Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА I. Леммы. 23
ГЛАВА II. Аддитивные задачи с простым слагаемым.
1. Эквивалентность проблемы улучшения остаточного члена в тернарной проблеме Гольдбаха и теоремы Зигеля . 52
2. Представление натуральных чисел в виде: 71
3. Два аддитивных представления для всех больших натуральных чисел . 90
ГЛАВА III. Аддитивные задачи со степенями простых чисел .
1. Представление нечетных натуральных чисел в виде : 110
2. О представлении натуральных чиоел в виде 126
Литература. ТЗ?
- Эквивалентность проблемы улучшения остаточного члена в тернарной проблеме Гольдбаха и теоремы Зигеля
- Два аддитивных представления для всех больших натуральных чисел
- Представление нечетных натуральных чисел в виде
- О представлении натуральных чиоел в виде
Введение к работе
Актуальность исследования.
В современной теории чисел значительное место занимает проблема аддитивного.представления натурального числа в виде степеней простых и натуральных чисел.
Для изучения этой проблемы применяются элементарные методы ( не использующие теорию функций комплексного переменного), аналитические методы ( основанные на применении теории функций комплексного переменного), метод тригонометрических сумм И.М.Виноградова. Перечисленные методы,взятые каждый в отдельности, естественно,не являются универсальными. Например, самый мощный из них, метод тригонометрических сумм И.М.Виноградова, открывший широкие возможности в аддитивной теории чисел, позволил успешно решить тернарную проблему Гольдбаха, а в отношении бинарной, - он дал существенно меньше: "почти представимость" четных чисел в виде суммы двух простых нечетных чисел.
Для решения некоторых тернарных задач требуется привлечение дополнительных соображений. Как и в работе Ю.В.Линника [15], мы привлекли дополнительные соображения к методу тригонометрических сумм И.М.Виноградова, но другие.
Новые представления и оценки тригонометрических сумм по простым числам H.L. Moatfyomezu R.C. Vo a-n, /їв/ используются нами во второй главе, теорема Зигеля о границе области, свободной от нулей L -функций - в третьей главе.
Актуальность исследования состоит в том,что в диссертации применение метода тригонометрических сумм И.М.Виноградова распространяется на некоторые нерешенные ранее аддитивные задачи. В результате исследования получены новые тернарные представления, новые оценки исключительных множеств ( см.раз-дел"Введения" "Структура диссертации", стр. 8 ).
Все леммы, используемые в тексте диссертации, доказываются в первой главе, или приводятся их строгие формулировки, а доказательства даются в ссылках на литературу.
Путь исследования во второй главе аналогичен тому, который применен в работе Н.І.Мопідотьгу и R. С. VatLp/uznfjb]ч так например, нами доказаны и используются леммы 31, 32, которые подобны соответствующей лемме 5.5.
В третьей главе нами, помимо теоремы Зигеля, доказаны и используются леммы 20 и 23, которые существенны для оценки главных членов представлений, рассматриваемых в этой главе.
Цель исследования
1. Получить новые представления натуральных чисел.
2. Получить новые, по сравнению с известными, оценки исключительных множеств.
3. Выявить взаимосвязь двух классических проблем теории чисел ( проблемы уточнения остаточного члена в тернарной проблеме Гольдбаха и теоремы Зигеля).
Пояснения к терминологии, использованной в настоящей диссертации.
В данной работе мы используем классификацию аддитивных задач и терминологию, введенную Ю.В.Линииком 14), а также вводим новый термин: задачи, "пограничного с бинарным типа".
Апробация и публикации
Основные результаты были доложены и обсуждены на научных семинарах по аналитической теории чисел в МГУ - г. Москва, 1977 , 1982 гг., на научных семинарах по теории чисел в МГПИ им.В.И.Ленина - г. Москва, 1975-1977 гг. Результаты опубликованы в работах [33 - 37І
Эквивалентность проблемы улучшения остаточного члена в тернарной проблеме Гольдбаха и теоремы Зигеля
Если же использовать нетривиальные оценки 7 ; 7\ »то точно так же,как доказаны теоремы 2.3.1, 2.3.2 можно получить более точные,чем те, которые получены в. этих теоремах,аоим-птотические формулы. Таким образом, если использоват.ь нетривиальные оценки ь, іїм&м для 7" , 7f то имеют место следующие теоремы 2.3.1 , 2.3.2», уточняющие теоремы 2.3.1, 2.3.2, соответственно. При этом параметр S имеет вид: - ( /1/) , 0
Существует положительное число /Vo такое,что каждое натуральное число /I/ Vo представимо в виде (2.3.Т). Число таких представлений может быть определено по формуле: fii М , СІ (К) из теоремы .d.l. J\ - любая положительная константа. Теорема 2.3.2і Существует положительное число п/о такое,что каждое натуральное число /v 7 /vb представимо в виде (2.3.2). Число таких представлений может быть определено по формуле: где из теоремы 2.d.2. А - любая положительная константа. Методом тригонометрических сумм И.М.Виноградова, используя нетривиальные оценки 1а, 7? можно получить доказательство следующих теорем. Параметр е/ имеет вид: Теорема 2.3.3. Существует положительное число IV о такое,что каждое нечетное натуральное число N п/о представимо в виде: где ft) -p-i ( i i3/1 )- простые числа, l yj-f Число таких представлений /л (N) может быть определено по формуле: б ) d, бъуСз - положительные константы,зависящие от х /У - любая полонительная константа. Теорема 2.3,4. Существует положительное число Л/с такое,что каждое нечетное натуральное число N fvo представимо в виде: где М=ї+і+ &+рі+фІ, простые числа -fc -ld. Число таких представлений L (/V/ может быть опре делено по формуле: А/ / /І/ # \ L (A/) = L №)си Утг ЩіШ? ) ГДЄ - f . , J r г f Н мі - положительные константы,зависящие от - ./ - любая положительная константа. Замечание. Теоремы 2.3.1 и 2.3.2 имеют место и тогда,когда натуральное число /% принадлежит отрезку [ъу IlJC Доказа тельство этого утверждения проходит дословно так, как и доказательство теорем 2.3.1 и 2.3.2, только вместо использованной оценки тригонометрических сумм И.М.Виноградова - лемма 5, следует воспользоваться оценкой А.Вейля - лемма 39. В этой главе рассматриваются две бинарные аддитивные задачи со степенями простых чисел. Доказательство теорем З.Ї.Ї и 3.2.1 основывается на методе тригонометрических сумм и глубоких свойств характеров Дирихле ( теорема Зигеля). 1. Представление нечетных натуральных чисел в виде: п. р +tf У/б/ . Пусть / - произвольное натуральное число, достаточно большое. В первом параграфе третьей главы рассматривается во прос о количестве - нечетных натуральных чисел А /V ,не представимых в виде: где Pjpt) -Pji, - простые числа, "JO t заданные натуральные числа, каждое из которых больше її. Именно, мы доказываем следующую теорему Теорема З.Ї.Ї. При Л/— = = д аСл/) = 0(А/- ZZjb fc / 6 p A/ J где С - константа зависящая только от и ( С О ). При доказательстве теоремы будем пользоваться следующими обозначениями:
Два аддитивных представления для всех больших натуральных чисел
Таким образом, в теореме 2.Ї.Ї устанавливается эквивалентность двух известных проблем. Во втором параграфе рассматривается следующая задача. Пусть X - достаточно большое число, исследуется вопрос о представлении числа п X в виде (1): где р - простое число, tlj - натуральные числа, Ж - фиксированное натуральное число. Согласно выше введенное терминологии, задача представления натуральных чисел в виде (Т) есть бинарная задача, и пока она не поддается решению. Допустим,что 3(Х) - это число чисел к $" X » не представимых в виде (І). Тогда имеет смысл доказать,что 3(Х) - не велико. Во втором параграфе второй главы доказана теорема: Теорема 2.2.1. Пусть "к к0 И, 3(Х) число чисел жХ , не представимых в виде: где р - простое число, 71- натуральные числа. Здесь следует отметить,что для случая / =2 извес тен значительно более сильный результат. Ю.ВЛинник доказал, что всякое достаточно большое число представимо в виде: где -p - простое число, Ajt - натуральные числа. В своем доказательстве Ю.В.Линник пользовался разработанным им самим дисперсионным методом и известным результатом о числе представлении целого числа в виде суммы двух квадратов. Аналогичного результата о числе представлений целого числа в виде х К-6/х степеней не получено. Неизвестно ничего относительно более слабого утверждения: пусть 2 (п.) -число представлений числа в виде л --Ь/А степеней, тогда Это гипотеза Харди и Литльвуда /26/, она доказана только для случая = 2. В конце второго параграфа приводятся две теоремы, вытекающие из предположения справедливости гипотезы Харди и Литльвуда. Если справедлива гипотеза Харди и Литльвуда, то каждое число представимо в виде: где - заданное натуральное число, Ж - простое число, ft. - натуральные числа. В третьем параграфе второй главы доказываются следую Существует положительное число А/0 такое,что каж дое натуральное число /у А/о представимо в виде где -p - простое число, / ( і, =1,2,3,4) - нату ральные числа. И число таких представлений может быть определено по следующей асимптотической формуле: где С/, 6,, С/; С - положительные константы,зависящие от ft , t - положительная абсолютная константа. Теорема 2.3.2. Существует положительное число No такое,что каждое натуральное число /V 44 представимо в виде где fe - простое число, fUid iA A)" натуральные числа.И число таких представлений /3(fl/j может быть определено -по следующей асимптотической формуле & ) C - положительные константы,зависящие от -Ж , С - положительная абсолютная константа. Эти теоремы доказываются аналогично,поэтому в тексте приводится доказательство только теоремы 2.3.1. Работа [34] ,в которой доказаны теоремы 2.3.1 и 2.3.2 была опубликована в 1978 году. Доказательство этих теорем основано на использовании метода опенки тригонометрических сучм,разработанного в работе R.C- 1/6ишкагь и Ні.МоіїІаат&ги [їв] и тривиальных оценок величин Та. 1$ . Тсс Is равны,со-ответственно,числу решений уравнений а), б): а) X + xl+xt=fi+y},+fi9 1 X?, хї, Xij fa у и Л/. Тривиальная опенка величин Та? 7J имеет вид: где С - абсолютная константа. В 1979году С-НооЩ/ [ЗЪ] были получены нетривиальные оцен где L - некоторая положительная константа. Если же использовать нетривиальные оценки Та, 7-- ,то точно так же, как доказаны теоремы 2.3.1 ,2.3.2 /.южно получить более точные,чем те, которые получены в этих теоремах,асимптотические формулы. В этом случае, асимптотические формулы теорем 2.3.1 и 2.3.2 соответственно, приобретают следующий вид: где А Ш),и ) из теоремы 2,зл b-k(N) ) Сх(И) из теоремы 2.3.2. А - любое полояительное число. Эти более точные асимптотические формулы I), 2) могут быть получены так же, как если воспользоваться классическим методом тригонометрических сумм И.М.Виноградова и нетривиальными оценка ми для 7&, 1ъ С.Ноо-Ыи , Использование метода ftCfawkm - ML, Monta&ffvtu/ дает возможность единообразного подхо да к решению задач,рассмотренных во П главе диссертации. Методом тригонометрических сумм И.М.Виноградова, используя нетривиальные оценки TCL, Tf можно получить доказательство следующих теорем. Теорема 2.3.3.
Представление нечетных натуральных чисел в виде
По сравнению с Прахаром, в настоящей диссертации получено улучшение оценки исключительного множества . (Подробнее см. "Введение", раздел "Структура диссертации", стр.17 ).
Кроме того, нами рассматривается задача, которую мож но соотнести с вышеупомянутой задачей Хуа (0.2). Изучается возможность представления нечетного натурального числа в виде: где Ф)1і рз - простые числа, А - - фиксированные натуральные числа. По сравнению с задачей Хуа, здесь добавляется еще одно слагаемое - р , .Но оценка исключительного множества в данном случае лучше. ( См. "Введение", раздел "Структура диссертация", стр. 16 ). В диссертации впервые ставится задача о представлении натуральных чисел в виде: г =1 где р - простое число, нату ральные числа, К - фиксированное натуральное число. Здесь же дана ранее неизвестная оценка величины /3 (A/, где 71 (X) - число чисел Я X »не представимых в виде (0.3). (Подробнее см. "Введение", раздел "Структура диссертации", стр. 10 ). Другие две задачи, рассматриваемые в настоящей работе, можно сравнить с еще одной задачей Прахара /19/. Он доказал, что все достаточно большие нечетные натуральные числа могут быть представлены в виде: где f - ( = 1,2,3,4,5) - простые числа, A - фиксированное натуральное число. В настоящей работе получены асимптотические формулы для числа представлений всех натуральных чисел начиная с некоторого в видах: где АА = Д 7 - простые числа, /г-- натураль ные числа, Ж.- фиксированное натуральное число. Помимо того, в работе доказывается эквивалентность двух классических проблем, ( см. "Введение", раздел "Структура диссертации", стр. 9 ). Практическое значение работы Полученные результаты помогают получить новые, сведения о свойствах натуральных чисел относительно их представимости в ряде аддитивных форм. Аппробация и публикации Основные результаты были доложены и обсуждены на научных семинарах по аналитической теории чисел в МГУ - г. Москва, 1977 , 1982 гг., на научных семинарах по теории чисел в МГПИ им.В.И.Ленина - г. Москва, 1975-1977 гг. Результаты опубликованы в работах [33 - 37І Й.М.Виноградовым была доказана следующая фундаментальная лемма, которая была в частности использована им при доказательстве тернарной проблемы Гольдбаха, и которая находит широкое применение при решении ряда других аддитивных задач с простыми числами: I) Пусть L f S ft) - функция Дирихле, ft - муль типликативный характер, A - любое действительное число, 9 г. Существует не зависящая от С положительная константа СУ со следующим свойством: для всех действительных ft по модулям, не превосходящим v/ эквивалентны единственному не определенному более точно примитивному характеру ъ = jC f y по модулю = (Jy ( /17/, теорема 6.6 ,стр. 148). 2) Если такой характер X существует, то нуль А функции Lf-б.р) в области («к) называется исключи ТеЛЬНЫМ Нулем фуНКЦИИ L (4) ft) «ДЛЯ НУЛЯ в Lf jf J выполняется соотношение: ±(С) r/- , где 5 - любое положительное число, #. ) - константа, зависящая от d Вторая часть леммы 2 представляет собою следствие из теоремы, известной в теории чисел под названием теорема Зигеля. ( [11] у теорема 8.2, стр. 163).
О представлении натуральных чиоел в виде
Далее, проводя рассуждения, аналогичные рассуждениям, использованным в заключительной части доказательства теоремы 2.2 Л , получаем доказательство утверждения теоремы 2.2.2.
Если справедлива гипотеза Харди и Литльвуда, то каждое число /г ҐІ0 представимо в виде: где sfc - заданное натуральное число, Ь - простое чиоло, tls ( -1 ... - - натуральные числа. Доказательство. /Vg (ft) вычисляется таким же путей,Что и в теореме 2.2Л, а для F&(rt ) оценка сверху получается следующим образом: В этом параграфе (теоремы 2.3.1 и 2.3.2) мы даем решение двух аддитивных задач, которые можно отнести к "пограничному с бинарным" типу. Если в таком представлении убрать любое слагаемое,то задача будет, по терминологии Линника, бинарной. Смысл рассмотрения задач пограничного с бинарным типа - максимально приблизится к решению бинарных аддитивных задач. Следует отметить,что метод тригонометрических сумм Виноградова позволил сильно продвинуться в решении тернарных задач, а значит, и задач пограничного с бинарным типа, хотя многие такие задачи еще не решены. В качестве примера еще нерешенных задач пограничного с - .91 бинарным типа можно привести следующие: каждое число п /г0 представимо в видах: 4. Их удается решить только предположив выполнимость еще не доказанной в настоящее время гипотезы Харда и Литльву-да ( формулировка этой гипотезы приведена во введении). Подробные сведения о значении задачи Ї можно получить в книгах И.М.Виноградова /5/ , А.А.Карацубы ДЗ/. Задача 2 аналогична задаче Ї, только здесь вместо степеней выступает простое слагаемое. С другой стороны, задачи рассматриваемые в теоремах 2.3.Ї и 2.3.2 , можно сравнить с задачей рассмотренной К.Прахаром в работе Д9/, где он показал, что каждое достаточно большое нечетное число представимо в виде: Метод, использованный К.Прахаром, является недостаточным для доказательства теорем 2.3Л и 2.3.2. Теорема 2.3.1. Существует положительное число /V0 такое,что .-92 каждое натуральное число N І\Іо представимо в виде: где ft - простое число, - - ( /3/ J - натуральные числа , fv 12. Число таких представлений ft (IV) может быть определено по формуле: , и , - положительные константы,зависящие от А , d- - положительная абсолютная константа. Доказательство этой теоремы проходит подобно доказательству предыдущей теоремы 2Л.I,поэтому мы дадим его схематично. - 93 останавливаясь внимательно только на тех местах, которые отличны от встречавшихся в доказательстве предыдущей теоремы 1ЛЛ» Обозначения оставляем прежними. Ж? /V Разбиение единичного интервала интегрирования проводит такое же, как и в предыдущей теореме. Параметр У берем в виде (Р еяс/Ь (с где С - константа, зависящая от Малые интервалы. . . ., Пусть R(Лу обозначает коэффициент при Є в тригонометрической сумме если f\(w) , то это означает,что г/ представимо в виде (2.3 Л) где г — 2 -uyrtNoi , т В дальнейшем наша цель - выделить главный член в R±(//) и оценить R&f J ,которое войдет в остаточный член.
