Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА I. Определяемость некоторых классов абелевых групп без кручения группами гомоморфизмов 13
1. Определяемость вполне разложимых абелевых групп без кручения А группами гомоморфизмов Нот(С, А), где С — вполне разложимая абелева группа без кручения 13
2. Определяемость некоторых классов абелевых групп без кручения А группами гомоморфизмов Нот(С, А), где С — векторная группа 32
ГЛАВА II. Определяемость различных классов групп без кручения своими кольцами (полугруппами) эндоморфизмов и группами гомоморфизмов 38
1. Определяемость некоторых классов вполне разложимых абелевых групп без кручения А своими кольцами эндоморфизмов и группами гомоморфизмов Нот(С,А), где С — вполне разложимая абелева группа без кручения 38
2. Определяемость некоторых классов абелевых групп без кручения А своими кольцами эндоморфизмов и группами гомоморфизмов Нот (С, А), где С — векторная группа 56
3. Определяемость некоторых классов вполне разложимых абелевых групп без кручения А своими полугруппами эндоморфизмов и группами гомоморфизмов Нот(С, А), где С — вполне разложимая абелева группа без кручения 61
ГЛАВА III. Определяемость периодических абелевых групп своими группами эндоморфизмов и группами гомоморфизмов 68
1. Предварительные результаты 68
2. Сн- и определяемость некоторых классов периодических групп своими группами эндоморфизмов и группами гомоморфизмов 73
Литература 87
- Определяемость вполне разложимых абелевых групп без кручения А группами гомоморфизмов Нот(С, А), где С — вполне разложимая абелева группа без кручения
- Определяемость некоторых классов вполне разложимых абелевых групп без кручения А своими кольцами эндоморфизмов и группами гомоморфизмов Нот(С,А), где С — вполне разложимая абелева группа без кручения
- Определяемость некоторых классов вполне разложимых абелевых групп без кручения А своими полугруппами эндоморфизмов и группами гомоморфизмов Нот(С, А), где С — вполне разложимая абелева группа без кручения
- Сн- и определяемость некоторых классов периодических групп своими группами эндоморфизмов и группами гомоморфизмов
Введение к работе
Глава 1. Введение
1.1 Общая характеристика работы 3
1.2 Постановка задачи и формулировка полученных
результатов 12
1.3 Критерий полноты программ 22
Глава 2. Одномодульные программы
2.1 Структура одномодульных программ 25
2.2 Нижние оценки функций Шеннона 31
2.3 Верхние оценки функций Шеннона 40
Глава 3. Мультимодульные программы
3.1 Программы с легкими константами 51
3.2 Поведение функции Шеннона для унарной сложности
рекурсивных схем из функциональных элементов 56
3.3 Поведение функции Шеннона для сигнатурной сложности
рекурсивных схем из функциональных элементов 66
3.4 Синтез невырожденных мультимодульных программ 72
Приложение А. Общие формулы для вычисления нижних
мощностных оценок функции Шеннона 75
Приложение В. Вычисление экстремумов некоторых
функций 78
Приложение С. Некоторые результаты из теории
универсальных матриц 83
Литература 87
Определяемость вполне разложимых абелевых групп без кручения А группами гомоморфизмов Нот(С, А), где С — вполне разложимая абелева группа без кручения
Аналогичным образом можно показать, что М% С Q(A). Пусть М ф М„. Тогда найдется тип 7 Є М такой, что TQ М . Поскольку М С П(В), то го Є Q(B) и го M;f. Тип TQ не может лежать в U М- -, так как то Є М . Но тогда в М% найдется тип т TQ. С другой сто роны, го Є -М и, значит, т лежит в U М/4 = U Mf. С другой стороны, г Є М%. Противоречие. Следовательно, М = М%. Далее рассмотрим тип г Є М. Имеем: где ТІ Є U М/1, ТІ т таковы, что в разложении группы С найдутся »=1 группы С , для которых ті — т{Ск) = г и число таких Ск равно т(т)\ тпт 1 — число групп Сг, типы которых идемпотентны относительно типа т. Отсюда, учитывая конечность всех слагаемых, получаем \1(т)\ = J(r). Таким образом, для всех і Є {1,..., fc} М/4 = Mf и для любого типа т Є 1(А) имеем \1(т)\ = \J(T)\. Пусть к s. Отсюда М+1 = 0, М +1 ф 0. Тогда нетрудно заметить, что для любого типа Tk+\ Мк+1 число групп ранга 1 типа Тк+і в Нот(С, А) и в Нот(С, В) различно, что противоречит ( ). Значит, к = s. Следовательно, А В. Необходимость второго условия доказана в теореме 1.1. Докажем необходимость первого условия теоремы. Пусть в разложении группы С нет слагаемых, изоморфных группе Z. Тогда положим A = Z, В = Z Z. Очевидно, что Hom(C, A) = Hom(C, В) = О, но А В. Противоречие. Теорема доказана. Теорема 3.1. Пусть С — вполне разложимая абелева группа без кручения. Класс Э$ вполне разложимых абелевых групп без кручения, где каждое прямое слагаемое ранга 1 почти делимо, является сН-классом тогда и только тогда, когда группа С удовлетворяет следующим условиям: 1. П0(С) ф 0; 2. С имеет конечный ранг. Доказательство. Достаточность. Пусть — канонические разложения вполне разложимых почти делимых абелевых групп без кручения А и В, соответственно. Пусть группа п С удовлетворяет условиям 1 и 2 теоремы 2, то есть С = ф Ск, r(Ck) = 1, r(d) Є fio(C) . Из изоморфизма Hom(C,A) = Hom(C,B), учитывая, что г(С) Щ, т(С{) Є fio(C) и теорему 4, получаем Для любого к Є {2,...,п} и любого г Е I если T(Cfc) т(Д-), то, учитывая почти делимость групп А{ и [20, теорема 1], получаем: r(Hom(Ck,Ai)) = Т(АІ) - т(Ск) = т(Д-), то есть Hom(Ck,Ai) = Д-. Если же т(Ск) т(Д), то Hom(Ck,Ai) = 0. Аналогично, для любых к Є {2, ...,п} и j Є J Hom(Ck,Bj) = Bj, если т(Ск) r(Bj), иначе если r(Cjt) T(BJ), ТО Hom(Ck, Bj) = 0. Согласно теореме 5, Q(A) = Q(B). Тогда последний изоморфизм можно записать следующим образом: где /(т) = mT/(r), \J(T)\ = mTJ(r), a 1 mT n — число таких групп Cfc, для которых т(Ск) т, т Є Q(A). Учитывая теорему 5, для каждого г Є Q(A) имеем /(т) = J(r). Откуда \1{т)\ = \J(T)\. Таким образом, получили, что А = В. Необходимость второго условия доказана в теореме 1.1, так как построенные там группы А и В принадлежат классу $$%[. Докажем необходимость первого условия. Пусть каждый тип т из Q(C) содержит символы со. Тогда существуют неизоморфные группы А и В из 9 такие, что Нот(С,А) Нот(С,В). Так как г (С) К0, ТО Q(C) = {ТІ,Т2, ..., Г/}. ДЛЯ КаЖДОГО Ts Є П(С) раССМОТрИМ Роо( а) Образуем множество Ро выбрав по одному ps из каждого Роо(тв)-Тогда в качестве А возьмем группу ранга 1 из 9?$, тип которой содержит характеристику (..., hPe,...), где hPs ф оо для всех ps Є Ро; В = А А. Очевидно, что А Щ Б, но Нот(С,А) = Нот(С,В) = 0. Следовательно, $$ не является с#-классом, что противоречит условию теоремы. Замечание 1.1. Теорема 2.1 справедлива, если вместо класса вполне разложимых почти делимых абелевых групп без кручения рассмотреть более широкий класс 9$d вполне разложимых абелевых групп без кручения, для которых каждое прямое слагаемое почти делимо. Ъ Замечание 2.1. Класс 9? максимален в том смысле, что для любого класса 9 такого, что 9 С $ С S С $ , С Є $«/ теорема 2.1 неверна. Теорема 4.1. Пусть С — вполне разложимая абелева группа без кручения. Класс $і абелевых групп без кручения ранга 1 является сН-классом тогда и только тогда, когда группа С удовлетворяет одному из следующих условий:
Определяемость некоторых классов вполне разложимых абелевых групп без кручения А своими кольцами эндоморфизмов и группами гомоморфизмов Нот(С,А), где С — вполне разложимая абелева группа без кручения
В этой главе рассматривается вопрос об определяемости абелевой группы группой гомоморфизмов в различных классах групп.
Задача определяемости абелевой группы А группой гомоморфизмов Нот(С,А), если С — вполне разложимая абелева группа без кручения, решается в классе вполне разложимых абелевых групп без кручения, а если С — векторная абелева группа без кручения, где r(R(C)) N1, то в некоторых классах вполне разложимых абелевых групп без кручения и в классе редуцированных однородно разложимых абелевых групп без кручения с некоторыми дополнительными свойствами.
Определяемость вполне разложимых абелевых групп без кручения А группами гомоморфизмов Нот(С, А), где С — вполне разложимая абелева группа без кручения Пусть С — абелева группа. Будем говорить, что абелева группа А из некоторого класса X абелевых групп с -определяется в классе X, если для всякой группы В Є X из изоморфизма Нот(С, А) = = Нот(С, В) следует изоморфизм А == В. Обозначим класс абелевых групп, с1- -определяющихся в X, через Х(сН). Если X = = Х(сН), то класс X назовем Я-классом. В данном параграфе решается следующая задача: определяются необходимые и достаточные условия, которым должна удовлетворять вполне разложимая абелева группа без кручения С, чтобы заданный класс абелевых групп без кручения был сН-кл&ссом. Отметим, что проблема существования такой группы С всегда решается положительно, так как любая абелева группа A z- -определяется в классе всех абелевых групп. В то же время ясно, что не для любой группы С без кручения ранга 1 изоморфизм Нот{С, А) = = Нот(С, В) влечет изоморфизм А = В. Теорема 1.1. Пусть С — вполне разложимая абелева группа без кручения. Класс $« вполне разложимых абелевых групп без кручения является сН-классом тогда и только тогда, когда группа С удовлетворяет следующим условиям: 1. С имеет прямое слагаемое, изоморфное Z/ 2. С1(С) содержит только идемпотентные типы; 3. С имеет конечный ранг. Доказательство. Достаточность. Пусть группа С удовлетворяет условиям теоремы, то есть С = 0 , где r(Ck) = 1, С\ = Z и все т(Ск) идемпотентные. Предположим противное: существуют две неизоморфные группы А и В из Scd такие, что — их фиксированные разложения, где Поскольку группы А и В не изоморфны, то возможны два случая: а) Q(A) ф Q(B). Пусть тип г0 Є fi(A), но т0 0 Q(B). Так как r(Z) Є П(С) то fi(A) С П(ЯОШ(С,І4)), откуда т0 Є П(Яот(С7, Л)). Следовательно, TQ Є Q(Hom(C, В)). Но, поскольку, все типы Г(СА;) идемпотентны, имеем Нот(Ск, Bj) = Яу или Нот(Ск, Bj) = 0. Та ким образом, Q(Hom(C,B)) С Q(B) и, значит, 7 Є Q(B). Проти воречие. б) fi(A) = Q(B) и существует такой тип т Є П(Л), что \1(г )\ ф \J(r )\. Так как r(Z) Є fi(C), то П(Л) С П(Нотп(С,А)). Тогда т Є Q(Hom(C, А)). Пусть Т(т) — мощность множества групп ранга 1 типа г в разложении группы Нот(С,А). Тогда Т(т ) = тТ \1(т )\, где 77V — число групп Ск из разложения группы С, типы которых т(Ск) т . Но, согласно (1), 7 (7- ) = mT \J(r )\. Откуда 1/( )1 = 1/( )1. Противоречие. Полученные противоречия доказывают, что в классе Scd не найдется таких неизоморфных групп А и Я, чтобы Hom(C,A) = Нот(С,В). Следовательно, класс 9 является с-Я-классом. Необходимость. Докажем сначала необходимость третьего условия. Предположим, что группа С имеет бесконечный ранг. Тогда существуют неизоморфные группы А, В Є $$cd такие , что Hom(C,A) = Hom(C,B). Действительно, положим A = Q и .В = QQ, С = Ф Cfc, где \К\ No- Согласно теореме 1, по кеК лучаем:
Определяемость некоторых классов вполне разложимых абелевых групп без кручения А своими полугруппами эндоморфизмов и группами гомоморфизмов Нот(С, А), где С — вполне разложимая абелева группа без кручения
Тогда, согласно теореме 5 и (2), имеем: для любой группы А{ из А найдется группа Hom(Ct, Bj) из Нот(С, В) такая, что Ai = Hom(Ct,Bj). Отсюда, по [20, следствие 1], r(Bj) т(Д-). Аналогично, для группы Bj найдется группа Hom(Ck, А{) из Нот(С, А) такая, что Bj = Hom{Ck,Ai). Тогда T(BJ) т(А{). Далее, ТІЛІ) — T(Bj) — т( )- Так как все типы из ЩА) несравнимы, то А{ Bj. Отсюда П(А) С П(В). Аналогично, для любой группы Bj из В найдется группа А( из А, что Bj = Ai. Следовательно, Q(A) = Q(B). Рассмотрим любой тип г из 1(А). Учитывая, что r(Z) Є fi(C), получаем: Q(A) С Q(Hom(C,A)). Пусть Т(НОТП(С8,АІ)) = т. Согласно [20, следствие 1], Т{АІ) т. Тогда из несравнимости типов из Q(A), следует: Т(АІ) = т. Понятно, что Т(т) = mT/(r), где Т(т) — мощность множества групп ранга 1 из Нот(С, А), тип которых равен г; тТ — число групп Cs из разложения группы С, типы которых идемпотентны относительно типа т. С другой стороны, согласно (1), имеем: Т(т) = mT\J(r)\. Тогда, учитывая, что тт конечно, получаем: \ґ(т)\ = \J(T)\. Таким образом, имеем: А = В. Необходимость доказана в теореме 2.1. Теорема 6.1. Пусть С — вполне разложимая абелева группа без кручения. Класс 5 вполне разложимых абелевых групп А без кручения, А = ф АІ, где все Лг- — вполне характеристические группы ранга 1, является сН-классом, если группа С содержит прямое слагаемое, изоморфное группе Z. Доказательство. Пусть А = ф Д-, г (АЛ = 1; В = ф В,, = Нот(С,В), учитывая, что r(Z) Є П(С), теорему 1 и [20, лемма], получаем изоморфизм Согласно [8], Q(Hom(C,A)) = Sl(Hom(C,B)), где П(Нот(С,А)) — множество различных типов прямых слагаемых Hom(Ct, АІ) ранга 1. Тогда, поскольку r(Z) Є О(С), получаем: для любой Д- из А найдется Hom(Ct,Bj) из Нот(С,В), что АІ = Hom(Ct,Bj). Значит, учитывая [20, следствие 1], получаем Т(АІ) T(BJ). Аналогично, для Bj из В найдется Hom(Ck,Ai) из Нот(С,А), что Bj = Hom(Ck}Ai). Тогда r{Bj) т{А{). Отсюда т{А{) T(BJ) тЩ, а так как АІ и Л/ — вполне характеристические, то і = І, то есть А{ Bj.
Аналогичным образом доказывается, что для любой Bj из В найдется А{ из Л, что Bj = АІ. Следовательно, Q(A) = fi(-B), а так как Л и В из $5 то Л = Б. Теорема доказана. Положим ft і (С) = {т ft (С) : г — идемпотентный , Poo Ml No и Т(т) No}} где Т(т) — мощность множества прямых слагаемых ранга 1 типа г в разложении группы С — С .
Теорема 7.1. Пусть С — вполне разложимая абелева группа без кручения. Класс К\ вполне разложимых абелевых групп без кручения А — 0 А{, где все АІ — почти неделимые группы без кручения ранга 1 (т.е. для АІ выполнено: рА{ ф А{ почти для всех простых р) и ft(A) содержит только несравнимые типы, является сН -классом тогда и только тогда, когда группа С удовлетворяет следующим условиям:
Пусть тип г Є Q(A). Учитывая, что r(Z) Є 0(C), получаем: fi(A) С П{Н лп(С,А)). Пусть т(Нот(С8,А{)) = т. Согласно [20, следствие 1], т(А{) т. Тогда из несравнимости типов Q(A), следует Т(АІ) = т. Значит, r(Hom(Cs, АІ)) = т — r(Cs) = т. Поскольку характеристики типа г содержат символ со лишь в конечном числе мест, то тип т(С8) является идемпотентным, причем T(CS) т. Следовательно, число различных таких типов т{С8) конечно.
Понятно, что \Т(т)\ = тт\1(т)\, где \Т(т)\ — мощность множества групп ранга 1 из Нотп(С,А), типы которых равны т; тпт — число групп Ct из разложения группы С, типы которых идемпо-тентны относительно типа т. Аналогично, T(r) = mT\J{r)\. Тогда, учитывая условие 2 теоремы, получаем, что mr No- Отсюда из равенства mT/(r) = mrJ(r) следует \1{т)\ = «/(т). Таким образом, А В.
Необходимость первого условия доказана в теореме 5.1, так как построенные там группы А и В также принадлежат классу К\. Докажем необходимость второго условия. Пусть Qi(C) ф 0. Тогда в Пі (С) существует тип т такой, что для любого г из fii(C) имеет место f г (в качестве такого типа может выступать, например, любой тип т Є Г2і(С), для которого мощность множества Роо{т) минимальна и \Т{т)\ No)- Отсюда
Сн- и определяемость некоторых классов периодических групп своими группами эндоморфизмов и группами гомоморфизмов
Скажем, что группа А определяется своим кольцом эндоморфизмов в классе групп X, если из Е(А) = Е(В), где В Є X, следует, что А В.
Хорошо известный результат Бэра [25] и Капланского [26], [27] об определяемости периодических абелевых групп своим кольцом эндоморфизмов в классе периодических групп положил начало многочисленным исследованиям в этом направлении. Так, классы абелевых групп, в которых имеет место теорема Бэра-Капланского, А.М.Себельдин [28] называет EI-классами и описывает один достаточно широкий El-класс. Заметим, что класс S всех групп без кручения El-классом не является (см. например, Вольфсон [29]). Об определяемости групп их кольцами эндоморфизмов см. также [30], [31], [32], [33], [34]. Работа Мэя [35] — обзор результатов по проблеме изоморфизма колец эндоморфизмов смешанных групп.
Такой же вопрос, как для колец эндоморфизмов Е(А) группы А, стоит для его мультипликативной полугруппы Е (А), называемой полугруппой эндоморфизмов группы А. Проблему определяемости абелевых групп их мультипликативными полугруппами рассматривали Пуусемп [36], [37] и Себельдин [38], [39], [40]. В связи с вышеуказанным представляется естественным изучать вопросы определяемости абелевых групп своими кольцами и полугруппами эндоморфизмов вместе с дополнительным условием изоморфизма групп гомоморфизмов.
В этой главе рассматривается вопрос об определяемости абелевой группы своим кольцом эндоморфизмов и группой гомоморфизмов в различных классах групп.
Задача определяемости абелевой группы А своим кольцом эндоморфизмов и группой гомоморфизмов Нот{С,А), если С — вполне разложимая абелева группа без кручения, решается в классе вполне разложимых абелевых групп без кручения. В случае, когда С — векторная абелева группа без кручения (r(R(C)) N1), вышеуказанная задача рассматривается в некоторых классах вполне разложимых абелевых групп без кручения и в классе редуцированных однородно разложимых абелевых групп без кручения с некоторыми дополнительными свойствами.
Определяемость некоторых классов абелевых групп без кручения А своими кольцами эндоморфизмов и группами гомоморфизмов Нот(С, А), где С — вполне разложимая абелева группа без кручения Пусть С — абелева группа. Будем говорить, что абелева группа А из некоторого класса X абелевых групп с.Е-Н -определяется в классе X, если для всякой группы В Є X из изоморфизмов Е(А) = Е(В) и Нот{С, А) = Нот(С, В) следует изоморфизм А = В. Обозначим класс абелевых групп, с##-определяющихся в X, через Х(сЕН). Если X = Х(сЕН), то класс X назовем с .ЕЯ-классом. В данном параграфе решается следующая задача: определяются необходимые и достаточные условия, которым должна удовлетворять вполне разложимая абелева группа без кручения С, чтобы заданный класс абелевых групп без кручения был с .ЕЯ-классом. Теорема 1.2. Пусть С — абелева группа без кручения ранга 1. Класс S абелевых групп без кручения является сЕН—классом тогда и только тогда, когда группа С изоморфна Z. Доказательство. Достаточность очевидна. Необходимость. Предположим противное: С Z. Тогда возможны два случая: 1) -Роо(С) Ф 0- Тогда положим A = Z, а тип группы В из $i содержит характеристику (1,1,1,...). Очевидно Е(А) = Е(В) и Нот(С, А) Нот{С, В) = 0, но А В. 2) -Роо(С) = 0 и С Z. Пусть тип т(С) группы С содержит характеристику (...,7р, ) Положим Р = {р Є Р : jp ф 0}, где \Р \ = К0. Разобьем Р = Pi U Р2 так, чтобы \РХ\ = \Р2\ = К0- Тогда положим A = Z, а тип группы В из Si содержит характеристику (..,/?р,...), где /Зр = 1, если р Є Pi и (Зр = 0, если р Pi. Тогда Е{А) Я(В) и Яотп(С, А) Яотп(С, В) = 0, но А В. Таким образом, для любой С Z найдутся неизоморфные группы Л и 5 из Si такие, что Е(А) = Е(В) и Hom(C,A) Нот{С,В). Противоречие. Необходимость доказана.
