Содержание к диссертации
Введение
1 О различных определениях артиновости алгебр Ли 37
1.1 Основные свойства внутренних идеалов алгебр Ли 37
1.2 О соотношениях между различными определениями артиновости для алгебр Ли 44
2 Внутренние идеалы алгебры Ли sln(F) 51
2.1 Внутренние идеалы алгебры Ли sfaiF) 51
2.2 Внутренние идеалы алгебры Ли sls(F) 56
2.3 Абелевость внутренних идеалов алгебры Ли sln(F) 63
2.4 Ассоциативная нильпотентность внутренних идеалов алгебры Ли sln(F) 68
3 О проблеме А.В. Михалева для алгебр Ли 74
3.1 Первичный радикал алгебры Ли 74
3.2 Разрешимость первичного радикала іпп-артиновой и а-артиновой алгебр Ли 77
Заключение 82
Литература
- О соотношениях между различными определениями артиновости для алгебр Ли
- Внутренние идеалы алгебры Ли sls(F)
- Ассоциативная нильпотентность внутренних идеалов алгебры Ли sln(F)
- Разрешимость первичного радикала іпп-артиновой и а-артиновой алгебр Ли
Введение к работе
Актуальность темы. Областью исследования работы является “теория радикалов алгебр Ли”. Теории радикалов алгебр Ли посвящены работы R. Amayo, F. Kubo1, I. Stewart2, S. Togo3, А.И. Кострикина 4, К.А. Жевлакова, А.М. Слинько, И.П. Шестакова, А.И. Ширшова5 и других математиков.
Начало создания теории конечномерных алгебр Ли относится к концу XIX века. Оно связано с именами таких математиков как Софус Ли, Ф. Энгель, Э. Картан, В. Киллинг и др.6
Одним из впечатляющих достижений Софуса Ли явилось открытие, что большинство известных методов интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений, казавшихся ранее искусственными и лишенными внутренней связи, могут быть выведены единообразно при помощи теории групп и алгебр Ли. Более того, Ли дал классификацию всех обыкновенных дифференциальных уравнений произвольного порядка по допускаемым группам и тем самым описал всю совокупность уравнений, интегрирование или понижение порядка которых возможно осуществить групповыми методами 7.
По аналогии с теорией групп было введено понятие разрешимой и
1Kubo F. Infinite-dimensional Lie algebras with null Jacobson radical // Bull. Kyushu Inst. Technol. Math. Nat. Sci. 1991. V. 38. P. 23-30.
2Amayo R., Stewart I. Infinite dimensional Lie algebras. Leyden: Noordhoof, 1974.
3Togo S. Radicals of infinite-dimensional Lie algebras // Hiroshima Math. J. 1972. V. 2, P. 179-203.
4Кострикин А.И. Вокруг Бернсайда.- М.: Наука, 1986.
5Жевлаков К.А., Слинько А.М., Шестаков И.П., Ширшов А.И. Кольца, близкие к ассоциатвным.- М.: Наука, 1978.
6Бурбаки, Н. Группы и алгебры Ли (главы I-III).- М.: Мир, 1976.- стр. 453.
7Li e S. Vorlesungen fiber Differentialgleichungen mit bekannten infinitesimalen Transformationen/Bearbeitct und herausgegeben von Dr. G. Scheffers.- Leip-zig: B. G. Teubner, 1891.
нильпотентной алгебр Ли. В. Киллинг ввел понятие радикала и полупростой алгебры Ли.
В дальнейшем развитие теории конечномерных алгебр Ли привело к классификации конечномерных простых алгебр Ли над полем характеристики нуль, доказательству теоремы Леви-Мальцева и многих других.
При изучении теории гладких многообразий естественно возникают бесконечномерные алгебры Ли векторных полей.
Бесконечномерные алгебры Ли оказались полезным инструментом при решении различных математических проблем. Например, Ю. П. Раз-мыслов использовал бесконечномерные алгебры Ли при построении примера группы, удовлетворяющей тождеству xp = 1, где p 5 – простое, которая не является разрешимой8. Бесконечномерные алгебры Ли широко использовались в работах А. И. Кострикина по проблеме Бернсайда9. Они находят и другие применения в математике.
Разработка структурной теории алгебр Ли является актуальной темой исследования. В настоящее время в этой области имеются тысячи научных работ.
Для различных алгебраических систем важную роль при построении структурной теории играет понятие радикала.
Радикал это такой класс идеалов, фактор по которым имеет нулевой радикал и хорошо устроен.
В теории конечномерных алгебр Ли в качестве радикала используют наибольший разрешимый идеал.
Впервые понятие “внутренний идеал” употребил Натан Джекобсон в 1970 году при рассмотрении теории йордановых алгебр10.
8Размыслов Ю. П. Об энгелевых алгебрах Ли // Алгебра и логика.- 1971.- Т. 10.- №10. С. 33-44. 9Кострикин А. И. Вокруг Бернсайда. М.: Наука, 1986.- 232 с.
10Jacobson N. Structure theory of quadratic Jordan algebras // Lecture Notes.- Tata Institute.-Bombay, 1970.- 128 pp.
Понятие внутреннего идеала для алгебр Ли было введено Джорджией Бенкарт11.
Считается, что внутренний идеал алгебры Ли является аналогом одностороннего идеала ассоциативной алгебры.
Понятие артиновости играет важную роль в теории колец. Оно используется как одно из условий конечности (конечномерности).
Так, например, радикал Джекобсона артинова кольца является ниль-потентным.
Ситуация для алгебр Ли отличается. Любой идеал алгебры Ли является двусторонним.
Артиновость для алгебр Ли через идеалы определяли Ю.А. Бахту-рин12, С.А. Пихтильков13 и В.М. Поляков14.
Возможно лучшим аналогом одностороннего идеала для алгебр Ли являются подалгебры или внутренние идеалы.
Ф. Лопес, Е. Гарсия, Г. Лозано исследовали понятие внутреннего идеала применительно к артиновости15, 16.
Объектом исследования диссертационной работы является первичный радикал алгебр Ли. Предметом исследования является раз-11Benkart G. The Lie inner ideal structure of associative rings // J. Algebra.- 1976.- V. 43.- P. 561-584. 12Бахтурин, Ю.А. Артиновы специальные алгебры Ли / Ю.А. Бахтурин // Алгебра.- М.: Изд-во МГУ, 1982.- С. 24-26.
13Пихтильков, С.А. Артиновые специальные алгебры Ли / С.А. Пихтильков // В мв. сб. Алгоритмические проблемы теории групп и полугрупп.- Тула: Изд-во Тул. гос. пед. ун-та им. Л.Н. Толстого, 2001.- С. 189-194.
14Пихтильков, С.А. О локально нильпотентных артиновых алгебрах Ли / С.А. Пихтильков, В.М. Поляков// Чебышевский сборник.- 2005.- Т. 6.- Вып. 1.- С. 163-169.
15Fernandez Lopez A., Garcia E., Gomez Lozano M. An artinian theory for Lie algebras // Journal of Algebra.- 2008.- V.- 319.- N 3.- P. 938-951.
16Fernandez Lopez A., Garcia E., Gomez Lozano M. Inner ideal structure of nearly artinian Lie algebras // Proc. Amer. Math. Soc.- 2009.-V. 137.- P. 1-9.
решимость первичного радикала алгебр Ли.
Цель работы состоит в изучении свойств внутренних идеалов над полем характеристики нуль, соотношений между различными определениями артиновости и разрешимости первичного радикала артиновых алгебр Ли.
Задачи работы. В соответствии с целью выделим следующие задачи нашего исследования:
-
Провести исследование свойств собственных внутренних идеалов алгебры Ли sln(F) над алгебраически замкнутым полем характеристики нуль и свойств собственных внутренних идеалов алгебры Ли линейных преобразований ограниченного ранга бесконечномерного векторного пространства.
-
Провести исследование между различными определениями арти-новости;
-
Решить ослабленную проблему А.В. Михалева для a-артиновых и inn-артиновых алгебр Ли.
Как следует из вышесказанного эти задачи являются актуальными.
Методы исследования. В диссертации используются: методы коммутативной алгебры, классические методы теории колец, теории многообразий ассоциативных алгебр и алгебр Ли.
Научная новизна. К новым результатам, полученным в данной работе в направлении решения поставленных задач, нужно отнести проведенное исследование свойств собственных внутренних идеалов алгебры Ли sln(F) над алгебраически замкнутым полем характеристики нуль.
В диссертации также изучены свойства внутренних идеалов алгебры Ли линейных отображений конечного ранга бесконечномерного векторного пространства V над алгебраически замкнутым полем F характеристики нуль в себя.
В диссертационной работе также проведено исследование соотношений различных определений артиновости.
Для алгебр Ли артиновых относительно подалгебр или внутренних идеалов доказана разрешимость первичного радикала, то есть решена ослабленная проблема А.В. Михалева.
Основные положения выносимые на защиту. Автором защищаются следующие положения:
-
Доказанное свойство внутренних идеалов состоящее в том, что все собственные внутренние идеалы Н алгебры Ли sln(F) над алгебраически замкнутым полем характеристики нуль удовлетворяют условию: А, В Є Н => АВ = 0;
-
Доказанное свойство внутренних идеалов специальной линейной slfr{y) алгебры Ли линейных преобразований V ограниченного ранга состоящее в том, что все собственные внутренние идеалы Н алгебры Ли slfr{y) удовлетворяют условию: f,g Є Н => / о д = 0. В частности собственные внутренние идеалы Н алгебры Ли slfr(V) являются абеле-выми;
-
Обоснованное соотношение между различными определениями артиновости. Приведены примеры, показывающие что из і-артиновости может не следовать а-артиновость и іпп-артиновость;
-
Решенная ослабленная проблема А.В. Михалева для а-артиновых и inn-артиновых алгебр Ли. Доказано, что первичный радикал а-артиновых и inn-артиновых алгебр Ли - разрешим.
Все приведенные выше результаты опубликованы в журналах, входящих в перечень ВАК и материалах Международных конференций по алгебре и теории чисел.
Теоретическая и практическая значимость работы. Диссертационная работа носит теоретический характер. Полученные в ней резуль-
таты могут быть использованы при решении различных задач в теории алгебр Ли. Кроме того, они могут найти свое применение в качестве материалов для специальных курсов по теории радикалов алгебр Ли для студентов Самарского государственного университета, Оренбургского государственного университета, Ульяновского государственного университета.
Достоверность. Достоверность полученных в диссертации результатов обеспечивается строгими теоретическими выкладками и доказательствами, опирающимися на методы коммутативной алгебры, теории ассоциативных алгебр и алгебр Ли.
Апробация результатов. Результаты диссертации докладывались на следующих международных алгебраических конференциях:
Третья международная школа-конференция “Алгебры Ли, алгебраические группы и теория инвариантов”, посвященная 75-летию Э.Б. Винберга. Тольятти, Россия, 25-30 июня 2012 г.;
X Международная конференция "Алгебра и теория чисел: современные проблемы и приложения". Волгоград, Россия, 10-16 сентября 2012 г.;
XI Международная конференция "Алгебра и теория чисел: современные проблемы и приложения". Саратов, Россия, 9-14 сентября 2013 г.
Публикации. По теме диссертации опубликовано 7 работ, в том числе 3 статьи в журналах из перечня ВАК. Список статей приведен в конце автореферата.
Личный вклад автора. Все результаты приведенные в диссертации и выносимые на защиту получены автором самостоятельно или в
соавторстве, причем вклад диссертанта был определяющим.
Объем и структура диссертации. Диссертационная работа состоит из введения, трех глав, разбитых на разделы, заключения и списка литературы. Нумерация лемм, предложений и теорем привязана к своему разделу, а нумерация формул сквозная. Полный объем диссертации 91 страницa, библиография включает 67 наименований.
О соотношениях между различными определениями артиновости для алгебр Ли
Приведены примеры, показывающие что из і-артиновости может не следовать а-артиновость и inn-артиновость;
Для а-артиновых и inn-артиновых алгебр Ли решена проблема А.В. Михалева. То есть показано, что для а-артиновых или inn-артиновых алгебр Ли их первичный радикал - разрешим. Практическая и теоретическая ценность. Работа носит теоретический характер. Полученные в ней результаты могут быть использованы при решении различных задач в теории алгебр Ли.
Апробация результатов. Результаты диссертации докладывались на следующих международных алгебраических конференциях: — Третья международная школ а-конференция "Алгебры Ли, алгебраические группы и теория инвариантов", посвященная 75-летию Э.Б. Винберга. Тольятти, Россия, 25-30 июня 2012 г.; — X Международная конференция "Алгебра и теория чисел: современные проблемы и приложения". Волгоград, Россия, 10-16 сентября 2012 г.; — XI Международная конференция "Алгебра и теория чисел: современные проблемы и приложения". Саратов, Россия, 9-14 сентября 2013 г. Список публикаций по теме диссертации из 5 работ (двух тезисов и трех статей) приведен в конце диссертации. Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав, разбитых на разделы, и списка литературы. Нумерация лемм, пред 10 ложений и теорем привязана к своему разделу, а нумерация формул сквозная. Полный объем диссертации составляет 91 страницу, библиография включает 67 наименований. Краткое содержание. В первой главе рассматриваются свойства внутренних идеалов алгебры Ли и различные определения артиновости. В разделе 1.1 изучаются некоторые свойства внутренних идеалов. В диссертации поставлен ряд вопросов, ответ на которые не известен автору диссертации. Естественно поставить следующий вопрос. Вопрос 1 Пусть В - внутренний идеал алгебры Ли L. Является ли В = [В, В] внутренним идеалом? Ответ на этот вопрос неизвестен автору диссертации. Приведен пример 1.1.1 внутреннего идеала конечномерной нильпо-тентной алгебры Ли, который не является алгеброй Ли. Естественно возникает следующий вопрос.
Вопрос 2 Существует ли внутренний идеал в полупростой алгебре Ли, не являющийся алгеброй Ли? Приведен пример 1.1.2, показывающий, что взаимный коммутант внутренних идеалов может не быть внутренним идеалом. Естественно поставить следующий вопрос. Вопрос 3 Пусть В - внутренний идеал алгебры Ли L. Является ли В п внутренним идеалом? Следующая лемма дает ответ на этот вопрос для внутреннего идеала, являющегося алгеброй Ли. Аналогичное утверждение для множестваВп доказано в [35]. Лемма 1.1.3 Пусть подалгебра Ли В является внутренним идеалом алгебры Ли L. Тогда В п - внутренний идеал. В разделе 1.2 рассматриваются различные определения артиновости для алгебр Ли. Пусть L - алгебра Ли. а) Если убывающая цепочка идеалов стабилизируется, то алгебра на зывается і-артиновой; б) если убывающая цепочка алгебр стабилизируется, то алгебра на зывается а-артиновой; в) если убывающая цепочка внутренних идеалов стабилизируется, то алгебра называется іпп-артиновой. Приведен пример 1.2.1 бесконечномерной іпп-артиновой алгебры Ли. Легко проверить, что из inn-артиновости следует і-артиновость и из а-артиновости следует і-артиновость.
Приведен пример 1.2.2, показывающий что из і-артиновости может не следовать а-артиновость. Приведен пример 1.2.3, показывающий что из і-артиновости не следует inn- артиновость. В главе 2 рассматриваются внутренние идеалы алгебры Ли sln(F). В разделе 2.1 изучаются внутренние идеалы алгебры Ли sl2(F). А.А. Премет доказал существование собственных внутренних идеалов в любой простой алгебре Ли над алгебраически замкнутым полем [23], [24].
В алгебре Ли Уз трехмерных векторов над R по отношению к сложению и векторному произведению нет внутренних идеалов. Поэтому интересен только случай алгебраически замкнутого поля.
Следующая теорема характеризует все внутренние идеалы алгебры sl2(F) над алгебраически замкнутым полем.
Теорема 2.1.1 Рассмотрим алгебру Ли sl2(F) над алгебраически замкнутым полем F характеристики не равной 2. Тогда все ее собственные внутренние идеалы одномерны, порождены матрицами вида: х у z -х , где х1 + yz = О, х, у, z не равны нулю одновременно. Доказанная теорема позволяет поставить следующий вопрос.
Вопрос 4 Справедливо ли утверждение: в любой простой алгебре Ли над алгебраически замкнутым полем собственный внутренний идеал является нильпотентным?
Этот вопрос был поставлен автором диссертации на Третьей международной школе-конференции "Алгебры Ли, алгебраические группы и теория инвариантов", посвященной 75-летию Э.Б. Винберга (Тольятти, Россия, 25-30 июня 2012 г.). В разделе 2.2 рассматриваются внутренние идеалы алгебры Лиsl (F) над полем F нулевой характеристики. Установлено, что одномерный внутренний идеал алгебры sls(F), charF = 0, в некотором базисе порождается матрицей А = е ц или в более общем виде e{j, і ф j.
Внутренние идеалы алгебры Ли sls(F)
Теория групп и алгебр Ли была основана в 70-е годы XIX в. норвежским математиком Софусом Ли (1842 - 1899), но свое современное название она получила лишь в 1934 году от немецкого математика Германа Вейля (1885-1955). До того момента как Вейль ввел новое название эту теорию называли "инфинитезимальные преобразования рассматриваемой группы", или "инфинитезимальная группа".
Первое современное изложение теории групп Ли было дано в 1938 Львом Семеновичем Понтрягиным (1908-1988) [22].
К построению теории групп Ли привела идея Софуса Ли создать для дифференциальных уравнений теорию, аналогичную теории Галуа.
Рассматривая специальные методы интегрирования дифференциальных уравнений различного типа, Ли заметил, что все эти методы на самом деле являются частными случаями общего метода интегрирования, основанного на инвариантности дифференциального уравнения относительно некоторой непрерывной группы преобразований.
Изучая работы Плюккера (1801-1868) по геометрии, Ли замечает, что прямолинейным комплексам, которые и рассматривал Плюккер, должны соответствовать дифференциальные уравнения, которым в свою очередь соответствуют интегральные поверхности и кривые, лежащие на этих поверхностях. Такие кривые Ли позже назвал кривыми соответствующих комплексов. Преобразования дифференциальных уравнений комплексов друг в друга приводили к соответствию между самими комплексами.
Первая работа, в которой он использовал эти идеи, была представлена в 1869 году. Называлась она "Ueber die Reciprocitatsverhaltnisse der Reyschen Complexe" [52].
Вторую работу на эту тему Софус Ли написал совместно с Феликсом Клейном (1849-1925), учеником Плюккера, в 1870 году. Она носила название "Sur une certaine famille de courbes et surfaces" ("О некоторых семействах кривых и поверхностей") [50].
В 1870 году вышла работа Жордана (1838-1922) по теории групп подстановок "Trait е des substitutions et des equations algebriques" [47]. Это была первая работа того времени, в которой наиболее полно была изложена теория конечных дискретных групп и их приложений к алгебраическим уравнениям.
Она включала еще и результаты Лагранжа (1736-1813) и Абеля (1802-1829), полученные в этом направлении. Также в работе было дано и первое полное изложение теории Галуа (1811-1832). Для этого Жордану пришлось ввести и обосновать ряд новых понятий. Но у Жордана еще не было того определения группы, которое мы знаем сейчас.
Современное определение понятия "группа" ввел Вальтер фон Дюк в 1882 г. В сочинении Жордана есть уже явное выделение нормальных подгрупп, понятие простой группы, фактор-группы, изложение доказанной им в 1869 г. теоремы Жордана, первой части известной теоремы Жордана-Гёльдера, исследование кратно-транзитивных групп. В этом сочинении впервые появляется понятие гомоморфизма. Так же в данной работе Жордан впервые рассматривает матричные группы с элементами из конечного поля, то есть дискретные группы. Работа Жордана стала на некоторый период времени учебником как по теории групп, так и по теории Галуа. Эта работа оказала большое влияние на взгляды Софуса Ли. Понятия, введенные Жорданом, Ли позже распространил на группы преоб 18 разований.
В 1872 г. Феликс Клейн (1849-1925) опубликовал "Эрлангенскую программу", согласно которой всякая геометрия определяется некоторым набором взаимно однозначных преобразований некоторого множества, этот набор должен быть группой, с каждой группой преобразований связывается некоторая геометрия, и суть всякой геометрии состоит в изучении инвариантов ее группы преобразований.
Основное содержание геометрии составляют теоремы о соотношениях между инвариантными свойствами. Расширяя или сужая группу преобразований, можно перейти от одного типа геометрии к другому. Евклидова геометрия - наука об инвариантах метрической группы; проективная геометрия - наука об инвариантах проективной группы.
Классификация групп преобразований дает классификацию геометрий; теория алгебр и дифференциальных инвариантов каждой группы дает аналитическую структуру геометрии.
Далее Клейн стал заниматься идеей применения теории групп к геометрической теории функций комплексного переменного.
В 1874 году Ли вводит определения "инфинитезимального оператора группы", "инварианта группы", "разрешимой группы", представил перечисление всех групп на прямой и на плоскости.
С. Ли рассматривал инфинитезимальные контактные преобразования и показал что контактные преобразования плоскости образуют группу, зависящую от 10 параметров, изоморфную группе проективных преобразований четырехмерного пространства, переводящих в себя гиперповерхность второго порядка.
Ассоциативная нильпотентность внутренних идеалов алгебры Ли sln(F)
Алгебру А можно также охарактеризовать как алгебру верхнетреугольных матриц с нулями на главной диагонали. Алгебра А является ассоциативной нильпотентной алгеброй. Она также является нильпотентной алгеброй Ли по отношению к операции коммутирования [ж, у] = ху — ух. Пусть В векторное подпространство, порожденное матричными единицами еі2, Є2з, а С - матричными единицами {е - j — і 3}. Приведем следующее известное определение (см. [6], [8]).
Определение. Обозначим через sln(F) алгебру квадратных матриц порядка п над F со следом нуль. Векторное пространство матриц sln(F) является алгеброй Ли по отношению к операции коммутирования [х} у] = ху — ух и называется специальной линейной алгеброй Ли.
Приведем пример, показывающий, что взаимный коммутант внутренних идеалов может не быть внутренним идеалом.
Пример 1.1.2. Пример построен на основе примера из [35]. Рассмотрим алгебру Ли sl2(F) над полем F характеристики 0. Тогда матрицы е = ei2,/ = e2hh = ЄЦ -е22 образуют базис алгебры s/2(F) и подпространства Fe и Ff являются ее внутренними идеалами. Рассмотрим множество В = {ае\а Є F}. Покажем, что множе-ство В является внутренним идеалом. Для этого нужно проверить, что [[В,[В,Ц]СВ. То есть, [С, [С, L]] не является подмножеством С, что означает, что множество С не является внутренним идеалом. Определение. Характеристическим идеалом алгебры Ли называется идеал замкнутый относительно внутренних дифференцирований.
Определение. Характеристический идеал [L,L], обозначаемый D{L) = V называется производным идеалом или коммутантом алгебры Ли L. Производным рядом алгебры Ли L называется убывающая последовательность L(D D L(2) D ... D L D ... характеристических идеалов, определяемых рекуррентно L l = L , LSn+l = [L n\ L n ]. Нижним центральным рядом алгебры Ли L называется убывающая последовательность Ll D L2 D ... D Ln D ... характеристических идеалов, определяемых рекуррентно Ll = L, Ln+l = [Ln, L]. Естественно поставить следующий вопрос.
Вопрос 3 Пусть В - внутренний идеал алгебры Ли L. Является ли В п внутренним идеалом? Следующая лемма дает ответ на этот вопрос для внутреннего идеала, являющегося алгеброй Ли. Аналогичное утверждение для множестваВп доказано в [35]. Лемма 1.1.3 Пусть подалгебра Ли В является внутренним идеалом алгебры Ли L. Тогда В п - внутренний идеал.
Доказательство. Отметим, что коммутант алгебры Ли также является алгеброй Ли. Докажем методом математической индукции. 1. Основание индукции. Пусть п = 1. Выше было доказано, что коммутант В = [В, В] является внутренним идеалом (лемма 1.1.2). 2. Индукционный переход. Предположим, что для п = к утверждение выполенено, то есть В является внутренним идеалом. Докажем для п = к + 1. По определению В( +1) = [В(к\В ]. Так как по предположению В - внутренний идеал, то согласно лемме 1.1.2 делаем вывод, что В + является внутренним идеалом. 1.2 О соотношениях между различными определениями артиновости для алгебр Ли Понятие артиновости играет важную роль в теории колец. Определение. Ассоциативное кольцо R называется право (лево) аргпиновым, если любая убывающая цепочка его правых (левых) идеалов идеалов - стабилизируется [12], [28]. Известны примеры право, но не лево артиновых колец [12]. В дальнейшем, говоря артинова алгебра или артиново кольцо мы будем иметь в виду правую артиновость. Понятие артиновости используется как одно из условий конечности (конечномерности).
Так, например, радикал Джекобсона артинова кольца является ниль-потентным, полупростая артинова алгебра является прямой суммой простых артиновых подалгебр, артинова простая алгебра изоморфна алгебре матриц над телом [28].
Ситуация для алгебр Ли отличается. Любой идеал алгебры Ли является двусторонним. Артиновость для алгебр Ли через идеалы определяли Ю.А. Бахтурин [2] , С.А. Пихтильков [18] и В.М. Поляков [20]. Они рассматривали специальные артиновы алгебры Ли.
Возможно лучшим аналогом одностороннего идеала для алгебр Ли являются подалгебры или внутренние идеалы. Ф. Лопес, Е. Гарсия, Г. Лозано исследовали понятие внутреннего идеала применительно к артиновости с помощью йордановых пар [43], [44].
Разрешимость первичного радикала іпп-артиновой и а-артиновой алгебр Ли
В разделе излагаются элементы теории первичного радикала алгебр Ли в соответствии с [1], [21]. Нам потребуются следующие определения. Определение. Скажем, что L - разрешимая алгебра Ли, если некоторый член производного ряда алгебры L равен нулю Z ) = 0 для некоторого натурального п. Алгебра Ли называется локально разрешимой, если любая ее конеч-нопорожденная подалгебра - разрешима. Определение. Алгебра Ли называется слабо разрешимой, если любое ее конечномерное подпространство удовлетворяет тождеству разрешимости некоторой ступени.
Определение. Назовем алгебру Ли первичной, если из того, что произведение идеалов [U, V] = 0 следует, что U = 0 или V = 0. Такое определение рассматривается в книге Ю.П.Размыслова [27] для универсальных алгебр.
Определение. Идеал I алгебры Ли L называется первичным, если фактор-алгебра L/1 по нему является первичной. Определение. Назовем первичным радикалом P(D) пересечение всех первичных идеалов алгебры (ассоциативной или алгебры Ли) D или саму алгебру D, если их нет. В 1971 г. В.А.Парфенов предложил рассматривать для алгебр Ли слабо разрешимый радикал [17].
Несложно проверить, что расширение слабо разрешимой алгебры Ли при помощи слабо разрешимой является слабо разрешимой [17]. Следует, что сумма слабо разрешимых идеалов является слабо разрешимым идеалом для произвольной алгебры Ли. Как показал В.А.Парфенов [17], класс всех слабо разрешимых алгебр Ли является радикальным в универсальном классе всех алгебр Ли.
Обозначим через T{L) наибольший слабо разрешимый идеал алгебры Ли L и назовем его верхним слабо разрешимым радикалом алгебры L.
Так же как и для ассоциативных алгебр [7], для алгебр Ли можно определить верхний и нижний ниль-радикалы. По аналогии с построением нижнего ниль-радикала в ассоциативных алгебрах, обозначим через p(L) сумму разрешимых идеалов алгебры Ли L.
Так как сумма двух разрешимых идеалов алгебры Ли является разрешимым идеалом, идеал p(L) является локально разрешимым.
С помощью трансфинитной индукции определим для каждого порядкового числа а идеал р{а) следующим образом. 1. р(0) = 0. 2. Предположим, что р{а) определено для всех а (3. Тогда определим р((3) следующим образом. а) если (3 = 7 + 1 не является предельным порядковым числом, то р(Р) это такой идеал алгебры L, что p{f3)/ р{ ) = p(L/р( у)). б) Если (3 - предельное порядковое число, то р(Р) = U РМ 7 /3 Расширение локально разрешимой алгебры Ли с помощью локально разрешимой алгебры может не быть локально разрешимым [30], но оно будет слабо разрешимым [17]. Из соображений мощности p(f3) = р((3 + 1) для некоторого /3. Скажем, что р((3) - нижний слабо разрешимый радикал алгебры Ли L. Слабо разрешимые алгебры Ли являются аналогом локально ниль-потентных ассоциативных алгебр. Определенный интерес представляет исследование соотношения между первичным и нижним слабо разрешимым радикалами. Имеет место следующая теорема. Теорема 3.1.А ([1]) Первичный радикал P(L) произвольной алгебры Ли L над полем совпадает с нижним слабо разрешимым радикалом.
Для специальных алгебр Ли справедливо следующее утверждение, являющееся аналогом утверждения о ниль-радикалах ассоциативных Р/-алгебр [7].
Теорема 3.1.В ([1],[4]) В любой специальной алгебре ЛиЬ локально разрешимый радикал R(L) совпадает с верхним и нижним слабо разрешимыми радикалами. Более точно R(L) = р(2). 3.2 Разрешимость первичного радикала mn-артиновой и а-артиновой алгебр Ли
В 2001 году А.В. Михалев на семинаре механико-математического факультета МГУ им. М.В. Ломоносова "Кольца и модули "поставил проблему: существует ли артинова алгебра Ли, первичный радикал которой не является разрешимым?
В 1963 г. В.Н. Латышев ввел понятие специальной алгебры Ли [13]. Определение. Алгебра Ли L называется специальной алгеброй или SPI-алгеброй, если существует ассоциативная PI-алгебра А такая, что L вложена в как алгебра Ли, где А - алгебра Ли, заданная на Ас помощью операции коммутирования [х}у] = ху — ух. С.А. Пихтильков доказал, что первичный радикал специальной г-артиновой алгебры Ли является разрешимым [18].
Известно, что первичный радикал произвольной алгебры Ли является слабо разрешимым, может не быть разрешимым и даже локально разрешимым [1]. В разделе 1.2 мы показали, что свойства а-артиновости и іпп-артино-вости сильнее, чем свойство і-артиновости. Следующие предложение и леммы потребуются для решения ослабленной проблемы А.В. Михалева.
Предложение 3.2.1 Пусть В - ненулевой идеал алгебры Ли L, L - а-артинова или гпп-артинова. Тогда В содержит ненулевой идеал I такой, что [/, /] = / или В удовлетворяет тождеству разрешимости некоторой ступени. Доказательство. В 1Э В 1Э В" 1Э ... 1Э 7 (п) 1Э ... - убывающая цепочка внутренних идеалов, где В п - n-ый член производного ряда алгебры В. Из а-артиновости или inn-артиновости следует, что она стабилизируется. Существует натуральное число к, такое что В к = В к+1 . Пусть 7 = В к . Тогда, если 1. 7 = 0, то В удовлетворяет тождеству разрешимости ступени к; 2.7 0, то [7,1] = 7, I - искомый. Следовательно, В содержит ненулевой идеал 7 такой, что [7,1] = I или В удовлетворяет тождеству разрешимости некоторой ступени.
Лемма 3.2.1 Пусть L - а-артинова или іпп-артинова алгебра Ли, А - ненулевой абелев идеал алгебры L. Тогда dinripA оо.
Доказательство. Любое подпространство идеала А является абеле-вой подалагеброй. Если dinipA = оо, то нарушается а-артиновость. Пусть V подпространство идеала А. Тогда [V, L] С А. Следует, что [V, [V, L]] = 0. Это означает, что подпространство V - внутренний идеал. Бесконечномерность идеала А противоречит inn-артиновости. Лемма 3.2.2 Пусть L - а-артинова или іпп-артинова алгебра Ли, I С P(L) ненулевой идеал такой, что [7, 7] = I, А - ненулевой абелев идеал алгебры L. Тогда [7, Л] = 0. Доказательство. Согласно лемме 3.2.1, идеал А - конечномерен. Присоединенное отображение ad является гомоморфизмом алгебры Ли L в алгебру эндоморфизмов векторного пространства А по отношению к коммутированию ad : L —End(Ap . Образ / идеала / при отображении ad является слабо разрешимым. Слабо разрешимый идеал конечномерной алгебры Ли End(Ap является разрешимым [4]. Следовательно, идеал / - разрешим. Из условия [/, I] = I следует 7=0. Пусть і Є /, а Є А. Тогда ad і(а) = [і, а] = 0. Получили [/, А] = 0. Нам также потребуется лемма, которая была доказана в [57] для произвольных алгебр Ли, а применялась для специальных.
