Содержание к диссертации
Введение
1. Линейные алгебраические группы 15
1.1. Определение линейной алгебраической группы 15
1.2. Диагональные группы 18
1.3. Характеры групповых схем 19
1.4. Точные последовательности алгебраических групп и их групп характеров 20
1.5. Формы и одномерные когомологии 22
1.6. Формы групповых схем 24
1.7. Алгебраический тор 26
1.8. Группа Пикара линейной алгебраической группы 27
1.9. Основной бирациональный инвариант линейной алгебраи-ческой группы 28
1.10. Вялые резольвенты модуля 30
1.11. Существенная размерность линейных алгебраических групп 31
2. Когомологические бирациональные инварианты четырехмерных алгебраических торов 35
2.1 Каноническая резольвента и методы её построения 35
2.2. Четырехмерные торы с максимальной группой разложения 37
2.3. Когомологический бирациональный инвариант максимального тора без аффекта в связной полупростой группе типа i<4 52
3. Существенная размерность алгебраических торов 67
3.1. Верхняя граница существенной размерности алгебраического тора 67
3.2. Существенная размерность торов типа Яр/к^м/р^)) 71
3.3. Аффинная реализация произвольного алгебраического тора 76
3.4. Существенная размерность одномерных алгебраических торов 78
3.5. Существенная размерность двумерных алгебраических торов 79
3.6. Существенная размерность трехмерных алгебраических торов 81
3.7. Существенная размерность четырехмерных алгебраических торов 93
Список литературы 98
- Диагональные группы
- Четырехмерные торы с максимальной группой разложения
- Существенная размерность торов типа Яр/к^м/р^))
- Существенная размерность четырехмерных алгебраических торов
Введение к работе
Алгебраический тор — это один из базовых элементов структурной теории алгебраических групп. Если основное поле является алгебраически замкнутым, то теория алгебраических торов тривиальна. Все меняется при рассмотрении алгебраических торов над незамкнутым полем. Изучение таких торов действительно многогранно, так как приводит к постановке комбинаторных, алгеброгеометрических и арифметических задач. В данной работе мы затрагиваем лишь малую часть этой области математического знания. Более конкретно, мы ведем исследования в двух направлениях: первое из них — классическая проблема бирациональной классификации алгебраических торов, второе — проблема вычисления существенной размерности линейных алгебраических групп. Интерес к проблеме рациональности алгебраических торов, определенных над незамкнутым полем, не ослабевает уже более сорока лет. Эта проблема почти всегда редуцируется к вычислению основного бирацио-нального инварианта, алгебраического тора Т. Один из важных результатов В.Е. Воскресенского состоит в том, что тривиальность этого инварианта равносильна стабильной рациональности алгебраического тора. Уже в момент появления этого результата была высказана гипотеза, что стабильно рациональный тор является рациональным над полем определения. В недавно вышедшей монографии [V09] представлено доказательство этой давно стоявшей проблемы. Заметим, что данный результат имеет весьма интересное прикладное значение в области торической криптографии: на базе рациональных торов возможно построение криптосистем с очень хорошими параметрами. Подробный обзор этой тематики читатель может найти в работах [RSI], [RS2] и [DWJ.
Существует несколько путей исследования рациональности алгебраических торов. Один из них связан с рассмотрением максимальных торов в связных полупростых алгебраических группах. Известно [V88], что группа разложения Гдеп общего тора Тдеп (определенного над полем функций многообразия всех максимальных торов) лежит между группой Вейля и группой автоморфизмов системы корней: W(R) С Г5Є7г С A(R). Максимальный Актор Т С G называется тором без аффекта, если П = Гдеп. Бирациональ-ная геометрия торов без аффекта в полупростых группах стала изучаться более четверти века назад. В пионерской работе [VK] данного направления В.Е. Воскресенский и Б.Э. Кунявский разобрали случаи максимальных торов без аффекта в присоединенных и односвязных классических группах. Их результаты получили обобщение в работе А. А. Клячко [К1], в которой он установил выполнение принципа Хассе и слабой аппроксимации для максимальных торов без аффекта в полупростых алгебраических группах, определенных над полем алгебраических чисел следующих типов: внутренние формы Ше-валле, односвязные группы, присоединенные группы и простые группы. Обе эти работы в основном посвящены вычислению группы Я1 (/с, РісХ), которая является бирациональным инвариантом /с-тора Т. Здесь X — это гладкая проективная модель тора Т. Напомним, что всякий k-тор Т с минимальным полем разложения L может быть вложен в гладкое проективное ;-многообразие X, тогда X = X S k L и есть проективная модель тора Т (такая проективная модель для тора существует над любым полем). Когомологический бирацио-нальный инвариант Hl(k, PicX) имеет важное значение, так как вычисление этой группы позволяет установить выполнение принципа Хассе и слабой аппроксимации, а значит, имеет важное значение не только для бирациональной геометрии алгебраических торов, но и для их арифметических приложений. Затем исследователи сконцентрировали свое внимание на проблеме рациональности торов без аффекта в полупростых группах. К настоящему времени эта проблема полностью решена. В совместной работе А. Кортелла и Б.Э. Кунявского [СК] разобраны все торы без аффекта в простых односвязных и присоединенных группах и установлена нерациональность этих торов за исключением пяти рациональных случаев: ikG 2; G — внутренняя форма присоединенной группы типа А\\ G — форма присоединенной группы типа А21 , G — форма присоединенной группы типа Вi; G — форма односвязной группы типа Сі. И наконец, полный ответ (включая промежуточные группы) получен в работе Н. Лемир, В.Л. Попова и 3. Райхштейна [LPR]. Тем не менее на данный момент почти нет информации о когомологических бирациональных инвариантах (F, РісХ) для нерациональных торов без аффекта, где F С L — промежуточное расширение поля к. Кроме упомянутых работ [VK] и [К1], частные результаты для торов без аффекта в исключительных группах можно найти в статьях [Р98] и [Bel]. В данной работе в главе 2 мы вычисляем все когомологические бирациональные инварианты для тора без аффекта в полупростой исключительной группе типа F±.
Другой подход к изучению рациональности алгебраических торов — это последовательное изучение торов размерности 1, 2, и т.д. Как известно, все алгебраические торы размерности один и два являются рациональными над полем определения [V77]. Первый пример нерационального алгебраического тора (трехмерный тор с биквадратичным полем разложения) был найден К. Шевалле. Б.Э. Кунявский же получил полную бирациональную классификацию трехмерных алгебраических торов [Кип]. Уже по поводу четырехмерных торов мало что известно: частные результаты можно найти в работе [Р98]. Настоящая работа является первым систематическим шагом в получении бирациональной классификации четырехмерных торов. Кроме этого, диссертация посвящена изучению существенной размерности алгебраического тора. Для исследователя, независимо от области исследования понятие параметра является базовым. Более того, большой интерес вызывает любой способ уменьшения количества параметров, определяющих изучаемую систему. В середине 90-х годов прошлого века Дж. Булер и 3. Райхштейн [BR] ввели понятие существенной размерности для алгебраических групп над замкнутым полем характеристики 0: неформально говоря, существенная размерность равна минимальному количеству параметров, необходимых для описания данной алгебраической структуры. Они также установили связь вопроса существенной размерности с 13-ой проблемой Гильберта. Позже в ситуации произвольного поля понятие существенной размерности, используя функториальный подход, дал А.С. Меркурьев [BF]. Несмотря на относительно простую структуру алгебраического тора, вопрос вычисления существенной размерности этой алгебраической группы почти не был затронут математиками. Первое значительное продвижение в этом направлении было достигнуто в недавно вышедшем препринте Р. Лотшера, М. МакДо-нальда, А. Майера и 3. Райхштейна [LMR]. Настоящая же работа связана с вычислением существенной размерности алгебраических торов малой размерности и получением верхней границы существенной размерности для произвольных алгебраических торов.
Данная работа имеет две цели исследования:
получение полного списка когомологических бирациональных инвариантов четырехмерных алгебраических торов;
И. вычисление существенной размерности алгебраических торов малой размерности.
Основные результаты исследований отражены в работах [Krl], [Кг2] и [КгЗ].
Диссертация состоит из настоящего введения, трех глав, списка исполь зуемой литературы, содержащего 38 наименований, и трех приложений. В каждой главе применены одна нумерация для определений, теорем, следствий, замечаний и алгоритмов и отдельная нумерация для формул. Для нумерации примеров и таблиц используются сквозные нумерации. Общий объем диссертации 102 страниц без приложений, 119 страниц с приложениями.
Дадим краткий обзор содержания диссертации по главам.
Глава 1 носит подготовительный характер. В ней собран весь необходимый материал из теории функторов и групповых схем, а также теории существенной размерности, требуемый в дальнейшем. Глава содержит краткое изложение некоторых результатов, касающихся аффинных схем, форм и одномерных когомологий алгебраических многообразий, группы Пикара неособой проективной модели и основного бирационального инварианта линейной алгебраической группы, существенной размерности линейных алгебраических групп.
Диагональные группы
Пусть М — коммутативная абстрактная группа, Ъ[М] — ее групповое кольцо. Рассмотрим Z-схему D{M) = SpecZ[M]. Изучим ее группу точек D(M)(R) для любого коммутативного кольца R с единицей. Используя определение группового кольца, получаем D{M){R) = Homring(%[M},R) = Homgr{M,R ). Очевидно, что множество D(M)(R) обладает структурой коммутативной группы, причем последняя функториальна по R. Таким образом, схема D{M) является коммутативной групповой схемой. Группа D(M) называется диагональной группой. Групповые операции в группе D{M) на языке алгебры Хопфа Z[M] выглядят следующим образом: Пусть / : М — N — гомоморфизм абелевых групп, он продолжается до гомоморфизма абелевых колец / : ЩМ] — Z[N]. Гомоморфизм /, в свою очередь, определяет групповой гомоморфизм схем D(f) : D(N) — D(M). Таким образом, соответствие М — D(M) есть контравариантный функтор из категории абелевых групп в категорию групповых аффинных схем. Очевидно, что D(M х N) = D{M) х D(N). Пример 5. Мультипликативная группа Gm примера 2 есть частный случай диагональной группы, а именно, Gm = D(Zi), где группу Z рассматриваем в мультипликативной записи с образующим элементом t. Если М = Zn, то D{M) = D(Zn) = (. Пусть G — произвольная групповая 5-схема, рассмотрим коммутативную группу G(S) = Homs-gr(GSiGm,s) Назовем эту группу группой S-характеров группы G. Для всякого морфизма и : Т — S имеем гомоморфизм групп G{u) : G{S) — G(T). Получа-ем контравариантный функтор G из категории групповых схем в категорию коммутативных абстрактных групп. Пусть / : G\ — ( — гомоморфизм групповых схем. Тогда мы имеем однозначно определенный гомоморфизм коммутативных абстрактных групп / : GiijS) — Gi(S). Заметим также, что Пример 6. Изучим группу й -характеров группы D(M), то есть диагональной группы. Пусть S = SpecR,R — область целостности. Пусть также и Є D(M)(S), то есть и : DR(M) — Gm,R есть гомоморфизм групповых схем.
Обозначим через и соответствующий гомоморфизм Д-алгебр Пусть т ,г ,е — операторы Хопфа алгебры i?[i,i-1], а т ,г,е — операторы Хопфа алгебры R[M]. Гомоморфизм и алгебр Хопфа однозначно определяется значением u (l) = Ylrg9i гд Є R. В силу равенстват\{и ()) — = (u ,u )(m (t)) получаем, что Y,rg99 = ЛгдПд Н, откудаг2д = гд,гдгн = = 0, если р т /г.. В силу целостности кольца Д получаем, что гі () = д,д Є М. Верно и обратное, любой гомоморфизм і?-алгебр Хопфа R[t,t l] — R[M] определяется соотношением и (t) = д, д Є М. Итак, отображение t д, д Є М по двойственности определяет гомоморфизм групповых схем DR(M) — Ст;Д, что доказывает биекцию множеств D(M)(S) и M%(S), где М — постоянная групповая схема. Эта биекция, очевидно, является групповым изоморфизм ом. Доказано [V98], что аналогичные расчеты справедливы и в относительном случае Ds{M) (S — произвольная схема). Пусть А и В — коммутативные кольца с единицами, В является Л-ал-геброй и ip : А — В канонический гомоморфизм, Л-модуль М называется плоским, если функтор Тм N — N S A М является точным на категории Л-модулей. Далее, В называется строго плоской Л-алгеброй, если выполнено одно из двух эквивалентных условий: 1) ср есть вложение и Л-модуль B/ip(A) является плоским; 2) В есть плоский Л-модуль и отображение (р : Spec В — Spec А сюръ-ективно. Мономорфизм Spec В — Spec А называется строго плоским, если В есть строго плоская А-алгебра. Определение 1.1. Последовательность аффинных S -rpynn (S = Spec В) назовем точной, если гомоморфизм а есть замкнутое вложение, отождествляющее G с ядром гомоморфизма /3, который является строго плоским гомоморфизмом. Группу G" называют фактор-группой группы G по подгруппе G и обозначают G/G . Вопрос о существовании фактора является весьма деликатным для общих схем S. Обсудим его для алгебраических групп специального типа. Пусть к — поле, ks — его сепарабельное замыкание, к — алгебраическое замыкание поля к, L — расширение поля к, для всякой /с-схемы X символ Хь или X g k L будет обозначать схему X х SpecL. Назовем групповую ft-схему G группой мультипликативного типа, если группа G к к диагонализируема и имеет конечный тип, то есть существует" абелева группа М с конечным числом образующих такая, что В этом случае, как было отмечено в примере 6, группа рациональных характеров G{k) — D(M)(k) группы D (M) изоморфна М. В дальнейшем, при рассмотрении алгебраических /с-групп, будем часто сокращать обозначение G(k) до G, что не приводит к недоразумениям. Справедлива следующая Теорема 1.2. Пусть G есть Ar-группа. Тогда соответствие G — G определяет двойственность категории /с-групп мультипликативного типа с катего- рией непрерывных -модулей конечного типа, где Q — группа Галуа сепара-бельного замыкания поля к. Сверх того, для того, чтобы последовательность гомоморфизмов fc-групп мультипликативного типа была точной, необходимо и достаточно, чтобы двойственная последовательность /-модулей рациональных характеров была точной.
Замечание 1.3. Существование фактор-групп доказано к настоящему времени в достаточно общей ситуации, например, в категории всех /с-групп конечного типа, в категории алгебраических групп. Подробности можно найти в фундаментальном труде Демазюра и Гротендика [GD]. Пример 7. Построение фактор-группы в категории диагонализи-руемых і?-групп. Пусть и : DR(N) —» DR(M) — мономорфизм і?-групп, он задается определенным эпиморфизмом и : Пусть L — нормальное сепарабельное расширение поля к с группой Галуа П. Группа П действует на схеме X S k L через второй множитель: а — 1 8 cr, 1 8 а : XL — XL- Оператор 1 g а является /с-автоморфизмом схемы XL. Имея оператор 1 g) сг, можно определить действие группы П и на L-морфизмах XL — Уь, где X и У — /с-схемы. Пусть / Є Могь(Хі,Уі,). Положим Ясно, что af Є Могь(Хь,Уь)- Среди морфизмов / : XL — Уь имеются морфизмы, полученные поднятием из /аморфизмов h : X — У. Такие поднятые морфизмы f = h 8 1 будем часто обозначать одним символом h и называть морфизмами, определенными над полем к. Если А — произвольная &;-алгебра, то символ Х(А) означает X(SpecА). Следующие свойства легко проверяются на языке L-алгебр, учитывая, что L есть сепарабельное расширение поля к. Определение 1.4. Пусть F — расширение поля к, X — /с-схема. Схема Y над полем к называется F/k-формой схемы X, если существует изоморфизм F-схем X S k F = Y g k F. Если і7 = /с, то У называют просто /с-формой. Пусть теперь L/к — конечное расширение Галуа, П= Gal(L/k) — группа Галуа, TiLjk X) — множество всех L/k-форм данной к-схемы X, взятых с точностью до изоморфизма. Поскольку af — также изоморфизм этих схем, то аа = f l(crf) есть автоморфизм схемы Xjr. Функция а — аа на группе П со значениями в группе Auti(X) удовлетворяет условиям ааг — аа(ааг) для всех сг, г Є П. Такие функции называются 1-коциклами и множество всех 1-коциклов обозначим через Zl(L/k Autb{X)). Два коцикла аа и а а называют когомологичными, если существует элемент b Є Auti{X) такой, что а а — b 1aa(ab). Когомологичность является отношением эквивалентности на множестве Z1, и множество классов эквивалентности называют множеством одномерных когомологий группы П со значениями в Auti(X) и обозначают Если группа Auti(X) коммутативная, то Hl(TL, Auti(X)) также коммутативная группа, в общем же случае Hl(Tl, Autb(X)) лишь множество с отмеченной точкой — классом коцикла b 1(ab). Пусть Y и Z — две L/k-формы схемы X, аа и а а — соответствующие коциклы. Непосредственно проверяется, что изоморфность У и Z равносильна когомологичности коциклов аа и а а Таким образом, имеем каноническое отображение Вопрос о сюръективности отображения кр уже не может быть решен так просто, поскольку для произвольных ;-схем X это не так.
Четырехмерные торы с максимальной группой разложения
Пусть Т — произвольный четырехмерный /с-тор. Следуя определению тора как аффинной групповой /с-схемы, тор Т задается двумя объектами: минимальным полем разложения L и действием П = Gal(L/k) на группе харак-теров тора Т, то есть представлением ф: П — GL(4, Z) (образ ф(Н) также будем обозначать П, так как из контекста можно понять, о какой группе идет речь). Группа П называется группой разложения тора Т, она является конечной подгруппой в GL(4, Z). Согласно теореме Жордана, П содержится в одной из максимальных конечных подгрупп W в GL(4, Z). Таких подгрупп конечное число; все они описаны в статье С.С. Рышкова [Ry]. Если мы построим каноническую резольвенту с вялым модулем N для алгебраического тора с максимальной группой разложения, то ограничение на подгруппу П даст нам каноническую резольвенту и для тора Т, а значит, мы вычислим и Н (П, АГ). Заметим, что нам достаточно рассмотреть неразложимые максимальные подгруппы, так как в противном случае рассматриваемый тор Т является прямым произведением торов меньшей размерности, для которых бирациональная классификация уже проведена [V77], [Кип], [Р98]. Известный результат [ANT] (гл. 4, 6) говорит, что р-компонента группы Н ((?, N) содержится в группе Н (GP,N), где Gp — силовская р-подгруппа в G. Таким образом, сначала мы будем рассматривать не всю подгруппу, а только силовские подгруппы в П. Из них выделим подгруппы с нетривиальным инвариантом. Далее для групп, содержащих выделенные подгруппы в качестве силовских, мы будем вычислять одномерные когомологии соответствующего модуля. Резюмируя все вышесказанное, мы приходим к следующему плану вычисления когомологических бирациональных инвариантов четырехмерных алгебраических торов: і. рассматриваем все неразложимые максимальные подгруппы в GL(4, Z), пользуясь классификацией Рышкова; ii. для их силовских подгрупп строим канонические резольвенты; iii. для каждой подгруппы 7Г изучаемой силовской группы вычисляем одномерные когомологии -йг1(7г, N) средствами гомологической алгебры.
Выделяем подгруппы с ненулевым когомологическим инвариантом. iv. Для групп, содержащих выделенные в пункте Ш подгруппы в качестве силовских, вычисляем одномерные когомологии соответствующего модуля. Заметим, что в некоторых случаях удалось установить тривиальность основного бирационалыюго инварианта, что означало тривиальность и соответствующего когомологического инварианта. В этом пункте мы рассмотрим четырехмерные торы, не пред ставимые в виде прямого произведения торов меньшей размерности, с максимальной группой разложения. В обозначениях статьи [Ry], максимальные конечные подгруппы в GL(4,Z) являются группами автоморфизмов следующих квадратичных форм: Торы с этими группами разложения будем обозначать так же, как обозначаются сами квадратичные формы, а сами группы разложения — Wo, WS, WP, WT, WB и WQ, соответственно. Для того, чтобы найти группу целочисленных автоморфизмов положительно определенной квадратичной формы f{xi,X2,...,xn) с матрицей А = = % необходимо решить уравнение Приравняв диагональные элементы в левой и правой частях, получим уравнения задающие эллипсоиды в R", а следовательно, мы можем свести перебор матриц Т Є GL(n, Z) к конечному, ограничив Ьц некоторыми целыми числами. Именно таким способом мы и находили группы разложения WS, WP, ТУТ, WB и WQ. Группа ТУо как известно, имеет простое строение и состоит из матриц, в каждой стоке/столбце которой находится ровно одно ненулевое число ±1. Случай СІ Как известно [V82], тор С с кубической решеткой LQ [Bou] характеров является рациональным и его основной бирациональный инвариант нулевой. Случай 5 4 Группа WS порождается следующими элементами (заметим, что мы не стремимся к указанию минимальной системы образующих): Как и в предыдущем случае тор S уже был изучен в гораздо более общей ситуации. В совместной работе [VK] изучались максимальные торы без аффекта в присоединенных группах типа Ап. Случай п = 4 — это и есть случай 1. Объясним почему. Пусть S — это симметрическая группа. Если G — это внешняя форма типа А а Т — максимальный тор без аффекта в G, то Т = I4 S h, здесь Ii — стандартное обозначение для ядра пополняющего гомоморфизма є : Z[Si+i/Si] —» Z, а группа П = S5 х S2. Пусть fi, ...,/ь — естественный пермутационный базис для Z[S5/S4], а Єї, Є2 — базис Z[S2]. То-гда, выбирая в качестве базиса решетки Т элементы (/і — /2) g (єі — е2), (/г — /з) S (ei - е2), (/з - /4) 8» (ei - е2), (/4 - /б) 8 (ei - е2), вычисляем группу разложения тора Т. Эта группа сохраняет квадратичную форму S , более того, она совпадает с её группой целочисленных автоморфизмов.
Итак, у торов Т и 5 4 есть общая группа разложения, а значит, р(Т) — p(S ). В работе [VK], показано, что р(Т) = О, значит, все когомологические бирациональные инварианты тора S тривиальны. Случай Р4 Группа WP порождается следующими элементами: Так как WP получается из WS транспонированием ее элементов, то модуль Р изоморфен S± . С другой стороны, для случая . мы показали, что П-модуль S4 изоморфен решетке корней Q{A/C), на которой действует группа A(A i) = S5 х S2. Известно [Boil], что двойственным к W(А -модулю 54 является решетка весов Р(А4), на которой действует группа W(A4) = S5. Значит, Р± и Р{А±) изоморфны как Ss-модули. Последнее означает, что существу- ет квадратичное расширение F основного поля к такое, что Р ± &k F можно рассматривать как максимальный тор без аффекта в односвязной полупростой группе типа А . Этот случай был изучен Ле Брюном [Вг]. Он показал нерациональность данного тора. Порядок группы WP равен 240 = 24 3 5, поэтому имеется три си-ловские подгруппы: силовская 2-подгруппа WP2 = 9і,92,9з , силовская 3-подгруппа WP3 = д \ и силовская 5-подгруппа WP5 = д5 . Так как для циклических подгрупп iP N) — 0, то остается найти только Н (WP2, N) — 0. Найдем каноническую резольвенту в этом случае.
Существенная размерность торов типа Яр/к^м/р^))
В этом пункте мы рассмотрим один тип алгебраических торов, для которых существенную размерность можно вычислить точно, а именно Теорема 3.4. Если Т = RlM,F(Gm) — норменный F-тор, где F/k и М/к— промежуточные сепарабельные расширения для расширения полей L/k и А; С cfcAfci, тогда edk(RF/k(T)) = [F : к]. Доказательство. Пусть F = L7"1, М = I72, где 7г2 тгі П, [М : F] = = m, [F : А;] = п. Норменный тор Т задается следующей точной последовательностью 1 — Г — RM/F Gm) -—» Gm — 1, по свойствам функтора Вейля ограничения основного поля [V77] имеем 1 - RF/k{T) - и соответствующую последовательность П-модулей Обозначим, Ті = RF/k(Gm). Тогда, по теореме 3.1 edk(RF/k{T)) dim(Ti) = = п. Осталось показать, что существует элемент а Є Ті(К), где К = k(ti, І2, ..., tn) — чисто трансцендентное расширение поля к степени 72, такой, что edfc(a) = п. Напомним, что ЩК) = Нг(К, RF/k(T)). Пусть р: Rp/k(Gm) — GLk(n) — это регулярное представление квазиразложимого алгебраического тора [V77]. Тогда для /іГ-точек мы имеем мономорфизм рк RF/k(Gm)(K) Rp/k rnjiK), где ХІ Є К и гУі,г 2,..., u n— базис расширения F/fc. Тогда матрица рк{д) над полем If g & L = L(Li,t2,..., in) сопряжена диагональной матрице аЧад(ф\{д), ф2{д),---,Фп{д)), где ч/ г = І.лг — пермутационный базис П-модуля RF/k(Gm), причем ф\{д) = x\w\ 4- ... + xnwn, а фі(д) = xiw" + ... + xnw\ где сгг представители левых смежных классов из П/-7Г1. Пусть а Є 1тр.к — это матрица, соответствующая случаю Х\ = t\,X2 — 2, -] = = п. Пусть а — элемент, отвечающий а в факторгруппе Ті (А"). Предположим, что ed/c(a) п, тогда существует такой элемент b Є Яр/ь{&т)(К) с Х\ = = 1..п и lrdeg(k(bi,b2,..., Ьп) : &) n и при этом 6_1 а Є Іт / , то єсть существует элемент с Є Ям/кі т) ), такой что Так как L — поле разложения алгебраического тора Яр/к т), то над полем К 8 fc L = L(ti,t2, -.,in) все матрицы а,Ь,ф(с) диагонализируемы в одном и том же базисе. Описание диагональных элементов приведено выше. В Z[n/7T2J = Ям/кі т) можно выбрать такой пермутационный базис хьХг, , 1..п. Тогда ядро эпиморфизма ZjTI/ ] — RF/k{T) из последовательности (3.3) имеет базис Xm(i-i)+i Xm(i-i)+2 ХтіЛ = 1-71 (все модули рацио- нальных характеров рассматриваются в мультипликативной форме записи). где фі,і — 1..П — это линейные линейно независимые формы над F. Так как по нашему предположению trdeg{kty\{bi, ...,Ьп), ...,фп{Ъ\, ...,bn)) : к) trdeg(k(bi, ...,Ьп) : к) п, то зависимы над L и, следовательно, существует ненулевой многочлен f{u\,U2, ..., ип) Є Ь[щ,...,ип] такой, что /(V i(6i, , 6П),..., фп{Ьъ -, Ьп)) = 0. В силу (3.5), имеем Покажем, что в этом случае мы получим алгебраическую зависимость элементов t\,...,tn над L, что невозможно.
Обозначим ipiih, ...,tn) через yi,i = 1..п. Пусть Xi(c) — пт "t)! = І--77171» где Р/ Є I/[i,..., in], Q Є /c[ii,..., in]- Вследствие того, что над F существует невырожденная линейная замена Пусть f(ui,u2,..., un) = Z)ii,..., n5 i,-, nui1- "n и его степень равна N. Далее считаем, что все Рассмотрим старший член слагаемого Silv iny\1Qm4P 4...y Qm l TiP ln, через LM{H) обозначим старший моном многочлена Н (например, относительно lex-порядка). Заметим, что П действует на L[yi,...,yn] диагонально и {Pi, Ро, ..., Рт} — это 7Гі-орбита многочлена Р\{у\,..., уп)- Пусть LM(Pi) = = УІи...Упп1- Так как щ тривиально действует на элементах поля F, а значит, и на yi,i = 1..п, то LM(Pi) — LM{P2) — ... = LM(Pm), а следовательно LM(Pi) = yPn...yPnl. Проведем аналогичные рассуждения для Pj,j — 2..п, имеем Тогда старший моном слагаемого с мультииндексом {і\, ...,гп) равен s/1/w«i(q n-p„l)+m«2(mgn-mpn2)+...+in(l+?ngn-mpnn)+mAr(pni+pri2+".+Pnn) хУтг Предположим, что существуют два мультииндекса (ii,..., гп) и (ji,..., jn), для которых старшие мономы одинаковы, то есть LM?-b...i?n = LMju___jn. Приравняв показатели степеней у г — 1..п, получим однородную систему линейных уравнений относительно разностей (гі — ji),..., (in—jn) со следующей матрицей следовательно, имеем только нулевое решение. Противоречие, то есть все старшие мономы слагаемых в (3.7) различны. Выберем в (3.7) слагаемое с ненулевым коэффициентом Si1:...yln такое, что его старший моном наибольший относительно lex-порядка, тогда у него нет подобных мономов, а значит, многочлен h(yi,...,yn) ненулевой и при этом h(y\,...,yn) — 0. Получаем, что 2/1, ...,2/п алгебраически зависимы над L. Следовательно, алгебраически зависимы и ti, ...,п. Чего быть не может. Следовательно, Следствие 3.5. Если алгебраический /с-тор Т допускает замкнутое вложение в тор N = RF/k(R1M,F(Gm)), гДе F/k, M/F — конечные сепарабельные расширения полей nfccFcMcI, Доказательство. По условию следствия, существует эквивариантное на-крытие П-модулей N - Т рациональных характеров торов N иТ. Для моду-ля А/" можем рассмотреть точную последовательность (3.3) из доказательства теоремы 3.4 где S — Z[n/7T2] — пермутационный П-модуль рациональных характеров ква-зиразложимого тора S = Ям/кі&т), М = I/2, a 7V"i — это пермутационный П-модуль рациональных характеров квазиразложимого тора N\ = Др//с (Gm).
Тогда имеем аналогичную точную последовательность и для Т а также двойственную последовательность /с-торов Тогда в силу теоремы 3.1 ed&(T) = edfc(Ti), где Ті — это ковариантный функтор из категории Тк такой, что для любого расширения полей К/к Т\(К) = = Ti(K)/ f (S(K)). Так как JVi = Kerr/ — это П-подмодуль Т\ = Ker or/, то 7\ допускает эквивариантное накрытие пермутационным П-модулем ф : Ni ф Si -» Ті (например, в качестве Si можно взять пермутационные модули, порожден-ные орбитами базисных элементов Ті как свободными множествами), причем i/ \ft — это вложение Ni в Ті. Тогда Ті допускает замкнутое вложение в квазиразложимый тор вида Ni х Si = RF/ki m) х Si. Вновь воспользуемся регулярным представлением квазиразложимого тора ATj х S\. Для любого расширения полей К/к К-точки тора Т\ могут быть реализованы блочно- диагональными матрицами вида , где А — это произвольная К- точка тора N\ Др/йО&т)- Вновь рассмотрим поле К = k(ti,i2,...,tn) — чисто трансцендентное расширение поля к степени п. Рассмотрим К-точку а тора Ті такую, что соответствующая матрица А — это регулярное представление элемента j3 — t\W\ + 2 2 + + tnWn, где {wi,W2T--,Wn} — базис F/k. Вновь возникает вопрос о существовании элемента b Є T\(E), где к С Е с К и trdeg{E : к) п, такого что b l а Є ф м/к( т)(Ю) гДе где 01 — это отображение, индуцированное вложением Ni —» 5, а значит, изученное при доказательстве теоремы 3.4. Следуя рассуждениям из доказательства теоремы 3.4, получаем, что edk(N) п. Противоречие. Если а — это образ элемента а в факторгруппе Ті(іГ), то есЦ-(а) п, следовательно, ecU-(T) n.U Замкнутые вложения торов в изученный тор специального вида легко изучать, получив так называемую аффинную реализацию тора. В следующем пункте мы объясним это понятие и рассмотрим алгоритм ее нахождения. Далее мы перейдем к вычислению или получению оценок для алгебраических торов малой размерности. Каждый из них мы будем рассматривать как аффинное многообразие. 3.3. Аффинная реализация произвольного алгебраического тора Описанный выше алгоритм 3.3 позволяет находить аффинную реализацию произвольного /с-тора. Алгебраический тор как линейную алгебраиче- скую группу можно вложить в GLn)fc для подходящего п, то есть рассмотреть регулярное вложение Тогда Т можно рассматривать как подгруппу в общей линейной группе, а следовательно, существует максимальный тор S в GL -, содержащий Т, то есть вложение Т в GLnjfc пропускается через S. Известно [V77], что dim(5) = п и S является квазиразложимым /г-тором. Это вложение по двойственности равносильно существованию эпиморфизма ф : S — Т, где S — пермутаци-онный П-модуль.
Существенная размерность четырехмерных алгебраических торов
В этом разделе приняты те же обозначения, что и в пункте 2.2. Найдем существенную размерность торов С±, 54, Р4, Т:В и Q4 согласно алгоритму 3.3. В настоящем пункте через Хі»Х2»Хз,Х4 всегда будем обозначать базисные элементы группы характеров С Т, Р±, S4, В или Q\. Случай Q. Тор такого типа существует в любой размерности п. Как известно [V77], его аффинная реализация имеет следующий вид Сп = RF/k(R1M,F{Gm)), где [F : к] = п. Следовательно, выглядит так: 5 = /±і,...,/±іо Накрывающий гомо-морфизм на базисе S задается так: /±і Получаем ранг накрывающего модуля n = 20. іі. Имеем следующее инвариантное подпространство с длиной орбиты общего элемента меньше 20: К\ = \\ + %Х2 2хз — Х4 Соответствующая орбита: 01 = С(Х1 + 2X2 - 2Хз показывает, что улучшение невозможно. iv. Следовательно, n(S ) = 20, а модуль, накрывающий 54 описан выше. Так как в ядре эпиморфизма S есть пермутационный подмодуль /i/_i,..., /10/-10 , то 54 -+ Rp/kiR piGm)), где [F : к] = 10. А значит, с учетом теоремы 3.4 и следствия 3.5, 10 edfc(54) і. Рассмотрим орбиту О(хі) = {±Хі, ±Х2, ±Хз, ±Х4,±(Хі + Х2 + Хз + Х4)}-Модуль, накрывающий Р± выглядит так: 5 = /±ь/±2,/±з,/±4,/±5 На- крывающий гомоморфизм на базисе 5 задается так: /±і н- ±Хь /±2 ±Х2,/±з ±Хз,/±4 - ±Х4,/±5 - ±(Х1 + Х2 + Хз + Х4)- Получаем ранг накрывающего модуля п = 10. іі. Инвариантных подпространств с длиной орбиты общего элемента меньше 10 нет. iv. Следовательно, П{РА) = 10, а модуль, накрывающий Р$ описан выше. Так как в ядре эпиморфизма S -» Р есть пермутационный подмодуль /1/-1,...,/5/-5 , то А RF/k{RlM/F{Gm)), где [F : А;] = 5. А значит, с учетом теоремы 3.4 и следствия 3.5, 5 edkiP ) 6. Случай Т. і. Рассмотрим орбиту О(хі) = {±Хі,±Х2,±Хз, ±Х4, ±(Хі +Хз),±(хі + + Х4),±(Х2 + Хз),±(Х2 + Х4),±(Хі + Х2 + Хз + Х4)}- Модуль, накрывающий Т выглядит так: S = /±1, ...,/±9 Накрывающий гомоморфизм на базисе S задается так: /±1 н ±хъ/±2 -» ±Х2,/±з -» + Х2 + Хз + Х4)- Получаем ранг накрывающего модуля п = 18. И. Имеем следующие инвариантные подпространства с длиной орбиты общего элемента меньше 18: К\ Xi + Х2 + 2хз — Х4 , Къ = Xi + Х2 + + Х4 Соответствующие орбиты: ііі.
Проверка показывает, что улучшение невозможно. iv. Следовательно, п{Т) = 18, а модуль, накрывающий Т описан выше. Так как в ядре эпиморфизма S -» Т есть пермутационный подмодуль /1/ ,...,/9/-9 , то Т RFik{RlM[F((Qm)), где [F : k] = 9. А значит, с учетом теоремы 3.4 и следствия 3.5, 9 edh(T) 14. Случай В. і. Рассмотрим орбиту О(хі) = {±Хі, ±Х2,±Хз, ±Х4,±(Хі + Хг),±(Хз + + Х4)}- Модуль, накрывающий В выглядит так: S = /±ь/±2, ,/±б Накрывающий гомоморфизм на базисе S задается так: /±і ь-» ±Хь/±2 ±Х2, /±з - ±хз, /±4 »-» ±Х4, /±5 ь- ±(Xi + Х2), /±б - ±(Хз + Х4). Получаем ранг накрывающего модуля п = 12. п. Инвариантных подпространств с длиной орбиты общего элемента меньше 12 нет. ІІІ. — iv. Следовательно, п(В) — 12, а модуль, накрывающий В описан выше. Так как в ядре эпиморфизма S -» В есть пермутационный подмодуль Л/-1,-,/б/-б , то 5 -4 RF/k(RlM/F(Gm)), где [F : fc] = 6. А значит, с учетом теоремы 3.4 и следствия 3.5, 6 edk(B) 8. Случай QA. і. Рассмотрим орбиту 0(хі) = {±Хь±Х2,±Хз,±Х4! ±(Хі - X2),±(Xi + +Хз), ±(xi+X4), ±(Х2+Хз), ±(Х2+Х4), ±(Xl+X3+X4), ±(Х2+Х3+Х4), ±(Xl + +X2+X3+X4)}- Модуль, накрывающий Q4 выглядит так: S = /±i,..., /±12 Накрывающий гомоморфизм на базисе S задается так: /±i ±(Х2 + Хз + Х4), /±12 ±(Xi + Х2 + Хз + Х4). Получаем ранг накрывающего модуля п = 24. И. Инвариантных подпространств с длиной орбиты общего элемента меньше 24 нет. ІІІ. — iv. Следовательно, n{Q±) = 24, а модуль, накрывающий ( описан выше. Так как в ядре эпиморфизма S -» Q± есть пермутационный подмодуль /i/-i, -,/12/-12 , то В w RFik{B}M/F{Gm)), где [F:k] = 12. А значит, с учетом теоремы 3.4 и следствия 3.5, 12 edkiQi) 20. Теорема 3.9.
