Введение к работе
Актуальность темы. Диссертация описывает комплекс компьютерных программ, разработанных автором для решения математических задач, относящихся к теории узлов. Этих задач несколько, и все они так или иначе связаны с так называемыми инвариантами узлов конечного типа, введенными московским математиком В.А.Васильевым в 1990 году1. Актуальность проблематики подтверждается тем фактом, что в течение 10 лет в мире вышло около 500 работ, посвященных изучению инвариантов Васильева, и в Интернете с 1994 года действует специальная библиографическая страничка2. Несмотря на столь большой объем проведенных исследований, несколько фундаментальных вопросов остаются до сих пор открытыми. К их числу относятся:
количественная оценка: найти число независимых инварин-тов Васильева данного порядка или хотя бы асимптотику этого числа, когда порядок стремится к бесконечности;
проблема полноты системы инвариантов Васильева: верно ли, чтх) при помощи инвариантов Васильева можно различить любые два узла?
проблема четности: можно ли указать два узла, отличающиеся только ориентацией, на которых какой-т.о инвариант Васильева принимает различные значения?
В последние годы несколькими математиками были предприняты попытки дать на эти вопросы хотя бы частичный ответ при помощи компьютерных вычислений (см., например, работы Д.Бар-Натана3 и Я.Кнайсслера4.
1V. A. Vassiliev, Cohamology of knot spaces, Theory of Singularities and Its Applications (ed. V. I. Arnold), Advances in Soviet Math., 1 (1990) 23 G9.
2D. Bar-Natan, Bibliography of Vassilie.v Invariants. Web publication .
3D. Bar-Natan, Some computations related to Vassilie.v invariants. Web publication http:/Алл».ma. .
4 J. Kneissler, The number of primitive Vassiliev invariants up to degree twelve. Preprint q-alg 970G022, also available at June 1997.
Настоящая диссертация примыкает к этому актуальному направлению.
Целью диссертации является разработка системы программ для исследования комбинаторно-алгебраических структур, возникающих в теории инвариантов Васильева, и получение новых "экспериментальных" математических результатов, показывающих устройство изучаемых объектов при малых значениях параметров.
Научная новизна. В диссертации, во-первых, сосчитаны неизвестные ранее значения комбинаторных и алгебраических инвариантов, возникающих в теории узлов, а во-вторых, предложены структуры данных и алгоритмы для работы с разнообразными математическими объектами, такими как графы специального вида, хордовые диаграммы, алгебры Ли и универсальные обертывающие алгебры.
Основные новые результаты диссертационной работы, выносимые на защиту, состоят в следующем.
-
Разработан алгоритм нахождения образующих центра уни- версальных обертывающих алгебр для алгебр Ли серий А, В, С, D и особой алгебры Gi (см. 2.2). Для этих алгебр вычислены и выражены через образующие центра значения весовых систем Концевича на примитивных элементах алгебры хордовых диаграмм до порядка 4 (2.5).
-
Предложен алгоритм и реализован комплекс программ для исследования структуры алгебры 3-графов (глава 3). С их помощью найдены линейный базис и система мультипликативных образующих данной алгебры в малых размерностях (до градиуровки 11).
-
Реализован алгоритм вычисления sl^- и .so^-полпномов (4.2), в том числе его параллельная версия (4.3), и составлены таблицы значений si- и .sb-полиномов на мультипликативных образующих алгебры 3-графов Г (см. таблицу 4.2).
-
Разработана программа для проведения вычислений в алгебре 4-графов Ландо (глава 5). При помощи этой програм-
мы найдено ядро гомоморфизма из алгебры хордовых диаграмм в алгебру 4-графов для степени диаграмм, не превосходящей 7.
Научная и практическая значимость полученных результатов. Работа носит в основном теоретический характер. Ее результаты представляют двоякий интерес: с точки зрения математических исследований, связанных с инвариантами узлов и градуированных алгебр, и с точки зрения разработки и реализации -наукоемких алгоритмов для математических вычислений. Алгоритмы и программы, составляющие предмет диссертации, готовы к использованию в дальнейших исследованиях. Практическим результатом работы является тестирование Т-системы, разработанной в Исследовательском Центре мультипроцессорных систем ИПС РАН в качестве средства автоматического динамического распараллеливания — некоторые результаты диссертации получены посредством исполнения программ в среде Т-системы.
Апробация работы. Основные результаты диссертации до1 кладывались на международной конференции "New Gompnter Technologies in Control Systems." Переолавль-Залесскпй, 1995, на международной конференции "Приложения компьютерной алгебры", Санкт-Петербург, июнь 2000, и на семинарах по математике Исследовательского Центра мультипроцессорных систем ИПС РАН. Разработанные программы использовались для проведения комбинаторных вычислений в Независимом Московском университете (С. К. Ландо и ученики) и для тестирования Т-системы автоматического динамического распараллеливания в ИЦМС ИПС РАН под руководством С.М.Абрамова.
Публикации. Основные научные результаты диссертации опубликованы в 5 печатных работах, список которых приведен в конце автореферата. Тексты программы и файлы данных доступны по протоколу ftp на сервере .
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, пяти глав и списка литературы. Каждая глава, кроме
первой, заканчивается параграфом "Выводы", в котором кратко описаны полученные в данной главе результаты. Общий объем работы составляет 78 страниц. Список литературы включает 42 наименования.
