Содержание к диссертации
1 Две бинарные задачи с простыми числами 11
-
Постановка решения 11
-
Преобразование интеграла основного класса . . 13
-
Вспомогательные леммы (I) 25
-
Вспомогательные леммы (II) 29
-
Оценка сверху интеграла в остатке 32
-
Мощность исключительного множества другой задачи 35
2 Особые множества на коротких промежутках 45
-
Задача типа " p+\j3q\ " 45
-
Задача типа " р + [qc] " 56
Введение к работе
Настоящая диссертация относится к аддитивной теории чисел. В ней рассматриваются задачи об исключительных множествах в бинарных аддитивных проблемах, которые затем распространяются на короткие промежутки. Под понятием "короткого промежутка" мы имеем в виду, что отношение длины короткого промежутка к основному параметру стремится к нулю при росте этого параметра к бесконечности. А слово "исключительное множество" означает ту совокупность чисел, которые не допускают заданного представления.
В 1742 году было выдвинуто два предложения, связывающие целые числа с простыми числами. Они звучат так : (А) каждое нечетное число, превосходящее 9, представляется в виде суммы трех нечетных простых чисел; (Б) каждое четное число, превосходящее 6, представляется в виде суммы двух нечетных простых чисел. Несмотря на то, что математики не могли доказать эти два предложения, большое количество вычислительных опытов подтверждает, что вероятно, они имеют место. Эти два предложения и получили называние "проблема Гольдбаха-Эйлера". В течение 250 лет они постоянно привлекали и привлекают внимание самых выдающихся математиков. Благодаря этому были развиты новые важнейшие методы в области аналитической теории чисел.
И только в 1937 году И. М. Виноградов [5, б] впервые получил нетривиальную оценку тригонометрической суммы по про- стым числам, а затем с помощью кругового метода Рамануджана-Харди-Литтлвуда-Виноградова доказал, что каждое достаточное большое нечетное число является суммой трех нечетных простых чисел. Точнее говоря, И. М. Виноградов получил асимптотику 1(п) числа решений уравнения U =р{ +р2+р',\, где р\, р'2, и рз простые числа. Он доказал, что где ^) = Е^И) = П(і-7Лї) П (1+г-^)>1. я=\Фл\Ч) р\п (Р-Ч2 (р,„)=і (Р-Ч 2
Это в основном решило первое предложение. Метод И. М. Виноградова имеет глубокое значение. Он позволил его последователям получить дальнейшие результаты о представлениях целых чисел простыми числами.
Однако второе предложение, часто называемое бинарной проблемой Гольдбаха-Эйлера, до сих пор остается нерешенным. Ученые пытаются с разных направлений подойти к этому предложению. В частности, один из этих способов состоит в разложении четного числа в виде суммы простого и составного чисел. В этом направлении самого большого успеха достиг Чень Джин-рун [15] . Он создал свой метод решета с весами и доказал, что любое достаточно большое четное число является суммой простого числа и произведения, в которое входят не больше двух простых чисел.
Другой важной задачей является определение верхней границы мощности исключительных множеств бинарной проблемы Гольдбаха-Эйлера, т.е. множества четных чисел, непредставимых в виде суммы двух простых чисел. Решение тернарной проблемы Гольдбаха-Эйлера позволило сразу нескольким ученым получить первые результаты в этой задаче. В частности, в 1975 году X. Л. Монтгомери и Р. К. Вону [16] впервые удалось получить в них степенное понижение, хотя его числовое значение ими не вычислялось. В 1988 году Чен Джин-рун и Лю Ян-Мин [14] доказали, что для количества Т(х) четных чисел, не превосходящих х и непредставимых в виде суммы двух простых чисел при х —> оо справедлива оценка
Т(х) < аМ.
В настоящее время самое большое продвижение в этом направлении имеет Ли Хон-дже. В 1999 году он [20] получил следующую оценку:
Т(х) « а;0-921.
Ясно что эти результаты уже утверждают, что почти все четные числа представимы в виде суммы двух простых чисел.
Рамачандра [22] распространил этот результат на короткие промежутки. Для количества Т(х, х) четных чисел, находящихся в промежутке (х — х,х) и непредставимых в виде суммы двух простых чисел при х —> оо, он получил оценку
1>в>1-- + є. с
Здесь число с является той константой, которая возникает в оценке плотности нулей L— функции Дирихле : N(ayT,q)<(qT)c^-^(\nqTy\
Наиболее сложный момент в доказательстве Рамачандры состоит в том, что в конце промежутка суммирования сдвиг тригонометрической функции становится более коротким и слож- ность оценки возрастает. Смысл его в том, что почти все четные числа, находящиеся в конце промежутка, иредставимы в виде суммы двух простых чисел при х —> оо.
В 1997 году Г. И. Архипов, К. Бурцев, В. Н. Чубариков [2, 1] обобщили бинарную аддитивную проблему Гольдбаха-Эйлера и рассмотрели вопрос о представлении натуральных чисел п в виде суммы п = а(р) + %), (1) где р, q — простые числа и а(х), Ь{х) — заданные цело-значные функции натурального аргумента, кроме того, обычно предполагается, что число п подчинено некоторым естественным дополнительным условиям арифметического характера. Например, в бинарной проблеме Гольдбаха-Эйлера имеем а{х) = .т, Ъ(х) = х и п = 0 (mod 2)
Они доказали следующие теоремы : (A) Пусть ft > 0, Т(х) количество чисел п на промежутке (2, х)не представимых в виде; п =P+[Pq], где р и q - простые числа.
Тогда при х —> оо справедливы следующие оценки : (а) если неполные частные числа ft ограничены в совокупности, то T(x)
Т(х) < х*+є. (B) Пусть с > 1 — нецелое число, су = 1, Т'{х) количество чисел п на промежутке (2, х) не представимых в виде п = Р + [q% где р и q простые числа.
Тогда при х —у ос справедлива следующая оценка:
Т'(х) <х'-'2Ш, где величина 5 > 0 определяется из условия е2',ъ^<^, (2) причем параметр а удовлетворяет неравенству у-0-8 < (\ < 1-2Г-«.
Их идея состоит в получении нетривиальной оценки остаточного члена с помощью арифметического свойства функции "целая часть числа". Сначала они выделяли главный член круговым методом с использованием только малой окрестности нуля, затем оценивали остаточный член. На возможность использования этой окрестности впервые обратил внимание К. Буриев при решении некоторых аддитивных задач теории чисел.
Опираясь на их метод и продолжая эти исследования, мы рассматриваем аналогичные задачи об оценках мощности исключительных множеств. При работе с остаточном членом самой большой трудностью оказывается оценка сверху в окрестностях с малыми знаменателями, т.е. окрестностях, которые должны были входить в главный член при круговом методе. Чтобы эту трудность преодолеть, необходимо учесть арифметическое свойство цепной дроби числа ft. Это свойство впервые было учтено в работе [2, 1]. Мы также будем проводить подобные вычисления.
Полученные нами результаты можно сформулировать в следующем виде.
Теорема 1. Пусть ft > 0; Т\(х) количество чисел п на промежутке (2, .т) не представимых в виде n=p+[fiq], где р и q - простые числа и р изменяется в прогрессии вида р = I (mod d).
Тогда при х -* со и d < (logx)'2"6, справедливы следующие оценки : (а) если неполные частные иррационального числа /3 ограни чены в совокупности, то Ti(a)
Тх{х)^х^е
Теорема 2. Пусть ft > 0, d и а натуральные числа, (a,d) = 1, Т'2(х) — количество чисел п на промежутке (2, ж) не пред-ст,авимых в виде где р и q - простые числа.
Тогда, при х -> оо; справедливы следующие оценки : (а) если неполные частные иррационального числа, (3 ограни чены в совокупности, то T2(.T)<.T5(l()g.T)8 (б) если (5 — иррациональное алгебраическое число, то
Т2(х) < х*+
Теорема 3. Пусть [3 > 0 иррациональное алгебраическое число, Тз(ж, у) -- количество чисел п на промежутке (х—у, х) не представимых в виде п = p-\-[fiq\, где р uq - простые числа. _м 9 9 9 м \ 4*
Тогда при х —> со и (1 — е)х > у > х^>(\пх)^сГ^с^ >J справедлива оценка где с > О — некоторая постоянная.
Теорема 4. Пусть с > 1 — нецелое число, су = 1. Т^{х,у) — количество чисел п на промежутке (х — у,х) не пред ставимых в виде п = р+ [qc], где р и q - простые числа.
Тогда при х —» оо и х ^> у ^> .тзїї+є, справедлива оценка
Щх^уХу^і^х где величина S определена в неравенстве (2).
Результаты настоящего исследования позволяют нам сделать вывод, что несмотря на то, что не доказаны теоремы о равномерном распределение простых чисел в коротких арифметических прогресиях, тем не менее можно представить в виде (1) почти все натуральные числа, которые, может быть, подчинены некоторым естественным дополнительным условиям, если правильно выбрать растущие целозначные функции натурального аргумента а(х), Ь(х).
В заключение автор выражает глубокую благодарность профессору В. Н. Чубарикову за научное руководство и профессору Г. И. Архипову за постоянное внимание и вдохновляющие разговоры. Обозначения
Употребляются устоявшиеся обозначения
Л(п) — функция Мангольд та. (р(п) — функция Эйлера. fi(n) — функция Мебиуса. ф(х) — функция Чебышева. ф(х; d, /) — функция Чебышева в прогресии с разностью d . ||7/, || — раетояние до ближайшего целого числа. є произвольно малое положительное число .
В текущей работе будем обозначать разные величины Є[ ,'2, Через ОДИН И ТО ЖЄ ЗШ1К 6. ]>, q простые числа .
