Введение к работе
Актуальность проблемы. Изучение однородных комплексных супермногообразий было начато в 80-х годах Ю.И. Маниным, который построил супермногообразия флагов, связанные с различными сериями классических линейных супералгебр Ли. Он также поставил и частично решил задачу классификации однородных комплексных супермногообразий видаI[Gr4,2, С), где Gr4,2 — грассманово многообразие 2-плоскостей в С4. В связи с этим возникла более общая задача, поставленная А. Л. Онищиком: классифицировать с точностью до изоморфизма все однородные комплексные супермногообразия вида (М,0), где М— заданное компактное комплексное однородное многообразие.
Как известно, с каждым комплексным супермногообразием (М, О) связано более просто устроенное комплексное супермногообразие {M,Cgr), называемое его ретрактом, которое расщепимо, то есть определяется некоторым голоморфным векторным расслоениям Е над М. Легко показать, что ретракт однородного супермногообразия также является однородным. Поэтому общую задачу классификации однородных супермногообразий можно свести к следующим двум подзадачам:
Описатьвсеоднородныерасщепимыесупермногообразия, соот -ветствующие голоморфным векторным расслоениям Е над М.
Для заданного расщепимого однородного супермногообразия (М, Ogr) классифицировать с точностью до изоморфизма все однородные супермногообразия, имеющие его в качестверетракта.
Решение первой подзадачи можно дать в следующих терминах: расщепимое супермногообразие, соответствующее голоморфному векторному расслоению Е —* М, однородно тогда и только тогда, когда Е —* М является однородным расслоением, а двойственное расслоение Е* — М порождается глобальными голоморфными сечениями. Вторая подзадача в настоящее время является довольно мало изученной; в некоторых случаях ее решение дается в настоящей диссертации.
Укажем основные результаты по задаче классификации однородных супермногообразий, полученные в последние годы.
Пусть М— неприводимое односвязное компактное эрмитово симметрическое пространство. А.Л. Онищик (1997 г.) классифицировал все супермногообразия с ретрактом (М, 2), где П — пучок голоморфных форм на М, и доказал, что единственными однородными среди
них являются П-симметрические суперграссманианы, построенные Ю.И. Маниным. В случаях, когда М = СРт, т > 2 и М = Gxh>s, 2 < s < N — 2, однородные супермногообразия вида (М, О) были перечислены А.Л. Онищиком и О.В. Платоновой (1998 г.) и СА Иго-ниным (1999 г.) соответственно при определенных условиях на нечетную размерность супермногообразий. Далее, ВА Бунегина и АЛ. Онищик (1994 г.) полностью исследовали случай М = СР1 при условии, когда нечетная размерность супермногообразия п = 2 или 3, и построили однопараметрическое семейство однородных супермногообразий, ретрактом которых является комплексная проективная суперпрямая размерности 1|4. Кроме однородных супермногообразий, изучались также четно-однородные, т.е. супермногообразия (М,0), четные голоморфные поля на которых порождают касательное расслоение над М.
Исходя из вышесказанного, актуальным является, во-первых, продолжение классификации для СР1 при п > 4, во-вторых, проведение классификации для однородных многообразий М, отличных от рассматривавшихся ранее.
Цель работы:
описать супермногообразия, ретрактами которых являются комплексные проективные суперпрямые СР1'4 и СР1'5 размерностей 1|4 и 1|5, и выделить среди них однородные.
описать супермногообразия размерности 1|4 над СР1, ретракт которых СР22П определяется векторным расслоением, разлагающимся в сумму линейных расслоений степеней —2, —2, — 1,-1, и выделить среди них однородные.
описать супермногообразия надт- мерным комплексным тором Тт, ретракт которых Tm'n определяется тривиальным векторным расслоением ранга п, и выделить среди них однородные.
Методы исследования. На сегодняшний день существуют следующие подходы к задаче классификации комплексных супермногообразий с заданным ретрактом (М, Ost). Согласно теореме Грина, классы изоморфных супермногообразий такого вида находятся в биективном соответствии с орбитами группы автоморфизмов соответствующего векторного расслоения Е на множестве когомологий Н1 (М, Aut^Ogr) со значениями в пучке ЛиЦ2)Огг автоморфизмов пучка Ogr, тождественных по модулю квадрата подпучка нильпо-тентных элементов. В некоторых случаях вычисление этих неабе-
левых когомологий удается свести к вычислению обычных (абеле-вых) когомологий со значениями в пучке Tgr векторных полей на (М, OgT). А именно, пусть п — нечетная размерность супермногообразия (М, OgI), т.е. ранг расслоения Е. При п < 3 имеем изоморфизм пучков групп Cgr о; 7. В настоящей диссертации рассматривается случай, когда dim(M, О^) = 1\п, где п < 5, и Я0(М,7з) = 0. При этих условиях существует биекция между множеством Hl(M,Aut(2)Ogr) и векторным пространством Я1(М,7г Т±). При этом как абелевы, так и неабелевы когомологий допускают два различных описания — при помощи комплекса Чеха, связанного с штей-новым открытым покрытием многообразия М, и при помощи комплексов типа Дольбо, состоящих из дифференциальных форм на М. Конструкция нелинейного комплекса такого рода, приводящего к неабелевым когомологиям Hl{M,Aut(2)OgI), была дана А.Л. Они-щиком; этот подход позволяет применять теорию Ходжа к изучению неабелевых когомологий. Комплексы Чеха непосредственно используются в диссертации в случае М = СР1, а комплексы типа Дольбо — в случае М = Тт. При исследовании супермногообразий на однородность и четную однородность существенное значение имеют критерии подъема на супермногообразие с его ретракта векторных полей и действий групп Ли, связанные с инвариантностью класса когомологий, определяющего супермногообразие, относительно этих действий. Все это требует применения аппарата гомологической алгебры и теории представлений. При проведении некоторых вычислений использовался компьютер.
Научная новизна. В диссертации получены следующие новые результаты:
-
Для расщепимого компактного супермногообразия (М, Osr) размерности \\п с условиями п < 5 и if(M,7^) = {0} дано описание множества Hx{M,Aut^2)Ogt) в терминах 1-когомологий касательного пучка TgI, а также описание в тех же терминах множества классов когомологий, инвариантных относительно некоторого действия компактной группы Ли на (М, Cgr).
-
Для расщепимых супермногообразий (CP^Ogr) найдены базисы пространств Я0(Я,7j>) и Н1(і1,Т2р), р — 1,2, а также инварианты этих пространств когомологий относительно стандартного действия группы SL2(C).
-
Выведена формула для второго нетривиального дифференциала спектральной последовательности касательного пучка су-
пермногообразия.
-
Дана полная классификация (с точностью до изоморфизма) супермногообразий с ретрактом СР14. Доказано, что все они четно-однородны, и найдены все однородные супермногообразия этого вида.
-
Для всех однородных супермногообразий с ретрактом СҐ4 найдены базисы супералгебр Ли голоморфных векторных полей и составлены таблицы их коммутаторов.
-
Для всех супермногообразий с ретрактом СР14 вычислены размерности пространств когомологий со значениями в касательном пучке.
-
Найдены базисные коциклы, задающие четно-однородные супермногообразия с ретрактом СР1 5.
-
Найдены уравнения на коэффициенты линейных комбинаций базисных коциклов, выделяющие однородные супермногообразия с ретрактом СР1 5.
-
Найдены все коциклы, задающие четно-однородные и однородные супермногообразия с ретрактом СР1 5. Дана полная классификация (с точностью до изоморфизма) однородных супермногообразий этого вида.
10. Описаны все супермногообразия с ретрактом Tm'n, доказано, что все они четно-однородны и что единственным однородным супермногообразием этого вида является ТтК
Теоретическое и практическое значение. Работа носит теоретический характер. Результаты работы могут найти применение в исследованиях по классификации супермногообразий, а также для построения математических моделей в теоретической физике.
Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на областной научной конференции студентов, аспирантов и молодых ученых (Ярославль, 1999), на Втором Международном конгрессе студентов, молодых ученых и специалистов "Молодежь и наука — третье тысячелетие"(Москва, 2002), на IV Научно-практической конференции студентов, аспирантов и молодых ученых Ярославской области (Ярославль, 2003), на Всероссийской научной конференции,
посвященной 200-летию Ярославского государственного университета им. П.Г. Демидова (Ярославль, 2003).
Публикация результатов работы. По теме диссертации опубликовано 10 научных работ.
Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, приложения, заключения и списка литературы из 31 наименования.
