтобы осреднятъ системы, включающие анизотропные упругие слои, необходимо воспользоваться трехмерным вариантом матричного метода. Итак, рассмотрим упругую периодическую анизотропную среду, между периодами которой имеет место контакт с проскальзыванием. Зададим поля смещений и напряжений в рассматриваемой среде формулами (2.1.4). Так как между периодами осуществляется контакт с проскальзыванием, при котором т уг - г » то образы смещений , , jfg и нормального напряжения Т2г на границах любого периода связаны друг с другом матричным равенством Входящая в (3.2.1) матрица 6-го порядка выражается через характеристическую матрицу jl?fg/4) при помощи соотношения (2.1.13). Из уравнения (3 2.1) удается найти связь между образа- ми нормальных смещений и напряжений на границах периода а величины с?.. являются элементами матрицы 20-го порядка, составленной из миноров При этом соответствие / , ), J fyfipjuiemy значками /, J элемента Сц и номерами строк к, ft » и столбцов я, р, у- минора следующее аналогом матриц гз и $г Ненулевые элементы матриц / и $г задаются равенствами С помощью этих матриц уравнение (3.2.2) можно переписать в виде Минорная матрица С , входящая в уравнение (3.2.7) выражается через некоторую матрицу & (в/А) с помощью соотношения, аналогичного (3.1.3). В свою очередь, каждый элемент матрицы #с (в/А) представляет собой алгебраическую сумму не более чем трех элементов матрицы Є (в/A) f определенных равенствами (2.1.7).
Таким образом, на основании уравнения (3.2.7) можно сделать вывод, что неоднородный анизотропный слой, на границах которого имеет место контакт с проскальзыванием, описывается матрицей второго порядка Отсюда, учитывая, что получаем следующую асимптотическую формулу для матрицы одного периода Вся же рассматриваемая система описывается матрицей Следовательно, эффективная среда является однородной и характеризуется матрицей . Подставляя в равенства (3.2.II) соотношения (2.1.7), мы можем выразить элементы характеристической матрицы М- через параметры исходной среды При этом а величины // , /tj , ЄІ являются элементами матриц QJ F и , определенных равенствами (2.1.8). С другой стороны, однородная среда, имеющая тензор упругих постоянных вида Сравнивая выражения (3.2.14), (3.2.15), (3.2.16) и (3.2.19), (3.2.20), (3.2.21), получаем следущие формулы для определения эффективных параметров выводу, что в области низких частот периодическая анизотропная система с контактом проскальзывания на границах периодов эквивалентна некоторой однородной среде, описывающейся следующими уравнениями движения и обобщенного закона Гука причем эффективные параметры аеу и ft определяются из формул (3.2.22). Полученная эффективная среда представляет собой вырожденный частный случай обыкновенной анизотропной упругой среды и характерна тем, что в ней отсутствуют касательные напряжения 2 2 и г г . Анализу волновых процессов в подобных средах будут посвящены 3, 4 настоящей главы. Приведем еще выражения для тензора упругих постоянных осредненной среды и формулы для определения эффективных параметров в предположении, что исходная система обладает одним из частных видов анизотропии, рассмотренных в главе 2. I. Моноклинная анизотропия. Эффективная среда представляет собой частный случай моноклин- ной среды. 2. Орторомбическая анизотропия. Эффективная среда представляет собой частный случай ортором-бической среды. 3. Тетрагональная анизотропия. Эффективная среда представляет собой частный случай тетрагональной среды 4. Тригональная анизотропия. Эффективная среда является особым частным случаем тетрагональной среды и имеет тензор упругих постоянных вида (3.2.29).
При этом 5, Гексагональная анизотропия. Эффективная среда представляет собой частный случай гексагональной среды. 6. Кубическая анизотропия. Эффективная среда является частным случаем тетрагональной среды и имеет тензор упругих постоянных вида (3.2.29), причем Займемся теперь построением эффективной среды для периодической системы, каждый период которой состоит из неоднородного изотропного жидкого слоя толщиной t i и анизотропного неоднородного упругого слоя толщиной 4S . Каждый период такой системы будет характеризоваться матрицей которую можно представить асимптотическим соотношением а,величины As и 4S отличаются от величин А и Д , задан-йных формулами (3.2.15), (3.2.16), только тем, что усреднение в них производится по упругой части периода. Вся же периодическая система описывается матрицей и, таким образом, эффективная среда является однородной и характеризуется матрицей &$ . Рассуждения, аналогичные приведенным в 1.5, позволяют нам сделать вывод, что полученная при осреднении среда является двухкомпонентной анизотршшой средой и описывается следующими уравнениями движения и закона Гука ведливы соотношения - 81 -причем для эффективных параметров р , pf , д , л,у спра- Полученные нами формулы (3.2.39), (3.2.40) относятся к случаю, когда упругая компонента исходной среды обладает анизотропией самого общего вида. Если же упругая компонента осредняемой системы обладает одним из частных видов анизотропии, рассматриваемых ранее в этом параграфе, то и эффективная среда будет обладать анизотропией соответствующего вида. В заключение обратим внимание на следующий факт. Как вы- текает из сравнения соотношений (3.2.22) и (2.1.9), эффективные параметры для анизотропной системы с проскальзыванием между периодами, вообще говоря, не совпадают с эффективными параметрами для такой же среды, но с идеальным контактом между периодами. Соответствующие эффективные параметры будут одинаковы в обоих случаях только если в исходной среде а -а хо, (1=4.2, 3, 6). В предыдущих параграфах настоящей главы были построены эффективные среды, которые не описываются обычными уравнениями упругого тела. В связи с этим возникает проблема исследования волновых процессов в такого рода средах. В данном параграфе рассматривается распространение волн в анизотропной жидкости, в особом частном случае трансверсаль-но-изотропной упругой среды и в двухфазной трансверсально--изотропной среде. Жидкая анизотропная (точнее,, трансверсально-изотропная) среда описывается уравнениями движения и закона Гука а ее анизотропия связана с тензорным характером плотности. Пусть однородное полупространство z » о » описываемое уравнениями (3.3.I), (3.3.2), возбуждается источником, заданным граничным условием Образующееся поле смещений представляется в виде интегралов Фурье и Меллина в которых Для однозначности радикала о( из точек ветвления = ±if A/p1 проводятся разрезы в левую полуплоскость параллельно вещественной оси, а основная ветвь фиксируется условием х. о при Исследование поля смещений (3.3.4), как и полей смещений, рассматриваемых в дальнейшем, будет сводиться к определению фронтов и к выяснению характера распространения всех волн. Для этого будут использованы результаты асимптотического вычисления интегралов Меллина по методу перевала.
Построение и исследование многофазной эффективной среды
В параграфах 3.1 и 3.2 были построены эффективные среды для периодических упругих систем с контактом проскальзывания между периодами. В связи с этим возникает вопрос, что будет представлять собой эффективная среда для системы, в которой контакт с проскальзыванием имеет место не только между периодами, но и внутри каждого периода, Для того, чтобы ответить на этот вопрос, рассмотрим упругую периодическую систему О г- Н , состоящую из " периодов. Каждый период содержит tn слоев, имеющих соответственно толщины /, , /2, %,. 9 4М , так что для толщины периода А справедливо равенство Каждый слой является или однородным, или неоднородным вдоль координаты г is. на границах между слоями выполняются условия контакта с проскальзыванием. Нахождение эффективной среды для заданной системы производится тем же способом, что и в случае упруго-жидкой периодической системы, рассмотренной в 3.1. Составляющая вектора смещений Ug и компонента тензора напряжений %г в эффективной среде представляются соотношениями причем образы нормальных смещений и напряжений связаны дифференциальным уравнением Входящая в уравнение (3.4.3) матрица я? определяется формулами При этом через / е обозначено усреднение величины / по промежутку [ // _, И і ] Относительно величин Ai/ftx » имеющих смысл квадратов пластинчатых скоростей, делается предположение, что они являются разными для разных слоев. Если же A;/ft -Aj/ff Ґ - j), то в сумме, входящей в формулу (3.4.4), слагаемые со значками / и j следует объединить. С помощью уравнений однокомпонентной упругой среды не удается выполнить соотношения (3.4.3) и (3.4.4). Поэтому, опираясь на результаты 1.5, предположим, что эффективная среда для рассматриваемой периодической системы содержит м компонент и снабдим смещения и напряжения соответствующими дополнительными значками I, 2, ... м . Для смещений и напряжений вдоль оси 2 согласно граничным условиям контакта с проскальзыванием справедливы соотношения Соответствующие величины вдоль оси X оказываются различными.
Для смещений &х}, &хг\ ..., xfMf}j и2 и напряжений г хх\ //x j ..., хх" ; 22 запишем уравнения сплошной среды и закона Гука в следующем виде: Чтобы определить неизвестные пока коэффициенты е/сК и плотности рл , f , необходимо сравнить соотношения вытекающие из формул (3.4.3), (3.4.4) и аналогичные равенства, записанные на основании уравнений (3.4.8), (3 4.9). Рассматривая последовательно случаи, когда из каждого периода исключены все слои, кроме первого, затем, кроме второго и т.д., приходим к равенствам определяющим эффективные плотности и к соотношениям свидетельствующим о симметрии закона іука. Из уравнений (3.4.8), (3.4.9) с учетом связи (3.4.12) вытекает равенство причем входящие в него определители А„ и Af имеют вид Сравнение второго уравнения (3.4.10) и соотношения (3.4.13) приводит к равенству определяющему коэффициенты аґ//с . Однако, найти эффективные параметры аґс%к непосредственно из уравнения (3.4.16) довольно сложно. Поэтому поступим следующим образом. Перейдем в обеих частях уравнения (3.4.16) к пределам при -»оо С( г}.,.,м) (и, соответственно, рс--+ ). После предельного перехода вместо уравнения (3.4.16) мы получим уравнение, из которого следует Перейдем теперь в равенстве (3.4.16) к пределу при Д. _ е» #а/, г,..., м- ) .Получаем для матрицы, объединяющей коэффициенты с/с к . Но, поскольку значения эффективных параметров получены нами с помощью ряда предельных переходов, необходимо убедиться, что равенство (3.4.16) превращается в тождество при значениях л , взятых из (3.4.20). С этой целью подставим выражения (3.4.20) в формулы (3.4.14), (3.4.15). Вычисляя получившиеся определители, можно установить легко проверяемые соотношения из которых следует, что выражения для коэффициентов a je определены правильно. Таким образом, матрица (3.4.20) совместно с равенствами (3.4.II) полностью определяет параметры -фазной эффективной среды. Полученная многофазная среда может рассматриваться как некоторое обобщение двухкомпонентной среды, рассмотренной в 1.5 и 3.1. Действительно, полагая - z жу -о при ? z /, . приходим к равенствам которые совместно с соотношениями (3.4.8), (3.4.9) и (3.4.20) характеризуют двухкомпонентную упруго-жидкую среду. Единственное уточнение при этом надо внести в пятое равенство (3.4.5), так как величина / , для жидкой фазы определяется по формуле Остановимся теперь на исследовании распространения волн в полученной многофазной упругой среде. Предположим, что она заполняет полупространство г с? и возбуждается источником типа (3.3.3). Образующееся поле смещений представляется формулами (3.3.4), в которых величинам #х и /. добавляется индекс, определяющий номер фазы, функции Иг , ж t выражаются равенствами Чтобы найти положение фронтов волн, распространяющихся в рассматриваемой среде, нужно предварительно исследовать сед-ловые точки и стационарные контуры фазовой функции (3.3.6), а с этой целью проанализировать поведение функции (3.4.25) на мнимой оси плоскости у . Так как все особенности функции ($) расположены симметрично относительно вещественной оси, то при исследовании можно ограничиться областью Г-У о. В упомянутой области подкоренная функция в выражении (3.4.25) перенумеровать эти полюса в порядке удаления от начала коор- динат, ТО ВО ВСЄХ Промежутках МеЖДУ НИМИ (t/Aj/ft , /Aj-H/fat ) Q = /, 2, ., } м- ) ив интервале fi/Aj»/f„, і ) подкоренная функция имеет по одному корню, так как в каждом из этих промежутков она монотонно возрастает, проходя через ноль. Доэтому функция oC(f) может быть представлена в виде где . = 4] /й\ » а величины /у удовлетворяют неравенствам Из формулы (3.4.26) следует, что функция {р) имеет м точек ветвления s ±(/j и « І ft\T Расположен ных на мнимой оси.
Для однозначности радикала etfyj из точек ветвления проводятся разрезы в левую полуплоскость параллельно вещественной оси, а основная ветвь фиксируется условием Так как в интервалах мнимой оси, где могут находиться седловые точки, функция с . (?) чисто мнимая, введем, как и ранее, вещественную функцию Я(г) , удовлетворяющую условию функция оїґГ) выразится соотношением из которого следует, что при t e? седловые точки могут быть расположены только в интервалах Легко показать, что во всех этих интервалах 5?v/y=-« Более сложным образом доказывается, что вторая производная Ы1"(Г) не имеет корней в первом и последнем интервалах (3.4.29) и имеет один и только один корень в остальных интервалах. Доказательство этого факта основано на использовании равенства в котором Из соотношений (3.4.30), (3.4.31) следует, что равенство ,f{f) « о выполняется лишь при условии Анализ уравнения (3.4.32) позволяет указать все интервалы, где расположен один корень уравнения Tk YrJ o » и доказать, что эти корни являются простыми. На основании проведенных исследований функции оС(/?) , можно утверждать, что при малых значениях параметра у = fe/гї) /f/tf в первом и последнем промежутках (3.4.29) расположено по одной седловой точке, а во всех остальных промежутках находятся две седловые точки. Все указанные седловые точки при f c = і расположены вблизи точек ветвления и с ростом параметра f удаляются от последних. В средних интервалах (3.4.29) обе седловые точки при возрастании у сближаются и сливаются в точке, соответствующей корню второй производной 2Z"(TJ . При дальнейшем росте -$ седловые точки становятся комплексными и более не представляют интереса, поскольку фазовая функция также становится комплексной и не определяет фронта. В первом и последнем интервалах (3.4.29) седловые точки с ростом у приближаются соответственно К О И о . Таким-образом, имеются 2» - 2 стационарных контура, которые проходят через седловые точки, расположенные в интервалах (3.4.29), и определяются уравнениями Концы этих стационарных контуров, как и в 3.3, или уходят на бесконечность, приближаясь к асимптотам У ftyjsce / или находятся в точках р і іЩ . На рисунке 12 показано типичное положение стационарных контуров при -$ f, причем направление роста функции е /fy) обозначено стрелками. Контуры Меллина могут быть заменены на стационарные контуры с учетом вычета в полюсе = о . После этого интеграл Меллина асимптотически вычисляется по методу перевала и представляется суммой выражений типа (3.3.10).
