Характеры представлений квантовой тороидальной алгебры [hat hat gl_1] Мутафян Георгий Семенович

Содержание к диссертации

Введение

Глава 1. Об алгебре 13

1.1. Алгебры, происхождение gl1 13

1.2. Определение алгебры gl1 16

1.3. Представления Мак-Магона 18

1.4. Резонансный случай 22

1.5. Характеры представлений Мак-Магона 23

Глава 2. Комбинаторная часть 25

2.1. Алгоритм 27

2.2. Доказательство основной комбинаторной теоремы 32

Глава 3. Некоторые сведения из теории представлений 35

3.1. Представления алгебры gl: базис Гельфанда-Цетлина 35

3.2. Представления +k алгебры gl 37

3.3. Двойственность Хау 39

Глава 4. Вычисление характера для k = 0 43

4.1. Функция дШіП как след в главной градуировке 43

4.2. Алгебра Ф (g) О и её представление 45

4.3. Комплекс Кошуля 48

4.4. Вычисление окончательного результата 49

Глава 5. Вычисление характера при произвольных k,m,n . 51

5.1. Кратность старшего вектора в представлении алгебры діп . 51

5.2. Вычисление окончательного результата 53

Глава 6. Вычисление характера при т = п 57

6.1. Представления Q^ алгебры gi^ 57

6.2. Двойственность Хау 59

6.3. Вычисление окончательного результата 61

Заключение 63

Список сокращений и условных обозначений 64

Список литературы

• Представления Мак-Магона
• Доказательство основной комбинаторной теоремы
• Представления +k алгебры gl
• Вычисление окончательного результата

Представления Мак-Магона

Теоретическая значимость. Полученные в диссертации результаты имеют теоретическое значение. Они могут найти применение в теории представлений, топологической теории поля и в геометрии пространств модулей.

Методология и методы исследования. В диссертации используются методы перечислительной комбинаторики (алгоритм ) и теории представлений (представления алгебры gl и gl, двойственность Хау и др.) Для получения формулы (5) достаточно методов теории представлений: искомая производящая функция выражается как характер некоторого представления алгебры gl, затем с помощью двойственности Хау это представление выражается как пространство старших векторов веса k некоторого представления алгебры gl, затем используется формула, выражающая кратность вхождения старшего вектора веса k как знакопеременную сумму коэффициентов характера.

Для доказательства формул (4) и (6) был разработан комбинаторно-алгебраический подход (методов только теории представлений оказалось недостаточно).

Вначале с помощью комбинаторного алгоритма, известного как алгоритм RSK (Робинсона-Шенстеда-Кнута) доказывается вспомогательная формула (2.3), сводящая вычисление требуемой производящей функции к вычислению производящей функции k()() для плоских разбиений с другим условием (отличным от (2)). Затем функция функция k()() выражается как характер представления алгебры gl в неглавной градуировке и вычисляется методами теории представлений.

Отдельно следует сказать о попытках решения задачи чисто комбинаторными методами. При взгляде на формулу (4) видно, что комбинаторно она представляет собой формулу включений-исключений. Явное комбинаторное доказательство этой формулы позволило бы яснее понять структуру представлений алгебры gl1. Попытки найти такое доказательство предпринимались и нужную формулу удалось получить для частого случая представления 0,0,1,0,0. Поскольку результат является слишком частным, он не был опубликован. Однако применявшиеся там рассуждения (как нам кажется) представляют некоторый интерес и оставляют надежду на возможность обобщения, поэтому мы приводим их в приложении.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на семинаре русско-японской школы по математике, Киото, июль 2011 г.; на семинаре факультета математики НИУ ВШЭ, Москва, 20 июня 2013 г.; на семинаре «Интегрируемые структуры в статистических и полевых моделях» ИППИ РАН (руководители д. ф-м.н., чл.-корр.РАН Белавин Александр Абрамович, Замолодчиков Александр Борисович), 24 апреля 2014 г. на международной конференции «Комбинаторика пространств модулей, кластерные алгебры и топологическая рекурсия», Москва, 29 мая 2014 г.

Публикации. Материалы диссертации опубликованы в 2 печатных работах в рецензируемых журналах, рекомендованных ВАК: [15, 16].

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, шести глав, заключения, списка обозначений, библиографии, и двух приложений. Общий объем диссертации 78 страниц, из них 65 страниц текста, включая 14 рисунков. Библиография включает 26 наименований на 2 страницах.

Глава 1 является продолжением введения: в ней более подробно рассказано об алгебре gl1, даётся точное определение самой алгебры и её представлений, характеры которых вычисляются.

Глава 2 содержит всю комбинаторную часть доказательства. Вначале подробно излагается алгоритм RSK. Отметим, традиционно этот алгоритм излагается применительно к парам таблиц Юнга. Для наших целей удобно переформулировать этот алгоритм так, чтобы он применялся напрямую к плоским разбиениям. В такой формулировке алгоритм излагается в п. 2.1, после чего в п. 2.2 доказывается основной результат комбинаторной части — формула (2.3).

В главе 3 излагаются известные факты из теории представлений, необходимые в дальнейших вычислениях: представления алгебры gl и двойственность Хау.

Доказательство основной комбинаторной теоремы

Теорема 3 показывает, что к паре ( 2,0), где а - обычное плоское разбиение, 0 - пустая матрица, можно применять алгоритм RSпл последовательно до полного обнуления плоского разбиения. Если а - обобщённое плоское разбиение, алгоритм тоже можно применять последовательно несколько раз, пока все диагонали в первой половине не станут равны между собой.

Пример пошагового применения алгоритма приведён в приложении А (пример 1). Показаны все шаги алгоритма до полного обнуления плоского разбиения.

Доказательство основной комбинаторной теоремы Теперь можно приступить к доказательству теоремы 2. Мы покажем, как, последовательно выполняя шаги алгоритма RSпл , можно преобразовать каждое плоское разбиение а Є 21 в пару (&, с), Ъ Є т\ с Є (ц, . Далее будет показано, что это отображение обратимо и, следовательно, является биекцией. Условие \а\ = \Ь\ + \с\ будет прямым следствием свойства 4 из теоремы 3.

Пусть имеется плоское разбиение а. Напомним, что его можно рассматривать как диаграмму из единичных кубов, аналогично диаграммам Юнга (см. рис. 1.1 и пояснения к нему). Изображение в виде таблицы а можно восприни 33 мать как проекцию объёмной диаграммы на одну из координатных плоскостей. При этом каждое число разбиения показывает количество спроецированных кубов. Если спроецировать объёмную диаграмму на другую плоскость, мы получим другое плоское разбиение. На рис. 2.2 показана диаграмма из кубов и две её проекции (обозначенные () и ()), получающиеся в результате проецирования на плоскости (,) и (,) соответственно. Пример, иллюстрирующий

В(т) х (4т) Обратно, пусть имеется пара (с, о), с Є (Ц, = p(cj m + 1, сід = Сі,то+і , & Є (m) = p"(fr) т.. Поскольку fi(c) /i(&), к паре (с, 6) можно применить алгоритм RSKUn причём для получившейся в результате пары (ci,&i) опять верно /І(СІ) /І(&І). Таким образом, шаги RSKUn можно выполнять до полного обнуления таблицы Ъ. В результате получится пара (а, 0), причём 2ijTO+i = Ci;TO+i n, т.е. а Є 21 . Положим ф(Ь,с) = а. Таким образом построено отображение причём из 3 следует, что (риф взаимно обратны, т.е. ср — биекция. Теорема 2 доказана. Глава 3 Некоторые сведения из теории представлений

В работе [4] рассматривалась идея вычисления характера (3) при т = п. В этом случае используется конструкция алгебры Гейзенберга (с образующими-бозонами), содержащей дуальную пару (0 ,0 ), см. главу 6 диссертации. Эта конструкция известна как двойственность Хау в бозонной реализации. В настоящей главе мы используем аналогичную (и так же хорошо известную, см. [22]) конструкцию для алгебры Клиффорда (с образующими-фермионами). Ввиду схожести рассуждений мы приводим все необходимые утверждения без доказательств. Теория, изложенная в этой главе, будет использоваться в главах 4 и 5.

Представления алгебры д[п: базис Гельфанда-Цетлина Известно, что любое конечномерное неприводимое представление алгебры діп является представлением со старшим весом. Иначе говоря в представлении существует старший вектор v такой, что действие операторов алгебры на нём задаётся равенствами

Здесь hi,..., kn - комплексные числа такие, что ki — ki+\ Є Z o. Действие операторов алгебры при этом может быть описано явно в т.н. базисе Гельфанда-Цетлина (см. [27]), сокращённо — базисе ГЦ. Это базис, векторы которого находятся во взаимно-однозначном соответствии с таблицами ГЦ — треугольными таблицами чисел удовлетворяющими условиям

Его таблица ГЦ изображена на рис. 3.1. Область, обведённая пунктиром, пред Рис. 3.1 ставляет собой плоское разбиение высоты не более п. Оно имеет конечный размер s х s. Чтобы получить конечный аналог плоского разбиения с граничным условием к (см. определение 1), следовало бы рассмотреть представление со старшим весом (п, п,..., п, к, 0, 0,..., 0). Мы не будем его подробно здесь описывать. Для нас важно, что для получения бесконечных плоских разбиений нам нужно взять аналог такого представления

Представления Q+ алгебры QI Мы теперь опишем представления алгебры 0 , аналогичные описанным выше представлениям д[п. Базисы в таких представлениях индексируются плос-кими разбиениями, что позволит выразить функцию д (см. предыдущую главу) как след некоторого специального оператора на таких представлениях, (или иначе говоря - как характер в неглавной градуировке).

Известно [17], что существует неприводимое представление алгебры 0 , в котором можно выделить вектор -и, называемый старшим вектором, на который образующие алгебры действуют следующим образом:

Будем обозначать такое представление и называть его представлением со старшим весом u/k). Аналогично конечномерному случаю в таком представлении можно выделить базис, индексируемый таблицами целых неотрицательных чисел СІj Є Z o, ieZ, j = 1,2,..., удовлетворяющих условиям:

При к Є Z" і область і 0, j 0 таблицы с представляет собой плоское разбиение высоты не более п с граничным условием к (аналог области, выделенной пунктиром в таблице на рис 3.1). Для наглядности на рис. 3.2 приведена таблица cmm, в которой выделена указанная область. Определим операторы заметить, что кратная диагональ, присутствующая в определении множества (Ц и функции д , эквивалентна одинарной диагонали, взятой m раз, с поправочным слагаемым mk = m 2liki. Таким образом, получаем следующее равенство, выражающее функцию д как характер (в неглавной градуировке) на представлении:

Представления +k алгебры gl

Пусть имеется некоторое конечномерное представление U полупростой алгебры Ли L. Пусть Н — её подалгебра Картана, а\... ап — простые корни, 6 — полусумма положительных корней, W — группа Вейля. Для любого s Є W, х Є Н обозначим s(x) = s(x + 5) — 5. Представление U раскладывается в прямую сумму неприводимых:

Здесь Uk можно рассматривать как множество старших векторов веса к в U (являющееся подпространством в U).

Замечание: алгебра g[n не является полупростой, она отличается от полупростой алгебры sin наличием центрального элемента. Однако легко видеть, что это не нарушает справедливость теоремы 9, поскольку центральный элемент всего лишь вводит дополнительную градуировку представлений sin. 5.2. Вычисление окончательного результата

Применим теорему 9 к представлению V, построенному в 3.3. В нём действуют алгебры 0 и 0[п, определённые в (3.18) и (3.19) соответственно. Пусть Qm и Z - операторы, определённые в (3.9) и (5.3). Рассмотрим характер tr(QTOi?)y, разложенный по степеням zv:

Поясним сказанное подробнее. Обозначим V(/i) собственное подпространство Qm с собственным значением q . Поскольку Qm коммутирует сg(n, V(/i) является представлением діп.

Рассмотрим г столбцов, состоящих из ii,... ,ir клеток соответственно, и приставим их друг к другу так, чтобы нижние концы этих столбцов образовывали «лестницу» со ступеньками высоты 1. Аналогично рассмотрим s строк, состоящих из ji,... ,js клеток, и приставим их друг к другу так, чтобы левые концы этих строк образовывали лестницу со ступеньками длины 1. Затем склеим эти две лестницы так, чтобы столбец длины %\ склеился со строкой длины j\. Тогда каждому слагаемому вида (5.8) будет поставлена в соответствие диаграмма частном случае m = п искомый характер Х/\оо ), может быть вычислен с помощью только теории представлений, без использования комбинаторики. Причиной тому является ”хорошее” поведение представлений в этом случае при q\ — 1. Как было сказано в главе 1, алгебра 0 является квантованием универсальной обертывающей U(T), где q\ - параметр квантования, и, следовательно, в пределе q\ — 1 переходит в U(T). Далее, Т является подалгеброй расширенной алгебры 0 (включающей матрицы с бесконечными ненулевыми диагоналями). А значит представления gi могут рассматриваться как представления Т (и как представления Т).

Представление ivk 0 Q алгебры 0 при имеет предел только в случае m = п, и в этом случае оно переходит в представление алгебры 0 , которое мы обозначаем к и описываем ниже. Заметим, что, в отличие от представлений к, имеющих конечномерный аналог (см. п. 3.1-3.2), эти представления не имеют конечномерного аналога. Базис этих представлений индексируется плос-кими разбиениями из множества 5Дк , к Є "і, а потому искомый характер

Отметим, что идея этого вычисления и сами представления к уже описывались в [4], однако окончательная формула там получена не была. Для полноты изложения мы вычисляем её здесь. Конструкция алгебры Гейзенберга, используемая в этой главе, подробно описана в [23].

Представления Q алгебры QI Пусть k = (&i,..., кп) Є Z?, к\ ks 0 ks+\ кп. Существует единственное неприводимое представление алгебры 0 , порождённое вектором k, на котором задано следующее действие образующих алгебры:

В этом параграфе мы определяем алгебру Гейзенберга G и её представление U. Эта алгебра (и представление) аналогичны введённым в 4.2 (отличие только в количестве образующих), поэтому ввиду сходства конструкций мы используем те же обозначения. Это не вызовет путаницы, т.к. результаты и обозначения гл. 4 не будут использоваться в данной главе.

Алгебра G задаётся образующими в\а , в \ , і є Z, а = 1... п, и соотношениями [6 Ja), fljn = [0 І\ 0 f ] = 0, [9 f\ в)13 } = 6i+j}o6a,p. (6.5) (Здесь, в отличие от (3.12) обычный коммутатор, т.е. [a, b] = ab — Ъа.) Построим представление алгебры G. Выберем порождающий вектор и и положим

В частности отсюда следует, что множество всех старших векторов относительно gln с весом к образует неприводимое представление Г2 , a множество всех старших векторов относительно 0 с весом Г] образует неприводимое представление р .

Таким образом, характер tr(Q) - может рассматриваться как характер на подпредставлении старших векторов относительно gln в представлении Ы. Поскольку Q коммутирует с Qin, каждое собственное подпростратство относительно Q является представлением $іп. Следовательно tr(Q) - есть д-размерность подпространства старших векторов веса к в представлении Ы алгебры gin. 6.3. Вычисление окончательного результата

Вычисление окончательного результата

Причиной тому является ”хорошее” поведение представлений в этом случае при q\ — 1. Как было сказано в главе 1, алгебра 0 является квантованием универсальной обертывающей U(T), где q\ - параметр квантования, и, следовательно, в пределе q\ — 1 переходит в U(T). Далее, Т является подалгеброй расширенной алгебры 0 (включающей матрицы с бесконечными ненулевыми диагоналями). А значит представления gi могут рассматриваться как представления Т (и как представления Т).

Представление ivk 0 Q алгебры 0 при q\ — 1 имеет предел только в случае m = п, и в этом случае оно переходит в представление алгебры 0 , которое мы обозначаем к и описываем ниже. Заметим, что, в отличие от представлений к, имеющих конечномерный аналог (см. п. 3.1-3.2), эти представления не имеют конечномерного аналога. Базис этих представлений индексируется плос-кими разбиениями из множества 5Дк , к Є "і, а потому искомый характер может быть вычислен как характер представления к, без каких-либо комбинаторных пребразований плоских разбиений.

Отметим, что идея этого вычисления и сами представления к уже описывались в [4], однако окончательная формула там получена не была. Для полноты изложения мы вычисляем её здесь. Конструкция алгебры Гейзенберга, используемая в этой главе, подробно описана в [23].

Представления Q алгебры QI Пусть кп. Существует единственное неприводимое представление алгебры 0 , порождённое вектором k, на котором задано следующее действие образующих алгебры:

Это представление мы обозначим Q . Последовательность г] = {Г)І\І Є Z} есть старший вес этого представления, а вектор и - старший вектор. Известно (см. [4]), что в таких представлениях можно выделить базис, индексируемый таблицами целых чисел с Є Z, і, j 1, удовлетворяющими условиям:

Несложно проверить, что эти формулы согласованы с (6.1), т.е. для старшего вектора Мк (и соответствующей ему минимальной таблицы) определяют такое же действие.

В этом параграфе мы определяем алгебру Гейзенберга G и её представление U. Эта алгебра (и представление) аналогичны введённым в 4.2 (отличие только в количестве образующих), поэтому ввиду сходства конструкций мы используем те же обозначения. Это не вызовет путаницы, т.к. результаты и обозначения гл. 4 не будут использоваться в данной главе.

В частности отсюда следует, что множество всех старших векторов относительно gln с весом к образует неприводимое представление Г2 , a множество всех старших векторов относительно 0 с весом Г] образует неприводимое представление р .

Таким образом, характер tr(Q) - может рассматриваться как характер на подпредставлении старших векторов относительно gln в представлении Ы. Поскольку Q коммутирует с Qin, каждое собственное подпростратство относительно Q является представлением $іп. Следовательно tr(Q) - есть д-размерность подпространства старших векторов веса к в представлении Ы алгебры gin. 6.3. Вычисление окончательного результата

При фиксированном такое соответствие является взаимно-однозначным, т.е. коэффициент при есть производящая функция упорядоченных пар диаграмм Юнга, разность высот которых не превосходит . При = 0 эта производящая функция посчитана в [24] (гл.2, п.2.5). При = 0 вычисление проводится аналогично.

Сочетание комбинаторных и алгебраических методов позволило в явном виде найти характеры некоторых представлений алгебры gl1. Показано, что эти характеры действительно имеют вид, аналогичный формулам Вейля, и являются знакопеременными суммами характеров тензорных произведений фоковских представлений алгебры gl1. Поэтому естественно предположить, что имеется резольвента типа БГГ, построенная из таких представлений. Однако эта резольвента до сих пор не построена, и это может быть одним из направлений дальнейших исследований. Отметим, что явное комбинаторное доказательство полученных в диссертации формул возможно могло бы помочь в построении этой резольвенты.

Кроме того, полученные формулы дополнительно подтверждают связи с -алгеброй, ассоциированной с супералгеброй gl(), поскольку предполагаемая формула для характеров представлений этой алгебры устроена аналогично. Однако резольвенты для таких представлений тоже не построены.

Другое возможное направление исследований связано с поиском характеров для других минимальных моделей. В диссертации рассмотрен случай, когда на параметры накладывается единственное ограничение = 12, а в остальном они общие. Если же рассмотреть другие дополнительные ограничения, то возникают представления с более сложными комбинаторными ограничениями (см. [25] и [26]). Они отвечают минимальным моделям соответствующих конформных теорий, и поиск их характеров является тоже важной и интересной задачей. Список сокращений и условных обозначений

В тексте диссертации вводится большое количество обозначений. Для удобства читателя мы приводим здесь единым списком все обозначения, встречающиеся в основном тексте (за исключением первой главы). Все обозначения сопровождаются либо развёрнутым определением, либо ссылкой на главу или формулу в диссертации, где они определяются.

Похожие диссертации на Характеры представлений квантовой тороидальной алгебры [hat hat gl_1]

Орбиты, представления и характеры унипотентных групп.Игнатьев Михаил Викторович

Модули над кольцом многочленов, связанные с представлениями конечномерных алгебр Попов Олег Николаевич

Алгебры с полиномиальными тождествами : Представления и комбинаторные методыБелов Алексей Яковлевич

Тела частных, идеалы и представления квантовых и пуассоновых алгебр Панов Александр Николаевич

Алгебры Хопфа с одним неприводимым, неодномерным представлениемСпиридонова, Софья Юрьевна

Асимптотика спектра магнитных операторов Шредингера и представления нильпотентных алгебр ЛиКудрявцев Олег Евгеньевич

Теоремы плотности и функциональные представления для симметричных алгебр операторов в пространстве Понтрягина типа П1Машарипова, Софья Шариповна

След и представления элементов С*-алгебр комбинациями специального видаБикчентаев, Айрат Мидхатович

Алгебры Кричевера-Новикова, их представления и приложения в геометрии и математической физикеШейнман Олег Карлович

Присоединенное представление и двусторонние идеалы в универсальной обертывающей алгебре полупростой аглебры ЛиКазаров, Андрей Сергеевич