Содержание к диссертации
Введение
1 Первичный радикал алгебр Ли 14
1.1 Основные определения и формулировки 14
1.2 Первичный радикал кольца многочленов над алгеброй Ли 20
2 Первичный радикал артиновых алгебр Ли 23
2.1 Первичный радикал артиновых специальных супералгебр Ли 23
2.2 О локально нильпотентных артиновых алгебрах Ли 28
3 Полупервичные слабо разрешимые алгебры Ли 37
3.1 Пример ненулевой локально нильпотептной полупервичной алгебры Ли 37
3.2 Пример первичной слабо разрешимой алгебры Ли 43
Литература 48
- Первичный радикал кольца многочленов над алгеброй Ли
- Первичный радикал артиновых специальных супералгебр Ли
- О локально нильпотентных артиновых алгебрах Ли
- Пример первичной слабо разрешимой алгебры Ли
Введение к работе
Областью исследования диссертационной работы является "теория радикалов алгебр Ли". Теории радикалов алгебр Ли посвящены такие работы как [37], [40], [41],[14], [4], [5] и др.
Цель работы - изучение свойств первичного радикала алгебр и супералгебр Ли, на которые наложены дополнительные условия: артино-вость, локальная нильпотентность, слабая разрешимость.
Актуальность темы диссертации. Начало создания теории конечномерных алгебр Ли относится к концу XIX века. Оно связано с именами таких математиков как Софус Ли, Ф. Энгель, Э. Картан, В. Киллинг и др. [10, стр. 453].
По аналогии с теорией групп было введено понятие разрешимой и нильпотентной алгебр Ли. В. Киллинг ввел понятие радикала и полупростой алгебры Ли.
В дальнейшем развитие теории конечномерных алгебр Ли привело к классификации конечномерных простых алгебр Ли над полем характеристики нуль, доказательству теоремы Леви-Мальцева и многих других.
Конечномерные алгебры Ли возникли при изучении групп Ли. В настоящее время они имеют хорошо разработанную теорию, которая находит приложение в различных областях математики.
При изучении теории гладких многообразий естественно возникают бесконечномерные алгебры Ли векторных полей.
Бесконечномерные алгебры Ли оказались полезным инструментом при построении примеров групп. Например, Ю. П. Размыслов использовал бесконечномерные алгебры Ли при построении примера группы, удовлетворяющей тождеству хр = 1, где р > 5 - простое, которая не является разрешимой [27]. Бесконечномерные алгебры Ли широко использовались в работах А. И. Кострикина по проблеме Бернсайда [16].
Они находят и другие применения в математике.
Разработка структурной теории алгебр Ли является актуальной темой исследования. В настоящее время в этой области имеются тысячи научных работ.
Для различных алгебраических систем важную роль при построении структурной теории играет понятие радикала.
Радикал это такой класс идеалов, фактор по которым имеет нулевой радикал и хорошо устроен.
В теории ассоциативных колец используются радикалы Джекобсона, первичный, Левицкого и другие.
В общем случае нельзя утверждать, что полупростое в смысле некоторого радикала кольцо хорошо устроено.
Если наложить на полупростое кольцо дополнительно некоторое условие, то оно может стать хорошо устроенным. Такими условиями могут служить артиновость, наличие полиномиального тождества и другие.
Различные радикалы для алгебр Ли исследовались в работах [37], [40], [41] и других.
В теории конечномерных алгебр Ли в качестве радикала используют наибольший разрешимый идеал.
В бесконечномерных алгебрах Ли сумма всех разрешимых идеалов не всегда является разрешимым идеалом.
Естественным обобщением понятия разрешимого идеала является локально разрешимый идеал.
В.Н. Латышев, А.В. Михалев и С.А. Пихтильков показали, что сумма локально разрешимых идеалов бесконечномерной алгебры Ли может не быть локально разрешимым идеалом [19].
Поэтому исследовать локально разрешимый радикал для класса всех алгебр Ли нельзя.
Единый для всех классов алгебр Ли радикал был построен В.А. Парфеновым [23]. Он предложил рассматривать в качестве радикала наибольший слабо разрешимый идеал алгебры Ли.
Алгебра Ли называется слабо разрешимой, если любое ее конечномерное подпространство удовлетворяет тождеству разрешимости некоторой степени.
В.А.Парфенов показал, что сумма слабо разрешимых идеалов алгебры Ли является слабо разрешимым идеалом. Кроме того, класс всех слабо разрешимых алгебр Ли является радикальным в универсальном классе всех алгебр Ли.
Кроме слабо разрешимого радикала хорошим радикалом для алгебр Ли является первичный радикал.
Исследования первичного радикала были проведены для различных алгебраических систем: ассоциативных алгебр и /-колец [20], [13], [17]; групп, fi-групп и Q—/-групп [32], [22], [29],[11], [12], [21]; неассоциативных алгебр [14]; специальных алгебр Ли [4], [5].
Известно, что первичный радикал произвольной алгебры Ли всегда содержится в наибольшем слабо разрешимом идеале. Включение этих радикалов может быть строгим.
Существует такой класс алгебр Ли, в котором первичный радикал и наибольший слабо разрешимый идеал совпадают.
В 1963 г. В.Н. Латышев ввел новый класс алгебр Ли [18], которые он назвал специальными по аналогии с йордановыми алгебрами.
Скажем, что алгебра Ли L специальная алгебра Ли, если существует ассоциативная Р/-алгебра А такая, что L вложена в А^~> как алгебра Ли, где А^ - алгебра Ли, заданная на А с помощью операции коммутирования [х, у] = ху — ух.
С.А. Пихтильков и К.И.Бейдар показали, что в обобщенно специаль- ных алгебрах Ли первичный радикал является наибольшим локально разрешимым идеалом и совпадает со слабо разрешимым идеалом [4], [5].
В диссертации проведено исследование первичного радикала алгебр и супералгебр Ли с наложенными на них дополнительными условиями.
Научная новизна. Полученные результаты являются новыми.
В диссертации получены следующие основные результаты:
Показано, что первичный радикал P(L[x\,..., хп]) кольца многочленов с коэффициентами из алгебры Ли L от п коммутирующих переменных совпадает с P(L)[xi,..., хп], где P(L) - первичный радикал алгебры Ли;
Показано, что градуированный первичный радикал артиновой специальной супералгебры Ли - разрешим;
Показано, что проблема А.В. Михалева о разрешимости первичного радикала артиновых алгебр Ли решается положительно для локально нильпотентных алгебр Ли. С помощью перенесения полученного результата на группы и ассоциативные алгебры показано, что первичный радикал локально нильпотентнои группы с условием минимальности на нормальные подгруппы - разрешим, а локально нильпотентный радикал слабо артиновой ассоциативной алгебры - нильпотентен;
Построен простой пример слабо разрешимой первичной алгебры Ли. Этот пример показывает, что наибольший слабо разрешимый идеал алгебры Ли может не совпадать с первичным радикалом.
Практическая и теоретическая ценность. Работа носит теоретический характер. Полученные в ней результаты могут быть использованы при решении различных задач в теории алгебр Ли.
Апробация результатов. Результаты диссертации докладывались на следующих международных алгебраических конференциях: — V Международной конференции "Алгебра и теория чисел: совре- менные проблемы и приложения". Тула. 2003;
International Conference on Radicals dadicated to the memory of Prof. V. Andrunakievich. Chisinau. 2003;
Международной алгебраической конференции, посвященной 250-летию Московского университета и 75-летию кафедры высшей алгебры. Москва, 2004.
Список публикаций по теме диссертации из 7 работ (3-х тезисов и 4-х статей) приведен в конце диссертации.
Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав, разбитых на разделы, и списка литературы. Нумерация лемм, предложений и теорем привязана к своему разделу, а нумерация формул сквозная. Полный объем диссертации 52 страницы, библиография включает 47 наименований.
Краткое содержание. В первой главе излагается теория первичного радикала для алгебр Ли.
В разделе 1.1 даны основные определения и формулировки.
Скажем, что алгебра Ли полупервичная, если для любого ее идеала / из того, что I2 = [1,/] = 0 следует, что / = 0.
Назовем алгебру Ли первичной, если из того, что взаимный коммутант идеалов U и V равен нулю следует, что U = 0 или V = 0.
Скажем, что идеал Р алгебры Ли L - первичный, если фактор-алгебра L/P является первичной.
Назовем первичным радикалом P(L) пересечение всех первичных идеалов алгебры Ли L.
В 1971 г. В.А.Парфенов предложил рассматривать для алгебр Ли слабо разрешимый радикал [23].
В.А.Парфенов показал, что в алгебре Ли существует наибольший слабо разрешимый идеал, который обладает радикальными свойствами.
Известно, что первичный радикал алгебры Ли совпадает с нижним слабо разрешимым идеалом [14].
В разделе 1.2 для алгебр Ли доказан аналог результата Амицура-Маккоя о первичном радикал кольца многочленов над ассоциативной алгеброй.
Известно, что если L - алгебра Ли над полем F и К - коммутативная алгебра над F, то ЩрК - алгебра Ли.
Из этого следует, что кольцо многочленов над алгеброй Ли L от п коммутирующих переменных LjrF[xi,... ,xn] = L[xi,... ,хп] является алгеброй Ли.
Доказаны следующие утверждения.
Теорема 1.2.1 Пусть L - алгебра Ли и L[x] - кольцо многочленов над L. Тогда P{L[x}) = P(L)[x].
Следствие 1.2.1 Пусть L - произвольная алгебра Ли и Ь[х\,..., хп] - кольцо многочленов над L от п коммутирующих переменных. Тогда P{L[xh ..., хп]) = P(L)[xi,..., хп].
Во второй главе диссертации изучается первичный радикал артино-вых алгебр Ли.
В разделе 2.1 исследуется первичный радикал артиновых специальных супералгебр Ли.
По аналогии с ассоциативными алгебрами скажем, что алгебра Ли является артиновой, если любая не пустая убывающая цепочка ее идеалов стабилизируется.
Отметим, что в отличие от ассоциативных алгебр, для которых рас- сматриваются правые или левые идеалы, для алгебр Ли нет необходимости говорить об артиновости справа или слева. Следующая теорема была получена в [25].
Теорема 2.1.А Пусть L - артииова специальная алгебра Ли и Р(Ь) - ее первичный радикал. Тогда идеал P(L) - разрешимый.
Эта теорема справедлива также для супералгебр Ли.
Супералгеброй Ли L над полем F называется ^-градуированное векторное пространство L = Lq ф L\ над полем F, на котором определена билинейная операция [х, у], причем для однородных элементов справедливы градуированные тождества антикоммутативности и Якоби [6].
Назовем ^-градуированную ассоциативную алгебру ассоциативной супералгеброй.
Идеал / ассоциативной супералгебры или супералгебры Ли называется градуированным, если / = Iq ф її, где Ц = ІП А{, г = 0,1.
Фактор-алгебра по градуированному двустороннему идеалу является ассоциативной супералгеброй или супералгеброй Ли соответственно.
Супералгебра Ли является артиновой, если любая не пустая убывающая цепочка ее градуированных идеалов стабилизируется.
Скажем, что ассоциативная супералгебра А является РІ- супералгеброй, если она удовлетворяет тождественному соотношению как алгебра без градуировки.
Известно, что достаточным условием выполнимости тождества в градуированной конечной группой алгебре является выполнимость тождественного соотношения в единичной компоненте алгебры [36]. В [34] была дана оценка степени такого тождества.
Назовем супералгебру Ли L над полем F специальной, если существует ассоциативная Р/-супералгебра А такая, что L С [А], где [А] это алгебра А по отношению к операции коммутирования, определенной на однородных компонентах по формуле [х,у] = *У-(-1)а{хШух, а(х) - номер однородной компоненты.
Ассоциативная супералгебра А по отношению к такой операции коммутирования является супералгеброй Ли [А].
Понятие специальных цветных супералгебр Ли исследовалось в работе [35].
Определение разрешимости дается для супералгебр Ли так же как для алгебр Ли.
Для супералгебр Ли определим понятие первичной алгебры и первичного градуированного идеала так же как для ассоциативных алгебр.
Назовем gr-первичным радикалом обобщенно специальной супералгебры Ли пересечение всех ее gr-первичных градуированных идеалов. Обозначим gr-первичный радикал обобщенно специальной супералгебры Ли L через Pgr(L).
Для специальных супералгебр Ли получен следующий результат.
Теорема 2.1.1 Пусть L - артинова специальная супералгебра Ли и Pgr{L) - ее дг-первичный радикал. Тогда идеал Pgr{L) - разрешимый.
В разделе 2.2 исследовался первичный радикал артииовых локально нильпотентных алгебр Ли.
Артиновы специальные алгебры Ли изучались в работах [8] и [25].
В 2001 году А.В. Михалев поставил на семинаре механико- математического факультета МГУ им. М.В. Ломоносова "Кольца и модули" проблему: существует ли артинова алгебра Ли, первичный радикал которой не является разрешимым?
Был построен пример ненулевой локально нильпотентной алгебры Ли L такой, что [L, L] = L, которая не является артиновой.
Возникло предположение, что тот факт, что построенная алгебра Ли L не является артиновой не случаен.
Были получены следующие утверждения.
Теорема 2.2.1 Локально нильпотентная артинова алгебра Ли является разрешимой.
Аналог теоремы 2.2.1 справедлив для групп.
Теорема 2.2.2 Локально нильпотентная группа, удовлетворяющая условию минимальности на нормальные подгруппы является разрешимой.
Идея доказательства теоремы 2.2.1 применима и к ассоциативным алгебрам.
Скажем, что ассоциативная алгебра - слабо артинова, если она удовлетворяет условию минимальности для двусторонних идеалов.
Теорема 2.2.3 Локально нилъпотентный радикал слабо артиновой ассоиативной алгебры R является нильпотентным.
В третьей главе исследуется вопрос о строгом включение первичного радикала алгебры Ли в наибольший слабо разрешимый идеал - радикал В.А. Парфенова.
В монографии [1] приведен пример ненулевой локально нильпотентной полупервичной ассоциативной алгебры.
В разделе 3.1 построен пример ненулевой локально нильпотентной полупервичной алгебры Ли L на основе примера из монографии [1].
Этот пример показывает, что первичный радикал может строго содержаться в наибольшем слабо разрешимом идеале алгебры Ли.
В разделе 3.2 построен пример ненулевой первичной слабо разрешимой алгебры Ли.
Этот пример представляет интерес в связи со своей простотой по сравнению с примером из раздела 3.1.
Отметим, что в специальных алгебрах Ли наибольший слабо разрешимый идеал совпадает с первичным радикалом [5] и, следовательно, специальная слабо разрешимая алгебра Ли не может быть первичной.
Автор диссертации приносит искреннюю благодарность своему научному руководителю, доктору физико-математических наук, доценту Сергею Алексеевичу Пихтилькову за постановку задач и постоянное внимание к работе.
Первичный радикал кольца многочленов над алгеброй Ли
Обозначим через Р(А) первичный радикал ассоциативной алгебры или алгебры Ли А. В работе [31] доказана следующая теорема. Теорема 2.А Пусть А - ассоциативная алгебра и А[х] - кольцо многочленов над А. Тогда Р(А[х\) = Р(А)[х]. Известно, что если L - алгебра Ли над полем F и К - коммутативная алгебра над F, то LFK алгебра Ли. Из этого следует, что кольцо многочленов над алгеброй Ли L от п коммутирующих переменных является алгеброй Ли. В настоящее время появилось большое число работ исследующих различные радикалы для кольца многочленов над ассоциативными алгебрами.
Представляется интересным провести аналогичные исследования для неассоциативных алгебр, например для алгебр Ли. Для кольца многочленов над алгеброй Ли справедливы следующие утверждения. Теорема 1.2.1 Пусть L - алгебра Ли и L[x] - кольцо многочленов над L. Тогда P(L[x\) = Р{Ь)[х]. Следствие 1.2.1 Пусть L - произвольная алгебра Ли и L[x\,..., хп] - кольцо многочленов над L отп коммутирующих переменных. Тогда Следствие выводится из теоремы с помощью математической индукции. Доказательство теоремы. Покажем сначала, что L[x] первичная алгебра Ли, если алгебра Ли L является первичной. Пусть U - идеал алгебры Ли L[X] и f(x) Є U - ненулевой элемент. Тогда где Jo,-Л Є I, k 7 0. Обозначим через I идеал алгебры Ли L, порожденный элементом IQ. Учитывая, что L С 1[Х], можно утверждать, что для любого ненулевого элемента а Є I существует элемент д(х) Є U вида Пусть V - идеал алгебры Ли L[X] и (гг) Є V- многочлен степени m с ненулевым коэффициентом 1 0 при жт. Обозначим через J идеал алгебры Ли L, порожденный элементом IQ. Из первичности алгебры Ли L следует, что взаимный коммутант [I, J] ненулевых идеалов I и J отличен от пуля. Пусть а Е І,Ь Є J такие, что [а, Ъ] ф 0. Тогда существуют элементы с коэффициентами а и 6 соответственно при х в старшей степени. Элемент [f(x), д(х)] имеет ненулевой коэффициент [а, Ъ] при х в старшей степени и, следовательно, отличен от нуля. Мы доказали первичность алгебры Ли L[X]. Пусть L - произвольная алгебра Ли и PCL - первичный идеал. Покажем, что тогда Р[х] - первичный идеал алгебры Ли L[x]. Это следует из изоморфизма и того, что кольцо многочленов над первичной алгеброй Ли является первичным. Получаем включение
С помощью трансфинитной индукции можно доказать, что B(L)[x] С B(L[x\), где B(L) - нижний слабо разрешимый идеал алгебры Ли. Получаем включение P{L)[x] = B(L Мы будем рассматривать все алгебры над полем F. В работе [4] было показано, что первичный радикал специальной алгебры Ли является локально разрешимым. Известно, что первичный радикал произвольной алгебры Ли является слабо разрешимым [14]. Так как нельзя рассчитывать построить хорошую структурную теорию для произвольных специальных алгебр Ли, следует выделить классы алгебр, для которых такая теория существует. Для ассоциативных алгебр существует хорошая теория для артиновых и нетеровых алгебр. Определение. По аналогии с ассоциативными алгебрами скажем, что алгебра Ли является артиновой, если любая не пустая убывающая цепочка ее идеалов стабилизируется. Назовем алгебру Ли нетеровой, если б ней стабилизируется любая возрастающая цепочка идеалов. Отметим, что в отличие от ассоциативных алгебр, для которых рассматриваются правые или левые идеалы, для алгебр Ли нет необходимости говорить об артиновости справа или слева.
Первичный радикал артиновых специальных супералгебр Ли
Артиновы специальные алгебры Ли исследовались в работах [8] и [25]. В 2001 году А.В. Михалев поставил на семинаре механико - математического факультета МГУ им. М.В. Ломоносова "Кольца и модули" проблему: существует ли артинова алгебра Ли, первичный радикал которой не является разрешимым? Известно, что первичный радикал произвольной алгебры Ли является слабо разрешимым и может не быть разрешимым. Автором диссертации было проведено исследование свойств первичного радикала артиновой алгебры Ли. Сначала приведем одно простое соображение. Пусть L - артинова алгебра Ли, P(L) - первичный радикал алгебры Ли L. Рассмотрим цепочку идеалов где Из артиновости алгебры Ли L следует, что Р = р("+1) для некоторого натурального числа п. Мы показали, что если первичный радикал P[L) артиновой алгебры Ли L не является разрешимым, то существует ненулевой идеал / С P(L) такой, что / = [/, /]. # Естественно возник следующий вопрос: существует ли ненулевая локально разрешимая или даже локально нильпотентная алгебра Ли L такая, что L = [L, L]? Такая алгебра была построена, но она не оказалась артиновой. Рассмотрим следующий пример. Пример 2.2.1. Рассмотрим счетномерное векторное пространство V над полем F с базисом в\, ег,... . Зададим линейные отображения i,#2 в алгебре эндоморфизмов EndpV в соответствии со следующей диаграммой. Эта диаграмма представляет собой промежуточные суммы при построении графика функции непрерывной на отрезке [0,1] и нигде не дифференцируемой. Вершины обозначены также как и соответствующие базисные векторы еі,і = 1,2,... . Ребра имеют направления и обозначены через U/j, I — 1, Z, ... . Тот факт, что стрелка Хк идет из вершины в{ в вершину е;- означает, что линейное преобразование Хк отображает ег- в е,-, а остальные базисные вектора в нуль. Пусть L - алгебра Ли порожденная образующими х і = 1,2,... в алгебре эндоморфизмов End V -). Несложно проверить, что имеют место следующие соотношения х\ = [х2, #з], #2 = [я4 #б] и так далее. То есть X С [L, L]. Тогда справедливо равенство L — [L,L]. Можно показать, что алгебра L является локально нильпотентной алгеброй Ли. Это следует из того, что элементы конечнопорожденной алгебры действуют ненулевым образом только на конечномерном подпространстве пространства V и тогда длинные произведения элементов xi равны нулю.
Также можно проверить, что алгебра L не является артиновой. Это утверждение следует из того, что если некоторое произведение Х{ порождает идеал, то его элементы будут не короче порождающего произведения. Возникло предположение, что тот факт, что построенная алгебра Ли L не является артиновой не случаен. Были получены следующие утверждения. Теорема 2.2.1 Локально нилъпотентиая артипова алгебр Ли является разрешимой. Теорема 2.2.2 Локально нильпотентная группа, удовлетворяющая условию минимальности на нормальные подгруппы является разрешимой. Идея доказательства теоремы 2.2.1 применима и к ассоциативным алгебрам. Определение. Скажем, что ассоциативная алгебра - слабо ар-тинова, если она удовлетворяет условию минимальности для двусторонних идеалов. Теорема 2.2.3 Локально нильпотентный радикал слабо артиновой ассоиативиой алгебры R является нильпотентным. Доказательство теоремы 2.2.1. Пусть L - локально нильпотент-ная артинова алгебра Ли, которая не является нильпотентной. Из соображения приведенного в начале параграфа следует, что алгебра L содержит ненулевой идеал / такой, что [/, i] = I. Пусть b Є І - ненулевой элемент. Тогда Ъ = я=і[Ьі Щ гДе все элементы ЬІ,Ь\ Є I. Тогда [bi,b j] ф 0 для некоторого і. Обозначим этот коммутатор [Мі].
Представляя далее Ь\ в виде суммы коммутаторов элементов из / и рассуждая аналогично, получим ненулевой коммутатор [6і, [6г, 6 2]], где 6ъ 62, Ь 2 Є /. В силу равенства [bh [b2, 6 2]] = [[6Ь 62], Щ - [[6Ь b 2], 62], одно из слагаемых отлично от нуля. Обозначим его элементы [[61,62], 62]. Действуя аналогично, получим бесконечную последовательность 61,62,... Є / такую, что все конечные коммутаторы с левой расстановкой отличны от нуля [6і, 6г,..., 6П] ф 0, п = 1,2,... . Рассмотрим цепочку идеалов J , порожденных элементами Из артиновости алгебры Ли L следует существование натурального п такого, что Jn = Jn+\. Введем обозначение a = [6i,...,6n]. Отметим, что элемент а отличен от нуля. Следовательно, существуют натуральное число т и элементы
О локально нильпотентных артиновых алгебрах Ли
В диссертации проведено исследование первичного радикала алгебр и супералгебр Ли с наложенными на них дополнительными условиями. Научная новизна. Полученные результаты являются новыми. В диссертации получены следующие основные результаты: 1. Показано, что первичный радикал P(L[x\,..., хп]) кольца многочленов с коэффициентами из алгебры Ли L от п коммутирующих переменных совпадает с P(L)[xi,..., хп], где P(L) - первичный радикал алгебры Ли; 2. Показано, что градуированный первичный радикал артиновой специальной супералгебры Ли - разрешим; 3. Показано, что проблема А.В. Михалева о разрешимости первичного радикала артиновых алгебр Ли решается положительно для локально нильпотентных алгебр Ли. С помощью перенесения полученного результата на группы и ассоциативные алгебры показано, что первичный радикал локально нильпотентнои группы с условием минимальности на нормальные подгруппы - разрешим, а локально нильпотентный радикал слабо артиновой ассоциативной алгебры - нильпотентен; 4. Построен простой пример слабо разрешимой первичной алгебры Ли. Этот пример показывает, что наибольший слабо разрешимый идеал алгебры Ли может не совпадать с первичным радикалом. Практическая и теоретическая ценность. Работа носит теоретический характер.
Полученные в ней результаты могут быть использованы при решении различных задач в теории алгебр Ли. Апробация результатов. Результаты диссертации докладывались на следующих международных алгебраических конференциях: — V Международной конференции "Алгебра и теория чисел: совре- менные проблемы и приложения". Тула. 2003; — International Conference on Radicals dadicated to the memory of Prof. V. Andrunakievich. Chisinau. 2003; — Международной алгебраической конференции, посвященной 250-летию Московского университета и 75-летию кафедры высшей алгебры. Москва, 2004. Список публикаций по теме диссертации из 7 работ (3-х тезисов и 4-х статей) приведен в конце диссертации. Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав, разбитых на разделы, и списка литературы. Нумерация лемм, предложений и теорем привязана к своему разделу, а нумерация формул сквозная. Полный объем диссертации 52 страницы, библиография включает 47 наименований. Краткое содержание. В первой главе излагается теория первичного радикала для алгебр Ли. В разделе 1.1 даны основные определения и формулировки. Скажем, что алгебра Ли полупервичная, если для любого ее идеала / из того, что I2 = [1,/] = 0 следует, что / = 0. Назовем алгебру Ли первичной, если из того, что взаимный коммутант идеалов U и V равен нулю следует, что U = 0 или V = 0. Скажем, что идеал Р алгебры Ли L - первичный, если фактор-алгебра L/P является первичной.
Назовем первичным радикалом P(L) пересечение всех первичных идеалов алгебры Ли L. В 1971 г. В.А.Парфенов предложил рассматривать для алгебр Ли слабо разрешимый радикал [23]. В.А.Парфенов показал, что в алгебре Ли существует наибольший слабо разрешимый идеал, который обладает радикальными свойствами. Известно, что первичный радикал алгебры Ли совпадает с нижним слабо разрешимым идеалом [14]. В разделе 1.2 для алгебр Ли доказан аналог результата Амицура-Маккоя о первичном радикал кольца многочленов над ассоциативной алгеброй. Известно, что если L - алгебра Ли над полем F и К - коммутативная алгебра над F, то ЩрК - алгебра Ли. Из этого следует, что кольцо многочленов над алгеброй Ли L от п коммутирующих переменных LjrF[xi,... ,xn] = L[xi,... ,хп] является алгеброй Ли. Доказаны следующие утверждения.
Пример первичной слабо разрешимой алгебры Ли
В диссертации построен простой пример ненулевой первичной слабо разрешимой алгебры Ли. В разделе 3.1 приведен пример ненулевой локально нильпотентной полупервичной алгебры Ли L, построенный на основе примера из монографии [1] для ассоциативных алгебр. Следовательно, существует первичный идеал I ф Ь алгебры Ли L такой, что фактор-алгебра L/I является ненулевой первичной локально нильпотентной алгеброй Ли. Приведем пример ненулевой первичной слабо разрешимой алгебры Ли. Этот пример представляет интерес в связи со своей простотой по сравнению с примером из раздела 3.1. Пример. В качестве поля коэффициентов возьмем поле F характеристики 2. Обозначим через А = А[їі,...,й,...] фактор кольца многочленов F[ti, 2..., U,...] без свободного члена по идеалу /, порожденному элементами Пусть L = sl(3, F) F А. Алгебра Ли L является локально разрешимой. Зададим отображение t{ - t{+\. Известно, что отображение образующих можно продолжить до дифференцирования Проверим, что дифференцирование D отображает идеал / кольца многочленов F[ti, ..,U,...] в себя. Многочлены вида ft2k, где / Є F[ti,..,U,...], порождают идеал /. По правилу дифференцирования сложной функции получим Следовательно, D(ftl) Є I. Обозначим через D дифференцирование фактор-алгебры порожденное отображением D кольца многочленов F[ t ]. Дифференцирование алгебры
А является также дифференцированием алгебры L = sl(3, F) р А. В самом деле, Пусть 1/ - абелева алгебра Ли {aD \ а Є F}. Рассмотрим полупрямое произведение М = V A L. Известно, что расширение слабо разрешимой алгебры Ли при помощи слабо разрешимой алгебры Ли является слабо разрешимой алгеброй Ли [23]. Алгебра Ли L - слабо разрешимая, так как она является локально разрешимой. Следовательно, алгебра Ли М является слабо разрешимой. Отметим, что алгебра Ли М не является локально разрешимой. Рассмотрим подалгебру Н порожденную элементами D, (ец - е22) (g fb (е22 - езз) h, ei2 8 ft, e2i g її, еіз 8 h, е3і (8) її, е23 її, е32 її. Алгебра Я содержит алгебру L в качестве подалгебры и, следовательно, не является разрешимой.
Покажем, что алгебра Ли М является первичной. Сначала докажем вспомогательное утверждение: каждый ненулевой идеал алгебры Ли М содержит все элементы sl(3, F) g t\ - - tm для некоторого натурального т. Пусть / ненулевой идеал алгебры Ли М. 1 случай. Идеал I содержит элемент вида Пусть т — 1 наибольший индекс к переменной tk, входящей в запись элемента /. Рассмотрим коммутатор Следовательно, Прокоммутируем полученный элемент с її ї\ - tm_i, І2 Є 5/(3, F). Получим Из простоты алгебры sl(S, F) следует, что линейные комбинации элементов [h,h] порождают алгебру sl(3,F). Следовательно, все элементы sl(3, F) g її - tm содержатся в I. 2 случай. Идеал I содержит элемент вида /, / Є L, / ф 0. Пусть т — 1 наибольший индекс к переменной tk, входящей в запись элемента / и - одно из слагаемых, входящих в запись / с ненулевым коэффициентом. Обозначим через А множество индексов А = {ii,...,ik}- Пусть В = {1,...,т}\А. Действуя последовательно дифференцированием В на tytn получим сумму произведений s элементов tk, содержащую одночлен І2 tn+i и одночлены, в запись которых входит одна из образующих tk, к п + 1. Проиллюстрируем это очевидное утверждение на следующем приме Пусть к п + 1 наибольший из индексов образующих образующих, входящих в запись суммы произведений s
