Идеалы в полукольцах непрерывных функций Широков Дмитрий Владимирович

Содержание к диссертации

Введение

Глава 1 Основы теории полуколец непрерывных функций 16

1 Исходные понятия теории полуколец 16

2 Полумодули 23

3 Полукольца непрерывных неотрицательных функций и их идеалы 34

4 О решетке конгруэнции на полуполе непрерывных положительных функций 42

Глава 2 Свойства идеалов полуколец непрерывных неотрицательных функций 51

5 Инъективные по Бэру идеалы полуколец С*(Х) 51

6 Чистые идеалы полуколец С*(Х) 59

7 Проективные идеалы полуколец СҐ{Х) 63

8 Плоские идеалы полуколец С*{Х) 72

9 Характеризация топологических свойств пространств в терминах идеалов полуколец непрерывных функций на них 76

Литература 79

• Полукольца непрерывных неотрицательных функций и их идеалы
• О решетке конгруэнции на полуполе непрерывных положительных функций
• Плоские идеалы полуколец С*{Х)
• Характеризация топологических свойств пространств в терминах идеалов полуколец непрерывных функций на них

Введение к работе

Исследования, проведенные в диссертации, посвящены теории полуко лец непрерывных функций — развивающемуся направлению функциональной алгебры. Рассматриваются идеалы полукольца (Ґ{Х) всех непрерывных неот рицательных функций, заданных на произвольном топологическом про странстве X, с поточечно определенными операциями сложения и умножения функций. Изучаются свойства идеалов в полукольцах (Ґ(Х), такие, как инъ- Щ ективность по Бэру, проективность, чистота, плоскостность. Полукольца не- прерывных функций естественно появились в рамках теории колец непрерывных функций.

Изучение колец С{Х) всех непрерывных вещественнозначных функций, определенных на топологическом пространстве X, началось в 30-е годы XX века с работ Банаха, М. Стоуна, И. М. Гельфанда и А. Н. Колмогорова. В настоящее время кольца С{Х) представляют собой классический математиче- Ш ский объект, который достаточно хорошо изучен. Назовем известную моно- графию Гиллмана и Джерисона [52], книги [13, 14] и обзорные работы Е. М. Вечтомова [12, 57].

Кроме полукольца СҐ{Х) с кольцом С(Х) тесно связано также полуполе U(X) всех положительных функций на X. Кольцо С(Х) является кольцом раз ностей как полукольца С*(Х), так и полуполя U{X). Впервые общее определе ние полукольца было дано Вандивером [56] в 1934 году. Полукольца СҐ(Х)₁₍м встречаются в литературе, начиная со статьи Словиковского и Завадовского [55]. Полуполя U{X) подробно изучаются с 1995 года [7, 15, 35-37]. Полукольцам непрерывных функций посвящен обзор [19]. См. также обзорную статью [50].

Впервые конгруэнции на полукольцах СҐ(Х) для тихоновского про странства X рассматривались в статьях [48, 49]. Систематическому изучению конгруэнции на С*(Х) посвящена диссертация И. А. Семеновой [36]. Описаны Щ максимальные и предмаксимальные конгруэнции на полукольцах С*(Х) и максимальные конгруэнции на полуполях U(X), даны характеризации главных и идеальных конгруэнции на полуполях U(X). Замкнутые конгруэнции на полукольцах СҐ{Х) и U{X) с топологией поточечной сходимости исследованы М. Н. Подлевских [27, 28]. Подалгебры в полукольцах СҐ(Х) и U(X) изучались в статьях [16, 31]. Идеалы полуколец (?(Х) рассмотрены в [7, 29]. Максимальным идеалам полуколец непрерывных функций со значениями в некоторых топологических полутелах посвящена диссертация В. И. Варан-киной [6]. _(ё

Аналоги полуколец непрерывных функций используются (через пучковые представления) в общей теории полуколец [19, 39, 40, 41]. Теория полуколец является активно развивающимся разделом современной алгебры. Ей посвящены монографии [53, 54] и пособия [17, 41]. В работах [1, 2, 33, 34] получены интересные результаты о строении полутел. В [20] построена теория абелево-регулярных положительных полуколец, тесно связанная с полутелами. Она применяется, в частности, в [22] к изучению регулярности полуколец матриц второго порядка. Укажем также диссертации А. В. Ряттель [30] и И. И. Богданова [2] по теории полутел. Заметим, что полукольца находят применение в дискретной математике, компьютерной алгебре, топологии, идемпотентном анализе, теории оптимального управления и других разделах математики [25,26, 53].

В диссертации решены следующие задачи.

Получены критерии дистрибутивности решетки конгруэнции полу-*'( поля непрерывных положительных функций.

Описаны инъективные по Бэру идеалы полуколец С*(Х).

Исследованы чистые и проективные идеалы в полукольцах непрерывных неотрицательных функций.

Доказана плоскостность любого полупервичного идеала полукольца

5. В терминах идеалов полуколец СҐ(Х) даны характеризации следующих топологических свойств пространств: экстремальная несвязность, базисная несвязность, быть F-пространством, быть ^-пространством.

В работе применяются методы и результаты теории колец и полуколец непрерывных функций [7, 52, 57], теории полуколец [53], теории решеток [21], универсальной алгебры [23] и общей топологии [4, 47]. Для исследования идеалов в полукольце непрерывных неотрицательных функций используется метод соответствий между идеалами полукольца и идеалами его кольца разностей. Эти соответствия при доказательстве многих утверждений позволяют сводить изучение идеалов полукольца СҐ(Х) к идеалам кольца С(Х) (теоремы 5.2, 7.1, 7.3, 8.1, 9.1, 9.2, 9.3). Метод соответствий применяется при доказательстве предложений 3.4 и 3.6, теоремы 6.1. В данных случаях для идеалов полукольца СҐ(Х) берутся соответствующие им идеалы кольца С(Х), обладающие известными свойствами, а затем полученные выводы переносятся обратно на полукольцо C%Y).

Плодотворна также идея представления функции из кольца С(Х) в виде разности функций из полукольца С*(Х), аннулирующих друг друга. Этот прием в ряде случаев позволяет установить хорошую связь между соотношениями в кольце С{Х) и полукольце СҐ{Х). В доказательствах некоторых результатов (теоремы 5.1, 7.2) используется комбинированный метод, сочетающий метод соответствий, результаты о С(Х) и оригинальные рассуждения.

В четвертом параграфе применяется техника главных конгруэнции, описанных в [35].

Дадим краткий обзор содержания диссертации.

Первая глава посвящена началам теории полуколец. В ней рассматриваются общие свойства полумодулей над полукольцами, исходные результаты о полукольцах С*~(Х), исследуется решетка конгруэнции полуполя U{X). Глава разбита на четыре параграфа. ^ В первом параграфе вводятся необходимые определения, излагаются известные результаты. Определяются отображения a:IdR^ IdS, Р: IdS -> IdR, где Id S, IdR- решетки идеалов полукольца S и кольца R разностей для S соответственно, cc(J) = Jr\S— полустрогий идеал полукольца S, /3(1) = 1 — 1- разностный идеал кольца R, І є Id S, J є Id R. Отображения а и P устанавливают взаимно однозначное соответствие между решеткой всех полустрогих идеалов полукольца S и решеткой всех разностных идеалов "- кольца R. Здесь же рассматриваются отображения Зм /между решеткой кон- груэнции полукольца S и решеткой идеалов его кольца разностей.

Во втором параграфе исследуются свойства полумодулей над полукольцами S с 1. Определяются инъективные, инъективные по Бэру, проективные полумодули.

З-полумодуль М называется инъективньш, если для любых S-полумодуля А, его подполумодуля В и б'-полумодульного гомоморфизма ^т а: В —>М существует .У-полумодульный гомоморфизм а\А-*М, продол- жающий а (то есть а-ана В).

З-полумодуль М называется инъективным по Бэру, если для любого правого идеала / полукольца S и для произвольного б'-полумодульного гомоморфизма а\1-*М, существуетS-полумодульный гомоморфизм a: S-> М, продолжающий а. ії-полумодуль М называется проективным, если для любых 5- ' полумодулей А и В, любого ^-эпиморфизма 7Г: —> Л и любого S- гомоморфизма а:М->А, найдется б'-гомоморфизм fl:M-*B, такой, что яо р = а.

Эти определения аналогичны соответствующим определениям инъек- тивных и проективных модулей над кольцами с 1. Известно, что понятия инъективного модуля над кольцом и инъективного по Бэру модуля равно- ф сильны (критерий Бэра). Проективные и инъективные полумодули изучаются в книге Голана [52], но определение проективного полумодуля Голан дает несколько другое, с излишним дополнительным условием.

Критерии проективных полумодулей отражены в следующем предложении.

Предложение 2.4. Для S-полумодуля Мэквивалентны условия:

М проективен;

Мявляется ретрактом свободного S-полумодуля;

Мобладает проективным базисом.

Определение 2.1. 5"-полумодуль М называется плоским, если для любых натурального числа т, элементов а₁,...,а_теМ и элементов "і "і

5,,...5_ffl,/p...,f_m є S равенство Х^аЛ ⁼2^аЛ влечет существование таких на-турального числа л, элементов 6,,...,6_нєМ и элементов ^є5 для всех іє\_ут и jel_yn, что выполняются равенства a, = ^6^ при всех іє\,т и Z V< ⁼ Е V* ^ПР^{И всех} У ^є!. и.

1-І Ы

Определение 2.2. Подполумодуль М S-полумодуля N называется чистым, если для любых натуральных чисел тип, элементов а₁,...,а_теМ, 6,,...,6,, eN_t s₄eS_t і'єі,/», jsl₃n, равенства 0,=2⁵^ (^для всех ї'є1,/я) влекут существование таких элементов 6',...,6^ еМ, что выпол- няются равенства a_t = ]>] 6^ j_iy (для всех / є 1, m ).

Понятия плоского полумодуля и чистого подполумодуля определяются в терминах конечных семейств равенств. В случае модулей над кольцом они эквивалентны обычным понятиям плоскостности и чистоты, определяемым через тензорное произведение.

Предложение 2.5. Любой проективный S-полумодуль является плоским.

Правый идеал / полукольца S называется чистым, если он является чистым подполумодулем 5-полумодуля 5". Чистый идеал полукольца может быть охарактеризован более простым условием: идеал /полукольца S является чистым тогда и только тогда, когда \/а, Ь є / Be є І (а — еа, Ь = eb) (предложение 2.6).

Третий параграф посвящен исходным понятиям и результатам о полукольцах С%) непрерывных неотрицательных функций, определенным на топологическом пространстве X, и их идеалам. Здесь же рассматривается кольцо С(Х) всех непрерывных действительнозначных функций на X, которое часто используется в рассуждениях как кольцо разностей полукольца С*(Х).

Пространство Xназывается тихоновским, если любое его одноточечное множество замкнуто и для произвольных замкнутого множества В пространства X и точки х є Х\ В найдется функция fe СҐ(Х) с условиями Дх) = 1, J{B) = {0}. Для каждого пространства X существует такое тихоновское пространство тХ, что полукольца СҐ{Х) и С⁺( тХ) канонически изоморфны. В силу этого факта в дальнейшем при необходимости пространство X будем считать тихоновским.

Предложение 3.1. Для любого идеала I полукольца С⁺{Х) равносильны условия:

1) I — полупервичный идеал;

2)1— строго идемпотентный идеал;

3) /- идемпотентный идеал.

Характеризации прямых слагаемых и аннуляторных идеалов дают предложения 3.2 и 3.3. Каждому множеству Дс! сопоставляется идеал М_А - {fe С*(Х) | В с Z(/)} полукольца С{Х).

Предложение 3.2. Для любого идеала I полукольца С⁺(Х) следующие условия эквивалентны:

1) / выделяется прямым слагаемым;

2)1 = еС⁺(Х), где е — идемпотент полукольца С*{Х);

3)/ = Л/д , где A — открыто-замкнутое множество в X.

Предложение 3.3. Пусть пространство X тихоновское. Тогда аннуля-торные идеалы полукольца С?(Х) — это в точности идеалы М_в для канонически замкнутых множеств В с X.

На основе свойств отображений а и /? между решетками идеалов Id СҐ(Х) и Id С(Х) доказываются следующие два утверждения.

Предложение 3.4. Простыми {максимальными) идеалами полукольца С*(Х) являются в точности идеалы Р п, СҐ(Х) для различных простых (мак симальных) идеалов Р кольца С(Х). ,

Из этого предложения в силу классической теоремы Гельфанда-Колмогорова [52, теорема 7.3] о строении максимальных идеалов колец С(Х) получаем ее аналог:

Предложение 3.5. Для любого тихоновского пространства X максимальные идеалы полукольца С⁺(Х) совпадают с идеалами вида

М^р~{/єС+(Х):_Рєі(лЛр^є№.

Здесь J3X- стоун-чеховская компакта фикация тихоновского пространства X.

Предложение 3.6. Любой простой идеал полукольца С*(Х) лежит в единственном максимальном идеале.

Четвертый параграф посвящен решетке Con U(X) конгруэнции полупо-ля U(X) непрерывных положительных функций.

Топологическое пространство X называется F-пространством, если каждый конечно-порожденный идеал кольца С(Х) является главным. Такое определение впервые было дано Гиллманом и Хенриксоном в 1956 году. Основы теории F-пространств изложены в [52]. В настоящее время имеется множество различных характеризаций /^-пространств [52, 11, 13, 57]. В этом параграфе получены новые характеризаций F-пространств.

Предложение 4.2. Для любого топологического пространства X равносильны утверждения:

1) X— F-пространство; для любой функции а є U(X) главные конгруэнции на U(X), порожденные парами (a,l) u(av а~\ 1), совпадают; для любой функции а є U(X) главная конгруэнция на U(X), порожденная парой (а,\), содержит пару (a v а~\ 1).

Условие дистрибутивности решетки конгруэнции полуполя U(X) дает Теорема 4.1. Для дистрибутивности решетки Con U{X) необходимо и достаточно, чтобы пространство Xявлялось F-пространством.

Следствием теоремы является новое доказательство следующего результата, впервые доказанного Е. М. Вечтомовым [11]: если X является F-пространством, то решетка идеалов кольца С(Х) дистрибутивна.

Вторая глава посвящена исследованию свойств идеалов в С (X) и состоит из пяти параграфов (нумерация параграфов продолжает нумерацию, начатую в первой главе).

В пятом параграфе исследуются инъективные по Бэру идеалы полуколец С⁺(Х). Идеал полукольца S называется инъективным по Бэру (инъектив-ным), если он является инъективным по Бэру (инъективным) Я-полумодулем.

Предложение 5.1. В полукольце (Ґ{Х) нет ненулевых инъективных идеалов.

На основе предложения 3.2 легко получается

Предложение 5.2. Любой инъективный по Бэру идеал полукольца С⁺{Х) выделяется прямым слагаемым.

Важное значение имеет теорема 5.1, которая дает функционально-топологические условия самоинъективности по Бэру полукольца С*(Х). Полукольцо называется самоинъективным по Бэру, если S-полумодуль 5" инъ-ективен по Бэру.

Топологическое пространство X называется экстремально несвязным, если замыкание каждого его открытого множества открыто. Пространство X называется с-пространством, если пересечение произвольного семейства его открытых множеств, мощность которого не превосходит мощности континуума, открыто.

Теорема 5.1. Пусть X— тихоновское пространство. Тогда следующие условия эквивалентны: полукольцо С⁺(Х) салюинъективно по Бэру; полумодуль С(Х) над С⁺{Х) инъективен по Бэру; любое открытое в Xмножество С⁺-расширяемо; X— экстремально несвязное с-пространство.

Из этой теоремы, предложения 5.2 и лемм 3.5, 5.2 вытекает

Теорема 5.2. Пусть X— тихоновское пространство. Тогда идеал I полукольца С?(Х) инъективен по Бэру тогда и только тогда, когда I = М_А, где Д - открыто-замкнутое множество вХ, аХ\А — экстремально несвязное с-пространство.

В следующем предложении изложены условия инъективности по Бэру С⁺(Х)-полумодуля (R^)^x всех неотрицательных функций на X.

Предложение 5.3. Пусть X— тихоновское пространство. Тогда равносильны следующие условия:

С⁺{Х)-полумодуль (R⁺) инъективен по Бэру; полукольцо С⁺(Х) регулярно; X является Р-пространством.

Хаусдорфово пространство называется Р-пространством, если пересечение любого счетного семейства его открытых множеств открыто. Р-пространства введены Гиллманом и Хенриксоном в 1954 году.

Параграф 6 посвящен описанию чистых идеалов полукольца С⁺(Х). В полукольце С*(Х) чистота идеала /равносильна наличию локальной единицы у каждого элемента из / ф Предложение 6.1. Для любого идеала I полукольца СҐ{Х) равносильны условия:

У) I — чистый; 2)\Ґ/<=ІЗеєі(/ = е/);

3)VfeI3eeI_ye

4) V/єі(і + Annf = С⁺(Х)).

Простейшие свойства чистых идеалов в С*(Х) сформулированы в сле- 'щ> дующих двух предложениях. Идеал / полукольца 5" называется строгим {по- лустрогим), если для каждых элементов а,Ь є S имеет место соотношение: а + ЬєІ=>а,ЬєІ(а + ЬєІ и аєі=>є/).

Предложение 6.2. Любой чистый идеал полукольца С⁺(Х) строгий. Предложение 6.3. Полустрогий идеал I полукольца СҐ(Х) чист тогда и только тогда, когда разностный идеал J = I -1 кольца С(Х) чист.

Определим идеал О" = \feC*(X):Bc (z(7)^)} полукольца С\Х). На W основе соответствий а, /3 между решетками Id СҐ(Х) и Id С(Х) и предложения

6.3 доказывается теорема 6.1, которая дает полное описание чистых идеалов в С⁺(Х).

Теорема 6.1. Чистые идеалы полукольца С*(Х) — это в точности идеалы О^в для замкнутых множеств В с: /ЗХ, Если идеал I чистый, то I = O^a.

Идеал полукольца, порожденный некоторым множеством дополняемых идемпотентов данного полукольца, называется регулярными.

Щ Предложение 6.4. Регулярные идеалы полукольца С*(Х) - это в точно- сти чистые идеалы О", где В — пересечение открыто-замкнутых мноокеств изРХ.

В седьмом параграфе исследуются проективные идеалы полуколец непрерывных неотрицательных функций.

Предложение 7.3. Главный идеал /СҐ{Х) полукольца СҐ(Х) проективен тогда и только тогда, когда внутренность нуль-множества функции/открыто-замкнута.

Если / — идеал кольца С⁺(Х), то подпространство РХ\ 51 пространства рК называется спектром идеала /, где где dl ~ f] Z{f)_m .

Теорема 7.1. Чистый идеал I полукольца С?{Х) проективен тогда и только тогда, когда его спектр паракомпактен.

Доказательство теоремы 7.1 проводится по аналогии с доказательством соответствующей теоремы для идеалов кольца С (X). На основе этой теоремы и с помощью связей между идеалами полукольца С*(Х) и кольца С(Х) доказывается

Теорема 7.2. Идеал М$ полукольца СҐ(Х) проективен тогда и только тогда, когда он выделяется прямым слагаемым в СҐ(Х).

Проективность простого идеала характеризует

Теорема 7.3. Простой идеал Р полукольца С*(Х) проективен тогда и только тогда, когда Р - максимальный идеал, порожденный идемпотептом, то есть в случае тихоновского пространства X идеал Р имеет вид М_х для некоторой изолированной точки х є X.

Доказательство теоремы 7,3 также проводится по аналогии с соответствующим доказательством для кольца С{Х) и опирается на теоремы 6.1, 7.2, предложение 3.6 и аналог теоремы Гельфанда-Колмогорова для полукольца С*{Х) (предложение 3.5),

В восьмом параграфе рассмотрены плоские идеалы полукольца С⁺(Х). Описаны главные плоские идеалы /СҐ{Х) в терминах аннуляторов Ann/ Доказана плоскостность всякого полупервичного идеала полукольца С⁺(Х).

Предложение 8.1. Главный идеал /СҐ(Х) полукольца С*(Х) является плоским тогда и только тогда, когда аннулятор функции/является чистым идеалом.

Теорема 8.1. Всякий полупервичный идеал полукольца СҐ{Х) является плоским.

Девятый параграф посвящен установлению связей между некоторыми свойствами топологических пространств X и свойствами идеалов полуколец (?{Х). С помощью предложения 8.1 доказывается

Теорема 9.1. Следующие условия эквивалентны:

Все идеалы полукольца СҐ(Х) плоские.

Все главные идеалы полукольца С*(Х) плоские. X— F-пространство.

Предложение 9.1. Пространство X является Р-пространством тогда и только тогда, когда каждый главный идеал полукольца С*(Х) чист.

Топологическое пространство X называется базисно несвязным, если внутренность любого его нуль-множества открыто-замкнута. На основе предложений 3.2, 3.3 и 7.3 выводится

Теорема 9.2. Следующие условия эквивалентны:

Все главные идеалы полукольца (Ґ(Х) проективны.

Все аннуляторные идеалы полукольца С*(Х) чисты.

Аннулятор произвольной функции из СҐ{Х) выделяется прямым слагаемым.

Пространство X базисно несвязно.

Из теоремы 7.2 и предложений 3.2, 3.3 вытекает Теорема 9.3. Следующие условия эквивалентны:

Каждый аннуляторный идеалы полукольца С*{Х) проективен.

Каждый аннуляторный идеал полукольца (Ґ(Х) выделяется прямым слагаемым.

Пространство Xэкстремально несвязно.

Результаты диссертационного исследования докладывались на Международной алгебраической конференции в МГУ в 2004 году, на семинаре кафедры алгебры в Ml 11У в 2005 году (руководитель семинара профессор

А. А. Фомин) и регулярно на научном алгебраическом семинаре в ВятГГУ (2002-2005 годы).

За постановку задач и внимание к работе автор искренне благодарен своему научному руководителю профессору Е. М. Вечтомову. За полезные обсуждения и высказанные замечания автор признателен профессорам А. В. Михалеву и А. А. Фомину, доцентам В. В. Чермных, В. И. Вараякиной, С. Н. Ильину, М. Н. Подлевских, Е. Е. Ширшовой.

Полукольца непрерывных неотрицательных функций и их идеалы

Пусть X обозначает произвольное топологическое пространство, С?{Х) — множество всех непрерывных неотрицательных функций, определенных на X, С(Х) - множество всех непрерывных вещественнозначных функций на X. Относительно поточечно заданных операций сложения и умножения функций Ґ{Х) является полукольцом, а С(Х) - кольцом. Пусть Ах обозначает внутренность множества А в пространстве X, Ах — замыкание множества А в X. Когда ясно о каком пространстве X идет речь, нижний индекс будем опускать. Для произвольной функции /е С(Х) определяются следующие подмножества в X: Z(/) = {x є X\ f(x) = 0} - нуль-множество функции ft coz/= {x є X\J{x) Ф 0} — конулъ-множество функции/, posf= {x є X\J{x) 0}, neg/= {x є ЛҐДх) 0}. Если / є С ХЛ!), то функция л//, определенная равенством для всех л є X, также лежит в С (А . Для /g є С(Х) можно определить функции / є (?(Х), /Ag є С(Х), fvg є C( Y) формулами

Если на множестве С (Х) вместо операции сложения + рассмотреть операцию v, то получим аддитивно идемпотентное полукольцо, обозначаемое С(Х). На СҐ{Х) и на С(Х) вводится отношение порядка : f g \/xeX:J{x) g(x). Имеем решетки С (Х), , v, л и С(Х), , v, л ), где /v g- точная верхняя грань,/л g - точная нижняя грань множества {/ g]. Кольцо С(Х) есть кольцо разностей полукольца (Ґ(Х). Каждая функция /є СҐ(Х) представима в виде/=/+ -/", где/+ =/v 0,/ = - (/л 0). Заметим, что/+-/" = 0. Каждому В сХ сопоставляется идеал Мв — {fe С (Х) Я с Z(/)} полукольца С (Х). Легко видеть, что Мв Мъ,Мт2/ Ann/. Подмножество У пространства X называется С-расширяемым в X (СҐ-расширяемым), если для каждой функции/є C(Y) (fe (?()) существует такая функция g є С(Х) (g є С (Х)% что g =f на К. Подмножество Кпростран- ства X называется С-расширяемым в X, если для любой ограниченной функции fe C(F) существует функция g є С(Х), такая, что g =fua Y. Непересекающиеся подмножества А и В топологического пространства X называются функционально отделимыми, если существует функция /є С(Х), такая, что/= 0 на А и/- 1 на В. Пространство X называется тихоновским, если любое его одноточечное множество замкнуто и для произвольных замкнутого множества В пространства X и точки х є Х\ В найдется функция /є С (А) с условиями Дх) = 1, Для каждого пространства X существует такое тихоновское пространство zX, что полукольца С+(Х) и С+(тХ) канонически изоморфны [52, стр. 41]. В силу этого факта в дальнейшем при необходимости пространство X можно считать тихоновским. Если пространство X— тихоновское, то МА = Мв влечет А = В для любых замкнутых в X множеств А и В. Доказательство этого факта в точности повторяет доказательство соответствующего утверждения в случае кольца С(Х). Ясно, что элемент / обратим в Cf(X) тогда и только тогда, когда Z(f) = 0. Обратный элемент для/обозначим —. Лемма 3.1. ЕслиІ- идеал полукольца С+(Х) и/ є С+(Х), то имеет место соотношение: /є/о/ліє/. Доказательство. Пусть /- идеал полукольца С+(Х),/є. СҐ(Х). Опреде-fl на Г ([0;1]) лим функцию g = 1 . Функция я непрерывна на каждом из замкнутых множеств А = / ([0;1]), 5 = /" ([1;+со)), а значит, непрерывна на A JB = X .

Таким образом, g є С (Х). Так как нуль-множество функции g пусто, то существует обратный элемент — є С {Х). Теперь нетрудно проверить выполнимость равенств f/\l = f-g,f = (f/\\)—, из которых следует S заключение леммы. — на coz / h = f . Пусть х0 Є Z(/). Возьмем произвольное f 0 и рассмот- 0 HaZ(/) рим множество А = \хєХ :/(х) є} - окрестность точки XQ. ДЛЯ любого х є А значение h(x) меньше є. Действительно, если д: є Z(f), то h(x) = 0; если

О решетке конгруэнции на полуполе непрерывных положительных функций

Множество U(X) всех непрерывных положительных функций на произвольном топологическом пространстве X образует относительно поточечных операций сложения и умножения полуполе без 0. Топологическое пространство X называется F-пространствоМу если С(Х) является кольцом Безу, то есть любой конечно-порожденный идеал кольца С(Х) является главным. Известен ряд критериев F-пространств (см., например, [52], гл. 14, [11], [7]). Сформулируем некоторые из них, касающиеся идеалов полукольца С (Х) и кольца С(Х). Предложение 4.1.

Для произвольного топологического пространства Xэквивалентны утверждения: l)X F-npocmpancmeo\ 2) решетка Id СҐ(Х) дистрибутивна; 3) решетка Id (ҐІХ) модулярна; 4) все идеалы полукольца Cf(X) полустрогие; 5) отображения а и Д определенные на стр.22, устанавливают изоморфизм решеток Id СҐ{Х) и Id С(Х); 6) решетка Id С(Х) дистрибутивна. Равносильность условий 1)-5) доказана в [7], а эквивалентность 1) и 6) рассмотрена в [11]. В работе используются следующие функционально-топологические критерии того, что Л"является F-пространством [52]: а) любое конуль-множество шХ С -расширяемо BJ; б) для любой функции/е С(Х) существует функция к є С(Х), -1 к 1, такая, что/= к- \/\; в) для любой функции/е С(Х) множества pos/и neg/функционально отделимы; г) любые два непересекающиеся конуль-множества функций из С(Х) (или из С (Х)) функционально отделимы. Главной конгруэнцией на U(X), порожденной парой (а,Ь\ называется наименьшая конгруэнция, содержащая пару (ауЬ). Любая главная конгруэнция р на ЩХ) порождается парой (а,1) для некоторой функции а є ЩХ) и определяется следующим образом (см. [35]): для всех/ g є U(X) Предложение 4.2. Для любого топологического пространства X равносильны утверждения: \)Х— F-пространство; 2) для любой функции а є U(X) главные конгруэнции на U(X), порожденные парами ( з,1) u(av а \ 1), совпадают; 3) для любой функции а U(X) главная конгруэнция на U(X), порожденная парой (а,1), содержит пару {a v а \ 1). Доказательство. Обозначим через р — главную конгруэнцию на U{X), порожденную парой (д,1), через ст - главную конгруэнцию на U(X), порожденную парой (a v а , 1) Докажем импликацию 1) = 2).

Пусть X—/ -пространство, а є U{X). Покажем сначала, что (ava )pl. Это равносильно выполнению следующих условий: ava l -\-(а-\)(р, (ava" ) п ava {ava )n для подходящих р є С(Х) и neN. Так какХ-.Р-пространство, то существует функция к є С(Х), такая, что а-1 = А а-1. Очевидно, к — 1 нароэ(а- l)tk = -\ Haneg(a- 1). Рассмотрим функцию (р - — (і - а"1 + к(\ + а"1)) є С(Х). Наг(а-1)имеема= 1, ava-1 -1 = 1-1 = 0, (a 1) =(1-1) = 0. На pos(a-l) имеем а \, ava -\ = а — 1, к= 1, (р= 1, (а- \)(р = а— 1. На neg(a-l) имеем a l, ava —1 = а -1, к = -\, (р = -а \ (a-lV=-(a-l)a"I=-(l-a"1) = a_1-l. Следовательно, равенство a v a" -1 = (а -1) р верно для всех х & X. Второе условие системы выполняется при « = 1 в силу верных неравенств ava l 1, (ava-1) 1. Значит, (ava l)pl. Теперь покажем, что асі. Это равносильно выполнению следующих условий: неравенства Й-1 а а. На Х\ро$(а— 1) имеем а \, поэтому {ava"1)v(aVU"1)"1 = = а" vfa"1)"1 =a_Iv« = a4 l, ((ava"1)v(ava"1)"1)" = (a_I) l =a- Соотношение принимает вид верного неравенства а а а . Следовательно, неравенство выполняется для всех є X. Поэтому aal. Таким образом, р = а. Импликация 2) = 3) очевидна. Докажем, что 3) = 1). Пусть аср для любой функции а є U(X). Докажем, что X — F-пространство. Для этого возьмем произвольную функцию /є С(Х) и покажем, что множества pos/ и neg/ функционально отделимы. ( ( lYl Рассмотрим функцию a= /v — + 1є/(Х). По условию главная V 2JJ конгруэнция, порожденная парой (я,1), содержит пару (ava_1,l), следовательно, a vа"1 -\-{а-\) р для некоторой функции р є С(Х).

Плоские идеалы полуколец С*{Х)

Предложение 8.1. Главный идеал/СҐ(Х) полукольца СҐ(Х) является плоским тогда и только тогда, когда аннулятор функции f является чистым идеалом. Доказательство. Пусть идеал /(Ґ(Х) является плоским. Для произвольной функции g є Ann/ имеет место равенство / g =/ 0. Поэтому найдутся функции А є/С+(Х) и tj єС (Х), j є1,«, такие, что f = Yuhjtj и tj- g = tj- 0-0 (для всех У є 1, и). При любом j є 1, п функция hj может быть представлена в виде ht fitj для некоторой функции и} є С+{Х). Тогда имеем: Из полученных равенств (4) и (5) можно сделать вывод, что идеал f(?{X) полукольца СҐ(Х) является плоским. Предложение доказано. Лемма 8.1. Если полупервичный идеал I полукольца СҐ(Х) содержит хотя бы один неделитель нуля, то I-плоский идеал. Доказательство.

Пусть идеал / полукольца СҐ(Х) удовлетворяет условиям леммы. Рассмотрим множество D всех неделителей нуля полукольца С (Х), содержащихся в /, Заметим, что для каждой функции feD идеал /С (Х) является плоским по предложению 8.1, так как тогда Ann/= {0}. Пусть gel. Множество D не пусто, поэтому выберем во множестве D некоторую функцию h. Определим f- jg + h eD. Так как g2 (g + h)2, то g2 є is + A)C+ (X), отсюда g є /СҐ(Х). Таким образом, имеем Пусть дан набор функций а аг,,„,ат є/. Тогда а, є/С+(ЛҐ) для некоторых функций /teD, /є1,т. Определим f 4f\ +/2+ — + /т є - в СИЛУ неравенств fi f , ie\,m, и леммы 3.2, получаем, что для всех іь\ІЇ f,efO+(X), то есть ftC+(X)cfC+(X). Поэтому а, е/С+(Х) для каждого / є 1, т. Из этих рассуждений и в силу того, что идеал /С (Х) является плоским, непосредственно вытекает плоскостность идеала / Лемма доказана.

Теорема 8.1. Всякий полупервичный идеал полукольца С (Х) является плоским. Доказательство. Будем считать пространство X тихоновским. Пусть / — полупервичный идеал полукольца С?(Х). Для каждой функции /є / определим множество If = {gel:Z(f)сZ(g)}, Ясно, что If - полупервичный идеал полукольца С?{Х) и / = (J If . Пусть даны произвольные функции aXia2,...,am є/. Определим функцию f = al + a2+,.. + aneI. Тогда я, є/7 для всех іє1,/и. Поэтому, если мы докажем, что все идеалы вида If, / є І, плоские, то тем самым будет доказана и плоскостность идеала /. Выберем произвольным образом функциго/є /и зафиксируем ее. Определим множество Y = cozf j{x), где х — некоторая точка, не лежащая вХ. Рассмотрим все функций из СҐ(Х), постоянные на Z(f). Для каждой такой функции g поставим в соответствие функцию g, определенную на У следующим правилом: g = g на cozf, g(x) g(Z(f)). Определим на Г слабейшую топологию, относительно которой непрерывны все такие функции. Топологическое пространство У будет тихоновским. Теперь мы имеем взаимно однозначное соответствие между множеством всех непрерывных на У функций и множеством всех непрерывных наХи постоянных на Z(/) функций. Нетрудно видеть, что это соответствие сохраняет операции сложения и ум- ножения функций. Образ идеала If полукольца СҐ(Х) при данном соответствии обозначим J/. Через g будем обозначать функцию из полукольца СҐ(Х), являющуюся прообразом функции g є C {Y). Ясно, что Jf- полупервичный идеал полукольца (?{Y). К тому же идеал , плоский. Чтобы убедиться в этом рассмотрим два случая. Если Z(/) = 0, то функция /є JfHe является делителем нуля, поэтому по лемме 8.1 идеал Jf плоский. Если Z(/) 0, то Z (/) = {х} =Z(f), поэтому множество Z(f) открыто-замкнуто. В этом случае идеал Jf чистый, а значит, плоский.

Характеризация топологических свойств пространств в терминах идеалов полуколец непрерывных функций на них

В данном параграфе всюду будем считать пространство Xтихоновским. В дополнение к рассмотренным выше в параграфе 4 характеризациям F-пространств справедлива следующая Теорема 9.1. Следующие условия эквивалентны: 1) Все идеалы полукольца СҐ(Х) плоские. 2) Все главные идеалы полукольца СҐ(Х) плоские, 3) X— F-пространство. Доказательство. Импликация 1) 2) очевидна. 2) =$ 3). Пусть любой главный идеал полукольца Cf(X) плосок. Тогда по предложению 8.1 для произвольной функции/є СҐ(Х) идеал Ann/чист. Возьмем два произвольных непересекающихся конуль-множества cozg и coz h,g, h є Cf{X). Тогда gh = 0, поэтому g є Ann h. В силу чистоты идеала « Ann h найдется функция є є СҐ(Х), такая, что eh = О и g = eg. Ясно, что є = О на coz h и е = I на coz g. Таким образом, множества coz g и coz h функционально отделимы. Следовательно, Xесть F-пространство. 3) = 1). Пусть X является F-пространством. Возьмем произвольную функцию/є С {Х) и g є Ann/ Тогда = 0, поэтому множества coz/и cozg не пересекаются. Значит, существует функция є є С (Х), такая, что е О на coz/и е= 1 на cozg. Отсюда є є Ann/и eg = g. Следовательно, идеал Ann/ чист, то есть идеал/С (Х) является плоским. Итак, все главные идеалы полукольца СҐ(Х) плоские. Теперь рассмотрим произвольный идеал /полукольца СҐ(Х).

Для любых функций а,,...,амє/ определим идеал J полукольца С (Х), порожденный этими элементами. Так как ЛГявляется F-пространством, то идеал /с:/ главный, значит, плоский. Теперь пользуясь определением плоского идеала нетрудно получить, что идеал / полукольца СҐ{Х) также является плоским. Теорема доказана. В дополнение к предложению 5.3, характеризующему Р-пространства, из предложений 3.7 и 6.5 вытекает Предложение 9.1. Пространство Xявляется Р-пространством тогда и только тогда, когда каждый главный идеал полукольца СҐ(Х) чист. Топологическое пространство X называется базисно несвязным, если внутренность любого его нуль-множества открыто-замкнута. Теорема 9.2. Следующие условия эквивалентны: 1) Все главные идеалы полукольца СҐ{Х) проективны. 2) Все аннуляторные идеалы полукольца С (Х) чисты. 3) Аннулятор произвольной функции из СҐ{Х) выделяется прямым слагаемым. 4) Пространство X базисно несвязно. Доказательство. Условия 1) и 4) равносильны в силу предложения 7.3. Условию 4) равносильно 3). Импликация 4) = 3) верна в силу очевидного равенства Ann/ = М—, f є СҐ(X), и предложения 3.2. Справедливость обратного утверждения также опирается на отмеченный ранее факт: если А, В — замкнутые подмножества тихоновского пространства X, то МА = Мв влечет А = В. 4) = 2). Пусть выполнено 4). Рассмотрим произвольный аннуляторный идеал / В силу предложения 3.3 он имеет вид Мв, где В = В. Для любой функции /єМв имеем В с Z(/), следовательно, Bc.Za(f), откуда BcZ (/ ), поскольку множество Z(/) открыто-замкнуто. Определим непрерывную функцию е, равную 0 на Z(/) и равную 1 на coz/. Очевидно, что є є Мв И/= ef. Таким образом, идеал /чист. 2) = 4). Пусть выполнено 2). Возьмем произвольную функцию/е С (Х). Рассмотрим идеал М-—, содержащий / и являющийся аннуляторным. Он чист, поэтому е/=/ддя некоторой функции є є М-— Так как е = 1 на coz/ то е=1 на coz/. На Z(/) функция е равна 0. Отсюда получаем, что Z(/) = Z(/) - открыто-замкнутое множество. Теорема доказана. Из теоремы 7.2 и предложений 3.2, 3.3 вытекает Теорема 9.3. Следующие условия эквивалентны: 1) Каждый аннуляторный идеалы полукольца СҐ{Х) проективен. 2) Каждый аннуляторный идеал полукольца (Ґ{Х) выделяется прямым слагаемым. 3) Пространство Xэкстремально несвязно. Вместе с теоремами 9.1 —9.3 и предложением 9.1 существуют аналогичные кольцевые характеризации топологических свойств [13].

Похожие диссертации на Идеалы в полукольцах непрерывных функций

Ранговые функции матриц над полукольцамиШитов, Ярослав Николаевич

Конгруэнции на полукольцах и полуполях непрерывных числовых функцийЧупраков Дмитрий Вячеславович

Полукольца непрерывных [0,1]-значных функцийЛубягина, Елена Николаевна

Аналитичность в пространстве максимальных идеалов инвариантных алгебр функций Панкратьева Татьяна Николаевна

Замкнутые идеалы в алгебрах гладких функций Ханин Леонид Григорьевич