Введение к работе
Актуальность темы
Современные методы теории базисов Гребнера позволяют сводить многие вопросы об идеалах в кольце многочленов в изучению мо-номиальных идеалов, которые имеют гораздо более простую структуру. В связи с этим особую важность приобретает исследование свойств мономиальных идеалов, в частности, их численных характеристик - функций Гильберта и градуированных чисел Бетти.
В 1927 Маколей1 описал функции Гильберта всех однородных идеалов в кольце коммутативных многочленов A = k[xi,...,xn] над полем к. Он рассмотрел так называемые лекссегментные идеалы, т.е., мономиальные идеалы, однородные компоненты которых порождаются (как векторные пространства) старшими по лексикографическому порядку мономами соответствующей степени, и показал, что для всякого однородного идеала существует лекссегмент-ный идеал с такой же функцией Гильберта.
Результат Маколея оказался полезен не только с алгебраической, но и с комбинаторной точки зрения: лекссегментные идеалы имеют достаточно простое строение, что позволяет явно выписать численные ограничения, которым должна удовлетворять функция Гильберта однородного идеала. Дальнейшее развитие, особенно в теории графов, комбинаторная интерпретация результатов Маколея получила в работах Клементса, Линдстрема, Лека (см. также работу Стенли2).
Оказалось, что лекссегментные идеалы обладают также интересными экстремальными свойствами. Например, теорему Маколея можно переформулировать следующим образом: если V - векторное пространство с базисом из однородных многочленов степени d и L - векторное пространство с базисом из старших по лексикографическому порядку мономов степени d (лекссегментное пространство) такой же размерности, то размерность пространства xV (xV порождено многочленами видаа;г/, где / Є V) не меньше размерности пространства xL, т.е., dimxV > dimxL. Г. Гоцман3 исследовал
'MACAULAY, F. S. Some properties of enumeration in the theory of modular systems. Proceedings L. M. S. 26, 2 (1927), 531-555.
"STANLEY, R. P. Hilbert functions of graded algebras. Adv. Math 28 (1978), 57-83. 3GOTZMANN, G. Eine Bedingung flir die Flachheit und das Hilbertpolynom eines graduierten
пространства, для которых в предыдущем неравенстве достигается равенство (теперь такие пространства называются гоцмановыми) Он, в частности, показал, что если V - гоцманово пространство, то xV - тоже гоцманово (теорема Гоцмана об устойчивости)
Другое следствие теоремы Маколея состоит в следующем лекс-сегментный идеал имеет наибольшее число минимальных порождающих в каждой степени среди всех однородных идеалов с фиксированной функцией Гильберта Иными словами, лекссегментный идеал имеет максимальные числа Бетти / для всех г Обобщение этого результата было получено в работах Бигатти и Хьюлетт4 (случай charfc = 0), а также Пардью5 (случай charfc > 0), где было показано, что лекссегментный идеал обладает максимальными градуированными числами Бетти среди всех однородных идеалов в кольце многочленов, имеющих такую же функцию Гильберта
Параллельно с изучением свойств экстремальности лекссегмент-ных идеалов, возник вопрос о возможности описания функций Гильберта однородных идеалов в фактор-кольцах кольца многочленов по однородным идеалам с помощью различных модификаций понятия лекссегментного идеала Одними из первых результатов в этой области были работы Крушкаля и Катоны6, которые описали с помощью лекссегментных7 идеалов функции Гильберта однородных идеалов во внешней алгебре8 Е — к{е\, ,е„) Эти результаты имели важные геометрические приложения, так как позволяли описывать /-векторы (т е , количество граней каждой размерности) симплици-альных комплексов
Обобщение результатов Маколея на более широкий класс идеалов было получено в работе Клементса и Линд стрема9, где бы-
Ringes Math Z 158 (1978), 61-70
'BIGATTI, A M Upper bounds for the BetU numbers of a given Hilbert function Commun Algebra 21, 1 (1993), 2317-2334, HULETT, H A Maximum Betti numbers of homogeneous ideals with a given Hubert function Commun Algebra 21, 7(1993),2335-2350
SPARDUE, К Deformation of classes of graded modules and maximal Betti numbers III J Math 40, 4 (1996), 564-585
'KRUSKAL, J The number of simphces ш a complex In Mathematical Optimization Tech nxques, R Bellman, Ed University of Calmornia Press, 1963, 251-278, KATONA, G A theorem for finite sets In Theory of Graphs, P Erdos, G Katona, eds Academic Press, 1968 187-207
7T e , таких мономиальных идеалов во внешней алгебре, однородные компоненты которых порождаются (как векторные пространства) старшими по лексикографическому порядку мономами во внешней алгебре соответствующей степени
'Рассмотрение функций Еильберта однородных идеалов во внешней алгебре равносильно рассмотрению функций Еильберта однородных идеалов в фактор алгебре А/(х\, х\)
'CLEMENTS, G F , LINDSTROM, В A generalization of a combinatorial theorem of Macaulay
ли описаны фуньщии Гильберта идеалов в фактор-алгебрах вида A/f^xf1, ,х?г), гдесії < < dn < оо Этот результат обобщал как теорему Маколея {d\ — = dn = оо), так и теорему Крушкаля-Катоны (d\ = = d„ = 2)
Работы Крушкаля, Катоны, Бигатти и Хьюлетт, наряду с развитием техник для изучения чисел Бетти10, привели к появлению большого количества новых результатов в этой области
Так, М Грин11 изучал свойства экстремальности лекссегментных пространств при факторизации по общим линейным формам Впоследствии его результаты были обобщены на случай общих однородных форм в работах Херцога, Попеску и Гашарова12
Целый цикл работ был посвящен обобщению неравенств для чисел Бетти, а также результатов Гоцмана, на случай внешней алгебры В частности, неравенство, аналогичное полученному Бигатти и Хьюлетт, было доказано для чисел Бетти над внешней алгеброй13, а также для чисел Бетти бесквадратных идеалов в кольце многочленов14 Кроме того, обобщение теоремы Гоцмана об устойчивости на случай внешней алгебры было получено Арамовой, Херцогом и Хиби15
Наконец, частичное обобщение результатов Грина и Гоцмана на случай идеалов в фактор-кольце видаЛДя^1, 'хл") было получено в работе Гашарова16 Кроме того, в другой своей работе17 Га-шаров исследовал связь между результатами Гоцмана и Грина, и,
/ Comb Theory 7 (1969), 230-238
'"ELIAHOU, S , KEKVAIRE, M Minimal resolutions of some monomial ideals J Algebra 129, 1 (1990), 1-25, ARAMOVA, A , HERZOG, J , Hmi, T Weakly stable ideals Osaka J Math 34, 4 (1997), 745-755, ARAMOVA A , AVRAMOV, L L , HERZOO, J Resolutions of monomial ideals and cohomology over exterior algebras Trans Am Math Soc 352, 2 (2000), 579-594
^GREEN, M L Restrictions oflinear series to hyperplanes, and some results of Macaulay and Gotzmann In Algebraic curves andprojectvue geometry, E Balhco, С Cihberto eds , Lect Notes Math Springer Verlag, 1989, 76-86
"HERZOG, J , POPESCU, D Hilbert functions and generic forms Compos Math 113,1 (\99S), 1-22, GASHAROV, V Hilbert functions and homogeneous generic forms II Compos Math 116,2 (1999), 167-172
13ARAMOVA, A , HERZOG, J , HIBI, T Gotzmann theorems for exterior algebras and combi natoncs J Algebra 191, 1 (1997), 174-211
"ARAMOVA, A , HERZOG, J , HIBI, T Squarefree lexsegment ideals Math Z 228, 2 (1998), 353-378, ARAMOVA, A , HERZOG, J , HIBI, T Shifting operations and graded Betti numbers J Algebr Comb 12, 3 (2000), 207-222
"См сноску 13
lsGASHAROV, V Green and Gotzmann theorems for polynomial rings with restricted powers of the variables J Pure Appl Algebrn ISO, 2 (1998), 113-118
"GASHAROV, V Extremal properties of Hilbert functions III J Math 41, 4 (1997), 612-629
в частности, показал, что всякое гоцманово пространство является экстремальным в смысле теоремы Грина.
Цель работы
Целью работы является изучение численных характеристик (функция Гильберта, градуированные числа Бетти) мономиальных идеалов в кольце коммутативных многочленов и во внешней алгебре над полем.
Методика исследования
В работе используются методы теории базисов Гребнера и результаты гомологической алгебры, в частности, производные функторы и явные конструкции минимальных свободных резольвент для некоторых классов мономиальных идеалов.
Научная новизна
Все основные результаты диссертации являются новыми и состоят в следующем:
-
Доказана эквивалентная формулировка теоремы Маколея, часто более полезная в приложениях, найдены необходимые условия для выполнения теоремы Маколея в фактор-кольце кольца многочленов; кроме того, доказано, что теорема Маколея в фактор-кольце кольца многочленов и внешней алгебры продолжает выполняться при добавлении новых переменных;
-
Получены обобщения теоремы Маколея, описывающей функции Гильберта однородных идеалов, на новые классы идеалов, в частности, получено необходимое и достаточное условия для выполнения теоремы Маколея в фактор-кольце кольца многочленов и внешней алгебры по сильно устойчивому идеалу;
-
Для случая, когда в фактор-кольце кольца многочленов или внешней алгебры по сильно устойчивому идеалу выполнена теорема Маколея, получены обобщения неравенств для градуированных чисел Бетти, а также теоремы Гоцмана об устойчивости
и результатов Грина о факторизации по общим линейным формам;
4. Построены минимальные свободные резольвенты для класса так называемых /-устойчивых идеалов, в случае, когда / = (xf1,... ,*); показано, что фактор-кольца по таким идеалам являются кольцами Голода Кроме того, для идеалов / приведенного выше вида изучены условия, когда кольцо по I-устойчивому идеалу является коэн-маколеевым и горенштейно-вым. Также исследованы свойства сильно и слабо /-устойчивых идеалов.
Теоретическая и практическая ценность
Работа носит теоретический характер. Ее методы и результаты могут быть использованы для дальнейшего изучения структуры и численных характеристик мономиальных идеалов.
Апробация работы
Результаты работы докладывались на научно-исследовательском семинаре кафедры высшей алгебры МГУ им. М. В. Ломоносова (2000 г.), а также на семинарах "Коммутативная алгебра" (1999-2004 гг.) и "Кольца и модули" (2003 г.) кафедры высшей алгебры МГУ им. М. В. Ломоносова. Кроме того, результаты докладывались на Международной алгебраической конференции (2004 г., МГУ им. М. В. Ломоносова).
Публикации
Результаты, содержащиеся в диссертации опубликованы в работах [1]-[4].
Структура и объем работы
