Содержание к диссертации
Введение
1. Постановка задачи исследования теплофизических и радиационное оптических свойств теплоизоляционных материалов
1.1. Математические модели теплообмена в теплоизоляционных материалах 10
1.2. Экспериментальное исследование теплофизических и радиационно-оптических свойств материалов 16
1.3. Метод обратных задач теплообмена 23
1.4. Постановка задачи комплексного определения характеристик материалов. Единственность решения 28
2. Алгоритм решения задачи комплексного определения характеристик материалов и соответствующее математическое обеспечение
2.1. Математическая формулировка задачи 33
2.2. Алгоритм решения задачи оценивания свойств материалов 44
2.3. Вычисление градиента минимизируемого функционала и шага спуска 54
2.4. Учет априорной информации о значениях определяемых функций . 68
2.5. Конечно-разностная аппроксимация задачи 72
2.6. Программное обеспечение для реализации разработанного алгоритма 90
3. Анализ эффективности предлагаемого алгоритма путем математического моделирования
3.1. Вычислительный эксперимент 100
3.2. Влияние различных типов аппроксимации на точность решения ОЗТ.. 107
3.3. Влияние погрешностей температурных измерений и неопределенностей задаваемых граничных условий на точность решения ОЗТ 116
3.4. Влияние погрешностей координат установки термодатчиков для дополнительных измерений температур на точность решения ОЗТ 124
4. Расчётно-экспериментальное определение свойств композиционного материала, как практическая апробация предлагаемого подхода
4.1. Экспериментальный стенд для комплексного исследования свойств материалов 126
4.2. Экспериментальная программа исследования свойств материалов... 133
4.3. Результаты отработки экспериментальных данных 135
Заключение 137
Список литературы 139
- Экспериментальное исследование теплофизических и радиационно-оптических свойств материалов
- Вычисление градиента минимизируемого функционала и шага спуска
- Влияние погрешностей температурных измерений и неопределенностей задаваемых граничных условий на точность решения ОЗТ
- Экспериментальный стенд для комплексного исследования свойств материалов
Экспериментальное исследование теплофизических и радиационно-оптических свойств материалов
Определение теплофизических характеристик материалов представляет собой один из наиболее развитых разделов теплофизики. Анализ всего многообразия методов подобных исследований выходит далеко за рамки настоящей работы. Ниже представлен только некоторый анализ данной проблемы с точки зрения построения количественного метода определения как теплофизических, так и радиационных характеристик материалов. Проблемы экспериментального исследования теплофизических характеристик материалов достаточно подробно проанализированы в [37].
Успешное применение теплоизоляционных материалов зависит от того, насколько подробно изучены поведение и свойства материалов в различных условиях конвективного и радиационного нагрева. Воспроизведение подобных условий является, как правило, очень сложной технической задачей, требующей значительных затрат. Поэтому экспериментальное исследование взаимодействия теплоизоляционных материалов с высокотемпературной средой проводится последовательно в три основных этапа.
Вновь разработанные рецептуры теплоизоляционных материалов сначала проходят сравнительные испытания. Параметры среды и метод испытаний подбирают таким образом, чтобы выявить наиболее важные свойства материала, характеризующие его поведение и возможности в заданных условиях. Сравнительные испытания проводят при постоянных параметрах внешней среды на одном режиме работы установки. При исследованиях такого типа необходимо учитывать воспроизводимость условий испытаний, надежность и точность методов контроля параметров высокотемпературной среды, достаточность объема получаемой информации для того, чтобы с заданной точностью проводить сравнение материалов. По результатам сравнительных испытаний отбирают наиболее эффективные материалы, которые подлежат дальнейшему изучению.
Второй этап исследований посвящен определению его основных характеристик в широком диапазоне изменения параметров высокотемпературной среды (энтальпии, давления, состава). Результаты этих исследований используются для построения модели эксперимента, проверки теоретических методов расчета, рекомендации области преимущественного использования данного материала и т. п.
Наконец, третий этап исследований охватывает широкий круг вопросов, связанных с изучением теплофизических свойств материалов, в том числе излучательной способности поверхности, теплоты физико-химических превращений, и ряда других свойств, которые могут зависеть от характера воздействия внешней среды, а также технологии изготовления и т.д. Проведение исследований такого типа требует разработки специальных методик и целого комплекса измерений в условиях высокотемпературной среды. Итак, можно следующим образом сформулировать основные задачи экспериментальных исследований теплоизоляционных материалов: 1. Проведение сравнительных испытаний вариантов теплоизоляционных материалов при определенных стандартных режимных параметрах обусловленных условиями их будущего применения. 2. Выяснение при изменении условий внешней среды в широких пределах, в том числе и в нестационарных тепловых условиях, с последующим использованием этой модели для расчета теплоизоляционных свойств покрытия и выбора необходимой толщины теплоизоляционных материалов. 3. Определение теплофизических и ряд других характеристик теплоизоляционных материалов в условиях, моделирующих натурные [41]. При анализе совместного конвективного q0 и лучистого qR теплового воздействия на материал появляются дополнительные определяющие параметры, причем главные из них отношение тепловых потоков q0jqR и энтальпия торможения Ie. В задачах о разрушении стыков различных покрытий или об излучении продуктов разрушения с поверхности становится существенной толщина пограничного слоя. Наконец, при экспериментальной отработке теплоизоляции важно воспроизвести абсолютную величину подведенного теплового потока. Что касается габаритов модели, то они должны быть достаточно большими, чтобы исключить неодномерность прогрева материала, а также зависимость результатов испытаний от соотношения между структурой материала и размером модели. Так как при лабораторной отработке теплоизоляционных материалов обычно не удается смоделировать сразу все перечисленные особенности теплового и силового воздействия, то выбирают такую методику, которая позволяет воспроизводить наиболее важные параметры внешней среды, т. е. ставится задача о частичном моделировании одного или нескольких параметров и о переносе результатов отдельных экспериментальных исследований на натурные условия. Температурное поле внутри композиционных теплоизоляционных материалов может служить важнейшей исходной информацией на различных этапах их комплексного исследования. Широкое применение для измерения температурных полей получил контактный метод, в котором чувствительный элемент (термопара) находится в непосредственном соприкосновении с теплоизоляционным материалом. Особо важное значение отводится оценке возможных погрешностей измерения. Это связано с тем, что при исследовании прогрева теплоизоляционных материалов возникают дополнительные специфические источники погрешностей, обусловленные: -существенным различием коэффициентов теплопроводности термопары и самого материала; -происходящими в материале при нагреве физико-химическими превращениями. К основным возможным источникам погрешности при измерении нестационарных температурных полей внутри теплоизоляционных материалов следует отнести: I) неточность градуировочной характеристики термопары; II) отклонение характеристики термопары от стандартной (градуировочной) из-за воздействия продуктов разложения теплоизоляционных материалов при высоких температурах; III) некачественное изготовление спая (особенно у высокотемпературных термопар типа вольфрам-вольфрамрениевых) и ненадежность теплового контакта термопары с исследуемым материалом; IV) искажение температурного поля в результате теплоотвода по термоэлектродам и наличия инородного тела (термопары) внутри материала; V) шунтирование термопары в электропроводящей зоне (характерно для коксующихся теплоизоляционных материалов).
Вычисление градиента минимизируемого функционала и шага спуска
В связи с нарушением причинно-следственных отношений, имеющих место в исходной постановке обратной задачи, возникают серьезные трудности их решения. В первую очередь, это трудности разработки методов и алгоритмов, дающих достоверные результаты. Тем не менее, как будет показано в дальнейшем, вполне можно преодолеть указанные трудности.
Исходя из общего назначения все обратные задачи, вне зависимости от рассматриваемого физического процесса или технической системы, можно разделить на три класса [8]: -обратные задачи, возникающие при диагностике и идентификации физических процессов; -обратные задачи, возникающие при проектировании технических объектов; -обратные задачи, возникающие при управлении процессами и объектами. Обратные задачи, относящие к первому классу, обычно рассматриваются при экспериментальных исследованиях, когда требуется по некоторым измеренным следственным характеристикам восстановить их причинные. С точки зрения построения математических моделей и наделением их количественной информацией эти задачи считаются первичными как по отношению к прямым задачам, так и по отношению к другим классам обратных задач.
Обратные задачи, возникающие при проектировании, заключаются в определении проектных параметров технического объекта по заданным показателям качества при соответствующих ограничениях. При этом искомые параметры являются причинными по отношению к этим показателям и ограничениям.
В случае управления процессами роль причинных характеристик выполняют управляющие воздействия, вследствие изменения которых реализуется тот или иной эффект управления, выражающийся через состояние процесса — следствие.
Следует отметить, что между задачами типа диагностики и идентификации и задачами типа проектирования и управления существует принципиальное различие. Для задач проектирования и управления расширение класса допустимых решений обычно упрощает ситуацию, так как требуется найти любое технически реализуемое решение, которое обеспечивает экстремум критерия качества с заданной точностью. В то же время для задач идентификации и диагностики, с расширением класса возможных решений условия ухудшаются, в частности, погрешности определяемых причинных характеристик увеличиваются, вследствие которого требуется обязательного использования регулярных методов решения этих задач [9].
В рамках каждого из указанных классов можно ввести соответственно три группы обратных задач: обратные задачи теплопроводности, обратные задачи конвективного теплообмена и обратные задачи радиационного теплообмена. Обратные задачи теплопроводности являются наиболее изученными и распространенными на практике. Таким образом обратная задача заключается в определении тех или иных величин из приведенной совокупности причинных характеристик. При этом должны быть заданы некоторые дополнительные условия. В большинстве случаев ими являются температурные измерения Т(хп,т) = /п(т) , n = \,N неподвижных или перемещающихся точках хп тела. В дальнейшем по признаку искомой причинной характеристики можно подразделить обратные задачи каждой из групп на те или иные виды. Чаще всего математические модели процессов теплообмена основываются на уравнениях с частными производными. Для этих моделей в общем случае можно выделить четыре группы характеристик математической модели — коэффициентные, граничные, ретроспективные и геометрические. Коэффициентные задачи заключаются в нахождении функций и параметров, входящих в коэффициенты уравнений; граничные — функций и параметров, входящих в граничные условия; ретроспективные, т.е. обращенные назад по времени — в нахождении начальных условий; геометрические — в реконструировании геометрических характеристик области или нахождении каких-либо характерных точек, линий, поверхностей внутри ее. Таким образом, в соответствии с введенными выше причинными характеристиками теплообменного процесса можно выделить следующие виды обратных задач: 1) коэффициентные задачи — определение коэффициентов уравнения переноса тепла, т.е. задача идентификации оператора теплопроводности; 2) граничные ОЗТ — восстановление тепловых условий на границе тела. К этому виду отнесем также задачу, связанную с продолжением решения уравнения теплопроводности от некоторой границы х = М(т), где одновременно заданы температура Т(м(т),т) и плотность теплового потока д(м(т),т); 3) ретроспективные ОЗТ (задачи с обратным ходом времени) — нахождение распределений температуры в предыдущие моменты времени, т.е. установить предысторию данного теплового состояния; 4) геометрические ОЗТ, состоящие в нахождении некоторых геометрических характеристик нагреваемого тела, например, в реконструировании закона движения теплообменной границы тела по результатам измерений температуры внутри тела. В общем случае обратные задачи теплопроводности в зависимости от используемой модели процесса и вида области изменения независимых переменных делятся на одномерные и многомерные, линейные и нелинейные, с фиксированными и подвижными границами. В случае, когда совместно ищутся причинные характеристики разных типов, постановка ОЗТ называется комбинированным. Например, одновременно могут оцениваться граничные условия и температурное поле в прошедшие моменты времени в задаче без начальных условий - комбинация граничной и ретроспективной ОЗТ. Могут быть вполне естественные комбинации граничной и коэффициентной задач, а также граничной и геометрической ОЗТ. В рассматриваемой задаче причинными характеристиками будут объемные теплоемкости С; коэффициенты теплопроводности Я и степени черноты є. Таким образом следуя общепринятой терминологии рассматриваемая задача идентификации является комбинированной (кондуктивно-радиационной) коэффициентной обратной задачей.
Влияние погрешностей температурных измерений и неопределенностей задаваемых граничных условий на точность решения ОЗТ
Для определения теплофизических характеристик современных конструкционных, теплозащитных и теплоизоляционных материалов (в частности зависящих от температуры) весьма эффективными являются методы, основанные на решении коэффициентных обратных задач теплопроводности, в том числе обобщенной. Исходные данные для таких задач формируются на основе результатов измерений и включают в себя граничные условия (первого или второго рода) и зависимости температуры от времени в нескольких внутренних точках образцов. Тип граничных условий и число точек измерения температуры должны удовлетворять условиям единственности решения анализируемой обратной задачи.
Условия единственности обычно определяют минимально необходимый объем измерений, которые требуется осуществлять в одном эксперименте. Так для одновременного определения зависимостей от температуры коэффициента теплопроводности и объемной теплоемкости, хотя бы на одной границе необходимо измерить плотность поступающего в образец, отличного от нуля теплового потока и осуществить нестационарные измерения температуры не менее чем в двух внутренних точках. Можно задавать граничные условия первого рода или условие теплоизолированности на обеих границах, но в этом случае образец должен быть многослойным и содержать слой материала с известными теплофизическими характеристиками, а число точек измерения температуры в слое анализируемого материала также должно быть не менее двух. Для определения интегральной степени черноты, необходимо одно нестационарное измерение температуры во внутренней точке. Поэтому в данной работе одновременно рассматриваются данные М экспериментов (М 2), при этом как минимум один эксперимент должен обеспечить единственность определения С(Т) и Х(Т) , и как минимум один - Е(Т).
При создании новых теплозащитных материалов проводится весьма большой объем сравнительных тепловых испытаний, цель которых состоит в анализе теплозащитных свойств материалов при различных режимах нагрева, соответствующих условиям эксплуатации. Экспериментальные образцы для таких испытаний изготавливаются в виде плоской пластины из анализируемого материала. За счет конструктивного исполнения и равномерного по поверхности нагрева в образцах реализуется одномерный процесс теплопереноса. В испытаниях, как правило, производится односторонний нагрев образцов. При этом для контроля заданного режима нагрева измеряется температура нагреваемой внешней поверхности, а для оценки теплофизических свойств исследуемого материала - температуры в двух внутренних точках образцов и на внутренней поверхности, (также используется и температура внешней поверхности). Кроме того, предполагается известной плотность теплового потока, идущего на прогрев образца. Реализация этого условия возможна экспериментальными средствами. Температура внутренней поверхности используется в качестве граничного условия. На практике трудно реализовать равномерное начальное распределение температуры в образцах, поэтому начальное распределение температуры аппроксимируется по регистрируемым данным в начальный момент времени.
Математическая формулировка обратной задачи строится на основе двух составных частей: 1) структурной модели исследуемого процесса или модели состояния с выделенными в ней неизвестными характеристиками, 2) модели формирования дополнительной информации о параметрах состояния с помощью измерительного устройства или модели измерений. В рассматриваемом случае модель состояния имеет вид краевой задачи (1.4.6) (1.4.9). В этой модели коэффициенты уравнения (1.4.6) и (1.4.9), являются неизвестными, т.е. сформулирован вектор неизвестных характеристик и. В рассматриваемом случае имеем и = {С{Т),Л{т),є(т)}. Модель состояния позволяет осуществить прогноз теплового поведения анализируемой системы при заданных значениях вектора характеристик и. Если зафиксировать некоторое множество неизвестных характеристик {м}е U, то модель состояния можно трактовать как заданное преобразование пространства искомых характеристик и в пространственно-временное распределение температуры (как функцию теплового состояния) в анализируемой системе Т(х,т,и).
В рассматриваемой ниже формулировке обратной задачи в виде операторного уравнения оператор А , строится на основании исходной задачи теплообмена и соответствует заданному в конкретной обратной задаче набору неизвестных характеристик. При использовании в качестве исходной информации экспериментальных данных только одного эксперимента оператор А формируется на основании краевой задачи (1.1.11)-(1.1.14). Если же совместно анализируются данные различных экспериментов, то исходная модель теплообмена представляет собой совокупность краевых задач (1.4.6)-(1.4.9), отличающихся друг от друга типом граничных условий или числовыми значениями, характеризующими условия нагрева, т.е. параметров
Модель измерений определят зависимость экспериментальных данных, получаемых в процессе наблюдения за системой, от функции состояния и измерительной схемы. В предположении, что в эксперименте осуществляются прямые сосредоточенные измерения температуры в некотором ограниченном числе Nm, m = 1, М пространственных точек с координатами х = X , n = l,Nm,m = l,M , модель измерений имеет вид ра венства: Тем самым эта модель определяет множество наблюдаемых параметров теплового состояния {/}є F. Для рассматриваемой модели измерений (2.1.1) множество F представляет собой множество вектор-функций: Таким образом, с помощью модели состояния можно определить преобразование пространства искомых характеристик в пространство наблюдаемых функций теплового состояния, которое фиксируется моделью измерений. Это преобразование может быть представлено в виде: где А - оператор, порождаемый моделью состояния (1.4.6)-(1.4.9).
Экспериментальный стенд для комплексного исследования свойств материалов
Таким образом, в реальных ситуациях типичным является рассмотрение обратных задач, в которых исходные данные (оператор А и правая часть /) известны приближенно. Погрешность исходных данных характеризуется величиной є, которая определяется погрешностью аппроксимации h оператора А и погрешностью задания экспериментальных данных 8, т.е. є - s(h, 8).
Как уже отмечалось, обратная задача (2.1.3) является некорректной. Ее точным решением является такой элемент ueU , при котором след решения краевой задачи (1.1.11)-(1.1.14) совпадает с заданной правой частью feF. При несогласованном задании исходных данных точное решение может отсутствовать, а если оно и существует, то не обладает свойством устойчивости относительно Погрешностей в исходных данных [11]. Различные примеры, иллюстрирующие некорректность обратных задач теплопроводности, достаточно подробно рассмотрены в [4]. Итак, в данной работе рассматриваются М процессов теплообмена в плоских пластинах толщиной b в течение интервала времени [0,ттах]. Предполагается, что на границах существуют условия второго и четвертого рода, а поле температур описывается уравнением параболического типа второго порядка. Таким образом, математическая модель рассматриваемого процесса имеет вид следующей краевой задачи:
При построении итерационных алгоритмов решения обратных задач возможно изменение двух различных подходов к организации процесса минимизации функционала невязки: 1.оптимизация осуществляется в функциональном пространстве, 2. искомая характеристика предварительно параметризуется с помощью какой-либо аппроксимирующей зависимости и задача минимизации сводится к поиску оптимального вектора неизвестных параметров [6,16].
Использование того или иного подхода обусловлено в первую очередь возможностью получения аналитических зависимостей для вычисления градиента функционала невязки. Получить такие зависимости и осуществить функциональную оптимизацию удается только в том случае, когда восстанавливаемые характеристики являются постоянными параметрами или представляют собой функциональные зависимости от координаты и времени или от какой-либо одной из этих переменных, наиболее распространенным типом обратных задач, в которых эффективно используется функциональная оптимизация, являются граничные обратные задачи теплопроводности, и таких задачах по данным температурных измерений внутри исследуемого тела восстанавливаются характеристики граничного теплового режима на нагреваемой поверхности как функции времени - температура поверхности, плотность теплового потока, поступающего в тело или коэффициент теплоотдачи.
Если искомая характеристика зависит от температуры, то получить в явном виде формулы для определения градиента функционала невязки не удается, в этом случае необходимо ввести подходящую параметризацию неизвестной характеристики.
Следует отметить, что параметрическое представление искомой характеристики и последующее сведение обратной задачи к восстановлению вектора неизвестных параметров представляет собой достаточно широко распространенный на практике прием. Он используется при решении обратных задач различных типов. Используя этот подход, построены эффективные итерационные алгоритмы восстановления из решения обратных задач характеристик, зависящих от температуры, например, температурные зависимости теплофизических характеристик материалов.
При практической реализации вычислительных алгоритмов решения обратных задач могут быть выбраны различные виды параметрического представления восстанавливаемых функций. Например, в [28] использовалась кусочно-постоянная аппроксимация искомой функции. Можно известную функциональную характеристику представлять в виде полинома. В некоторых работах [20,33] использовалась сплайн-аппроксимация восстанавливаемых характеристик. Возможны и другие способы параметризации.
Достаточно универсальной формой представления аппроксимирующих зависимостей при параметрическом представлении восстанавливаемых функциональных характеристик является следующая зависимость: где {Pj}y- вектор неизвестных параметров, {)( )) - заданная система базисных функций.
Здесь предполагается, что неизвестная характеристика и( ) является функцией одной переменной %. В качестве аргумента могут использоваться различные величины. Например, в граничных обратных задачах роль играет время т. При восстановлении температурных зависимостей теплофизических характеристик в качестве выступает температура Т и т.д.
В представлении (2.1.9) могут быть выбраны различные системы базисных функций. За счет этого можно построить разнообразные аппроксимирующие зависимости, получившие наибольшее распространение в практических приложениях, в том числе с использованием специальных функций.
