Введение к работе
Актуальность темы
Диссертация посвящена проблеме нормальности замыканий орбит максимального тора в рациональных модулях простых алгебраических групп.
Проблема нормальности для замыканий орбит. Пусть G — аффинная алгебраическая группа над алгебраически замкнутым полем к характеристики ноль, действующая на некотором аффинном алгебраическом многообразии. Напомним, что неприводимое аффинное алгебраическое многообразие X называется нормальным, если алгебра регулярных функций к[Х] целозамкнута в своём поле частных. Вопрос о нормальности замыканий орбит имеет долгую историю. Первые результаты были получены Б. Костантом. Он показал, что для редуктивной G нуль-конус в присоединённом модуле нормален. X. Крафт и К. Прочези доказали, что в присоединённом модуле sl(n) замыкания всех SL{n)~орбит нормальны. В положительной характеристике аналогичный результат для SL(n) был установлен С. Донкиным. Позже X. Крафт и К. Прочези и Э. Соммерс изучили тот же вопрос для присоединённых модулей других классических групп. В частности, Крафт и Прочези4 на языке диаграмм Юнга указали орбиты с ненормальными замыканиями. Случаи F4, (, Eq разобраны А. Броером, X. Крафтом и Э. Соммерсом. Для Ej и Е$ полного ответа ещё нет.
Перейдём к действиям алгебраического тора Т, то есть аффинной алгебраической группы, изоморфной кх х ... хкх, где кх = к\{0}. Неприводимое алгебраическое многообразие X называется торическим, если оно нормально и допускает регулярное действие T с открытой орбитой. To- рические многообразия играют важную роль в алгебраической геометрии, топологии и комбинаторике, так как они полностью описываются в терминах выпуклой геометрии, см. монографии Кокса или Фултона. Если задано действие алгебраического тора T на многообразии Y7 то замыкание орбиты X = Ту точки у Є Y является естественным кандидатом в тори- ческие многообразия. Чтобы проверить это, достаточно убедиться, что X нормально.
Возьмём в качестве Y рациональный Т-модуль V. Обозначим через A = A(T) решётку характеров тора Т. Относительно действия T модуль V может быть диагонализован:
V = (&V^ гДе ^ = {vG^v = /i()v УієТ}.
I^gA
Обозначим через M(V) = {/х Є A | Vu 0} множество весов модуля V. С каждым ненулевым вектором v связано весовое разложение
v = vMl + ---+vMs, VttGKtt, vtt7^0.
Обозначим через M(v) множество весов {/ii,... ,jlis}. Этими весами можно породить полугруппу Z^o(Mb 5 Ms), подрешётку Z(/ii,..., jlis) и рациональный полиэдральный конус Q^o(Mb > Ms) в пространстве Aq := A<8>zQ-
Определение. Множество точек {/ii,... ,JLisJ С Qn называется насыщенным,, если
Z>0(mi, ... ,Ms) = Z(/ib ... ,/is) П Q>O(MI, ,Ms)-
Множество точек {/ii,..., Jia] C Qn называется сверхнасыщенным, если все его подмножества насыщенны.
Кемпф, Кнудсен, Мамфорд и Сен-Донат доказали, что замыкание Tv T-орбиты вектора v нормально тогда и только тогда, когда множество M(v)
насыщенно. Этот комбинаторный критерий играет ключевую роль в диссертации.
Вопрос о нормальности замыканий орбит для проективных Т-действий также изучался в литературе. Пусть X(v) — замыкание T-орбиты T[v] точки [v] Є P(V) в проективизации рационального Т-модуля V. Обозначим через P(v) выпуклую оболочку множества M(v) в Aq. Многообразие X(v) нормально тогда и только тогда, когда множества {/і — /io | m є M(v)} насыщенны для всех вершин /іо многогранника P(v). Этот и другие критерии были приведены Дж. Карреллом и А. Кёртом.
Рассмотрим более общую задачу. Пусть G — односвязная полупростая алгебраическая группа, TcG- максимальный тор, BgG борелев- ская подгруппа. А.А. Клячко доказал, что замыкание общей T-орбиты в многообразии флагов G/В нормально. Затем Р. Дабровски показал, что замыкание общей T-орбиты в G/P1 где P G G — параболическая подгруппа, также нормально. Примеры ненормальных замыканий необщих орбит тора можно найти в работе Каррела и Кёрта12.
Хорошо известно, что замыкания всех T-орбит в торическом многообразии нормальны. Используя метод U-инвариантов, можно доказать нормальность замыканий всех G-орбит на сферическом многообразии для любой связной редуктивной группы G. В случае сложности 1 И.В. Аржанцевдоказал, что для действия связной редуктивной группы G на нормальном многообразии X с однопараметрическим семейством общих сферических G-орбит и хорошим фактором 7г: X 4 XffG1 где XffG является кривой, замыкание любой G-орбиты нормально.
Свойство насыщенности играет важную роль во многих алгебраических и геометрических задачах. Н. Уайт доказал, что множество векторов инцидентности в базах реализуемого матроида насыщенно. Геометрическим следствием этого факта является то, что для любой точки у в аффинном
конусе над классическим грассманианом Gr(к,п) замыкание Ту нормально.
Если дан граф Г с п вершинами, то по нему можно построить следующее конечное множество M(T) векторов решётки Zn:
M(T) = {Єі + j : (ij) является ребром Г},
где i, 2,..., п — стандартный базис в Zn. Свойство насыщенности для этого множества эквивалентно следующему утверждению: для любых двух минимальных циклов нечётной длины С и С' в Г либо у С и С' есть общая вершина, либо найдётся ребро Г, соединяющее какую-то вершину С с какой-то вершиной С', см. работы X. Осуги и Т. Хиби и А. Симиса, В. Васконселоса и Р. Виллареаля. С алгебраической точки зрения свойство насыщенности для M(T) эквивалентно целозамкнутости подалгебры *4(Г) алгебры полиномов к.[х\,х2, , хп] в своём поле частных QA(T), где
Д(Г) = k[XiXj : (ij) является ребром Г].
Насыщенные множества также возникают в контексте теории представлений колчанов. Пусть Q — конечный связный колчан без ориентированных циклов, а а — вектор размерности. Рассмотрим многообразие Rep(Q, а) а-мерных представлений колчана Q и стандартное действие блочной группы GL(а) на нём. Пусть Tl(Q^a) — множество весов полуинвариантных функций относительно этого действия. Если W Є Rep(Q, ct) — некоторое представление, то рассмотрим также a,W) — множество таких весов, для которых существует хотя бы одна полуинвариантная функция / на Rep(Q, а) данного веса, не зануляющаяся в W. X. Дерксен и Е. Вейман доказывают, что Tl(Q^a) задаётся в соответствующей целочисленной решётке одним линейным уравнением и несколькими линейными неравенствами, из чего следует, что T,(Q,a) насыщенно. К. Чиндрис
доказывает, что множество a, W) насыщенно для всех W Є Rep(Q, а) тогда и только тогда, когда Q является колчаном Дынкина или евклидовым колчаном (т.е. соответствующий граф является стандартной или аффинной схемой Дынкина типа A, D или E).
Свойство насыщенности оказывается полезным в задачах теории представлений, см. работы Н. Рессейра и П.-JI. Монтагара, Б. Паскье, Н. Pec- сейра. В этих работах вычисляются определённые полугруппы в решётках весов. Если a priori известно, что полугруппа M является конечнопо- рождённой, то вычисление M можно разбить на два шага. Сначала находятся неравенства, задающие конус сопе(М), порождённый полугруппой М. На втором шаге требуется выбрать те целые точки из сопе(М), которые принадлежат полугруппе М. Во многих интересных случаях M совпадает со множеством целых точек в конусе сопе(М) (проблема насыщенности).
Для присоединённого действия SL{n): sl(n) результат Б. Штурмфель- са' утверждает, что замыкания всех T-орбит нормальны. Г. Бобински и Г. Звара интерпретировали этот комбинаторный результат в терминах представлений колчанов. Ж. Моран классифицировала все полупростые алгебраические группы, для которых замыкания всех T-орбит в присоединённом модуле нормальны.
Цель работы
Пусть G — связная полупростая алгебраическая группа над алгебраически замкнутым полем к характеристики ноль. Зафиксируем в G максимальный тор Т. Сформулируем задачу, которая решается в диссертации.
Найти все такие конечномерные рациональные простые G-модули V, что для каждого вектора v Є V замыкание его орбиты Tm является нормальным аффинным алгебраическим многообразием.
Напомним описание множества Т-весов рационального С-модуля V(X) с данным старшим весом Л. Обозначим через Ф систему корней, соответствующую G. Пусть S — решётка корней, a W — группа Вейля системы корней Ф. Многогранником весов P(X) модуля V(X) называется выпуклая оболочка conv{«;A | w Є W} Ж-орбиты точки А в Aq. Тогда
M(X) = (A + S) ПР(Х).
Следовательно, замыкания всех T-орбит в V = V(X) нормальны тогда и только тогда, когда M(X) сверхнасыщенно.
Результаты. Объединяя результаты статей [1, 2, 3], мы получаем следующую теорему.
Теорема 1.1. Для следующих типов простых алгебраических групп и соответствующих модулей, а также для модулей, получаемых из указанных при помощи автоморфизма диаграммы Дынкина, замыкания всех орбит максимального тора нормальны.
В остальных случаях модуль содержит орбиту максимального тора с ненормальным замыканием.
Нумерация фундаментальных весов здесь соответствует книге Бурба- ки.
Аналогичная задача для приводимых систем корней ещё не исследована. Другим естественным обобщением является решение этой же задачи для приводимых модулей. Те из них, для которых данное свойство выполняется, в своём разложении на простые содержат только модули, обладающие тем же свойством, то есть только перечисленные в теореме 1.1. Но это не является достаточным условием: например, замыкание T-орбиты вектора (х2, Xs) в 5Х(2)-модуле S2С2 0 S3С2* не нормально. Окончательного ответа для приводимых модулей пока нет.
Методы исследования
В диссертации используются методы алгебраической геометрии, теории представлений, торической геометрии и комбинаторики.
Научная новизна
Результаты диссертации являются новыми и заключаются в следующем:
-
Получена полная классификация простых модулей простых алгебраических групп, для которых замыкания всех орбит максимального тора нормальны.
-
Разработаны методы для проверки насыщенности и сверхнасыщенности систем весов неприводимых представлений простых алгебраических групп.
-
Разработана теория 2-унимодулярных множеств и её применения к проверке сверхнасыщенности комбинаторно сложных наборов точек.
Теоретическая и практическая ценность
Полученные в диссертации результаты имеют теоретическое значение. Они могут найти применение в теории представлений, торической геометрии и теории инвариантов.
Апробация работы
Работа была поддержана фондом Д. Зимина «Династия». Результаты диссертации докладывались:
на семинаре «Алгебраические группы и теория инвариантов» механико- математического факультета МГУ (руководители — Э.Б. Винберг, A. JI. Онищик, Д. А. Тимашёв и И. В. Аржанцев), 2007 г.;
на международной алгебраической конференции, посвящённой 100- летию со дня рождения профессора А. Г. Куроша, Москва, май-июнь 2008 г.;
на осенней школе «Алгебраические действия торов», Лукечин (Польша), сентябрь 2009 г.;
на семинаре по алгебраической геометрии в Институте Фурье (Гренобль, Франция), декабрь 2010 г.;
на международной конференции «Алгебра и геометрия», посвягцён- ной 65-летию Аскольда Георгиевича Хованского, Москва, июль 2012 г.;
на третьей школе-конференции «Алгебры Ли, алгебраические группы и теория инвариантов» (Тольятти, Россия), июнь 2012 г..
Постер, посвягцённый основной теореме, был представлен на международной школе конференции «MSJ-SI 2012 Schubert calculus», Осака, Япония, июль 2012 г..
Публикации
Основные результаты диссертации опубликованы в трёх работах. Список работ приводится в конце автореферата [1-3].
Структура и объём работы
Диссертация состоит из четырёх глав (первая из которых является вводной) и списка литературы. Главы разбиты на параграфы. Список литературы включает в себя 35 наименований. Общий объём диссертации составляет 98 страниц.
